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Zylinder: Volumen und Oberfläche 04:45 min

Textversion des Videos

Transkript Zylinder: Volumen und Oberfläche

Oh! Das sieht aber lecker aus! Ein Kuchen und Torten Wettbewerb? Wäre es nicht toll einen der heißbegehrten Preise zu gewinnen? Nichts einfacher als das, denkt Titus! Um die Jury zu beeindrucken, möchte er eine besonders große Torte backen. Dabei kann er sein Wissen über den Zylinder verwenden. Ein Kuchen wird nämlich oft in so einer Form gebacken. Der Zylinder ist ein Körper, der als Grundfläche einen Kreis besitzt. Verschieben wir diese Grundfläche... und ummanteln den entstandenen Zwischenraum, erhalten wir einen Zylinder. Der Zylinder besteht also aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer kreisförmigen Deckfläche, die jeweils den gleichen Radius besitzen. Sie sind also kongruent. Durch die Verschiebung des Kreises haben wir außerdem die Höhe des Zylinders erhalten. Klappen wir den Zylinder nun auf, so sehen wir das Körpernetz. Es besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und dieser rechteckigen Fläche, die auch Mantelfläche genannt wird. All diese Flächen zusammen bilden die Oberfläche des Zylinders. Zur Berechnung der Oberfläche benötigen wir also den Flächeninhalt der beiden Kreise und den Flächeninhalt der Mantelfläche. Da die Kreise kongruent zueinander sind, haben sie beide den gleichen Flächeninhalt. Wir rechnen zwei mal pi mal r quadrat. Für das Rechteck benötigen wir nun nur noch die Längen der beiden Seiten. Diese Seite hier ist die Höhe h. Und diese Seite umschließt die Grundfläche des Zylinders, wir können sie also durch den Umfang des Kreises darstellen. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also U mal h. Da der Umfang eines Kreises mit zwei mal pi mal r berechnet wird, erhalten wir für die Mantelfläche also zwei mal pi mal r mal h. Für die Oberfläche haben wir nun diese Formel. Fassen wir sie noch weiter zusammen, so erhalten wir zwei mal pi mal r mal in Klammern (r+h). Schauen wir uns das doch nun an einem Beispiel an: die Kuchenform, in der Titus seinen Kuchen backen möchte, hat einen Radius von 15 cm und eine Höhe von 5 cm. Welche Oberfläche wird dieser Kuchen haben? Setzen wir die Werte in die Formel ein und rechnen dies aus so sehen wir, dass der Kuchen eine Oberfläche von ungefähr 1884,96 Quadratzentimetern haben wird. Was für ein Volumen würde dieser Kuchen denn haben? Das Volumen eines Zylinders berechnen wir mithilfe der Grundfläche und der Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis, also können wir wieder die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden. Für das Volumen verwenden wir also die Formel pi mal r quadrat mal h. Bei einem Radius von 15 cm und einer Höhe von 5 cm hat der Kuchen also ein Volumen von ungefähr 3534,29 Kubikzentimetern. Während Titus seine Torte zubereitet, fassen wir zusammen. Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich zusammen aus Mantelfläche, Grund- und Deckfläche. Da die Grund- und Deckfläche den gleichen Flächeninhalt besitzen, berechnen wir die Oberfläche mit zwei mal G plus M und das sind 2 mal pi mal r mal in Klammern (r +h). Die Oberfläche umschließt das Volumen des Zylinders. Dieses berechnet man mithilfe der Grundfläche und der Höhe, also pi mal r quadrat mal h. Ist Titus wohl schon auf dem Weg zum Wettbewerb? Oh, da konnte er der Torte wohl nicht widerstehen.

Zylinder: Volumen und Oberfläche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zylinder: Volumen und Oberfläche kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib wieder, wie man die Oberfläche eines Zylinders bestimmt.

    Tipps

    Da die Grundfläche $G$ und Deckfläche $D$ kongruent sind, können wir $D=G$ annehmen.

    Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an.

    Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche. Das können wir so schreiben:

    $O=2G+M$“.

    • Da die Grund - und Deckfläche kongruent sind, können wir diese hier zusammenfassen.
    „Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius $r$. Seine Fläche können wir so angeben:

    $G=\pi r^2$.“

    • So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises.
    „Die Mantelfläche ist ein Rechteck. Eine der Seitenlängen dieses Rechtecks ist die Höhe des Zylinders. Die andere entspricht dem Umfang der Grundfläche. So erhalten wir:

    $M=h\cdot2 \pi r$.“

    • Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an. Deshalb muss dies eine Seite des Rechtecks sein.
    „Fügen wir die Formeln zusammen, erhalten wir für die Oberfläche:

    $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.“

    • Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Oberfläche und dem Volumen von Zylindern.

    Tipps

    Die Grund- und Deckfläche eines Zylinders sind zwei kongruente Kreise.

    Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Viereck.“

    • Ein Zylinder hat zwei kongruente Kreise. Diese heißen Grund- und Deckfläche.
    „Ausgerollt ist die Mantelfläche eines Zylinders ein Dreieck.“

    • Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und dem Umfang der Grundfläche als Seitenlängen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Grund- und Deckfläche besitzen den gleichen Radius.“

    • Da die beiden Flächen kongruent sind, besitzen sie auch den gleichen Radius.
    „Eine Seite der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche.“

    „Das Volumen eines Zylinders kannst du bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“

    • Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst. Dies ist auch hier der Fall.
  • Gib an, wie man das Volumen eines Zylinders bestimmt.

    Tipps

    Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers mutiplizierst.

    Zum Schluss kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Das Volumen eines Zylinders berechnen wir, indem wir die Grundfläche $G$ mit der Höhe $h$ multiplizieren. So erhalten wir:

    $V=G \cdot h$.“

    • Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
    „Die Grundfläche ist ein Kreis. Also benötigen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

    $G=\pi r^2$.

    Wir erhalten:

    $V=\pi r^2 \cdot h$.“

    • Hier setzen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises in die Formel des Volumens ein.
    „Hier können wir die gegebenen Größen einsetzen:

    $V=\pi (15~\text{cm})^2 \cdot 5~\text{cm}\approx3534,29~\text{cm}^3$.“

    • Anschließend kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.
  • Ermittle das Volumen und die Oberfläche des Halbzylinders.

    Tipps

    Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.

    Die Mantelfläche eines Zylinders beträgt $M=2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$.

    Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Da der Zylinder genau halbiert wurde, ist nur noch die Hälfte des Volumens $V$ übrig. Wir erhalten also für das Volumen des Halbzylinders $V_H$ folgende Formel:

    $V_H=\frac{V}{2}=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \cdot h$.“

    • Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.
    „Damit ergibt sich ein Volumen von: $V_H \approx 1884,96~\text{cm}^3.$“

    • Setzt du die gegebenen Größen ein, erhältst du diesen Zahlenwert.
    „Die Oberfläche $O_H$ eines Halbzylinders besteht aus zwei gleich großen Halbkreisen und zwei unterschiedlich großen Rechtecken. Die Oberfläche $O_K$ eines Halbkreises bestimmen wir durch:

    $O_K=\frac{1}{2} \pi r^2$.“

    • Ein Halbkreis hat genau die Hälfte der Fläche eines Kreises. Deshalb kannst du die Fläche eines Halbkreises angeben, indem du mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.
    „Die Fläche des ersten Rechtecks $A_M$ entspricht der Hälfte der Mantelfläche. Also erhalten wir:

    $A_M=h \cdot \pi \cdot r$.“

    • Auch hier wurde durch zwei geteilt. Da allerdings die Mantelfläche eines Zylinders $2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$ beträgt, können wir hier die zwei wegkürzen: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h \cdot \pi \cdot r =h \cdot \pi \cdot r.$
    „Das letzte Rechteck ist die Fläche, die beim Durchschneiden des Zylinders entstanden ist. Eine Seitenlänge entspricht der Höhe $h$ und die andere dem Durchmesser der Grundfläche. Also:

    $A_R=h \cdot 2r$.“

    • Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius: $d=2r$.
    „Zusammen erhalten wir:

    $O_H=\pi r^2+h \cdot \pi \cdot r+2rh$.“

    • Jetzt setzen wir die einzelnen Teile der Formel zusammen.
    Setzen wir die gegebenen Größen ein, erhalten wir eine Fläche von:

    $O_H \approx 931,15~\text{cm}^2$.“

  • Ermittle, wo die Oberfläche der Zylinder korrekt bestimmt wurde.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.

    $O=2G+M$

    Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhältst du:

    $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.

    In diese Formel kannst du die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und zu vergleichen.

    Lösung

    Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.

    $O=2G+M$

    Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhalten wir:

    $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.

    In diese Formel können wir die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und mit den gegebenen Werten zu vergleichen. Damit erhalten wir, dass folgende Oberflächen falsch berechnet wurden:

    „Ein Zylinder mit $r=3~\text{cm}$ und $h=3~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=131,2~\text{cm}^2$.“

    • So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 3~\text{cm} \cdot (3~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 113,10~\text{cm}^2.$
    „Ein Zylinder mit $r=2~\text{cm}$ und $h=3,5~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=82,34~\text{cm}^2$.“

    • So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3,5~\text{cm}) \approx 69,12~\text{cm}^2.$
    Folgende Oberflächen wurden korrekt bestimmt:

    • $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 62,83 ~\text{cm}^2$
    • $O=2 \pi \cdot 2,5~\text{cm} \cdot (2,5~\text{cm}+2,5~\text{cm}) \approx 78,54 ~\text{cm}^2$
  • Ermittle die Volumen der Zylinder.

    Tipps

    Das Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.

    $V=G \cdot h$

    Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt $\pi r^2$. Dabei ist $r$ der Kreisradius.

    Lösung

    Das Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.

    $V=G \cdot h$

    Da die Grundfläche ein Kreis mit Flächeninhalt $\pi r^2$ ist, kannst du die Formel für das Volumen eines Zylinders so angeben:

    $V=\pi r^2 \cdot h$.

    Setzten wir in diese Formel die gegebenen Größen ein, erhalten wir:

    • $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 37,70~\text{m}^3$
    • $V=\pi (3~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 84,82~\text{m}^3$
    • $V=\pi (2,5~\text{m})^2 \cdot 2,5~\text{m}\approx 49,09~\text{m}^3$
    • $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3,5~\text{m}\approx 43,98~\text{m}^3$