Verkettete Funktionen
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Grundlagen zum Thema Verkettete Funktionen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Funktionen zu verketten und verkettete Funktionen zu erkennen.
Zunächst lernst du, wie du zwei Funktionen miteinander verkettest, indem du sie hintereinander ausführst . Anschließend lernst du wie du eine gegebene Funktion als Verkettung darstellen kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Verkettung, innere Funktion und äußere Funktion.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche verschiedenen Typen von Funktion es gibt.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man verkettete Funktionen ableitet.
Transkript Verkettete Funktionen
Stell dir vor, du hast dir einen Laptop geliehen, weil dein eigener den Geist aufgegeben hat. Und ausgerechnet dann verschüttest du auch noch deinen Kaffee – auf den geliehenen Laptop. Das ist eindeutig eine Verkettung unglücklicher Umstände. Wie wir Funktionen verketten können, schauen wir uns in diesem Video an. „Verkettete Funktionen“ - unter der Bezeichnung kann man sich erstmal nicht wirklich was vorstellen. Dahinter verbirgt sich aber eine ganz einfache Idee – nämlich die Verknüpfung von zwei oder mehreren Funktionsvorschriften, die in einer Funktionsgleichung zusammengefasst werden. Wir machen uns das an unserem Einstiegsbeispiel deutlich. Der Umstand „Ich habe mir einen Laptop geliehen“ und der Umstand „ich habe den Kaffee verschüttet“ führt in Kombination zu dem Ergebnis: „Jetzt hab ich den geliehenen Laptop geschrottet.“ Große Klasse! Zurück zur Mathematik. Geben wir diesen Umständen mal zwei x-beliebige Funktionsterme als Namen. Den ersten taufen wir „v von x gleich zwei x minus eins“, den zweiten „u von x gleich x hoch zwei.“ Schöne Namen, nicht wahr? Der erste Umstand sagt uns also: „Verdopple einen Wert x und subtrahiere anschließend eins.“ aka „Ich habe mir einen Laptop geliehen.“ Der zweite Umstand lautet: „Quadriere einen Wert“. aka „Ich habe den Kaffee verschüttet.“ Für sich genommen sind beide Funktionsterme nicht sonderlich problematisch. Doch was passiert, wenn wir sie verketten, also nacheinander ausführen? Schauen wir es uns einmal an: Wir starten mit einem beliebigen Wert x, und wenden die erste Anweisung an. Sprich wir verdoppeln ihn und subtrahieren eins. Die zweite Anweisung wenden wir jetzt anschließend auf den resultierenden Term an. Wir quadrieren also „zwei x minus eins“. Das Ergebnis ist unsere verkettete Funktion. Wir nennen sie „f von x“ beziehungsweise „Ich habe den geliehenen Laptop geschrottet.“ Das Beispiel macht deutlich, worum es bei der Verkettung von Funktionen geht: Nämlich die Hintereinanderausführung von mehreren Funktionstermen. Streng mathematisch formulieren wir das so: Die Funktion f mit „f von x“ gleich „u von v von x“ ist die Verkettung der Funktionen u und v. Wenn wir also auf einen x-Wert zunächst die Funktion „v“, und auf den resultierenden Wert anschließend „u“ anwenden, haben wir insgesamt die Funktion „f“ ausgeführt. Funktion v, die wir zuerst ausführen, nennen wir die innere Funktion. Funktion u, die anschließend ausgeführt wird, ist die äußere Funktion. Dazu schauen wir uns noch ein Beispiel an. Gegeben sind die Funktionen „u von x“ gleich „eins durch zwei x“, und „v von x“ gleich „drei x Quadrat minus zwei“. u ist unsere äußere Funktion, und v die innere Funktion. Um die Funktion „f von x“ gleich „u von v von x“ aufzustellen, starten wir mit der inneren Funktion und setzen für „v von x“ den entsprechenden Funktionsterm ein. Jetzt müssen wir noch die äußere Funktion auf diesen Funktionsterm anwenden. Wir setzen also die innere Funktion für x in die äußere Funktion ein. Fertig ist unsere verkettete Funktion „f von x“. Achtung! Es macht einen Unterschied, welche Funktion wir in die andere einsetzen. Schauen wir uns das ganze mal andersherum an: Wir bilden die Funktion „g von x“ gleich „v von u von x“. Jetzt führen wir also zuerst „u von x“ aus, und wenden auf diesen Funktionsterm dann v an, setzen ihn also für das x in v ein. So erhalten wir diesen Funktionsterm, der sich eindeutig von „f von x“ unterscheidet. Wir müssen daher immer darauf achten die Funktion, die als innere festgelegt wurde, zuerst und die äußere Funktion erst anschließend anzuwenden. Oft ist es in der Mathematik sehr nützlich, eine gegebene Funktion als Verkettung zu betrachten beziehungsweise darzustellen. Wir schauen uns auch dazu ein Beispiel an. Die Funktion „f von x“ gleich „e hoch sechs x plus fünf“ soll so in die Funktionen u und v unterteilt werden, dass „f von x“ gleich „u von v von x“ gilt. Wir müssen also die innere und die äußere Funktion so festlegen, dass sie verkettet „f von x“ ergeben. Dazu schauen wir uns zuerst den Term an, der das x enthält. „Sechs x plus fünf“ wird hier zuerst ausgeführt, und anschließend in den Exponenten von e eingesetzt. Daher können wir hier „sechs x plus fünf“ als innere, und die e-Funktion „e hoch x“ als äußere Funktion festlegen. Dann haben wir „u von v von x“ gleich „u von sechs x plus fünf“ gleich „e hoch sechs x plus fünf“. Und das ist – wie wir es wollten – gleich f von x. Fassen wir das Ganze nochmal zusammen. Bei verketteten Funktionen geht es um die Hintereinanderausführung von Funktionstermen. Die Funktion, die wir zuerst ausführen, ist die innere Funktion. Die Funktion die wir als Zweites ausführen, nennen wir äußere Funktion. Ineinander verschachtelt ergeben sie zusammen die verkettete Funktion. Die Darstellung als Verkettung vereinfacht für uns die Betrachtung komplexer Funktionsterme. Genauer gesagt: Wir können eine komplexe Funktion so in eine innere und eine äußere Funktion unterteilen. Das erfordert ein scharfes Auge und Konzentration – ähnlich, wie wenn man auf einem fremden Laptop zocken, Mathe lernen und dabei gleichzeitig Kaffee trinken möchte.
Verkettete Funktionen Übung
-
Beschreibe, was eine Verkettung von Funktionen bedeutet.
TippsBei einer Verkettung von Funktionen werden die Vorschriften der inneren und äußeren Funktion hintereinander ausgeführt.
Die beiden Funktionen $u(x) = x^3$ und $v(x) = x + 1$ können zu $g(x) = v(u(x)) = x^3 + 1$ verknüpft werden.
Dabei ist $v(x)$ die äußere und $u(x)$ die innere Funktion.LösungEine verkettete Funktion fasst die Funktionsvorschriften von zwei oder mehr Funktionen in einer Funktionsgleichung zusammen. Die Funktionen werden hintereinander ausgeführt.
Die zuerst ausgeführte Funktion heißt dabei innere Funktion. Die anschließend ausgeführte Funktion ist die äußere Funktion, da sie den ersten Funktionsterm umschließt.Beispiel:
Die beiden Funktionsterme $u(x) = x^2$ und $v(x) = 2x - 1$ ergeben durch Verkettung die Funktion $f(x) = u(v(x)) = (2x - 1)^2$.
Dabei ist $v(x)$ die innere Funktion und $u(x)$ die äußere Funktion.Die beiden Funktionen können auch zu $g(x) = v(u(x)) = 2x^2 - 1$ verknüpft werden.
Dabei ist $v(x)$ die äußere und $u(x)$ die innere Funktion. -
Gib die Funktionsterme an, die sich aus einer Verkettung der Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ ergeben.
TippsDu kannst die folgenden verketteten Funktionen bilden:
- $u(v(x))$
- $v(u(x))$
Setze den Funktionsterm der inneren Funktion für die Variable $x$ in den Term der äußeren Funktion ein.
LösungZur Verkettung zweier Funktionen werden deren Funktionsvorschriften hintereinander ausgeführt. Dazu setzen wir den Funktionsterm der inneren Funktion für die Variable $x$ in den Term der äußeren Funktion ein.
Die Funktionen $u(x) = \dfrac{1}{2x}$ und $v(x) = 3x^2-2$ können wir folgendermaßen verketten:
$u(v(x))$:
Die innere Funktion ist $v(x)$, wir setzen ihren Funktionsterm für $x$ in die äußere Funktion $u(x)$ ein.
$u(v(x)) = u(3x^2-2) = \frac{1}{2(3x^2 - 2)}$
Durch Zusammenfassen erhalten wir $\frac{1}{6x^2 - 4}$, der Faktor $2$ steht im Nenner von $u(x)$, daher ist der Term $\frac{2}{3x^2 - 2}$ falsch.$v(u(x))$:
Die innere Funktion ist $u(x)$, wir setzen ihren Funktionsterm für $x$ in die äußere Funktion $v(x)$ ein.
$v(u(x)) = v(\frac{1}{2x}) = 3\left(\frac{1}{2x}\right)^2 - 2$
Durch Zusammenfassen erhalten wir $3\frac{1}{4x^2} - 2$, da sich das Quadrat auf den ganzen Bruch bezieht und nicht nur auf das $x$, ist der Term $3\frac{1}{2x^2} - 2$ falsch. -
Wende die Funktionsvorschrift an.
TippsUm zwei Funktionen zu verketten, setzt du den Funktionsterm der inneren Funktion in die äußere Funktion ein.
Beispiel:
$u(w(x)) = u(x^3) = 5^{x^3}$
LösungWir bilden den Funktionsterm einer verketteten Funktion, indem wir die Vorschriften der inneren und äußeren Funktion hintereinander ausführen. Dazu setzen wir den Funktionsterm der inneren Funktion für die Variable $x$ in die äußere Funktion ein.
Für die gegebenen Funktionen:
- $u(x) = 5^x$
- $v(x) = \frac{1}{3x + 5}$
- $w(x) = x^3$
- $u(v(x)) = u(\frac{1}{3x + 5}) = 5^{\frac{1}{3x + 5}}$
- $v(u(x)) = v(5^x) = \frac{1}{3\cdot 5^x + 5}$
- $w(v(x)) = w(\frac{1}{3x + 5}) = \left(\frac{1}{3x + 5}\right)^3 = \frac{1}{(3x + 5)^3}$
- $w(u(x)) = w(5^x) = (5^x)^3 = 5^{3x}$
-
Ermittle den Term der inneren und äußeren Funktion der Verkettung.
TippsDie innere Funktion wird zuerst auf die Variable $x$ angewendet, ihr Term enthält daher $x$.
Die äußere Funktion enthält oder umschließt die innere Funktion.
LösungOft ist es nützlich einen Funktionsterm als Verkettung von Funktionen zu schreiben. Dazu müssen wir die innere und die äußere Funktion identifizieren, deren Vorschriften nacheinander auf $x$ angewendet werden. Die innere Funktion enthält dabei stets die Variable $x$, die äußere Funktion enthält oder umschließt den inneren Funktionsterm.
$(x - 2)^3$:
- innere Funktion: $x - 2$
- äußere Funktion: $x^3$
$\sin(\frac{2}{x+3})$:
- innere Funktion: $\frac{2}{x+3}$
- äußere Funktion: $\sin(x)$
$3^{x^2-1}$:
- innere Funktion: $x^2 - 1$
- äußere Funktion: $3^x$
$\lbrack \cos(x) + 3 \rbrack ^2$:
- innere Funktion: $ \cos(x) + 3 $
- äußere Funktion: $x^2$
-
Benenne die Funktionen, die angewendet werden.
TippsDie äußere Funktion umschließt die innere Funktion.
Beispiel:
- innere Funktion: $k(x)$
- äußere Funktion: $l(x)$
- Verkettung: $l(k(x))$
LösungWenn wir zwei Funktionsvorschriften hintereinander ausführen, dann sprechen wir von einer Verkettung von Funktionen. Dabei ist der zuerst ausgeführte Term die sogenannte innere Funktion. Den Term, den wir danach anwenden, bezeichnet man als äußere Funktion.
Betrachten wir die Funktionen:
- $u(x) = e^x$
- $v(x) = x^2 + 1$
$u(v(x)) = e^{x^2 + 1}$ -
Stelle den Funktionsterm auf.
TippsWenn wir mehr als zwei Funktionen verketten, können wir die Funktionsterme nacheinander einsetzen, beginnend mit der innersten Funktion.
Beispiel:
- $u(x) = 2x$
- $v(x) = 5^x$
- $w(x) = x^3$
LösungWir können zwei oder mehr Funktionsvorschriften in einer Funktionsgleichung zusammenfassen. Dazu führen wir die Funktionsterme hintereinander aus.
$f(x) = v(w(u(x)))$ mit:
- $u(x) = \frac{2}{x + 1}$
- $v(x) = \cos(x)$
- $w(x) = x^3$
$f(x) = v(w(u(x))) = v(w\left(\frac{2}{x + 1}\right)) = v(\left(\frac{2}{x + 1}\right)^3) = v\left(\frac{8}{(x + 1)^3}\right) = \cos\left(\frac{8}{(x + 1)^3}\right)$
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