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Gleichungen in zwei Schritten lösen 03:17 min

Textversion des Videos

Transkript Gleichungen in zwei Schritten lösen

Gleichungen in zwei Schritten lösen – Einleitung

Sanja ist beim lang ersehnten Auftritt ihrer Lieblingsband. Natürlich will sie auf dem Konzert unbedingt Fotos und Videos machen.
Ausgerechnet jetzt ist ihr Akku fast leer! Sanja muss möglichst viel Akku sparen. Erst am Ende des Konzerts wird ihr Lieblingssong gespielt und den MUSS sie auf jeden Fall aufnehmen.

Einleitung in Beispielaufgabe

Noch hat sie 30% Akku. Um den letzten Song zu filmen, braucht sie 8% Akku und für jedes Foto, das Sanja außerdem macht, zusätzlich 2%. Wie viele Fotos kann Sanja während des Konzerts machen, um am Ende noch genügend Akku für das Video zu haben? Eine Gleichung verrät uns die Antwort auf diese Frage.

Aufstellen der Gleichung

Die Akkulaufzeit muss also ausreichen, um ein Video und ein paar Fotos machen zu können. Da wir herausfinden wollen, wie viele Fotos Sanja machen kann, steht x für die gesuchte Anzahl der Fotos.
Wir wissen: Jedes Foto verbraucht 2% Akku. Wir ersetzen also das Fotosymbol durch 2%. Das Videosymbol können wir durch 8% ersetzen, denn ein Video kostet 8% Akku. Und die Batterie ersetzen wir durch 30%, denn so viel Akku hat Sanjas Handy im Moment noch. Die Gleichung lautet vereinfacht: x mal 2 plus 8 ist gleich 30. Um herauszufinden, wie viele Bandfotos Sanja machen kann, müssen wir nach x auflösen.

Gleichungen in zwei Schritten lösen

Gleichungen wie diese kannst du in 2 Schritten lösen. Zuerst vereinfachst du die Gleichung durch Addition oder Subtraktion. Weil 8 hier addiert wird, nutzt du die Umkehroperation, also Subtraktion. Subtrahiere 8 von beiden Seiten der Gleichung. 8 minus 8 ergibt 0. Übrig bleibt x mal 2 ist gleich 22. Im zweiten Schritt versuchst du die Variable durch Multiplikation oder Division zu isolieren. Hier wird x mit 2 multipliziert, also nutzt du die Umkehroperation, nämlich die Division, und dividierst auf beiden Seiten durch 2. x mal 2 geteilt durch 2 ergibt x. Und 22 geteilt durch 2 ergibt 11. Also ist x gleich 11. Erinnere dich: x steht für die Anzahl der Fotos, die Sanja machen kann. Das heißt, sie kann neben dem Video noch 11 Schnappschüsse machen, bevor ihr Handy ausgeht.

Zusammenfassung

Alle Gleichungen dieser Art können in zwei Schritten gelöst werden. Zuerst vereinfachst du durch Addition oder Subtraktion. Danach isolierst du die Variable durch Multiplikation oder Division.

Ende

Endlich! Sanjas Lieblingssong wird gespielt! Das kann doch nicht wahr sein! Genau jetzt ist ihr Speicherplatz voll...

3 Kommentare
  1. Super Video,super erklärt
    Dieses hat mir sehhr viel weitergeholfen

    Von Melanie Obach, vor 10 Monaten
  2. Eyy...
    Tolles Video,
    Hilfreich,
    Lustig,
    Ich versteh es jetzt,
    Schade um den Akku!

    Von Tilmay K., vor mehr als einem Jahr
  3. Hilfreich und lustig

    Von Anett Rost, vor etwa 2 Jahren

Gleichungen in zwei Schritten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen in zwei Schritten lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib diejenigen Gleichungen an, die linear sind.

    Tipps

    Die zu betrachtenden linearen Gleichungen haben diese Form:

    $a\cdot x+b=c$.

    Dabei sind $a$,$b$ und $c$ bekannte reelle Zahlen. $x$ ist die Unbekannte und kommt in einer linearen Gleichung nur in der ersten Potenz vor.

    Einige Beispiele könnten dir helfen.

    $ \begin{array}{lr} \text{lineare Gleichung:} & 3\cdot x+2=17 \\ \text{quadratische Gleichung:} & 3\cdot x^2+2=14 \\ \text{kubische Gleichung:} & 3\cdot x^3+2=26 \\ \end{array} $

    Lösung

    Eine Gleichung, in der die Unbekannte $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt (also $x^1$ bzw. $x$) wird lineare Gleichung genannt und hat die allgemeine Form $a\cdot x + b= c.$

    Diese Form liegt bei folgenden gegebenen Gleichungen vor.

    Gleichung 1

    $6\cdot x + 2 = 14$

    Gleichung 4

    $6 - x = 2$

    Gleichung 5

    $4-2\cdot x = -6$

    Die anderen beiden Gleichungen sind nicht linear.

    Gleichung 2

    Bei $2\cdot x^2-1=15$ kommt die Unbekannte $x$ in der zweiten Potenz vor. Gleichungen dieser Art sind quadratische Gleichungen.

    Gleichung 3

    Bei $5-x^3=-3$ handelt es sich um eine kubische Gleichung, da die Unbekannte $x$ in der dritten Potenz vorliegt.

  • Stelle die lineare Gleichung auf.

    Tipps

    Die Summe des Akkuverbrauchs für die Fotos und für das Video muss dem aktuellen Akkustand von $30\ \%$ entsprechen.

    Wenn $x$ die Anzahl der Fotos ist, dann lautet der Term für den Akkuverbrauch für Fotos so:

    • $x\cdot 2$.
    Lösung

    Folgende Daten sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:

    aktueller Akkustand: $30\ \%$
    Akkuverbrauch pro Foto: $2\ \%$
    Akkuverbrauch pro Video: $8\ \%$

    Nun möchten wir eine Gleichung aufstellen, welche uns die Berechnung der Anzahl der Fotos, die Sanja noch machen darf, erlaubt. Wir möchten, dass Sanja für alle Fotos und ein Video genau $30\ \%$ Akku benötigt, dies entspricht ihrem aktuellen Akkustand. In Worten lautet die Gleichung, die wir für die Berechnung aufstellen müssen, folgendermaßen:

    Anzahl Fotos $\cdot$ Akkuverbrauch pro Foto $+$ Akkuverbrauch pro Video $=$ aktueller Akkustand.

    In unserer Gleichung soll $x$ für die Anzahl der Fotos stehen. Dann folgt:

    $x\cdot 2\ \%+8\ \%=30\ \%$.

    Vereinfacht resultiert folgende lineare Gleichung für die Berechnung der Anzahl der Fotos, die Sanja noch machen darf:

    $x\cdot 2+8=30$.

  • Ermittle jeweils die gesuchte lineare Gleichung und löse diese in zwei Schritten.

    Tipps

    Beim Aufstellen der gesuchten linearen Gleichung könntest du folgendermaßen vorgehen:

    $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Gesucht ist eine Zahl,...} & x \\ \text{...deren Doppeltes...} & 2\cdot x \\ \text{...um 6 verkleinert...} & 2\cdot x-6 \\ \text{...10 ergibt.} & 2\cdot x-6=10 \\ \hline \end{array} $

    Wir haben gelernt, dass lineare Gleichungen in zwei Schritten gelöst werden können.

    • 1. Schritt: Gleichartige Terme durch die jeweilige Umkehroperation auf je eine Seite der Gleichung bringen.
    • 2. Schritt: Die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation isolieren.
    Beispiel

    $ \begin{array}{lllll} &2\ \cdot\ x\ +\ 4 & = & 14 && \vert -4 \\ \Leftrightarrow&2\ \cdot\ x & = & 10 && \vert :2 \\ \Leftrightarrow&x & = & 5 && \\ \end{array} $

    Lösung

    Betrachten wir nun die gesuchten linearen Gleichungen. Für das bessere Verständnis werden die Beispiele ausführlich behandelt. Die Gleichungen werden hier Schritt für Schritt aufgestellt.

    Beispiel 1: Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Fünffaches um $10$ verkleinert $5$ ergibt.

    Die gesuchte Gleichung lautet:

    $5\cdot x-10=5$.

    Nun lösen wir die Gleichung in zwei Schritten:

    $ \begin{array}{lllll} &5\ \cdot\ x\ -\ 10 & = & 5 && \vert +10 \\ \Leftrightarrow&5\ \cdot\ x & = & 15 && \vert :5 \\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \\ \end{array} $

    Die gesuchte Zahl ist $x=3$.

    Beispiel 2: Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Fünffaches um $10$ verkleinert $15$ ergibt.

    Zu lösen ist die Gleichung:

    $5\cdot x-10=15$.

    Nun lösen wir die Gleichung in zwei Schritten:

    $ \begin{array}{lllll} &5\ \cdot\ x\ -\ 10 & = & 15 && \vert +10 \\ \Leftrightarrow&5\ \cdot\ x & = & 25 && \vert :5 \\ \Leftrightarrow&x & = & 5 && \\ \end{array} $

    Die gesuchte Zahl ist $x=5$.

    Beispiel 3: Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Dreifaches um $7$ vergrößert $-8$ ergibt.

    Unsere Gleichung lautet:

    $3\cdot x+7=-8$.

    Nun lösen wir die Gleichung in zwei Schritten:

    $ \begin{array}{lllll} &3\ \cdot\ x\ +\ 7 & = & -8 && \vert -7\\ \Leftrightarrow&3\ \cdot\ x & = & -15 && \vert :3 \\ \Leftrightarrow&x & = & -5 && \\ \end{array} $

    Die gesuchte Zahl ist $x=-5$.

  • Berechne die Unbekannte, indem du die lineare Gleichung in zwei Schritten löst.

    Tipps

    Im ersten Schritt werden gleichartige Terme mittels Umkehroperationen auf je eine Seite der Gleichung gebracht. Welchen Operator du benötigst, erkennst du an deiner Gleichung. Falls in deiner Gleichung beispielsweise eine Zahl addiert wird, nutzt du zum Umstellen die Umkehroperation, also die Subtraktion.

    Im zweiten Schritt wird die gesuchte Größe $x$ durch die jeweilige Umkehroperation isoliert.

    Lösung

    Um herauszufinden, wie viele Fotos Sanja von ihrer Lieblingsband noch machen darf, müssen wir die lineare Gleichung nach $x$ auflösen. Dies erfolgt in zwei Schritten:

    Schritt 1 Wir bringen gleichartige Terme auf je eine Seite unserer Gleichung. Dabei verwenden wir jeweils die Umkehroperation. Da in unserer Gleichung die $8$ addiert wird, müssen wir diese subtrahieren.

    Schritt 2 Wir isolieren die gesuchte Größe $x$ durch die jeweilige Umkehroperation. Da in unserer Gleichung die gesuchte Größe $x$ mit der $2$ multipliziert wird, müssen wir durch diese dividieren.

    Es folgt somit diese Rechnung:

    $ \begin{array}{llll} x\ \cdot\ 2\ +\ 8 & = & 30 && \vert -8 \\ x\ \cdot\ 2\ +\ 8\ -\ 8 & = & 30\ -\ 8 && \\ x\ \cdot\ 2 & = & 22 && \vert :2 \\ x\ \cdot\ 2\ :\ 2 & = & 22\ :\ 2 && \\ x & = & 11 && \\ \end{array} $

  • Ermittle, wie viele Packungen Büroklammern Lena kaufen kann.

    Tipps

    Wenn $x$ für die Anzahl der Büroklammer-Packungen steht, dann ist das Produkt $x\cdot 6$ der Betrag, den Lena für die Büroklammern ausgeben muss.

    Schau dir folgendes Beispiel an. Die Rechenanweisungen befinden sich jeweils hinter dem Strich.

    $ \begin{array}{llll} x\ \cdot\ 2\ +\ 6 & = & 14 && \vert -6 \\ x\ \cdot\ 2 & = & 8 && \vert :2 \\ x & = & 4 && \\ \end{array} $

    Lösung

    Für die Berechnung der Anzahl der Büroklammer-Packungen, die Lena mit ihrem Restgeld noch kaufen kann, wird eine lineare Gleichung aufgestellt.

    Lena hat $25$ € und möchte damit einen Eisbecher für $7$ € und so viele Packungen Büroklammern wie möglich für je $6$ € kaufen.

    Somit resultiert folgende Gleichung für Lenas Problem:

    $x\cdot 6+7=25$.

    Diese Gleichung kann in zwei Rechenschritten wie folgt gelöst werden:

    $ \begin{array}{llll} x\ \cdot\ 6\ +\ 7 & = & 25 && \vert -7 \\ x\ \cdot\ 6 & = & 18 && \vert :6 \\ x & = & 3 && \\ \end{array} $

    Im ersten Schritt wird von der gesamten Gleichung die Zahl $7$ subtrahiert. Die Subtraktion ist hier die Umkehroperation, da in der Gleichung die $7$ addiert wird. Anschließend wird im zweiten Schritt die gesamte Gleichung durch die $6$ dividiert, um auf diese Weise die Unbekannte $x$ zu isolieren.

    Schließlich resultiert, dass Lena mit ihrem Restgeld $3$ Packungen Büroklammern kaufen kann.

  • Bestimme die Unbekannten der jeweiligen linearen Gleichungen in zwei Schritten.

    Tipps

    1. Schritt: Gleichartige Terme durch die jeweilige Umkehroperation auf je eine Seite der Gleichung bringen.

    2. Schritt: Die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation isolieren.

    Schau dir das folgende Beispiel an:

    $ \begin{array}{lllll} &x\ \cdot\ 4\ +\ 8 & = & 32 && \vert -8 \\ \Leftrightarrow&x\ \cdot\ 4 & = & 24 && \vert :4 \\ \Leftrightarrow&x & = & 6 && \end{array} $

    Lösung

    Die gegebenen linearen Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformung jeweils in zwei Rechenschritten nach der Unbekannten $x$ umstellen.

    1. Schritt: Gleichartige Terme müssen durch die jeweilige Umkehroperation auf je eine Seite der Gleichung gebracht werden.

    2. Schritt: Die Unbekannte $x$ muss durch die jeweilige Umkehroperation isoliert werden.

    Nun führen wir diese Schritte an unseren drei Beispielen aus.

    Beispiel 1

    $ \begin{array}{lllll} &6\ \cdot\ x\ +\ 2 & = & 14 && \vert -2 \\ \Leftrightarrow&6\ \cdot\ x & = & 12 && \vert :6 \\ \Leftrightarrow&x & = & 2 && \\ \end{array} $

    Beispiel 2

    $ \begin{array}{lllll} &3\ \cdot\ x\ -\ 2 & = & 16 && \vert +2 \\ \Leftrightarrow&3\ \cdot\ x & = & 18 && \vert :3 \\ \Leftrightarrow&x & = & 6 && \\ \end{array} $

    Beispiel 3

    $ \begin{array}{llll} &7\ \cdot\ x\ +\ 4 & = & 25 && \vert -4 \\ \Leftrightarrow&7\ \cdot\ x & = & 21 && \vert :7 \\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \\ \end{array} $