sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Prozentsätze über 100%

Bewertung

Ø 4.5 / 6 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Team Digital

Prozentsätze über 100%

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentsätze über 100%

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Prozentrechnungsaufgaben durchzuführen, bei denen der Prozentsatz größer ist als 100%.

Zunächst wiederholst du die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert. Anschließend rechnest du drei Aufgaben mit Prozentsätzen über 100%, bei denen jeweils eine dieser Größen gesucht ist.

Lerne, wie du sich verändernde Größen ermitteln kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Prozent, Umwandeln von Brüchen in Prozentzahlen, Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Prozentwert, Prozentsatz (<100%) und Grundwert ausrechnet, wenn die jeweils anderen Größen gegeben sind.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über den Dreisatz zu lernen.

Transkript Prozentsätze über 100%

Willi vergleicht in seinem Tagebuch, wie viele Bücher er jeden Tag frisst. Und das kann er am besten mit Hilfe der Prozentrechnung. Wiederholen wir die wichtigsten Begriffe. Der Grundwert ist die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit dem Ganzen. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Diesen geben wir üblicherweise als Dezimalbruch an. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Vielleicht kennst du diese Begriffe schon, wenn der Prozentsatz kleiner als 100% ist. Nun betrachten wir einige Beispiele, bei denen der Prozentsatz größer als 100% ist. Am ersten Tag hat Willi 12 Bücher gegessen. Am Tag danach 50 Prozent mehr. Um herauszufinden, wie viele Bücher das sind, müssen wir den Prozentwert bestimmen. Dazu müssen wir aber zunächst herausfinden, was wir als Prozentsatz verwenden. Die Bücher vom ersten Tag, also der Grundwert, entsprechen 100%. Das sind 12 Bücher. Da Willi 50 % mehr gegessen hat, entspricht das 100% plus 50%, also 150% und als Dezimalbruch 1,5. Das sind also die 12 Bücher und die Hälfte dieser Bücher mehr. Da wir hier einen Prozentsatz größer als 100% haben, wissen wir, dass Willi auf jeden Fall mehr Bücher als am Tag zuvor gegessen hat. Rechnen wir das doch einmal aus, indem wir G mal p% rechnen. Willi hat heute also 18 Bücher gegessen. Und wie es aussieht, hat er trotzdem noch Hunger und frisst sich weiter durch die Buchstaben und Zahlen. Am nächsten Tag hat er 36 Bücher gegessen. Als Grundwert nehmen wir die 18 Bücher von zuvor. Diesmal wollen wir also den Prozentsatz bestimmen. Der Prozentsatz ist das Verhältnis zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert. Das ist 36 geteilt durch 18, also 2. Rechnen wir das in Prozent um, so sehen wir, dass dies 200% sind. Da hat Willi aber ganz schön viel mehr gegessen, ganze 100% mehr, also das doppelte. Anscheinend hat Willi immer noch nicht genug zu essen, denn der frisst schon weiter. An einem Tag in der nächsten Woche hat er 80 Bücher gegessen und das sind 150% mehr als am Tag davor. Da es 150% mehr ist, verwenden wir als Prozentsatz also 100% plus 150% = 250% oder 2,5. Wir wollen hier den Grundwert herausfinden. Wir berechnen ihn, indem wir W durch p % teilen und sehen, dass er am Tag zuvor nur 32 Bücher gegessen hat. Während Willi sich weiter durch die Bücher frisst, fassen wir zusammen. In der Prozentrechnung ist der Grundwert die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit 100 %. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben. Für den Prozentsatz gilt folgendes: Ist er kleiner als 100%, dann ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert. Ist der Prozentsatz größer als 100%, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Ist Willi denn endlich satt? Oh, da konnte er wohl seinem eigenen Tagebuch nicht widerstehen. Naja, wenigstens hat es ihm geschmeckt.

Prozentsätze über 100% Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentsätze über 100% kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Grundwert.

    Tipps

    Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert:

    $ p\% = \frac{W}{G} $

    $15\%$ mehr entsprechen dem Prozentsatz $115\%$.

    Der Prozentsatz $150\%$ entspricht dem Dezimalbruch $1,5$.

    Lösung

    Die Begriffe Grundwert $G$, Prozentwert $W$ und Prozentsatz $p\%$ kannst du in der Pyramide anordnen. Beachte dabei, dass der Protentsatz stets das Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert ist:

    $ p \% = \frac{W}{G} $

    Mit dieser Formel kannst du nun den Grundwert bestimmen. Der Angabe $150\%$ mehr entspricht der Prozentsatz $100\%+150\%=250\%$. Damit findest du folgende Rechnung:

    $ G = \frac{W}{p\%} = \frac{80}{2,5} = 32 $

  • Vervollstänige die Sätze.

    Tipps

    Der Prozentwert ist das Produkt aus dem Grundwert und dem Prozentsatz.

    $10\%$ mehr als der Grundwert entsprechen dem Prozentsatz $110\%$.

    $120$ sind $140\%$ mehr als $50$, denn $\frac{120}{2,4} =50$.

    Lösung

    Bestimmst du von einem Grundwert ausgehend einen Prozentwert, der um einen prozentualen Anteil größer als der Grundwert ist, so kannst du zuerst den Prozentsatz bestimmen: Dem Grundwert entspricht der Prozentsatz $100\%$. Zu diesem kommt noch der Prozentsatz der Erhöhung hinzu. So entspricht einem Prozentwert, der um $50\%$ größer als der Grundwert ist, der Prozentsatz $100\%+50\%=150\%$. Den Prozentsatz kannst du ausrechnen, indem du den Prozentwert durch den Grundwert dividierst. Die Prozentzahl erhältst du, indem du diesen Quotienten mit $100$ multiplizierst. Den Grundwert findest du, indem du den Prozentwert durch den Prozentsatz (als Dezimalbruch dargestellt) dividierst.

    So findest du folgende richtige Sätze:

    • „$50\%$ mehr als $12$ sind... $18$.“ Denn $50\%$ mehr entspricht $150\%$. Den Prozentwert rechnest du durch Multiplikation mit $1,5$ aus: $12\cdot 1,5=18$.
    • „$80$ sind $150\%$ mehr als... $32$.“ Der Prozentsatz ist $100\% + 150\% = 250\%$. Den Grundwert erhältst du durch Division von $80$ durch $250\%$, also durch $2,5$: Dann ist $80:2,5=32$.
    • „$18$ sind $150\%$ von... $12$.“ Wieder berechnest du den Grundwert aus dem Prozentzsatz und dem Pozentwert: $18:1,5=12$.
    • „$250\%$ von $32$ sind... $80$.“ Hier ist der Prozentwert gesucht. Du erhältst ihn durch Multiplikation des Prozentsatzes $250\%$ mit dem Grundwert: $32 \cdot 2,5 = 80$.
  • Erschließe die fehlenden Werte.

    Tipps

    Du kannst folgende Formel nach $G$ oder nach $W$ auflösen:

    $p\%= \frac{W}{G}$

    Bei jedem Prozentsatz über $100\%$ ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

    Zu dem Prozentsatz $125\%$ passt das Wertepaar aus $G=64$ und $W= 80$, denn $\frac{80}{64} = 1,25$.

    Lösung

    Das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert ist der Prozentsatz:

    $p\% = \dfrac{W}{G}$

    Zu jedem Zentralelement fehlen zwei der drei Größen. Durch die Vorgabe nur einer Größe sind die beiden anderen zwar noch nicht eindeutig bestimmt, aber es gibt zu jedem Zentralwert jeweils nur ein passendes Wertepaar, das die obige Gleichung erfüllt. So passt z.B. zu dem Prozentwert $W=180$ der Prozentsatz $150\%$ nicht, denn der zugehörige Grundwert wäre dann $G=\frac{180}{1,5} = 120$, aber dieser Wert kommt nicht vor.

    Aus der Formel oben erhältst du folgende passende Zuordnungen:

    $G=90$:

    • $W=135$
    • $+50\%$
    • Hier ist der Prozentsatz $100\% + 50\% = 150\%$ und $\dfrac{W}{p\%} = \dfrac{135}{1,5} = 90$.
    $W=180$:
    • $G=150$
    • $+20\%$
    • Der Prozentsatz ist $100\% + 20\% = 120\%$ und der Prozentwert $W=G \cdot p\% = 150 \cdot 1,2 = 180$.
    $+10\%$:
    • $G=110$
    • $W=121$
    • Der Prozentsatz ist $\dfrac{W}{G} = \dfrac{121}{100} = 1,1 = 110\%$. Der Prozentwert ist also um $10\%$ größer als der Grundwert.

  • Bestimme die Prozentwerte.

    Tipps

    Den Prozentwert bei einem Zuwachs um $p\%$ berechnest du mit dem Prozentsatz $100\% + p\%$.

    Der gleichbleibende Zuwachs erhöht den Wert jeweils um denselben Faktor.

    Lösung

    Der Zuwachs an Teilnehmern wird mit der Zuwachsrate $p\%$ angegeben. Der Grundwert für alle Sportkurse ist $G=100$. Den Prozentwert nach einem, nach zwei und nach drei Monaten kannst du am leichtesten berechnen, indem du zunächst den zugehörigen Prozentsatz bestimmst. Da der Zuwachs zu dem Grundwert hinzukommt, ist der Prozentsatz jeweils $100\% + p\%$. Der Prozentwert nach einem Monat entspricht also dem $1,1$-fachen des Grundwertes beim Steckenpferdreiten, dem $1,2$-fachen des Grundwertes beim Trockenpaddeln sowie dem $1,5$-fachen beim Sonnenbaden. Da sich die Teilnehmerzahlen in jedem Monat durchschnittlich um dieselbe Rate erhöhen, erhältst du die durchschnittlichen Teilnehmerzahlen der Folgemonate wieder durch Multiplikation mit diesen Faktoren.

    So findest du folgende durchschnittliche Teilnehmerzahlen:

    Nach einem Monat:

    • Steckenpferdreiten: $110$ Teilnehmer, denn $100 \cdot 1,1 = 110$.
    • Trockenpaddeln: $120$ Teilnehmer, denn der Zuwachs beträgt $20\%$, also $0,2 \cdot 100 = 20$. Insgesamt sind es also $100+20=120$ Teilnehmer.
    • Sonnenbaden: $150$ Teilnehmer, denn $150\%$ von $100$ ist $150$.
    Nach zwei Monaten:
    • Steckenpferdreiten: $121$ Teilnehmer, denn $110 \cdot 1,1 = 121$.
    • Trockenpaddeln: $144$ Teilnehmer, denn der Zuwachs beträgt $20\%$ der $120$ Teilnehmer des Vormonats, also $0,2 \cdot 120 = 24$ und $120+24=144$.
    • Sonnenbaden: $225$ Teilnehmer, denn $150\%$ von $150$ ist $225$.

  • Definiere die Begriffe.

    Tipps

    Der Grundwert ist die Bezugsgröße, auf die sich die Prozentwerte beziehen.

    $90\%$ eines Ganzen sind weniger als das Ganze.

    $5$ von $10$ Birnen sind derselbe prozentuale Anteil wie $27$ von $54$ Äpfel.

    Lösung

    In der Prozentrechnung unterscheidet man die Begriffe Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz und Prozentzahl. Der Grundwert entspricht einem Ganzen, auf das die anderen Werte bezogen werden. Der Prozentwert ist ein Anteil, bezogen auf das Ganze. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil; das ist dasselbe wie das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert. Das Verhältnis kann als Dezimalbruch oder in der Form $p\%$ angegeben werden. Die Zahl $p$ ist das Hundertfache des Prozentsatzes und heißt Prozentzahl.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Grundwert entspricht dem Ganzen.“
    • „Bei einem Prozentsatz über $100\%$ ist der Prozentwert größer als der Grundwert.“
    • „Der Prozentsatz ist das Verhältnis zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert.“
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Die Prozentzahl ist der prozentuale Anteil des Prozentwertes.“ Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Prozentwertes am Ganzen. Mit der kannst du diesen Prozentsatz ausdrücken, sie ist aber nicht dasselbe wie der Prozentsatz. Die Prozentzahl ist um den Faktor $100$ größer als der Prozentsatz.
    • „Der Prozentsatz ist immer kleiner als $100\%$, denn der Anteil ist kleiner als das Ganze.“ Prozentsätze größer als $100\%$ kommen immer dann vor, wenn du einen Anteil beschreibst, der größer ist als das Ganze. Der Anteil ist nicht zwingend eine Teilmenge des Ganzen. Mit dem Ausdruck „Ganzes“ oder „Grundwert“ ist vielmehr die Bezugsgröße gemeint, auf die sich der Anteil bezieht. Ein Prozentsatz über $100\%$ entsteht z. B. bei einem Zuwachs bezogen auf das Ganze. Ein Zuwachs um $15\%$ entspricht dann dem Prozentsatz $100\% +15\%=115\%$.
    • „Der Prozentwert beschreibt den prozentualen Anteil am Ganzen.“ Der Prozentwert $W$ ist ein Anteil bezogen auf das Ganze und wird als Zahl notiert. Der Prozentsatz $p\%$ ist dagegen das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert und beschreibt den prozentualen Anteil.
    • „Der Prozentwert wird in der Form $p\%$ angegeben.“ Der Prozentwert ist ein Anteil und wird als Zahl angegeben. Er wird mit $W$ bezeichnet. Dagegen ist $p\%$ der Prozentsatz. Um diesen anzugeben, muss zuerst der Grundwert als Bezugsgröße festgelegt werden. Das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert ist der Prozentsatz. Du kannst den Quotienten als Dezimalbruch angeben. Für die Darstellung in der Form $p\%$ multiplizierst du den Quotienten mit $100$ und erhältst so die Prozentzahl $p$.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    $10\%$ von $\frac{50}{100}$ sind $0,1 \cdot \frac{50}{100} = \frac{5}{100}$.

    Verringerst du einen Grundwert um $p\%$, so berechnest du den Prozentwert zu dem Prozentsatz $100\% - p\%$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „$200%$ mehr als der Grundwert sind das Dreifache des Grundwertes.“ Eine Zunahme um $200\%$ führt zu dem Prozentsatz $100\% + 200\% = 300\%$.
    • „$50\%$ mehr als der Grundwert sind die Hälfte des Dreifachen des Grundwertes.“ Eine Zunahme um $50\%$ führt zu dem Prozentsatz $100\% + 50\% = 150\%$. Das ist die Hälfte des Dreifachen des Grundwertes. Denn das Dreifache entspricht dem Prozentsatz $300\%$.
    • „Verdoppelt man einen Anteil, so verdoppelt sich auch der Prozentsatz, der zu diesem Anteil gehört.“ Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert. Verdoppelst du den Prozentwert, also den Zähler des Bruches, so verdoppelt sich auch der Wert des Bruches, also der Prozentsatz.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Erhöht man einen Grundwert zuerst um einen Prozentsatz und verringert das Ergebnis dann um denselben Prozentsatz, so erhält man wieder den Grundwert.“ Erhöhst du z.B. um $10\%$, so erhältst du $110\%$ des Ganzen. Verringerst du nun diesen Wert um $10\%$, so bezieht sich die Reduktion nicht auf das ursprüngliche Ganze, sondern auf diesen Zwischenwert. $10\%$ von $110$ sind $11$, daher erhältst du $110\%-11\% = 99\%$ des ursprünglichen Ganzen. Hier ist noch ein Beispiel mit Zahlen: $10\%$ mehr als $500$ sind $550$ und $10\%$ weniger als $550$ sind $90\%$ von $550$, also $550 \cdot 0,9= 495$. Das ist dasselbe wie $99\%$ von $500$.
    • „$10\%$ mehr als die Hälfte sind $60\%$ des Ganzen.“ Die Hälfte eines Ganzen sind $50\%$ des Ganzen. $10\%$ mehr von etwas sind das $1,1$-fache. Daher sind $10\%$ mehr als die Hälfte genau $1,1 \cdot 50\% = 55\%$ des Ganzen.
    • „Vergrößert sich ein Prozentwert um $10\%$, so nimmt die Prozentzahl um $10$ zu.“ Bei der Angabe einer Vergrößerung um $10\%$ bezieht sich die Prozentzahl immer auf die angegebene Größe. Diese Größe ist der Grundwert der Prozentangabe, selbst wenn sie der Anteil eines anderen Ganzen ist. $10\%$ eines Anteils können mehr oder weniger als $10\%$ des Ganzen sein. Die Änderung der Prozentzahl des Anteils kann man nur ausrechnen, wenn man diese Prozentzahl kennt. Hier ist ein Beispiel mit Zahlen: $75\%$ von $160$ sind $120$. Erhöhst du diesen Anteil um $10\%$, so erhältst du $120 \cdot 1,1 = 132$. Diesem Wert, aufgefasst als Anteil des Ganzen $160$, entspricht der Prozentsatz $\frac{132}{180} = 0,825 = 82,5\%$. Die Prozentzahl hat sich also von $75$ auf $82,5$ um weniger als $10$ erhöht. Die Änderung der Prozentzahl entspricht genau $10\%$ der Prozentzahl $75$.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.862

Lernvideos

44.109

Übungen

38.669

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden