Zylinder – Volumen und Oberfläche

Zylinder – Volumen und Oberfläche Übung

• Gib wieder, wie man die Oberfläche eines Zylinders bestimmt.

  Tipps

  Da die Grundfläche $G$ und Deckfläche $D$ kongruent sind, können wir $D=G$ annehmen.

  Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an.

  Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche. Das können wir so schreiben:

  $O=2G+M$“.

  • Da die Grund- und Deckfläche kongruent sind, können wir diese hier zusammenfassen.

  „Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius $r$. Seine Fläche können wir so angeben:

  $G=\pi r^2$.“

  • So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises.

  „Die Mantelfläche ist ein Rechteck. Eine der Seitenlängen dieses Rechtecks ist die Höhe des Zylinders. Die andere entspricht dem Umfang der Grundfläche. So erhalten wir:

  $M=h\cdot2 \pi r$.“

  • Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an. Deshalb muss dies eine Seite des Rechtecks sein.

  „Fügen wir die Formeln zusammen, erhalten wir für die Oberfläche:

  $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.“

  • Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.

• Gib an, wie man das Volumen eines Zylinders bestimmt.

  Tipps

  Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.

  Zum Schluss kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Das Volumen eines Zylinders berechnen wir, indem wir die Grundfläche $G$ mit der Höhe $h$ multiplizieren. So erhalten wir:

  $V=G \cdot h$.“

  • Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.

  „Die Grundfläche ist ein Kreis. Also benötigen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

  $G=\pi r^2$.

  Wir erhalten:

  $V=\pi r^2 \cdot h$.“

  • Hier setzen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises in die Formel des Volumens ein.

  „Hier können wir die gegebenen Größen einsetzen:

  $V=\pi (15~\text{cm})^2 \cdot 5~\text{cm}\approx3~534,29~\text{cm}^3$.“

  • Anschließend kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.

• Ermittle, wo die Oberfläche der Zylinder korrekt bestimmt wurde.

  Tipps

  Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.

  $O=2G+M$

  Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhältst du:

  $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.

  In diese Formel kannst du die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und zu vergleichen.

  Lösung

  Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.

  $O=2G+M$

  Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhalten wir:

  $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.

  In diese Formel können wir die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und mit den gegebenen Werten zu vergleichen. Damit erhalten wir, dass folgende Oberflächen falsch berechnet wurden:

  „Ein Zylinder mit $r=3~\text{cm}$ und $h=3~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=131,2~\text{cm}^2$.“

  • So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 3~\text{cm} \cdot (3~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 113,10~\text{cm}^2.$

  „Ein Zylinder mit $r=2~\text{cm}$ und $h=3,5~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=82,34~\text{cm}^2$.“

  • So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3,5~\text{cm}) \approx 69,12~\text{cm}^2.$

  Folgende Oberflächen wurden korrekt bestimmt:

  • $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 62,83 ~\text{cm}^2$

  • $O=2 \pi \cdot 2,5~\text{cm} \cdot (2,5~\text{cm}+2,5~\text{cm}) \approx 78,54 ~\text{cm}^2$

• Ermittle die Volumen der Zylinder.

  Tipps

  Das Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.

  $V=G \cdot h$

  Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt $\pi r^2$. Dabei ist $r$ der Kreisradius.

  Lösung

  Das Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.

  $V=G \cdot h$

  Da die Grundfläche ein Kreis mit Flächeninhalt $\pi r^2$ ist, kannst du die Formel für das Volumen eines Zylinders so angeben:

  $V=\pi r^2 \cdot h$.

  Setzten wir in diese Formel die gegebenen Größen ein, erhalten wir:

  • $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 37,70~\text{m}^3$

  • $V=\pi (3~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 84,82~\text{m}^3$

  • $V=\pi (2,5~\text{m})^2 \cdot 2,5~\text{m}\approx 49,09~\text{m}^3$

  • $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3,5~\text{m}\approx 43,98~\text{m}^3$

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Oberfläche und dem Volumen von Zylindern.

  Tipps

  Die Grund- und Deckfläche eines Zylinders sind zwei kongruente Kreise.

  Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Viereck.“

  • Ein Zylinder hat zwei kongruente Kreise. Diese heißen Grund- und Deckfläche.

  „Ausgerollt ist die Mantelfläche eines Zylinders ein Dreieck.“

  • Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und dem Umfang der Grundfläche als Seitenlängen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Grund- und Deckfläche besitzen den gleichen Radius.“

  • Da die beiden Flächen kongruent sind, besitzen sie auch den gleichen Radius.

  „Eine Seite der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche.“

  „Das Volumen eines Zylinders kannst du bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“

  • Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst. Dies ist auch hier der Fall.

• Ermittle das Volumen und die Oberfläche des Halbzylinders.

  Tipps

  Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.

  Die Mantelfläche eines Zylinders beträgt $M=2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$.

  Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Da der Zylinder genau halbiert wurde, ist nur noch die Hälfte des Volumens $V$ übrig. Wir erhalten also für das Volumen des Halbzylinders $V_H$ folgende Formel:

  $V_H=\frac{V}{2}=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \cdot h$.“

  • Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.

  „Damit ergibt sich ein Volumen von: $V_H \approx 1884,96~\text{cm}^3.$“

  • Setzt du die gegebenen Größen ein, erhältst du diesen Zahlenwert.

  „Die Oberfläche $O_H$ eines Halbzylinders besteht aus zwei gleich großen Halbkreisen und zwei unterschiedlich großen Rechtecken. Die Oberfläche $O_K$ eines Halbkreises bestimmen wir durch:

  $O_K=\frac{1}{2} \pi r^2$.“

  • Ein Halbkreis hat genau die Hälfte der Fläche eines Kreises. Deshalb kannst du die Fläche eines Halbkreises angeben, indem du mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.

  „Die Fläche des ersten Rechtecks $A_M$ entspricht der Hälfte der Mantelfläche. Also erhalten wir:

  $A_M=h \cdot \pi \cdot r$.“

  • Auch hier wurde durch zwei geteilt. Da allerdings die Mantelfläche eines Zylinders $2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$ beträgt, können wir hier die zwei wegkürzen: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h \cdot \pi \cdot r =h \cdot \pi \cdot r.$

  „Das letzte Rechteck ist die Fläche, die beim Durchschneiden des Zylinders entstanden ist. Eine Seitenlänge entspricht der Höhe $h$ und die andere dem Durchmesser der Grundfläche. Also:

  $A_R=h \cdot 2r$.“

  • Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius: $d=2r$.

  „Zusammen erhalten wir:

  $O_H=\pi r^2+h \cdot \pi \cdot r+2rh$.“

  • Jetzt setzen wir die einzelnen Teile der Formel zusammen.

  Setzen wir die gegebenen Größen ein, erhalten wir eine Fläche von:

  $O_H \approx 931,15~\text{cm}^2$.“