Primzahlen – Einführung
Primzahlen sind besondere natürliche Zahlen, die nur durch und sich selbst teilbar sind. Sie sind die Grundbausteine der Mathematik und haben praktische Anwendungen, wie bei der Verschlüsselung von Daten. Lerne Primzahlen zu erkennen und finde weitere Informationen dazu! Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Primzahlen – Einführung
Primzahlen – Definition
Primzahlen sind natürliche Zahlen mit besonderen Eigenschaften. Sie sind folgendermaßen definiert:
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch und sich selbst teilbar ist. Sie hat also genau zwei Teiler (und nur die als echten Teiler).
Als echte Teiler einer Zahl bezeichnet man alle Teiler, die kleiner als diese Zahl selbst sind.
Primzahlen sind ganz besondere Zahlen in der Mathematik. Sie spielen in vielen Bereichen eine wichtige Rolle. Sehen wir uns ein paar Beispiele an.
Primzahlen bis 20
Zwischen den Zahlen und gibt es genau acht Primzahlen. Diese lauten:
, , , , , , und
Die neunte Primzahl ist die .
Addiert man die ersten neun Primzahlen (bis ), erhält man die Summe .
Sind 0 und 1 Primzahlen?
Sowohl die als auch die sind keine Primzahlen:
- Die Zahl hat keinen echten Teiler, der kleiner wäre, als die Null selbst. Außerdem ist sie auch nicht durch sich selbst teilbar, da durch teilen nicht erlaubt ist.
- Die Zahl ist nur durch teilbar. Damit erfüllt sie zwar einerseits die Bedingung, durch und durch sich selbst teilbar zu sein. Andererseits handelt es sich ja zweimal um den gleichen Teiler – die Eins hat also nur einen Teiler – um eine Primzahl zu sein, müssten es aber genau zwei Teiler sein.
Wusstest du schon?
Ein berühmtes Rätsel in der Welt der Primzahlen ist die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Das sind Paare von Primzahlen, die nur zwei Zahlen auseinanderliegen, beispielsweise die und die . Bisher konnten Mathematikerinnen und Mathematiker das jedoch nicht beweisen.
Primzahlen erkennen
Primzahlen sind also etwas ganz Besonderes. Aber wie genau kann man Primzahlen erkennen? Dazu müssen wir überprüfen, ob eine gegebene Zahl andere Teiler als die und sich selbst hat.
Bei der Überprüfung ist es nützlich, die Teilbarkeitsregeln zu kennen. Es gibt relativ einfache Teilbarkeitsregeln zu den Teilern 2, 5 & 10, den Teilern 3, 6 & 9 sowie zu den Teilern 4 & 8. Wir fassen die wichtigsten Regeln hier noch einmal zusammen:
Teilbarkeitsregeln:
- Zahlen, bei denen die letzte Ziffer eine , , , oder ist, sind durch teilbar. Das sind die geraden Zahlen.
- Zahlen, bei denen die letzte Ziffer eine oder eine ist, sind durch teilbar.
- Zahlen, bei denen die letzte Ziffer eine ist, sind außerdem durch teilbar.
- Wenn die letzten beiden Ziffern einer Zahl eine Zahl bilden, die durch teilbar ist, so ist die gesamte Zahl durch teilbar.
- Wenn die letzten drei Ziffern einer Zahl eine Zahl bilden, die durch teilbar ist, so ist die gesamte Zahl durch teilbar.
- Ein Zahl ist durch teilbar, wenn ihre Quersumme durch teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn sie sowohl durch als auch durch teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre Quersumme durch teilbar ist.
- Für den Teiler gibt es keine ähnlich einfache Teilbarkeitsregel. Um über die Teilbarkeit durch zu entscheiden, solltest du die Siebenerreihe kennen. Die Reihen der anderen Zahlen des kleinen Einmaleins helfen natürlich auch bei den anderen kleinen Teilern.
Damit sind wir fit für ein paar Beispiele:
Die erste Primzahl in unserer Liste ist die . Hier müssen wir noch nicht viel rechnen, denn die ist natürlich durch sich selbst teilbar und die ist die einzige kleinere Zahl, die als echter Teiler in Frage kommt. Die ist durch und durch sich selbst teilbar und damit die kleinste Primzahl – und die einzige Primzahl, die eine gerade Zahl ist.
Die ist eine ungerade Zahl, deswegen ist sie nicht durch teilbar. Sie ist damit ebenfalls nur durch und sich selbst teilbar, also ist sie auch eine Primzahl.
Nun betrachten wir ein etwas schwierigeres Beispiel und überprüfen die .
Die ist eine ungerade Zahl, deswegen ist sie nicht durch teilbar. Wenn es andere echte Teiler geben würde, müssten diese auf jeden Fall kleiner als die Hälfte von sein. Das Doppelte von ist und damit schon größer als – also reicht es, nur die Zahlen , , , , und zu überprüfen, da nur diese als mögliche Teiler in Frage kommen.
Die Quersumme von , also die Summe ihrer Ziffern,
Weil die Quersumme nicht durch teilbar ist, ist auch die nicht durch teilbar. Da sie außerdem ungerade ist, ist die auch nicht durch teilbar. Und da die letzte Ziffer weder eine noch eine ist, scheidet auch die als Teiler aus. Bleiben noch die und die . Die ist aber kein Teil der Vierer- oder Siebenerreihe und damit auch nicht durch diese Zahlen teilbar. Sie ist also eine echte Primzahl.
Um herauszufinden, ob es sich bei einer gegebenen Zahl um eine Primzahl handelt, versuchen wir, neben der und der Zahl selbst einen weiteren Teiler der Zahl zu finden. Dazu testen wir als mögliche Teiler zunächst die kleinsten Primzahlen , , usw.
Finden wir keinen weiteren Teiler, handelt es sich bei der gegebenen Zahl um eine Primzahl.
Primzahlen erkennen – Übung
Mit den folgenden Aufgaben kannst du die Anwendung der Teilbarkeitsregeln üben, um mögliche Teiler von verschiedenen Zahlen zu finden. Wenn es keine gibt, muss es sich um eine Primzahl handeln.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal bemerkt, wie schwer es manchmal ist, eine bestimmte Zahl an Freunden in genau gleiche Gruppen aufzuteilen. Wenn du Freundinnen und Freunde hast, wirst du feststellen, dass es nicht möglich ist, sie gleichmäßig in kleinere Gruppen aufzuteilen, weil eine Primzahl ist. Primzahlen können nur durch und durch sich selbst geteilt werden, was sie einzigartig macht – und dir bei solchen Problemen begegnet.
Primzahlen bis 100
In der folgenden Tabelle sind alle Primzahlen markiert, die zwischen und liegen:
| 1 | 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | ||||
| 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | 20 | ||||
| 21 | 22 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 30 | ||
| 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 | ||
| 42 | 44 | 45 | 46 | 48 | 49 | 50 | |||
| 51 | 52 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 60 | ||
| 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 68 | 69 | 70 | ||
| 72 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 80 | |||
| 81 | 82 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 90 | ||
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 98 | 99 | 100 |
Unter den Zahlen von bis sind alle Zahlen, die nicht in den Reihen des kleinen Einmaleins vorkommen, Primzahlen – und außerdem die Zahlen , und .
Normalerweise ist es nicht nötig, Primzahlen auswendig zu lernen. Mit den Teilbarkeitsregeln kannst du nämlich im Prinzip alle hier gezeigten und auch größere Primzahlen herleiten.
Wusstest du schon?
Primzahlen spielen eine wichtige Rolle bei der Verschlüsselung von Daten. Sie sind also nicht nur für Mathefreaks interessant, sondern haben viele technische Anwendungen – unter anderem auch für Hacker, Geheimagenten und Spione!
Um alle Primzahlen bis zu einer bestimmten, gegebenen Zahl zu finden, kann das Sieb des Eratosthenes genutzt werden.
Das Sieb des Eratosthenes
Eratosthenes war ein griechischer Mathematiker, der im
Diese Vorgehensweise wird immer bis zu einer bestimmten, gegebenen Zahl angewendet. Hier zeigen wir am Beispiel der ersten Zahlen, wie das Sieb funktioniert.
- Zuerst schreiben wir alle Zahlen von bis auf.
- Die lassen wir weg, weil diese Zahl keine Primzahl sein kann.
Unsere Reihe bis sieht also so aus:
- Die erste Zahl, die , ist eine Primzahl. Wir markieren sie, zum Beispiel mit einem Kringel oder einer Farbe.
- Als nächstes können wir alle Vielfachen von , also die geraden Zahlen streichen, weil sie auf jeden Fall mindestens die Teiler , sich selbst und die haben. Daher sind sie keine Primzahlen.
Damit verkürzt sich unsere Reihe folgendermaßen:
- Die nächste Zahl, die , ist ebenfalls eine Primzahl. Also markieren wir auch diese farbig.
- Nun streichen wir alle Vielfachen von , weil auch diese mindestens noch die als weiteren Teiler haben:
- Die nächste Zahl, die , ist ebenfalls eine Primzahl. Also könnten wir jetzt auch alle folgenden Vielfachen von streichen – allerdings gibt es in unserer Reihe bereits keine mehr:
- Von der nächsten Primzahl, der , gibt es auch keine weiteren Vielfachen mehr in dieser Reihe:
- Ab der nächstfolgenden Primzahl kann es in der Reihe keine Vielfachen mehr geben, weil die Vielfachen in jedem Fall größer als die letzte Zahl wären.
- Alle Zahlen, die jetzt noch in der Reihe stehen, sind Primzahlen:
Das Sieb des Eratosthenes funktioniert also so, dass wir bis zu einer gegebenen Zahl von unten nach oben gehend immer weitere Zahlen und deren Vielfache ausschließen (aussieben), bis nur noch Primzahlen in der Reihe übrigbleiben. Probier’ das doch mal selbst mit den ersten Zahlen aus!
Alle Primzahlen
Je größer eine Zahl ist, desto schwieriger ist es zu überprüfen, ob es sich um eine Primzahl handelt oder nicht. Es gibt mittlerweile aber spezielle Formeln und Programme, mit denen Computer Primzahlen bestimmen und immer neue Primzahlen finden können.
Für sehr große Primzahlen brauchen allerdings auch die schnellsten Computer sehr viel Zeit.
Alle Primzahlen können auch die besten Computer nicht finden, denn es gibt unendlich viele! Schon vor über Jahren konnte der griechische Mathematiker Euklid mit einem mathematischen Beweis die Unendlichkeit der Primzahlen zeigen.
Primzahlen werden genutzt, um eine größere Zahl in ein Produkt kleinerer Faktoren zu zerlegen (die multipliziert wieder die größere Zahl ergeben). Das nennt man Primfaktorzerlegung.
Umgekehrt kannst du herausfinden, ob es sich bei einer gegebenen Zahl um eine Primzahl handelt, wenn du versuchst, diese in kleinere Faktoren zu zerlegen. Wenn die einzigen möglichen Faktoren und die Zahl selbst sind, handelt es sich um eine Primzahl.
Fehleralarm
Eine häufiger Fehler bei Primzahlen ist, dass Schülerinnen und Schüler die Zahl als Primzahl betrachten. Dabei sind Primzahlen definiert als Zahlen, die genau zwei positive Teiler haben: und sich selbst. Die hat jedoch nur einen positiven Teiler und ist daher keine Primzahl.
Ausblick – das lernst du nach Primzahlen – Einführung
Du könntest dich weiter mit den Primzahlen und dem Sieb des Eratosthenes befassen. Oder vertiefe dein Wissen durch die Erkundung der Primfaktorzerlegung. Sei bereit, deine mathematischen Fähigkeiten im Umgang mit Zahlen zu erweitern!
Zusammenfassung der Primzahlen
- Primzahlen sind Zahlen, die nur durch und durch sich selbst teilbar sind.
- Die ist die kleinste Primzahl und die einzige gerade Primzahl.
- Weitere Primzahlen sind , , , , , und .
- Um zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist, hilft es, die Teilbarkeitsregeln anzuwenden. Dazu müssen alle möglichen Teiler untersucht werden, die kleiner als die Hälfte der gegebenen Zahl sind.
- Alle Zahlen kleiner als , die nicht in den Reihen des kleinen Einmaleins vorkommen, sind Primzahlen.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Primzahlen
Transkript Primzahlen – Einführung
Das ist also der ominöse Hinweis. Keiner seiner Kollegen konnte diesen Fall lösen, aber Kommissar Kornelius ist nicht umsonst der beste Detektiv aller Zeiten! Aber was bedeuten all diese Zahlen auf dem Zettel? Warum sind manche markiert und manche nicht? Wenn ihn sein Gefühl nicht trügt, handelt es sich bei diesen Zahlen tatsächlich um ganz besondere Zahlen – Primzahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: eins und sich selbst. Dabei muss 1 der größte echte Teiler der Zahl sein. Ein echter Teiler ist ein Teiler, der kleiner als die Zahl selbst ist. Die Teilbarkeitsregeln helfen dir dabei, Primzahlen zu erkennen. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn es eine gerade Zahl ist, die letzte Ziffer also 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Durch 5 ist eine Zahl teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Durch 10 ist eine Zahl teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern, durch 3 teilbar ist. Ist die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Bei allen anderen Zahlen muss man die jeweilige Multiplikationsreihe betrachten. Der größte echte Teiler einer Zahl ist übrigens maximal so groß, wie die Hälfte der Zahl. Dies sehen wir zum Beispiel an den Zahlen 12 und 36. 12 ist eine gerade Zahl, also durch 2 teilbar. 12 geteilt durch 2 ist 6, also ist 6 auch ein Teiler von 12. Teilt man 12 durch 6, kommt man auf 2. Nun kann 12 unmöglich durch eine Zahl echt teilbar sein, die größer als 6 ist. Würde man 12 durch so eine Zahl teilen, käme nämlich ein Ergebnis heraus, das kleiner ist als 2. Betrachten wir nun die 36. Sie ist ebenfalls durch 2 teilbar. 36 geteilt durch 2 ist 18, also ist 18 der größte echte Teiler von 36. Und was ist 36 geteilt durch 3? Das ist 12. Also gibt es keine Zahlen zwischen 12 und 18 durch die 36 teilbar ist. So kriegt man durch die Teilbarkeitsregeln der einstelligen Zahlen auch die Teiler einer Zahl heraus, die größer als 10 sind. Für alle zweistelligen Zahlen ist diese Methode zuverlässig. Aber zurück zu Kornelius mysteriösen Hinweis überprüfen wir doch mal seine Vermutung, dass die markierten Zahlen Primzahlen sind. Schauen wir uns die eins an. Da sie nur sich selbst als Teiler hat, also nur einen Teiler besitzt, ist sie keine Primzahl. Wir können also mit zwei fortfahren. Dies ist einfach zu überprüfen: Da jede Zahl durch eins teilbar ist und zwei natürlich durch sich selbst teilbar ist, ist sie die kleinste Primzahl, die es gibt. Durch eine andere Zahl kann Zwei nämlich nicht teilbar sein. Schauen wir uns doch einmal eine der größeren markierten Zahlen an. Ist 23 tatsächlich eine Primzahl? Also durch zwei ist sie auf keinen Fall teilbar, da 23 eine ungerade Zahl ist. Das bedeutet aber auch, dass der größte mögliche echte Teiler der 23 kleiner sein muss als die Hälfte von 23. 12 ist schon größer als die Hälfte und deshalb sind alle Zahlen, die größer oder gleich 12 sind, keine echten Teiler von 23. Auch die 11 ist kein Teiler der 23, denn 2 mal 11 sind 22. Da 23 weder auf fünf, noch auf Null endet, ist sie auch nicht durch fünf oder zehn teilbar. Berechnen wir die Quersumme von 23, also 2 plus 3 ist gleich 5, so erkennen wir, dass 23 auch nicht durch drei oder neun teilbar ist. Da 23 weder durch 2, noch durch 3 teilbar ist, ist sie auch nicht durch 6 teilbar. Durch vier, sieben und acht ist 23 ebenfalls nicht teilbar, da sie weder Teil der Vierer, noch Teil der Siebener- oder Achterreihe ist. 23 besitzt also die Teiler 1 und 23, also nur sich selbst und eins. Also ist die 23 eine Primzahl. Sieht ganz so aus, als wäre Kornelius auf der richtigen Fährte und der Lösung auf der Spur. Aber wie sieht es denn bei einer großen Zahl wie der 6217 aus? Da müsste man aber lange rechnen. Zur Überprüfung, ob dies eine Primzahl ist, gibt es spezielle Computerprogramme. Diese rechnen alle möglichen Teiler einer Zahl einmal durch. Es ist nämlich so, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und daher auch sehr große. Fassen wir zusammen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: die Zahl eins und sich selbst. Dies kann man mithilfe der Teilbarkeitsregeln für alle zweistelligen Zahlen überprüfen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, wurden spezielle Computerprogramme zur Überprüfung entwickelt. Kornelius Ermittlungen haben ihn zu einem neuen Hinweis geführt. Eine neue Zahlenliste. Dieser Fall kann ja wirklich unendlich lange dauern.
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