Funktionen

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion $f$ ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert $x$ aus der Definitionsmenge $D$ genau einen Wert $y$ aus dem Wertebereich $W$ zuordnet. Dadurch entstehen geordnete Wertepaare $(x, y)$. Diese sind als Punkte im Koordinatensystem darstellbar. Die Punkte, die durch eine Funktion entstehen, bilden zusammen einen Graphen.

$x$ heißt auch Funktionsstelle und $f(x)=y$ Funktionswert.

Verschiedene Funktionsarten

Funktionen werden ihren Eigenschaften entsprechend in verschiedene Kategorien eingeteilt, beispielsweise nach dem höchsten Exponenten der Variable. Du lernst die verschiedenen Funktionsarten in unterschiedlichen Klassenstufen kennen.

Lineare Funktionen: Die Variable $x$ kommt nur mit dem Exponenten $1$ vor. Beispiele sind $f(x)=3x$ und $f(x)={-12}x+4$. Der Graph ist jeweils eine Gerade.

Quadratische Funktionen: Hier ist der größte Exponent der Variable $2$. Der zugehörige Graph ist eine Parabel. Beispiele hierfür sind die Funktionsgleichungen $f(x)=5x^{2}+1$ und $f(x)=x^{2}-3x$.

Potenz- und Wurzelfunktionen: Potenzfunktionen sind alle Funktionen der Form $ax^{n}$, wobei $a$ und $n$ Element der reellen Zahlen sind. Beispiele sind $f(x)=x^{4}$ und $f(x)=2x^{-12}$. Wenn der Exponent ganzzahlig und positiv ist, ist der Graph eine Parabel. Ist der Exponent ganzzahlig und negativ, so heißt der Graph Hyperbel. Wurzelfunktionen beinhalten eine Wurzel der Variable $x$. Ein Beispiel ist die Funktion mit der Gleichung $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

Exponential- und Logarithmusfunktionen: In einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Dies siehst du beispielsweise in der Gleichung $f(x)=4^{x}$. Logarithmusfunktionen haben allgemein die Form $f(x)=\log_a(x)$.

Winkelfunktionen: Dieser Begriff fasst die Funktionen zusammen, die mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens gebildet werden können. Mathematisch schreibst du $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = \cos (x)$ und $f(x) = \tan(x)$. Auch hier gibt es verschiedene Parameter, die die Funktion beeinflussen. Beispiele sind $f(x)=3\sin(x)-5$, $f(x)=\cos(x-2)$ oder $f(x)=\tan(4x)$.

Mit Funktionen arbeiten

Mit Hilfe von Funktionen kannst du Zusammenhänge, die auf der Welt existieren, mathematisch untersuchen. Beispielsweise ist es möglich, Wachstum und Zerfall zu untersuchen und darzustellen.

Wichtige Erkenntnisse zum Verlauf des Graphen einer Funktion, liefert dir eine sogenannte Kurvendiskussion. In dieser untersuchst du unter Anderem Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Lage von Extrempunkten. Für Letzteres benötigst du die Ableitung einer Funktion. Die erste Ableitung in einer Stelle liefert dir den Anstieg in genau dieser Stelle. Auch die Untersuchung auf Grenzwerte einer Funktion, gehört zur Kurvendiskussion.

Als Funktionsschar wird die Menge der Funktionen genannt, die zusätzlich zur unabhängigen Variable (meistens $x$) von einem Parameter abhängt. Beispiele sind $f(x)+a$ oder $b \cdot f(x)$.

Extremwertaufgaben, Newton-Verfahren und Mittelwertsatz sind spezielle Anwendungen für Funktionen.

In der Integralrechnung sind die Stammfunktionen $F$ der Funktion $f$ sehr wichtig. Es gilt $F’(x)=f(x)$. Daher nennt man das Integrieren gelegentlich auch Aufleiten. Die Integration kann beispielsweise zur Berechnung von Flächeninhalten unter einem Graphen dienen.

Oft werden in der Schule ausschließlich Funktionen betrachtet, die von einer unabhängigen Variable (meist $x$) abhängen. Es gibt jedoch auch Funktionen mehrerer Veränderlicher. Wenn es mehr als eine unabhängige Variable gibt, so kann der Graph dieser Funktion beispielsweise eine Fläche im Raum darstellen.