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Primzahlen – Einführung

Primzahlen sind besondere natürliche Zahlen, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind. Sie sind die Grundbausteine der Mathematik und haben praktische Anwendungen, wie bei der Verschlüsselung von Daten. Lerne Primzahlen zu erkennen und finde weitere Informationen dazu! Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text.

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Team Digital
Primzahlen – Einführung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Primzahlen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Primzahlen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Eigenschaften von Primzahlen.

    Tipps

    $1$ ist keine Primzahl.

    Gerade Zahlen sind durch $2$ teilbar, ungerade nicht.

    Ob eine Zahl durch $5$ oder $10$ teilbar ist, erkennst du an der letzten Ziffer.

    Lösung

    Der Meisterdetektiv Cornelius hat folgende Antworten gefunden:

    • Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat. Sie ist nur durch $1$ und durch sich selbst teilbar. Um zu überprüfen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist, berechnet Cornelius ihre Teiler.
    • Als Teiler muss er nur diejenigen natürlichen Zahlen testen, die nicht größer sind als die Hälfte der Zahl.
    • Für die Zahl $23$ kommen hier nur die natürlichen Zahlen von $2$ bis $11$ in Betracht, denn die Zahl $12$ ist die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als die Hälfte von $23$.
    • An ihrer letzten Ziffer erkennt Cornelius, dass $23$ keine gerade Zahl ist. Daher ist sie nicht durch $2$ teilbar.
    • Cornelius überlegt sich: Eine Zahl, die nicht durch $2$ teilbar ist, kann auch durch keine Zahl teilbar sein, die $2$ als Teiler enthält. Daher ist $23$ auch nicht durch $4$, $6$, $8$ und $10$ teilbar.
    • Wäre $23$ durch $5$ teilbar, so müsste ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ sein.
    • Cornelius erkennt: $23$ ist nicht durch $3$ und nicht durch $9$ teilbar, denn ihre Quersumme ist $5$ und daher nicht durch $9$ teilbar.
    • Nun sind nur noch die möglichen Teiler $7$ und $11$ übrig. Durch beide ist $23$ nicht teilbar.
    • Daher ist $23$ eine Primzahl.
  • Definiere Primzahlen.

    Tipps

    Ein echter Teiler einer Zahl ist ein Teiler, der kleiner als die Zahl ist.

    Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn sie durch $2$ und durch $5$ teilbar ist.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Eine Primzahl besitzt genau zwei Teiler.“ Diese Teiler sind $1$ und die Zahl selbst und diese beiden Teiler sind verschieden.
    • „Der größte echte Teiler einer Zahl ist nicht größer als die Hälfte der Zahl.“ Wäre der Teiler größer als die Hälfte der Zahl, so wäre der Quotient größer als $1$ und kleiner als $2$. Eine solche natürliche Zahl gibt es aber nicht.
    • „Hat eine Zahl mehr als zwei Teiler, so ist sie keine Primzahl.“ Denn Primzahlen besitzen laut Definition genau zwei Teiler.
    • „An der letzten Ziffer einer Zahl kann man ablesen, ob die Zahl durch $10$ teilbar ist.“ Die Teilbarkeitsregel besagt: Eine Zahl ist genau dann durch $10$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn $1$ der größte Teiler der Zahl ist.“ Richtig ist die Aussage für den größten echten Teiler. Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, obwohl $1$ ihr größter Teiler ist.
    • „Die kleinste Primzahl ist $1$.“ $1$ ist keine Primzahl und somit auch nicht die kleinste Primzahl. Diese Rolle gebührt der $2$, die zudem noch die einzige gerade Primzahl ist.
  • Bestimme einen Teiler.

    Tipps

    Prüfe als Teiler einer Zahl nur Zahlen, die nicht größer als die Hälfte der Zahl sind.

    Dividiere eine Zahl durch bekannte Teiler, um weitere Teiler zu finden.

    Der größte echte Teiler muss keine Primzahl sein.

    Lösung

    Bei der Suche der Teiler kannst du eine Zahl durch bekannte Teiler dividieren. Teilst du z. B. die gerade Zahl $46$ durch $2$, so erhältst du den Teiler $23$. Auf diese Weise findest du folgende Teiler:

    • $46$ hat den Teiler $23$, da $46=2 \cdot 23$. Da es keinen Teiler gibt, der größer ist als die Hälfte von $46$, ist $23$ der größte echte Teiler.
    • $38$ ist gerade und es gilt $38:2 = 19$. Daher ist $19$ ein Teiler von $38$. Wie zuvor ist $19$ die Hälfte und somit der größte echte Teiler.
    • Die Quersumme von $39$ ist $3$, also ist $39$ durch $3$ teilbar und $39:3 = 13$. Es gibt keine weiteren Teiler, da $3$ und $13$ bereits Primzahlen sind. Daher ist $13$ der größte echte Teiler.
    • Die Hälfte von $49$ liegt zwischen $24$ und $25$, weshalb theoretisch $24$ die höchste Zahl ist, die als größter echter Teiler in Frage kommt.
    Da jedoch $49$ ungerade ist, ist $2$ kein Teiler und somit kommt keine gerade Zahl als größter echter Teiler in Frage. Die Quersumme von $49$ ist $13$, was kein Teiler von $3$ und damit auch nicht von $9$ ist. Somit fallen auch alle Zahlen raus, die in der $3$-Reihe enthalten sind. $49$ hat als letzte Ziffer weder die $5$ noch die $0$, weswegen $5$ auch kein Teiler ist.

    Nach der Anwendung der bekannten Teilbarkeitsregeln, sind $24$, $22$, $21$, $20$, $18$, $16$, $15$, $14$, $12$, $10$, $9$, $8$, $6$, $5$, $4$, $3$, $2$ keine Kandidaten mehr.

    Zu überprüfen bleiben:

    $23$: Ist kein Teiler, da $23 \cdot 2 = 46$ und $23 \cdot 3 = 69$.

    $19$: Ist kein Teiler, da $19 \cdot 2 = 38$ und $19 \cdot 3 = 57$.

    $17$: Ist kein Teiler, da $17 \cdot 2 = 34$ und $17 \cdot 3 = 51$.

    $13$: Ist kein Teiler, da $13 \cdot 2 = 26$, $13 \cdot 3 = 39$ und $13 \cdot 4 = 52$.

    $11$: Ist kein Teiler, da $11 \cdot 4 = 44$ und $11 \cdot 5 = 55$.

    $7$: Ist der gesuchte Teiler! $7 \cdot 7 = 49$.

    Oder: $49$ kommt in der $7$er-Reihe vor: $49 = 7 \cdot 7$. Daher ist $7$ der größte echte Teiler von $49$.

    • $63$ kommt ebenfalls in der $7$er-Reihe vor: $63 = 9 \cdot 7$. Die Zahl $7$ ist eine Primzahl, aber $9 = 3 \cdot 3$. Wir erhalten also $63 = 7 \cdot 3 \cdot 3$. Dann ist $7 \cdot 3 = 21$ der größte echte Teiler von $63$.
  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Ist eine Zahl nicht durch $5$ teilbar, so kann sie auch nicht durch $10$ teilbar sein.

    Teilbarkeit durch $2$ kannst du an der letzten Ziffer einer Zahl ablesen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch $2$ und die Quersumme durch $3$ teilbar ist.“ Denn Teilbarkeit durch $6$ ist dasselbe wie Teilbarkeit durch $2$ und durch $3$. Teilbarkeit durch $2$ erkennst du an der letzten Ziffer, Teilbarkeit durch $3$ an der Quersumme.
    • „Es gibt genau eine gerade Primzahl.“ Diese ist $2$. Jede andere gerade Zahl ist größer als $2$ und somit durch $2$ teilbar und enthält einen weiteren Teiler. Daher ist sie keine Primzahl.
    • „Ist die Quersumme einer Zahl nicht durch $3$ teilbar, so ist die Zahl selbst nicht durch $9$ teilbar.“ Denn Teilbarkeit durch $9$ setzt Teilbarkeit durch $3$ voraus.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Ist eine Zahl nicht durch $8$ teilbar, so ist sie auch nicht durch $4$ teilbar, denn Teilbarkeit durch $8$ impliziert Teilbarkeit durch $4$, da $4$ ein Teiler von $8$ ist.“ Die Zahl $20$ ist nicht durch $8$ teilbar, wohl aber durch $4$. Das Argument in dem Satz ist verkehrt: Teilbarkeit durch $8$ impliziert Teilbarkeit durch $4$, aber für die Nicht-Teilbarkeit vertauscht sich die Rolle von $4$ und $8$: Ist eine Zahl nicht durch $4$ teilbar, so ist sie auch nicht durch $8$ teilbar.
    • „Jede Primzahl ist ungerade.“ $2$ ist eine Primzahl und gerade. Dies ist aber die einzige gerade Primzahl.
    • „Der größte echte Teiler einer Zahl ist nicht kleiner als $2$.“ Jede Zahl ist durch $1$ teilbar. Für alle Zahlen außer $1$ ist $1$ ein echter Teiler und natürlich ist $1$ kleiner als $2$.
    • „Die größte Primzahl hat alle anderen Primzahlen als Teiler.“ Eine größte Primzahl gibt es nicht. Das spielt aber für die Aussage keine Rolle. Hat eine Zahl andere Zahlen als Teiler, so ist sie selbst keine Primzahl.
  • Fasse die Teilbarkeitsregeln zusammen.

    Tipps

    Ungerade Zahlen sind nicht durch $2$ teilbar.

    Die Teilbarkeit durch $3$ oder $9$ kannst du an der Quersumme ablesen.

    Die Quersumme von $75$ ist $7+5=12$. Überprüfe, ob $75$ durch $6$ teilbar ist.

    Lösung

    Die Teilbarkeitsregeln sind Hilfen, mit denen du rasch die Teiler einer Zahl bestimmen kannst. Du kennst verschiedene Arten von Teilbarkeitsregeln: Bei manchen achtest du auf die Quersumme, bei anderen auf die letzte Ziffer oder die letzten beiden Ziffern. Hier sind folgende vollständige Teilbarkeitsregeln gefragt:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, ... wenn sie gerade ist.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, ... wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, ... wenn ihre letzte Ziffer $5$ oder $0$ ist.
    • Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, ... wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.
    • Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, ... wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist.
  • Bestimme alle Primteiler.

    Tipps

    Teile eine Zahl durch ihre bekannten Teiler. Teile den Teiler und den Quotienten weiter, bis nur noch Primzahlen übrig sind.

    Lösung

    Bei der Primfaktorzerlegung schreibst du nur Primzahlen als Teiler auf. Kommt eine Primzahl mehrmals als Teiler vor, so schreibst du sie auch mehrfach auf. Am einfachsten beginnst du mit kleinen Primzahlen als Teilern. Dann führst du die Division durch und prüfst den Quotienten wieder auf Teilbarkeit. Auf diese Weise erhältst du folgende Primfaktorzerlegungen:

    • $69 = 3 \cdot 23$
    • $114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$
    • $93 = 3 \cdot 31$
    • $132 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$