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Prozentpunkte

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Team Digital

Prozentpunkte

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentpunkte

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, verschiedene Prozentangaben mithilfe von Prozentpunkten miteinander zu vergleichen.

Zunächst lernst du, was der Unterschied zwischen Prozentpunkten und Prozentsätzen ist. Anschließend lernst du, wie du den Unterschied zwischen Prozentangaben mithilfe von Prozentpunkten vergleichen kannst. Abschließend lernst du, wie du den Unterschied zwischen Prozentangaben mithilfe von Prozentsätzen vergleichen kannst.

Lerne etwas über den Unterschied von Prozentpunkten und Prozentsätzen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Prozent, Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert, Prozentpunkt und Prozentzahl.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Anteile in Prozent ausdrückt.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Prozentangaben mithilfe von Prozentpunkten zu vergleichen.

Transkript Prozentpunkte

Urunkula streift durch den Zauberwald um ihre Sammlung besonders magischer Pilze zu erweitern. Um die Anteile der verschiedenen Pilzarten zu vergleichen, muss sie sich mit Prozentpunkten auskennen. Wiederholen wir dazu zunächst einmal die wichtigsten Begriffe der Prozentrechnung. In der Prozentrechnung ist der Grundwert die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit dem Ganzen. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Diesen geben wir üblicherweise als Dezimalbruch an. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Urunkula hat die prozentualen Anteile der verschiedenen gesammelten Pilzarten in dieses Säulendiagramm eingetragen. 50 % aller gesammelten Pilze sind Schreierlinge. 25% der gesammelten Pilze sind Statisterlinge 5% der gesammelten Pilze sind Prozentione und 20% sind Dialinge. Wir können diese Angaben nun auf zwei verschiedene Arten miteinander vergleichen: mithilfe von Prozentsätzen oder mithilfe von Prozentpunkten. Vergleichen wir zunächst die ersten beiden Pilzarten. Bildet man einfach die Differenz der beiden Prozentzahlen, so erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Die Prozentzahlen sind die Zahlen, die vor dem Prozentzeichen stehen. Deshalb verwenden wir keine Prozentzeichen in der Rechnung. Wir rechnen hier also 50-25 und erhalten 25 Prozentpunkte. Dies ist der absolute Unterschied zwischen den beiden Prozentangaben. Wenn man diese Differenz wiederum selbst als Prozentsatz ausdrückt, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei nehmen wir als Grundwert die Prozentzahl des ersten Prozentsatzes und als Prozentwert den absoluten Unterschied. Wir rechnen W geteilt durch G, also 25 geteilt durch 50 und erhalten 0,5 und das sind 50%. Hier haben wir also den relativen Unterschied zwischen den beiden Prozentangaben. Sie hat also 50% mehr Schreierlinge als Statisterlinge. Was ist denn der Unterschied zwischen diesen beiden Arten von Pilzen? Wollen wir die Differenz in Prozentpunkten herausfinden, so rechnen wir einfach 25 minus 5 und erhalten 20. Für den Unterschied in Prozent rechnen wir wiederum W geteilt durch G und das sind 0,8, also 80 Prozent mehr. Dies können wir nun für die Unterschiede zwischen den anderen Arten wiederholen. So liegt zwischen diesen beiden Pilzsorten eine Differenz von 15 Prozentpunkten, aber ein Unterschied von 75% und zwischen diesen beiden Sorten eine Differenz von 50-20=30 Prozentpunkten, aber ein Unterschied von 60%. Fassen wir das noch einmal zusammen. Wir können Prozentangaben auf zwei verschiedene Arten miteinander vergleichen. Mithilfe von Prozentpunkten und mithilfe von Prozentsätzen. Prozentpunkte geben den absoluten Unterschied zwischen den beiden Prozentangaben an. Man bildet dazu einfach die Differenz der beiden Prozentzahlen. Berechnet man den Prozentsatz, so ist dies der relative Unterschied zwischen den beiden Prozentangaben. Dabei nehmen wir als Grundwert die Prozentzahl des ersten Prozentsatzes und als Prozentwert den absoluten Unterschied. Den neuen Prozentsatz rechnen wir mithilfe von W geteilt durch G aus. Schmecken die Pilze denn wohl? Oh, da sollte sie das nächste mal wohl nicht im Zauberwald nach Pilzen suchen.

Prozentpunkte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentpunkte kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Unterschiede bei der Berechnung der Prozentpunkte und des Prozentsatzes.

    Tipps

    Ein Prozentsatz wie zum Beispiel $3\%$ besteht immer aus einer Prozentzahl (in diesem Fall $3$) und einem Prozentzeichen $\%$.

    Im Säulendiagramm werden auf der $y$-Achse die Prozentsätze angegeben. Kannst du Werte bei einem Säulendiagramm mal nicht direkt ablesen, zeichne dir von der oberen Kante der Säule eine Linie bis zur $y$-Achse, die parallel zur $x$-Achse verläuft .

    Lösung

    Anhand des Säulendiagramms können wir erkennen, dass $50\%$ aller gesammelten Pilze Schreierlinge (gelb) und $25\%$ der gesammelten Pilze Statisterlinge (violett) sind. Kannst du Werte bei einem Säulendiagramm mal nicht direkt ablesen, zeichne dir von der oberen Kante der Säule eine Linie bis zur $y$ -Achse, die parallel zur $x$ -Achse verläuft (So wie die gestrichelte im Bild.).

    Wir können diese beiden Pilzarten auf zwei Weisen vergleichen. Mit Hilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mit Hilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

    Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Prozentzahlen sind die Zahlen, die vor dem Prozentzeichen stehen. Deshalb verwenden wir nur die Zahlen für unsere Rechnung. Für den absoluten Unterschied zwischen Schreier- und Statisterlingen ziehen wir also die Prozentzahl der Statisterlinge ($25$) von der Prozentzahl der Schreierlinge ($50$) ab:

    • $50-25=25$
    Der absolute Unterschied beträgt also $25$ Prozentpunkte.

    Drückt man diese Differenz selbst nun als Prozentsatz aus, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei ist der Grundwert $G$ die Prozentzahl des Prozentsatzes, mit dem man einen anderen Prozentsatz vergleichen möchte. Der Prozentwert $W$ ist der absolute Unterschied. Wir teilen den Prozentwert durch den Grundwert, um den Prozentsatz zu bestimmen. Damit gilt:

    $\frac{W}{G}=25:50=0,5=50\%$

    Urunkula hat also $50\%$ weniger Statisterlinge als Schreierlinge.

    Wenn sie wissen will, wie viel Prozent Schreierlinge es in Bezug zu den Statisterlingen gibt, muss sie als Grundwert $G$ den Prozentwert der Statisterlinge nehmen. Das sind hier $25$. Dann wäre ihre Rechnung:

    $\frac{W}{G}=25:25=1=100\%$

    Es gibt also $100\%$ mehr Schreierlinge als Statisterlinge.

  • Bestimme den absoluten und relativen Unterschied.

    Tipps

    Wir können zwei Pilzarten auf zwei Weisen vergleichen. Mit Hilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mit Hilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

    Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten.

    Für die Schreierlinge und Prozentione gilt:

    • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $50-5=45$
    • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=45:50=0,9=90\%$
    Lösung

    Zuerst notieren wir die Prozentzahlen für die unterschiedlichen Pilzarten. Prozentzahlen sind die Zahlen, die vor dem Prozentzeichen stehen. Deshalb verwenden wir keine Prozentzeichen in unserer Rechnung.

    • Schreierlinge: $50$
    • Statistiterlinge: $25$
    • Prozentione: $5$
    • Dialinge: $20$
    Wir können zwei Pilzarten auf zwei Weisen vergleichen. Mit Hilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mit Hilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

    Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Für den absoluten Unterschied zwischen Statisterlingen und Prozentionen ziehen wir also die Prozentzahl der Prozentione ($5$) von der Prozentzahl der Statisterlinge ($25$) ab:

    • $25-5=20$
    Der absolute Unterschied beträgt also $20$ Prozentpunkte.

    Drückt man diese Differenz selbst nun als Prozentsatz aus, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei ist der Grundwert $G$ in diesem Fall die Prozentzahl des größeren Prozentsatzes und der Prozentwert $W$ der absolute Unterschied. Wir teilen den Prozentwert durch den Grundwert, um den Prozentsatz zu bestimmen. Damit gilt:

    $\frac{W}{G}=20:25=0,8=80\%$

    Urunkula hat also $80\%$ weniger Prozentione als Statisterlinge.

    Ebenso gehen wir für die anderen vor und erhalten:

    Schreierlinge und Statisterlinge:

    • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $50-25=25$
    • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=25:50=0,5=50\%$
    Prozentione und Dialinge:

    • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $20-5=15$
    • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=15:20=0,75=75\%$
    Schreierlinge und Dialinge:

    • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $50-20=30$
    • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=30:50=0,6=60\%$
  • Ermittle den Unterschied in Prozentpunkten und als Prozentsatz.

    Tipps

    Beim absoluten Unterschied kannst du den Prozentsatz auf unterschiedliche Weisen angeben. Ist der Prozentwert zum Beispiel $W=25$ und der Grundwert $G=75$, dann

    rechnest du $\frac{W}{G}=\frac{25}{75}=\frac{1}{3}\approx 0,33 = 33\%$

    Hier ist es üblich, entweder die Prozentzahl als Dezimalbruch ($0,33$) anzugeben oder auch mit dem Prozentzeichen ($33\%$). Aber auch der gemeine Bruch ($\frac{1}{3}$) ist nicht falsch und in diesem Fall sogar genauer, da du nicht runden musst.

    Lösung

    Wir betrachten die Prozentzahlen, also nur die Zahlen vor dem Prozentzeichen:

    • grüne Bälle: $60$
    • rote Bälle: $30$
    • blaue Bälle: $10$
    Wir können zwei Ballfarben auf zwei Weisen vergleichen. Mit Hilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mit Hilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

    Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Für den absoluten Unterschied zwischen grünen und roten Bällen ziehen wir also die Prozentzahl der roten Bälle ($30$) von der Prozentzahl der grünen Bälle ($60$) ab:

    • $60-30=30$
    Der absolute Unterschied beträgt also $30$ Prozentpunkte.

    Drückt man diese Differenz selbst nun als Prozentsatz aus, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei ist der Grundwert die Prozentzahl des ersten Prozentsatzes und der Prozentwert der absolute Unterschied. Wir teilen den Prozentwert durch den Grundwert, um den Prozentsatz zu bestimmen. Damit gilt:

    $\frac{W}{G}=30:60=0,5=50\%$

    Urunkula hat also $50\%$ weniger rote Bälle als grüne Bälle. Ebenso gehen wir für die anderen vor und erhalten:

    rote und blaue Bälle:

    • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $30-10=20$
    • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\approx 0,67=67\%$
    grüne und blaue Bälle:

    • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $60-10=50$
    • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}\approx 0,83=83\%$
  • Gib den relativen und absoluten Unterschied an.

    Tipps

    Betrachte die $16$ Gummibärchen, davon sind $1$ gelb und $8$ grün. Wir erhalten die Prozentsätze:

    • $p_\text{gelb}% =\frac1{16}\approx 0,06=6\%$
    • $p_\text{grün}% =\frac8{16}= 0,5=50\%$
    Der absolute Unterschied beträgt ungefähr $44$ Prozentpunkte.

    Lösung

    $1.$ Betrachte die $12$ Gummibärchen, davon sind $4$ gelb und $3$ grün. Wir erhalten die Prozentsätze:

    • $p_\text{gelb}% =\frac4{12}\approx 0,33=33\%$
    • $p_\text{grün}% =\frac3{12}= 0,25=25\%$
    Der absolute Unterschied beträgt ungefähr $33-25=8$ Prozentpunkte.

    Der relative Unterschied beträgt etwa $\frac{W}{G}=\frac8{33}\approx 0,24=24\%$.

    $2.$ Betrachte die $18$ Gummibärchen, davon sind $9$ rosafarben und $4$ grün. Wir erhalten die Prozentsätze:

    • $p_\text{gelb}% =\frac9{18}= 0,5=50\%$
    • $p_\text{grün}% =\frac4{18}\approx 0,22=22\%$
    Der absolute Unterschied beträgt ungefähr $50-22=28$ Prozentpunkte.

    Der relative Unterschied beträgt ca. $\frac{W}{G}=\frac{28}{50}\approx 0,56=56\%$.

  • Gib die Definition der Grundbegriffe wieder.

    Tipps

    Betrachtest du $10$ Äpfel, von denen $3$ grün sind und $7$ rot, und möchtest den Anteil an roten Äpfeln bestimmen, dann ist der Grundwert $G=10$.

    Betrachtest du $10$ Äpfel, von denen $3$ grün sind und $7$ rot, und möchtest den Anteil an roten Äpfeln bestimmen, dann ist der Prozentwert $W=7$.

    Betrachtest du $10$ Äpfel, von denen $3$ grün sind und $7$ rot, und möchtest den Anteil an roten Äpfeln bestimmen, dann ist der Prozentsatz $p\%=0,7=70%$.

    Lösung

    1. Der Grundwert ist die Gesamtzahl. Man kann auch sagen, er beschreibt das Ganze.
    2. Der Prozentwert $W$ ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben.
    3. Der Prozentsatz $p\%$ ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Dieser wird normalerweise als Dezimalbruch angegeben.
    4. Das Säulendiagramm ist hilfreich bei der Darstellung und dem Vergleich der prozentualen Anteile.
    Wie du den Prozentsatz, den Prozentwert und den Grundwert anhand der anderen beiden gegebenen Größen berechnen kannst, erkennst du immer an dem Dreieck, das hier abgebildet ist. Es gilt daher:

    • $W=p\%\cdot G$
    • $p\%=\frac{W}{ G}$
    • $G=\frac{W}{ p\%}$
  • Entscheide, welche Aussagen auf Prozentpunkte zutreffen.

    Tipps

    Für die Berechnung des Prozentsatzes gilt, wie du dir mit dem Dreieck gut merken kannst:

    $p\%=\frac{W}{G}$

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • Für den relativen Unterschied zweier prozentualer Anteile dividierst du die Prozentpunkte durch die Prozentzahl des größeren Prozentsatzes.
    • Der Prozentpunkt ist eine Bezeichnung des absoluten Unterschiedes zwischen zwei relativen Angaben.
    Die zwei relativen Angaben sind in unserem Fall meist prozentuale Angaben.

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Prozentpunkte werden im Gegensatz zu Prozentzahlen immer ohne Prozentzeichen angegeben.
    Um die Prozentpunkte zu berechnen, subtrahiert man zwei Prozentzahlen voneinander. Die Prozentzahl steht im Prozentsatz vor dem Prozentzeichen, die gesamte Rechnung wird also ohne Prozentzeichen durchgeführt.

    • Prozentpunkte sind immer natürliche Zahlen.
    Stelle dir vor, es sind die Prozentsätze: $22,3\%$ und $12,9\%$ gegeben. Dann beträgt der absolute Unterschied $22,3-12,9=9,4$ Prozentpunkte. Es können also auch Dezimalzahlen oder Ähnliches sein.

    • Eine Partei hat bei der ersten Wahl $5\%$ der gesamten Wählerstimmen bekommen. $5$ Jahre später bei der nächsten Wahl erhält sie $11\%$ der Stimmen. Der Stimmenanteil der Partei verringerte sich also um $6$ Prozentpunkte.
    Wir subtrahieren die Prozentzahlen und erhalten $11-5=6$, die Partei hat aber bei der zweiten Wahl einen größeren Stimmenanteil, das heißt, sie konnte ihren Stimmenanteil um $6$ Prozentpunkte steigern.

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