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Prozentrechnung

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Team Digital

Prozentrechnung

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentrechnung

Prozentrechnung – Einführung

Prozentrechnung kommt in vielen Bereichen im täglichen Leben vor. Der Name Prozent kommt aus dem Lateinischen und steht für von Hundert.

Dabei entspricht die Zahl $100$ der Gesamtheit. Jedem Anteil an dieser Gesamtheit entspricht dann eine Zahl zwischen $0$ und $100$.

Prozentrechnung – Begriffe

In der Prozentrechnung werden die folgenden Begriffe verwendet:

  • Die Gesamtheit wird mit $G$ für Grundwert bezeichnet.
  • Der Anteil an dieser Gesamtheit ist $W$, der Prozentwert.
  • Dieser Anteil kann auch als Prozentangabe oder Dezimalbruch vorliegen: $p~\%$ ist der Prozentsatz. Die Zahl $p$ ist die sogenannte Prozentzahl.

Sowohl der Grundwert als auch der Prozentwert haben die gleiche Einheit, zum Beispiel Gewicht $\text{kg}$ oder Anzahl. Der Prozentsatz hat die Einheit $\%$.

Beispiel – Zuordnung der Größen und Dreisatz

In einer Tüte befinden sich $80$ Gummibärchen. Es gibt Gummibärchen in den Farben rot ($40$), gelb ($30$) und grün ($10$).

  • Der Grundwert ist $G=80$.
  • Zu jeder der verschiedenen Farben ist die entsprechende Anzahl angegeben, also der Prozentwert $W$. Für „rot“ ist $W=40$, für „gelb“ ist $W=30$ und für „grün“ ist $W=10$.
  • Der jeweilige Prozentsatz kann mit Hilfe des Dreisatzes berechnet werden. Für die roten Gummibärchen sieht dieser dann wie folgt aus:

Ebenso können die Prozente für die Farben „gelb“ $p\%=37,5\%$ und „grün“ $p\%=12,5\%$ berechnet werden.

Prozentrechnung – Formeln

Wenn der Grundwert und Prozentwert gegeben sind, kann der Prozentsatz mit Hilfe folgender Formel berechnet werden:

$ p~\%=\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}=\frac{W}{G} $

Diese Formel kann nach jeder der beiden anderen Größen umgeformt werden, je nachdem welche Größe gesucht ist.

Prozentrechnung_Formel_Grundwert_Prozentwert_Prozentsatz_Prozentzahl_Dreieck.png

Das hier abgebildete Dreieck kann als Merkhilfe genutzt werden. Für die beiden anderen Größen gilt:

  • $G=\frac{W}{p\%}$
  • $W=p\%\cdot G$

Beispiel – Prozentsatz ist gesucht

Von $55$ Büchern sind $33$ Schulbücher. Wie groß ist der prozentuale Anteil der Schulbücher?

$p\%=\frac{33}{55}=0,6=60\%$

$60\%$ sind Schulbücher.

Beispiel – Prozentwert ist gesucht

Von $12$ Aufgaben sind bereits $25\%$ erledigt. Wie viele Aufgaben sind bereits erledigt?

$W=25\%\cdot 12=3$

Es sind bereits drei Aufgaben erledigt.

Beispiel – Grundwert ist gesucht

$7$ der SchülerInnen einer Klasse, das entspricht $25\%$, mögen Mathematik. Wie viele SchülerInnen gibt es in der Klasse?

$G=\frac{7}{25\%}=28$

In der Klasse befinden sich $28$ SchülerInnen.

Verwendung im Alltag

Im Alltag werden Prozentrechnungen oft unbewusst durchgeführt.

  • In einem Laden, in dem es auf alle Produkte $30\%$ Rabatt gibt, rechnet man sich vor der Bezahlung gern den reduzierten Preis aus.
  • Auch kann es interessant sein zu wissen, wie viel Prozent einer Klasse eine Prüfung bestanden hat.
  • Die Note einer Klassenarbeit hängt zum Beispiel davon ab, wie viel Prozent der Gesamtpunktzahl erreicht wurde.

Prozentrechnung – Thematische Einordnung

Wenn du verstanden hast, wie du Prozentrechnungen durchführst, wirst du leicht auch Zinsrechnungen durchführen können.

Zinsrechnung als Beispiel für die Prozentrechnung

Die Zinsrechnung ist ein Sonderfall der Prozentrechnung. Bei der Zinsrechnung geht es um Geld. Die Rechnungen verlaufen vollkommen analog zur Prozentrechnung.

Zinsrechnung – Begriffe

  • Der Grundwert ist in der Zinsrechnung das Kapital $K$.
  • Dem Prozentwert entsprechen die Zinsen $Z$.
  • Der Prozentsatz ist in der Zinsrechnung der Zinssatz $p\%$.

Dieses Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz zu rechnen.

Zunächst lernst du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz kennen. Anschließend wird der Dreisatz angewandt, um konkrete Prozentwerte und Prozentsätze auszurechnen. Abschließend lernst du, wie du dir die Formeln zu Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz mit einer Eselsbrücke merken kannst.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Anteile sind und wie man Dezimalzahlen ausrechnet. Außerdem solltest du Bruchrechnung und den Dreisatz beherrschen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über Zinsrechnung zu lernen.

Transkript Prozentrechnung

Für die Qualitätskontrolle in einer Pralinenmanufaktur ist es wichtig, dass die Packung auch genau das enthält, was die Packungsbeilage angibt. Duplas Job ist es diese Angaben zu überprüfen. Dazu muss sie sich mit Prozentrechnung auskennen. Diese Pralinenschachtel hat insgesamt 20 Pralinen. 10 davon sind mit Milchschokolade befüllt, 8 mit weißer Schokolade und 2 mit einer Nougatfüllung. Wir haben also 10 von 20 Pralinen, die Milchschokolade enthalten. Dieses Verhältnis können wir auch als Bruch schreiben. Das sind 10 Zwanzigstel und gekürzt ein Halb. Man kann den Anteil auch als Dezimalbruch schreiben und das sind 0,5. Dupla hat allerdings die Angaben, die sie überprüfen soll in Prozent angegeben. Schauen wir uns doch die wichtigsten Begriffe der Prozentrechnung einmal näher an. 20 ist die Gesamtzahl der Pralinen. In der Prozentrechnung nennen wir diesen Wert Grundwert. Der Grundwert, den wir mit 'G' abkürzen, ist immer gleichbedeutend mit 100 Prozent, also der gesamten Anzahl. Wir können den Anteil der verschiedenen Pralinen entweder in Prozent, also der Prozentzahl, ODER als konkrete Zahl, also dem Prozentwert angeben. Den Prozentwert kürzen wir mit einem W ab. Auf der Packung steht, dass hier 50 % Milchschokopralinen, enthalten sind. Dies ist die Prozentzahl. Wir wissen, dass das 10 Milchschokopralinen entspricht. Dies ist der Prozentwert. Der Unterschied zwischen dem Prozentwert und der Prozentzahl ist also, dass der Prozentwert den Anteil am Ganzen als Zahl angibt und die Prozentzahl den Anteil in Prozent. Das Wort Prozent kommt übrigens aus dem lateinischen 'pro centum' und bedeutet so viel wie 'von Hundert'. Um die Prozentzahl der anderen Sorten herauszufinden, suchen wir also einen Anteil von Hundert. Beginnen wir mit den Pralinen, die mit weißer Schokolade gefüllt sind. Von den weißen Pralinen gibt es 8, also ist dies nun unser Prozentwert. Wollen wir die Prozentzahl zu dem Prozentwert 8 herausfinden, verwenden wir den Dreisatz. Teilen wir den Grundwert von 20 Pralinen durch 20 und 100 Prozent ebenfalls durch 20, so sehen wir, dass die Prozentzahl von 5% dem Prozentwert für 1 Praline entspricht. Multiplizieren wir beides mit 8 sehen wir, dass 40 Prozent 8 Pralinen entsprechen. Die Prozentzahl für 8 Pralinen ist also 40%. Von den Nougatpralinen sind in der Packung 2 enthalten. Dies ist unser Prozentwert. Da 20 Pralinen 100 Prozent entsprechen, können wir die Prozentzahl einfach herausfinden, indem wir die Prozentzahlen der anderen Pralinen von 100 Prozent abziehen. 2 Pralinen entsprechen also 10 Prozent. Da wir mit der Prozentzahl schlecht rechnen können, wandeln wir diese meistens in eine Dezimalzahl um. Diese Dezimalzahl nennen wir Prozentsatz. Wir kürzen ihn ab mit p%. Er ist das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert. Man berechnet ihn also mit folgender Formel: p% = Prozentwert geteilt durch Grundwert. Kurz schreiben wir das so. Hier erhalten wir also für den Prozentsatz 0,5. Dies ist übrigens die Prozentzahl, also die 50%, geteilt durch 100%. 40% sind somit 0,4 und 10 % entsprechen 0,1. Rechnet man alle Prozentsätze zusammen, so erhalten wir 1,0 und dies entspricht 100% und somit natürlich auch den 20 Pralinen in der Schachtel. Diese Verhältnisgleichung können wir uns beliebig umstellen, damit wir jede Größe durch die anderen Größen berechnen können. So ist G gleich W durch p% und W gleich p% mal G. Du kannst dir zur Hilfe dieses Dreieck aufzeichnen. Möchtest du zum Beispiel den Prozentsatz berechnen, so rechnest du W geteilt durch G. Möchtest du den Grundwert ausrechnen, so teilst du W durch p% und möchtest du den Prozentwert berechnen, so multiplizierst du p% mit G. Während Dupla weiter Pralinenschachteln kontrolliert, fassen wir zusammen. In der Prozentrechnung ist der Grundwert die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit 100 %. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Diesen geben wir als Dezimalzahl an. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Hat Dupla jetzt schon Feierabend? Irgendetwas stimmt hier nicht. Da sieht jemand 100 Prozent zufrieden aus.

50 Kommentare

50 Kommentare
  1. und das mit den lernchat ist auch voll praktisch wenn man bei den aufgaben nicht weiterkommt

    Von Najouaha63, vor 2 Monaten
  2. ich habe im unterricht wirklich wenig verstanden. ich bin auf dieses video gestosen um halt für eine arbeit zulernen und jetzt verstehe ich alles, wo ich meine schwachen stellen hatte.ich finde es einfach nur mega

    Von Najouaha63, vor 2 Monaten
  3. Das Viedeo war super habe danach alles verstanden wirklich vielen vielen Dank

    Von Caro Vogt 11, vor 3 Monaten
  4. :DANKE

    Von Abboodasj, vor 3 Monaten
  5. hi

    Von Florian G., vor 8 Monaten
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Prozentrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne mit Hilfe des Dreisatzes den Prozentsatz zu dem jeweiligen Prozentwert $W$.

    Tipps

    Die Gesamtzahl der Pralinen entspricht dem Grundwert $G$. Der Grundwert entspricht $100\ \%$.

    Der Prozentwert gibt einen absoluten Anteil und der Prozentsatz einen prozentualen Anteil an.

    Damit sind diese beiden Größen proportional zueinander.

    Hier siehst du einen Dreisatz zu einer proportionalen Zuordnung.

    Lösung

    Gehen wir die Rechnung mal gemeinsam durch.

    Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Pralinenpackung mit insgesamt $20$ Pralinen. Die Gesamtzahl der Pralinen entspricht $100\ \%$ und damit dem Grundwert $G$. Zudem wissen wir, dass $8$ der $20$ Pralinen eine Füllung aus weißer Schokolade haben. Damit kennen wir den Prozentwert $W$ für die Pralinen mit weißer Schokolade. Nun können wir mit dem Dreisatz den Prozentsatz zu $W=8$ ermitteln. Hierzu gehen wir wie folgt vor:

    • $100\ \%\ \hat{=}\ 20\ $ Pralinen
    Nun möchten wir den prozentualen Anteil von einer Praline bestimmen. Wir teilen hierzu beide Seiten durch $20$:

    • $\dfrac{100\ \%}{20}\ \hat{=}\ \dfrac{20}{20}\ $ Pralinen $\quad\rightarrow\quad 5\ \%\ \hat{=}\ 1\ $ Praline
    Jetzt können wir den prozentualen Anteil für $8$ Pralinen bestimmen, indem wir beide Seiten mit $8$ multiplizieren:

    • $5\ \%\ \cdot 8\ \hat{=}\ 1\cdot 8\ $ Pralinen $\quad\rightarrow\quad 40\ \%\ \hat{=}\ 8\ $ Pralinen
    Also entsprechen $8$ Pralinen einem prozentualen Anteil von $40$ Prozent.

  • Vervollständige die Tabelle, indem du die Prozentsätze in Prozent und als Dezimalbruch bestimmst.

    Tipps

    Den Prozentsatz $p\%$ als Dezimalbruch erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst:

    • $p\%=\dfrac {W}{G}$

    Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Pralinen in einer Packung.

    Den Prozentsatz kannst du in Prozent angeben, indem du den jeweiligen Dezimalbruch umrechnest.

    Der Begriff Prozent kommt aus dem Lateinischen pro centum und bedeutet so viel wie von Hundert. Das Prozentzeichen kannst du also wie folgt deuten:

    $p\%=p\cdot\dfrac{1}{100}$.

    Lösung

    Dupla muss überprüfen, ob eine Pralinenpackung auch das enthält, was die Packungsbeilage angibt. Die hier betrachtete Pralinenschachtel enthält insgesamt $20$ Pralinen. Dies entspricht dem Grundwert $G$. $10$ davon sind mit Milchschokolade, $8$ mit weißer Schokolade und $2$ mit Nugat gefüllt.

    Für die Qualitätskontrolle benötigt Dupla die Anteile der einzelnen Pralinensorten an der Gesamtzahl als Prozentzahl und Prozentsatz. Den Prozentsatz erhalten wir mit folgender Formel:

    • $p\%=\dfrac{W}{G}$
    Möchtest du von dem Prozentsatz zur Prozentzahl, musst du den Prozentsatz mit $100$ multiplizieren und ein Prozentzeichen anhängen. Somit erhalten wir folgende Tabelle:

    $\begin{array}{l|ccc} \\ \text{Pralinenfüllung} & \text{Prozentwert} \ W & \text{Prozentsatz}~ p\% & \text{Prozentsatz}~ p\% \\ & & \text{in}~\% & \text{als Dezimalbruch} \\ \hline \text{Milchschokolade} & 10 & 50\ \% & 0,5 \\ \text{weiße Schokolade} & 8 & 40\ \% & 0,4 \\ \text{Nougat} & 2 & 10\ \% & 0,1 \end{array}$

  • Ermittle die gesuchten Prozentsätze in Prozent.

    Tipps

    Nutze die Prozentformel:

    $p\%=\dfrac{W}{G}$

    Dabei steht $G$ für den Grundwert und $W$ für den Prozentwert. Rechne dann den Prozentsatz $p\%$ von einem Dezimalbruch in Prozent um.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $0,02=2\%$.

    Beachte, dass das Prozentzeichen dem Bruch $\frac 1{100}$ entspricht.

    Mit $G=20$ und $W=5$ folgt:

    $p\%=\dfrac5{20}=\dfrac 14=0,25$.

    Das entspricht $25\ \%$.

    Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Schüler aus beiden Kursen. Die Prozentwerte $W$ musst du der Tabelle entnehmen.

    Lösung

    Die Gesamtzahl der Schüler aus beiden Physikkursen beträgt $60$. Diese liefert uns den Grundwert $G=60$. Die Prozentwerte $W$ sind gegeben durch die Liste. Diese entnehmen wir der ersten Tabellenspalte:

    $ \begin{array}{r|l} \text{Anzahl Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler} & \text{Grund} \\ \hline 6 & \text{Klausur im anderen Kurs} \\ 8 & \text{Krankheit} \\ 11 & \text{bereits im Technikmuseum gewesen} \\ 5 & \text{kein Interesse} \end{array} $

    Die gegebenen Daten eingesetzt in die Prozentformel $p\%=\frac{W}{G}$ liefern uns zunächst die Prozentsätze $p\%$ als Dezimalbruch. Diese können wir einfach in den jeweiligen Prozentsatz in Prozent umwandeln:

    Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Klausur nicht teilnehmen können:

    Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=6$ Schüler

    Gesucht: $p\%$

    Lösung:

    $p\% = \frac{6}{60}=0,1$

    Das entspricht $10\ \%$.

    Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Krankheit nicht teilnehmen können:

    Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=8$ Schüler

    Gesucht: $p\%$

    Lösung:

    $p\% = \frac{8}{60}=0,1\overline{3}$

    Das entspricht auf die zweite Nachkommastelle gerundet $13,33\ \%$.

    Anzahl der Schüler, die bereits im Technikmuseum gewesen sind:

    Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=11$ Schüler

    Gesucht: $p\%$

    Lösung:

    $p\% = \frac{11}{60}=0,18\overline{3}$

    Das entspricht rund $18,33\ \%$.

    Anzahl der Schüler, die aufgrund von keinem Interesse nicht teilnehmen möchten:

    Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=5$ Schüler

    Gesucht: $p\%$

    Lösung:

    $p\% = \frac{5}{60}=0,08\overline{3}$

    Das entspricht etwa $8,33\ \%$.

  • Ordne die Anteile der Größe nach und beginne dabei mit dem kleinsten Anteil.

    Tipps

    Rechne alle Angaben in eine Größe um. Mit dem Prozentwert $W$ und dem Grundwert $G$ kannst du den Prozentsatz mit folgender Formel bestimmen:

    • $p\%=\dfrac{W}{G}$

    Du kannst den Prozentsatz in der Prozentschreibweise in einen Dezimalbruch umwandeln, indem du durch $100$ teilst und das Prozentzeichen weglässt.

    Mit $G=20$ und $W=10$ folgt:

    $p\%=\dfrac{10}{20}=0,5$.

    Das entspricht einem Prozentsatz von $50\ \%$.

    Lösung

    Wir betrachten hier den Grundwert $G=80$ und rechnen alle Angaben in die Prozent um. Dann folgt:

    • $p\%=0,1$: das entspricht $10\%$.
    • $15\%$: ist bereits in Prozent angegeben
    • $W=16$: teilen wir diesen Prozentwert durch $G=80$, erhalten wir $p\%=0,2$, also $20\%$.
    • $25\%$: ist bereits in Prozent angegeben.
    • $W=24$: teilen wir diesen Prozentwert durch $G=80$, erhalten wir $p\%=0,3$, also $30\%$.
  • Gib die Formel für Prozentrechnung an.

    Tipps

    Die Formelzeichen für die Größen kannst du dir wie folgt merken:

    • Grundwert
    • Prozentwert
    • Prozentsatz
    Die gefetteten Buchstaben entsprechen den jeweiligen Formelzeichen.

    Um den Prozentsatz zu berechnen, musst du den Prozentwert durch den Grundwert teilen.

    Nutze das hier abgebildete Dreieck, um die Formel nach den jeweiligen Größen umzustellen.

    Lösung

    Die Prozentformel erlaubt die Berechnung von

    • dem Prozentwert $W$, falls $G$ und $p\%$ bekannt sind.
    • dem Grundwert $G$, falls $W$ und $p\%$ bekannt sind.
    • dem Prozentsatz $p\%$, falls $G$ und $W$ bekannt sind.
    Die jeweilige Formel lautet:
    • $p\%=\dfrac{W}{G}$
    Durch Äquivalenzumformung kannst du diese nach den anderen beiden Größen wie folgt umstellen:

    $\begin{array}{llll} \\ p\% &=& \dfrac{W}{G} & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \vert :p\% \\ G &=& \dfrac{W}{p\%} & \end{array}$

  • Ermittle die fehlenden Größen der Tabelle.

    Tipps

    Verwende die Formel:

    $p\%=\dfrac WG$.

    Diese Formel kannst du mittels Äquivalenzumformungen nach dem Prozentwert $W$ umstellen.

    Lösung

    Mit der Prozentformel können wir die fehlenden Prozentsätze bestimmen:

    • $p\%=\dfrac WG$.
    Stellen wir diese nach dem Prozentwert $W$ um, erhalten wir:
    • $W=G\cdot p\%$.
    Damit erhalten wir folgende Rechnungen:

    Zutat 1

    Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $W=525\ \text{ml}$ erhalten wir:

    • $p\%=\dfrac {525\ \text{ml}}{1500\ \text{ml}}=0,35$.
    Zutat 2

    Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $p\%=0,1$ erhalten wir:

    • $W=1500\ \text{ml}\cdot 0,1=150\ \text{ml}$.
    Zutat 3

    Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $W=375\ \text{ml}$ erhalten wir:

    • $p\%=\dfrac {375\ \text{ml}}{1500\ \text{ml}}=0,25$.
    Zutat 4

    Bei dieser Zutat fehlen gleich beide Angaben, aber wir wissen, dass Marie für $2000\ \text{ml}$ des Getränks $600\ \text{ml}$ von Zutat 4 verwendet. Damit können wir zunächst den prozentualen Anteil berechnen und mit diesem dann den absoluten Anteil für $1500\ \text{ml}$ des Getränks ermitteln. Es folgt:

    • $p\%=\dfrac {600\ \text{ml}}{2000\ \text{ml}}=0,3$.
    Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $p\%=0,3$ erhalten wir:

    • $W=1500\ \text{ml}\cdot 0,3=450\ \text{ml}$.
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