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Was ist eine Gleichung?

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Die Autor*innen
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Team Digital
Was ist eine Gleichung?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Was ist eine Gleichung?

Inhalt

Was ist eine Gleichung in der Mathematik?

Hast du schon einmal eine Balkenwaage gesehen? Damit wurden früher alle möglichen Dinge abgewogen, wie zum Beispiel Mehl in einem Einkaufsladen. Dazu wird die Waage auf einer Seite mit einem Gewicht beschwert, auf die andere Seite kommt das Produkt, das gewogen werden soll, zum Beispiel Mehl. Wenn das Mehl genauso viel wiegt wie das Gegengewicht auf der anderen Seite, dann ist die Waage im Gleichgewicht. Solange die Waage im Ungleichgewicht ist, ist nicht das richtige Gewicht erreicht: Das Produkt ist nicht genauso schwer wie das Gegengewicht.

Du fragst dich, was das mit Gleichungen in der Mathematik zu tun hat? Dann bist du hier genau richtig. Im Folgenden wird dir die Antwort auf die Frage „Was ist eine Gleichung?“ einfach erklärt.

Was ist eine Gleichung? – Erklärung

Es ist dir vielleicht gar nicht bewusst, aber Gleichungen kennst du schon seit der Grundschule. Betrachten wir zum Beispiel die nächste Zeile:

$3 + 2 = 5$

Das ist eine Gleichung. Eine Gleichung verbindet immer zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander:

$\underbrace{3+2}_{\text{Term } 1} ~= \underbrace{5}_{\text{Term } 2}$

Das Gleichheitszeichen zeigt an, dass beide Terme gleichwertig sind. Erinnerst du dich an die Balkenwaage? Mithilfe der Waage können wir uns Gleichungen gut bildlich vorstellen. Stellen wir uns vor, die Zahlen stehen für die Anzahl an Zuckerpackungen.

Was ist eine Gleichung?

Auf der linken Seite der Waage stehen $3 + 2$ Zuckertüten und auf der rechten Seite stehen $5$ Zuckertüten. Dann ist die Waage im Gleichgewicht. Die Gleichung ist also wahr. Eine Gleichung kann aber auch falsch sein. Schauen wir uns dieses Beispiel an:

$6 + 5 = 13$

Diese Gleichung ist falsch, denn $6+5$ und $13$ sind nicht gleichwertig. Das können wir uns auch mithilfe der Balkenwaage vorstellen.

Was ist eine Gleichung Beispiele

Wenn wir auf die eine Seite der Waage $6+5$ Obstkonserven stellen und auf die andere Seite $13$ Obstkonserven, ist die Waage nicht im Gleichgewicht.

Wir können also zwischen wahren und falschen Gleichungen unterscheiden.

Gleichungen mit Variablen

Es gibt auch Gleichungen, die Variablen enthalten. Variablen sind Buchstaben, zum Beispiel ein $x$, für die Zahlen eingesetzt werden können. Auch dazu schauen wir uns ein Beispiel an:

$4 + x = 7$

Auch hier können wir uns eine Waage vorstellen, um die Gleichung besser zu verstehen.

Gleichung mit einer Variablen

Auf der rechten Seite liegen $7$ Packungen Mehl. Auf der linken Seite liegen $4$ Packungen Mehl und eine Tüte. Die Tüte steht für die Variable: Wir können die Tüte mit Mehlpackungen befüllen. Füllen wir die Tüte mit nur einer Packung Mehl, ist die Waage im Ungleichgewicht und bleibt nach rechts geneigt. Füllen wir die Tüte mit $5$ Packungen Mehl, kippt sie zur anderen Seite. Nur wenn wir genau $3$ Packungen Mehl in die Tüte packen, ist die Waage im Gleichgewicht. Also ist $3$ die Lösung für unsere Gleichung:

$x = 3$

$4+ 3 = 7$

Was ist eine Gleichung? – Zusammenfassung

Hier findest du die wichtigsten Punkte noch einmal zusammengefasst:

  • Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen.
  • Sind die beiden Terme gleichwertig, ist die Gleichung wahr.
  • Sind die beiden Terme nicht gleichwertig, ist die Gleichung falsch.
  • Enthält eine Gleichung eine Variable, kann sie wahr oder falsch sein. Ob sie wahr oder falsch ist, hängt davon ab, welcher Wert für die Variable eingesetzt wird.

Transkript Was ist eine Gleichung?

Greta ist von ihrer Oma zum Einkaufen geschickt worden. Der Laden hier ist echt altmodisch, Greta fühlt sich wie in den Fünfzigern. Muss sie jetzt echt das Mehl auf dieser WAAGE wiegen? Wie funktioniert das nochmal? Und was haben Gleichungen damit zu tun? Um das zu klären, müssen wir zunächst eine noch wichtigere Frage beantworten: „Was ist eine Gleichung?“ Gleichungen kennst du bereits seit der Grundschule. Zum Beispiel „drei plus zwei gleich fünf.“ Ohne Witz, DAS ist schon eine Gleichung! Eine Gleichung verbindet immer zwei Terme durch ein GLEICHHEITSZEICHEN. Wir haben also einen TERM auf der linken Seite und einen TERM auf der rechten Seite der Gleichung. Ein Term kann nur eine Zahl oder auch mehrere Zahlen enthalten. Setzt sich ein Term aus mehreren Zahlen zusammen, so werden diese durch Rechenzeichen und manchmal auch durch Klammern sinnvoll miteinander verknüpft. Außerdem können in einem Term VARIABLEN vorkommen, aber dazu kommen wir gleich. Zunächst einmal können wir festhalten, dass die Gleichung, die wir hier sehen, WAHR ist. Das können wir uns auch mit Hilfe der Waage veranschaulichen: Wenn Greta auf die eine Seite der Waage einmal drei und nochmal zwei Packungen Zucker legt und auf die andere Seite fünf Packungen dann ist die Waage im Gleichgewicht. In der Mathematik sprechen wir davon, dass beide Terme GLEICHWERTIG sind. Das gilt also auch für die Terme „drei plus fünf“ und „sieben plus eins“. Beide Terme haben, wenn wir sie berechnen, den Wert acht und sind somit gleichwertig. Die Waage ist im Gleichgewicht, unsere Gleichung ist wahr. Gleichungen müssen allerdings nicht immer wahr sein. Die Gleichung „sechs plus fünf gleich dreizehn“ stimmt NICHT. Dementsprechend ist in diesem Fall auch unsere Waage nicht im Gleichgewicht. Wir können also zwischen wahren Gleichungen und solchen die FALSCH beziehungsweise UNWAHR sind, unterscheiden. Alles klar, das ist ja einfach. War es das schon? Nicht ganz, denn jetzt kommen noch die VARIABLEN ins Spiel. Eine Gleichung kann dann zum Beispiel so aussehen: „Vier plus x gleich sieben.“ Jetzt können wir nicht direkt sagen, ob die Gleichung wahr oder falsch ist. Wir haben wieder zwei Terme, links und rechts vom Gleichheitszeichen. Ob diese auch GLEICHWERTIG sind, hängt aber von unserer Variablen x ab. Schauen wir uns das nochmal an der Waage an: Auf der rechten Seite der Waage haben wir sieben Packungen Mehl, auf der linken haben wir vier Packungen und eine Tüte, die für unsere Variable x steht. Legen wir nur eine Packung Mehl in die Tüte, bleibt die rechte Seite schwerer. Legen wir hingegen vier Packungen hinein, kippt die Waage in die andere Richtung. Um ein Gleichgewicht herzustellen, müssen genau DREI Packungen Mehl in die Tüte. Drei ist also die LÖSUNG für unsere Gleichung. In diesem Fall gibt es nur eine Lösung, da beide Terme nur dann gleichwertig sind, wenn wir eine drei für das x einsetzen. Wir werden es in Zukunft auch mit Gleichungen zu tun bekommen, die mehrere oder gar keine Lösung haben. Wie solche Gleichungen aussehen und vor allem wie wir sie LÖSEN können, klären wir aber ein andermal. Bis dahin solltet ihr Folgendes im Kopf behalten: Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Wir sprechen von der linken und rechten Seite der Gleichung. Sind beide Seiten der Gleichung GLEICHWERTIG, ist die Gleichung WAHR beziehungsweise ERFÜLLT. Ist dies nicht der Fall, wie zum Beispiel hier, so ist die Gleichung FALSCH. So richtig interessant wird es aber erst, wenn wir Gleichungen mit VARIABLEN betrachten. Ob eine Gleichung mit einer oder mehreren Variablen erfüllt ist, hängt dann von den konkreten Zahlenwerten ab, die wir für die Variablen einsetzen. Die Zahlenwerte, die wir einsetzen müssen, damit beide Terme gleichwertig sind, heißen LÖSUNGEN der Gleichung. Bei diesem Beispiel haben wir durch „x gleich fünf“ unsere Lösung gegeben. Endlich hat es Greta geschafft ihren Einkauf zu wiegen und kann bezahlen. Ob sie hier wohl mit Euro zahlen kann? Sieht so aus, als ob sie hier noch D-Mark nehmen würden. „up to date“.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. sehr cool gemacht😁👍

    Von Nils siuuuuuuuuuuuuuuuu, vor 11 Tagen
  2. 😃

    Von Adriano, vor etwa einem Monat
  3. Mega

    Von Adriano, vor etwa einem Monat
  4. Der Leser ist echt cool gerade bei Sekunde 0:35 xD

    Von Lennardt Nettelnstrot, vor 6 Monaten
  5. Cool

    Von Johanna Hoops, vor 6 Monaten
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Was ist eine Gleichung? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Gleichung? kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, woraus ein Term besteht.

    Tipps

    Beispiele für Terme sind...

    ${9}$

    ${3+5}$

    ${16-8}$

    Weitere Beispiele für Terme sind...

    ${2x}$

    ${a-4}$

    Lösung

    Alle Rechenausdrücke, die in Gleichungen vorkommen, können auch in Termen vorkommen. Setzt sich ein Term aus mehreren Zahlen zusammen, werden diese mit Rechenzeichen und manchmal mit Klammern sinnvoll verknüpft.

    Ein Term ist ein Rechenausdruck, der also aus Zahlen (zum Beispiel $2$ oder $5$), Rechenzeichen (zum Beispiel $+$ und $-$ ), Klammern und auch Variablen (zum Beispiel $a$ oder $x$) besteht.

    Beispiele für ein Terme sind:

    • ${5+7}$
    • ${x-3}$
    • $6$
  • Bestimme, ob es sich um eine wahre Gleichung handelt.

    Tipps

    Überprüfe, ob die Terme auf beiden Seiten der Gleichungen jeweils gleichwertig sind.

    ${5+6=11}$ ist eine wahre Gleichung.

    $16-x=12$ liefert für $x=5$ ist eine falsche Gleichung.

    Lösung

    Hier ist es wichtig, dass die Terme auf beiden Seiten der Gleichung gleichwertig sind. Dafür rechnest du sowohl die rechte als auch die linke Seite der Gleichung aus und überprüfst, ob sie den gleichen Wert annehmen. Wenn eine Variable in der Gleichung vorkommt, setzt du an die Stelle $x$ den für $x$ gegebenen Zahlenwert ein.

    Folgende Gleichungen sind wahr:

    ${3+2=5}$

    ${3+5=7+1}$

    ${4+x=7}\\{x=3}$

    ${2+4=2\cdot3}$

    Folgende Gleichungen sind nicht wahr

    ${6+5=13}$, denn ${11\neq 13}$.

    ${4+x=7}$ für ${x=4}$, denn ${8\neq 7}$.

    ${3+5=7}$, denn ${8\neq 7}$.

    ${x+5=10}$ für ${x=6}$, denn ${11\neq 10}$.

  • Ermittle die Lösungen der Gleichung.

    Tipps

    Überlege dir, welche Zahl du für die Variable einsetzen musst, damit die Gleichung eine wahre Aussage liefert.

    Zum Beipiel:

    ${15+y=22}$

    Für ${y=7}$ ist die Gleichung wahr.

    Lösung

    Achte darauf, dass die Lösungswerte und die Variablen zusammen passen.

    Die Gleichungen haben folgende Lösungen

    • Du setzt in die Gleichung ${72:{a}=9}$ für ${a=8}$ ein, dadurch entsteht mit ${72:8=9}$ eine wahre Aussage.
    • Du setzt in die Gleichung ${a+6=15}$ für ${a=9}$ ein, dadurch entsteht mit ${9+6=15}$ eine wahre Aussage.
    • Du setzt in die Gleichung ${18=a-7}$ für ${a=25}$ ein, dadurch entsteht mit ${18=25-7}$ eine wahre Aussage.
    • Du setzt in die Gleichung ${4\cdot{a}=16}$ für ${a=4}$ ein, dadurch entsteht mit ${4\cdot{4}=16}$ eine wahre Aussage.
  • Entscheide, ob die angegebene Lösung richtig ist.

    Tipps

    Setze den gegebenen Zahlenwert in die Gleichung ein und prüfe, ob eine wahre Aussage herauskommt.

    Zum Beispiel:

    ${2\cdot{x}+15=29}$ mit ${x=7}$

    Die Gleichung ist korrekt, da $2\cdot{7}+15=14+15={29}$.

    Lösung

    Folgende Rechnungen sind korrekt:

    ${3\cdot{x}+4=10}$ mit ${x=2}$, denn ${3\cdot2+4=6+4=10}$

    ${35y=135-30}$ mit ${y=3}$, denn ${35\cdot3=135-30=105}$

    Folgende Rechnungen sind nicht korrekt:

    Wenn man hier die Zahlenwerte in die Variable einsetzt, erhält man keine wahre Aussage.

    ${(18:{p})+3=12}$ mit $p=4$

    Die Gleichung ist wahr für ${p=2}$, denn ${(18:{2})+3=9+3=12}$.

    ${k-125=242}$ mit $k=117$

    Die Gleichung ist wahr für ${k=367}$, denn ${367-125=242}$.

  • Beschreibe, was eine Gleichung ist.

    Tipps

    Eine einfache Gleichung ohne Variable ist zum Beispiel ${4+7=11}$. Du kennst sie schon aus der Grundschule.

    Eine Gleichung mit Variable ist zum Beispiel $8+x=12$, wobei hier $x$ den Zahlenwert $4$ annimmt, damit die Gleichung wahr ist.

    Überlege dir, wie eine Gleichung aufgebaut ist. Sie besteht immer aus Termen und Rechenzeichen.

    Lösung

    Gleichungen in der Mathematik kann man mit einer Waage aus dem Einkaufsladen vergleichen. Es muss auf beiden Seiten immer das gleiche Gewicht sein, damit die Waage ausgeglichen ist. So ist es auch bei Gleichungen. Damit sie wahr sind, müssen die Terme auf beiden Seiten den gleichen Wert annehmen.

    Gleichungen ohne Variablen

    Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen.

    Zum Beispiel $3+2=5$

    Gleichungen mit Variablen

    Wenn eine Gleichung Variablen beinhaltet, kann sie keine, eine oder mehrere Lösungen haben. Die Zahlenwerte, für die die Gleichung wahr ist, nennt man Lösung der Gleichung.

  • Ermittle den $x$-Wert, für den die Gleichung richtig ist.

    Tipps

    Setze die Werte für $x$ in die jeweilige Gleichung ein und überprüfe, für welchen Wert auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche herauskommt.

    Zum Beispiel: ${16+x=24}$ für ${x=8}$

    Rechnung: ${16+8=24}$

    Lösung

    Überprüfe, welcher $x$-Wert auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl liefert. Für diesen $x$-Wert ist dann die Gleichung wahr und damit ist dieser Wert die Lösung der Gleichung.

    Diese Gleichungen sind für ${x=4}$ wahr

    ${3\cdot{x}+12=24}$

    ${35+56:{x}=49}$

    Diese Gleichungen sind für ${x=5}$ wahr

    ${65:{x}=13}$

    ${121-x=29\cdot4}$

    Diese Gleichungen sind für ${x=6}$ wahr

    ${x\cdot8-12=36}$

    ${65=x+59}$

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