Primzahlen – Einführung
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Grundlagen zum Thema Primzahlen – Einführung
Was sind Primzahlen?
Hast du schon einmal von Primzahlen gehört? Das sind ganz besondere Zahlen, die in der Mathematik, aber auch in anderen Bereichen, eine wichtige Rolle spielen. Primzahlen werden zum Beispiel von Geheimagenten genutzt, um Nachrichten zu verschlüsseln. Aber was macht Primzahlen so besonders?
Primzahlen – Definition
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist. Sie hat also genau zwei Teiler und nur die $1$ als echten Teiler. Als echte Teiler einer Zahl bezeichnet man alle Teiler, die kleiner als diese Zahl selbst sind. Zwischen den Zahlen $1$ und $20$ gibt es genau $8$ Primzahlen. Du findest sie in der folgenden Liste:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 \text{ und } 19 $
Aber wie genau kann man Primzahlen erkennen? Dazu musst du überprüfen, ob die Zahl andere Teiler als die $1$ und sich selbst hat. Dazu solltest du dir die Teilbarkeitsregeln in Erinnerung rufen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Die erste Primzahl in unserer Liste ist die $2$. Hier müssen wir noch nicht viel rechnen, denn die $2$ ist natürlich durch sich selbst teilbar und die $1$ ist die einzige kleinere Zahl. Die $2$ ist deswegen auch die kleinste Primzahl.
Die $3$ ist eine ungerade Zahl, deswegen ist sie nicht durch $2$ teilbar. Sie ist also nur durch sich selbst und $1$ teilbar, also ist sie eine Primzahl.
Wir betrachten ein etwas schwierigeres Beispiel und überprüfen die $17$. Die $17$ ist eine ungerade Zahl, deswegen ist sie nicht durch $2$ teilbar. Wenn es andere echte Teiler geben würde, müssten sie kleiner als die Hälfte von $17$ sein. Verdoppelt man die $9$, erhält man $18$ – das ist also schon größer als die Hälfte. Wir müssen also die Zahlen $3,4,5,6,7 \text{ und }8$ überprüfen. Die Quersumme von $17$, also die Summe ihrer Ziffern,
Wie viele Primzahlen gibt es?
Je größer eine Zahl wird, desto schwieriger wird es, zu überprüfen, ob sie ein Primzahl ist. Es gibt mittlerweile aber bestimmte Formeln und Programme, mit denen Computer immer neue Primzahlen finden. Allerdings brauchen auch die schnellsten Computer dafür sehr viel Zeit und alle Primzahlen können sie gar nicht finden, denn es gibt unendlich viele. Schon der griechische Mathematiker Euklid konnte vor über 2.000 Jahren mit einem mathematischen Beweis die Unendlichkeit der Primzahlen zeigen.
Kurze Zusammenfassung zum Video Primzahlen - Einführung
In diesem Video werden dir Primzahlen einfach erklärt. Dir werden einige Beispiele gezeigt, wie man Primzahlen erkennen kann. Dazu solltest du schon die Teilbarkeitsregeln gelernt haben. Es gibt auch zum Thema Primzahlen Übungen und ein Arbeitsblatt.
Transkript Primzahlen – Einführung
Das ist also der ominöse Hinweis. Keiner seiner Kollegen konnte diesen Fall lösen, aber Kommissar Kornelius ist nicht umsonst der beste Detektiv aller Zeiten! Aber was bedeuten all diese Zahlen auf dem Zettel? Warum sind manche markiert und manche nicht? Wenn ihn sein Gefühl nicht trügt, handelt es sich bei diesen Zahlen tatsächlich um ganz besondere Zahlen – Primzahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: eins und sich selbst. Dabei muss 1 der größte echte Teiler der Zahl sein. Ein echter Teiler ist ein Teiler, der kleiner als die Zahl selbst ist. Die Teilbarkeitsregeln helfen dir dabei, Primzahlen zu erkennen. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn es eine gerade Zahl ist, die letzte Ziffer also 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Durch 5 ist eine Zahl teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Durch 10 ist eine Zahl teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern, durch 3 teilbar ist. Ist die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Bei allen anderen Zahlen muss man die jeweilige Multiplikationsreihe betrachten. Der größte echte Teiler einer Zahl ist übrigens maximal so groß, wie die Hälfte der Zahl. Dies sehen wir zum Beispiel an den Zahlen 12 und 36. 12 ist eine gerade Zahl, also durch 2 teilbar. 12 geteilt durch 2 ist 6, also ist 6 auch ein Teiler von 12. Teilt man 12 durch 6, kommt man auf 2. Nun kann 12 unmöglich durch eine Zahl echt teilbar sein, die größer als 6 ist. Würde man 12 durch so eine Zahl teilen, käme nämlich ein Ergebnis heraus, das kleiner ist als 2. Betrachten wir nun die 36. Sie ist ebenfalls durch 2 teilbar. 36 geteilt durch 2 ist 18, also ist 18 der größte echte Teiler von 36. Und was ist 36 geteilt durch 3? Das ist 12. Also gibt es keine Zahlen zwischen 12 und 18 durch die 36 teilbar ist. So kriegt man durch die Teilbarkeitsregeln der einstelligen Zahlen auch die Teiler einer Zahl heraus, die größer als 10 sind. Für alle zweistelligen Zahlen ist diese Methode zuverlässig. Aber zurück zu Kornelius mysteriösen Hinweis überprüfen wir doch mal seine Vermutung, dass die markierten Zahlen Primzahlen sind. Schauen wir uns die eins an. Da sie nur sich selbst als Teiler hat, also nur einen Teiler besitzt, ist sie keine Primzahl. Wir können also mit zwei fortfahren. Dies ist einfach zu überprüfen: Da jede Zahl durch eins teilbar ist und zwei natürlich durch sich selbst teilbar ist, ist sie die kleinste Primzahl, die es gibt. Durch eine andere Zahl kann Zwei nämlich nicht teilbar sein. Schauen wir uns doch einmal eine der größeren markierten Zahlen an. Ist 23 tatsächlich eine Primzahl? Also durch zwei ist sie auf keinen Fall teilbar, da 23 eine ungerade Zahl ist. Das bedeutet aber auch, dass der größte mögliche echte Teiler der 23 kleiner sein muss als die Hälfte von 23. 12 ist schon größer als die Hälfte und deshalb sind alle Zahlen, die größer oder gleich 12 sind, keine echten Teiler von 23. Auch die 11 ist kein Teiler der 23, denn 2 mal 11 sind 22. Da 23 weder auf fünf, noch auf Null endet, ist sie auch nicht durch fünf oder zehn teilbar. Berechnen wir die Quersumme von 23, also 2 plus 3 ist gleich 5, so erkennen wir, dass 23 auch nicht durch drei oder neun teilbar ist. Da 23 weder durch 2, noch durch 3 teilbar ist, ist sie auch nicht durch 6 teilbar. Durch vier, sieben und acht ist 23 ebenfalls nicht teilbar, da sie weder Teil der Vierer, noch Teil der Siebener- oder Achterreihe ist. 23 besitzt also die Teiler 1 und 23, also nur sich selbst und eins. Also ist die 23 eine Primzahl. Sieht ganz so aus, als wäre Kornelius auf der richtigen Fährte und der Lösung auf der Spur. Aber wie sieht es denn bei einer großen Zahl wie der 6217 aus? Da müsste man aber lange rechnen. Zur Überprüfung, ob dies eine Primzahl ist, gibt es spezielle Computerprogramme. Diese rechnen alle möglichen Teiler einer Zahl einmal durch. Es ist nämlich so, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und daher auch sehr große. Fassen wir zusammen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: die Zahl eins und sich selbst. Dies kann man mithilfe der Teilbarkeitsregeln für alle zweistelligen Zahlen überprüfen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, wurden spezielle Computerprogramme zur Überprüfung entwickelt. Kornelius Ermittlungen haben ihn zu einem neuen Hinweis geführt. Eine neue Zahlenliste. Dieser Fall kann ja wirklich unendlich lange dauern.
Primzahlen – Einführung Übung
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Ergänze die Eigenschaften von Primzahlen.
Tipps$1$ ist keine Primzahl.
Gerade Zahlen sind durch $2$ teilbar, ungerade nicht.
Ob eine Zahl durch $5$ oder $10$ teilbar ist, erkennst du an der letzten Ziffer.
LösungDer Meisterdetektiv Cornelius hat folgende Antworten gefunden:
- Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat. Sie ist nur durch $1$ und durch sich selbst teilbar. Um zu überprüfen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist, berechnet Cornelius ihre Teiler.
- Als Teiler muss er nur diejenigen natürlichen Zahlen testen, die nicht größer sind als die Hälfte der Zahl.
- Für die Zahl $23$ kommen hier nur die natürlichen Zahlen von $2$ bis $11$ in Betracht, denn die Zahl $12$ ist die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als die Hälfte von $23$.
- An ihrer letzten Ziffer erkennt Cornelius, dass $23$ keine gerade Zahl ist. Daher ist sie nicht durch $2$ teilbar.
- Cornelius überlegt sich: Eine Zahl, die nicht durch $2$ teilbar ist, kann auch durch keine Zahl teilbar sein, die $2$ als Teiler enthält. Daher ist $23$ auch nicht durch $4$, $6$, $8$ und $10$ teilbar.
- Wäre $23$ durch $5$ teilbar, so müsste ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ sein.
- Cornelius erkennt: $23$ ist nicht durch $3$ und nicht durch $9$ teilbar, denn ihre Quersumme ist $5$ und daher nicht durch $9$ teilbar.
- Nun sind nur noch die möglichen Teiler $7$ und $11$ übrig. Durch beide ist $23$ nicht teilbar.
- Daher ist $23$ eine Primzahl.
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Definiere Primzahlen.
TippsEin echter Teiler einer Zahl ist ein Teiler, der kleiner als die Zahl ist.
Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn sie durch $2$ und durch $5$ teilbar ist.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Eine Primzahl besitzt genau zwei Teiler.“ Diese Teiler sind $1$ und die Zahl selbst und diese beiden Teiler sind verschieden.
- „Der größte echte Teiler einer Zahl ist nicht größer als die Hälfte der Zahl.“ Wäre der Teiler größer als die Hälfte der Zahl, so wäre der Quotient größer als $1$ und kleiner als $2$. Eine solche natürliche Zahl gibt es aber nicht.
- „Hat eine Zahl mehr als zwei Teiler, so ist sie keine Primzahl.“ Denn Primzahlen besitzen laut Definition genau zwei Teiler.
- „An der letzten Ziffer einer Zahl kann man ablesen, ob die Zahl durch $10$ teilbar ist.“ Die Teilbarkeitsregel besagt: Eine Zahl ist genau dann durch $10$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist.
- „Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn $1$ der größte Teiler der Zahl ist.“ Richtig ist die Aussage für den größten echten Teiler. Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, obwohl $1$ ihr größter Teiler ist.
- „Die kleinste Primzahl ist $1$.“ $1$ ist keine Primzahl und somit auch nicht die kleinste Primzahl. Diese Rolle gebührt der $2$, die zudem noch die einzige gerade Primzahl ist.
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Bestimme einen Teiler.
TippsPrüfe als Teiler einer Zahl nur Zahlen, die nicht größer als die Hälfte der Zahl sind.
Dividiere eine Zahl durch bekannte Teiler, um weitere Teiler zu finden.
Der größte echte Teiler muss keine Primzahl sein.
LösungBei der Suche der Teiler kannst du eine Zahl durch bekannte Teiler dividieren. Teilst du z. B. die gerade Zahl $46$ durch $2$, so erhältst du den Teiler $23$. Auf diese Weise findest du folgende Teiler:
- $46$ hat den Teiler $23$, da $46=2 \cdot 23$. Da es keinen Teiler gibt, der größer ist als die Hälfte von $46$, ist $23$ der größte echte Teiler.
- $38$ ist gerade und es gilt $38:2 = 19$. Daher ist $19$ ein Teiler von $38$. Wie zuvor ist $19$ die Hälfte und somit der größte echte Teiler.
- Die Quersumme von $39$ ist $3$, also ist $39$ durch $3$ teilbar und $39:3 = 13$. Es gibt keine weiteren Teiler, da $3$ und $13$ bereits Primzahlen sind. Daher ist $13$ der größte echte Teiler.
- Die Hälfte von $49$ liegt zwischen $24$ und $25$, weshalb theoretisch $24$ die höchste Zahl ist, die als größter echter Teiler in Frage kommt.
Nach der Anwendung der bekannten Teilbarkeitsregeln, sind $24$, $22$, $21$, $20$, $18$, $16$, $15$, $14$, $12$, $10$, $9$, $8$, $6$, $5$, $4$, $3$, $2$ keine Kandidaten mehr.
Zu überprüfen bleiben:
$23$: Ist kein Teiler, da $23 \cdot 2 = 46$ und $23 \cdot 3 = 69$.
$19$: Ist kein Teiler, da $19 \cdot 2 = 38$ und $19 \cdot 3 = 57$.
$17$: Ist kein Teiler, da $17 \cdot 2 = 34$ und $17 \cdot 3 = 51$.
$13$: Ist kein Teiler, da $13 \cdot 2 = 26$, $13 \cdot 3 = 39$ und $13 \cdot 4 = 52$.
$11$: Ist kein Teiler, da $11 \cdot 4 = 44$ und $11 \cdot 5 = 55$.
$7$: Ist der gesuchte Teiler! $7 \cdot 7 = 49$.
Oder: $49$ kommt in der $7$er-Reihe vor: $49 = 7 \cdot 7$. Daher ist $7$ der größte echte Teiler von $49$.
- $63$ kommt ebenfalls in der $7$er-Reihe vor: $63 = 9 \cdot 7$. Die Zahl $7$ ist eine Primzahl, aber $9 = 3 \cdot 3$. Wir erhalten also $63 = 7 \cdot 3 \cdot 3$. Dann ist $7 \cdot 3 = 21$ der größte echte Teiler von $63$.
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Prüfe die Aussagen.
TippsIst eine Zahl nicht durch $5$ teilbar, so kann sie auch nicht durch $10$ teilbar sein.
Teilbarkeit durch $2$ kannst du an der letzten Ziffer einer Zahl ablesen.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch $2$ und die Quersumme durch $3$ teilbar ist.“ Denn Teilbarkeit durch $6$ ist dasselbe wie Teilbarkeit durch $2$ und durch $3$. Teilbarkeit durch $2$ erkennst du an der letzten Ziffer, Teilbarkeit durch $3$ an der Quersumme.
- „Es gibt genau eine gerade Primzahl.“ Diese ist $2$. Jede andere gerade Zahl ist größer als $2$ und somit durch $2$ teilbar und enthält einen weiteren Teiler. Daher ist sie keine Primzahl.
- „Ist die Quersumme einer Zahl nicht durch $3$ teilbar, so ist die Zahl selbst nicht durch $9$ teilbar.“ Denn Teilbarkeit durch $9$ setzt Teilbarkeit durch $3$ voraus.
- „Ist eine Zahl nicht durch $8$ teilbar, so ist sie auch nicht durch $4$ teilbar, denn Teilbarkeit durch $8$ impliziert Teilbarkeit durch $4$, da $4$ ein Teiler von $8$ ist.“ Die Zahl $20$ ist nicht durch $8$ teilbar, wohl aber durch $4$. Das Argument in dem Satz ist verkehrt: Teilbarkeit durch $8$ impliziert Teilbarkeit durch $4$, aber für die Nicht-Teilbarkeit vertauscht sich die Rolle von $4$ und $8$: Ist eine Zahl nicht durch $4$ teilbar, so ist sie auch nicht durch $8$ teilbar.
- „Jede Primzahl ist ungerade.“ $2$ ist eine Primzahl und gerade. Dies ist aber die einzige gerade Primzahl.
- „Der größte echte Teiler einer Zahl ist nicht kleiner als $2$.“ Jede Zahl ist durch $1$ teilbar. Für alle Zahlen außer $1$ ist $1$ ein echter Teiler und natürlich ist $1$ kleiner als $2$.
- „Die größte Primzahl hat alle anderen Primzahlen als Teiler.“ Eine größte Primzahl gibt es nicht. Das spielt aber für die Aussage keine Rolle. Hat eine Zahl andere Zahlen als Teiler, so ist sie selbst keine Primzahl.
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Fasse die Teilbarkeitsregeln zusammen.
TippsUngerade Zahlen sind nicht durch $2$ teilbar.
Die Teilbarkeit durch $3$ oder $9$ kannst du an der Quersumme ablesen.
Die Quersumme von $75$ ist $7+5=12$. Überprüfe, ob $75$ durch $6$ teilbar ist.
LösungDie Teilbarkeitsregeln sind Hilfen, mit denen du rasch die Teiler einer Zahl bestimmen kannst. Du kennst verschiedene Arten von Teilbarkeitsregeln: Bei manchen achtest du auf die Quersumme, bei anderen auf die letzte Ziffer oder die letzten beiden Ziffern. Hier sind folgende vollständige Teilbarkeitsregeln gefragt:
- Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, ... wenn sie gerade ist.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, ... wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, ... wenn ihre letzte Ziffer $5$ oder $0$ ist.
- Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, ... wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, ... wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist.
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Bestimme alle Primteiler.
TippsTeile eine Zahl durch ihre bekannten Teiler. Teile den Teiler und den Quotienten weiter, bis nur noch Primzahlen übrig sind.
LösungBei der Primfaktorzerlegung schreibst du nur Primzahlen als Teiler auf. Kommt eine Primzahl mehrmals als Teiler vor, so schreibst du sie auch mehrfach auf. Am einfachsten beginnst du mit kleinen Primzahlen als Teilern. Dann führst du die Division durch und prüfst den Quotienten wieder auf Teilbarkeit. Auf diese Weise erhältst du folgende Primfaktorzerlegungen:
- $69 = 3 \cdot 23$
- $114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$
- $93 = 3 \cdot 31$
- $132 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$
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