Zylinder – Volumen und Oberfläche
Zylinder – Volumen und Oberfläche
Beschreibung Zylinder – Volumen und Oberfläche
Einführung: Zylinder
Der Zylinder ist ein Körper. Grund- und Deckfläche sind zueinander parallele und kongruente Kreise. Diese werden von einer Fläche ummantelt, der Mantelfläche. Der Abstand von Grund- zur Deckfläche ist die Höhe $h$ des Zylinders.
Wenn man diesen Körpern an den Kanten aufschneidet und auffaltet, erhält man das Körpernetz.
Die in dem Netz zu sehende Mantelfläche und die beiden Kreise bilden gemeinsam die Oberfläche des Zylinders.
Oberfläche Zylinder
Die Oberfläche ergibt sich also als Summe der Mantelfläche sowie dem Doppelten der Grundfläche:
$O=2G +M$.
Die Grundfläche ist ein Kreis. Somit ist $G=\pi\cdot r^2$. Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen Höhe des Zylinders und Umfang der Grundfläche. Damit ist $M=2\pi\cdot r\cdot h$.
Nun kann die Oberflächenformel Zylinder angegeben werden:
$O=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h=2\pi~r\cdot(r+h)$
Volumen Zylinder
Das Volumen eines Zylinders kann mit folgender Formel berechnet werden:
$V=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h$
Zylinder Oberfläche berechnen
Zunächst soll die Zylinderoberfläche eines Zylinders mit den folgenden gegebenen Größen berechnet werden:
$r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$
Diese Größen werden in die Oberfläche Zylinder Formel eingesetzt:
$O=2\pi~r\cdot(r+h)$
Dies führt zu:
$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot(15~\text{cm}+5~\text{cm})$
Und weiter zu:
$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot 20~\text{cm}=600\pi~\text{cm}^2\approx 1844,96~\text{cm}^2 $
Zylinder Volumen berechnen
Für den Zylinder aus dem obigen Beispiel mit $r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$ kann man mit folgender Volumenformel schließlich noch das Volumen berechnen:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h$
Die bekannten Größen werden in diese Formel eingesetzt:
$V=\pi\cdot \left(15~\text{cm}\right)^2\cdot 5~\text{cm}$
Nun kann weiter gerechnet werden:
$V=\pi\cdot 225~\text{cm}^2\cdot 5~\text{cm}=1125\pi~\text{cm}^3\approx 3534,29~\text{cm}^3$
Dieses Video
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders zu berechnen.
Zunächst lernst du, welche besonderen Eigenschaften ein Zylinder besitzt. Anschließend lernst du, wie man den Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnen kann. Abschließend erfährst du, wie man das Volumen eines Zylinders berechnet.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Zylinder ist und welche Eigenschaften dieser besitzt.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Berechnung des Volumen und der Oberfläche von weiteren Körpern zu lernen.
Formeln Zylinder
| Zylinder | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Grundfläche mal Höhe | zweimal Grundfläche plus Mantelfläche | |
| Formel | V = G⋅h = πr²⋅h |
O = 2G + M = 2⋅πr² + 2πr⋅h = 2πr⋅(r+h) |
| Beispiel: r = 5cm, h = 2cm |
V = π⋅(5cm)²⋅2cm ≈ 157,1cm³ |
O = 2π⋅5cm⋅(5cm + 2cm) ≈ 219,9cm² |
Transkript Zylinder – Volumen und Oberfläche
Oh! Das sieht aber lecker aus! Ein Kuchen und Torten Wettbewerb? Wäre es nicht toll einen der heißbegehrten Preise zu gewinnen? Nichts einfacher als das, denkt Titus! Um die Jury zu beeindrucken, möchte er eine besonders große Torte backen. Dabei kann er sein Wissen über den Zylinder verwenden. Ein Kuchen wird nämlich oft in so einer Form gebacken. Der Zylinder ist ein Körper, der als Grundfläche einen Kreis besitzt. Verschieben wir diese Grundfläche... und ummanteln den entstandenen Zwischenraum, erhalten wir einen Zylinder. Der Zylinder besteht also aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer kreisförmigen Deckfläche, die jeweils den gleichen Radius besitzen. Sie sind also kongruent. Durch die Verschiebung des Kreises haben wir außerdem die Höhe des Zylinders erhalten. Klappen wir den Zylinder nun auf, so sehen wir das Körpernetz. Es besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und dieser rechteckigen Fläche, die auch Mantelfläche genannt wird. All diese Flächen zusammen bilden die Oberfläche des Zylinders. Zur Berechnung der Oberfläche benötigen wir also den Flächeninhalt der beiden Kreise und den Flächeninhalt der Mantelfläche. Da die Kreise kongruent zueinander sind, haben sie beide den gleichen Flächeninhalt. Wir rechnen zwei mal pi mal r quadrat. Für das Rechteck benötigen wir nun nur noch die Längen der beiden Seiten. Diese Seite hier ist die Höhe h. Und diese Seite umschließt die Grundfläche des Zylinders, wir können sie also durch den Umfang des Kreises darstellen. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also U mal h. Da der Umfang eines Kreises mit zwei mal pi mal r berechnet wird, erhalten wir für die Mantelfläche also zwei mal pi mal r mal h. Für die Oberfläche haben wir nun diese Formel. Fassen wir sie noch weiter zusammen, so erhalten wir zwei mal pi mal r mal in Klammern (r+h). Schauen wir uns das doch nun an einem Beispiel an: die Kuchenform, in der Titus seinen Kuchen backen möchte, hat einen Radius von 15 cm und eine Höhe von 5 cm. Welche Oberfläche wird dieser Kuchen haben? Setzen wir die Werte in die Formel ein und rechnen dies aus so sehen wir, dass der Kuchen eine Oberfläche von ungefähr 1884,96 Quadratzentimetern haben wird. Was für ein Volumen würde dieser Kuchen denn haben? Das Volumen eines Zylinders berechnen wir mithilfe der Grundfläche und der Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis, also können wir wieder die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden. Für das Volumen verwenden wir also die Formel pi mal r quadrat mal h. Bei einem Radius von 15 cm und einer Höhe von 5 cm hat der Kuchen also ein Volumen von ungefähr 3534,29 Kubikzentimetern. Während Titus seine Torte zubereitet, fassen wir zusammen. Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich zusammen aus Mantelfläche, Grund- und Deckfläche. Da die Grund- und Deckfläche den gleichen Flächeninhalt besitzen, berechnen wir die Oberfläche mit zwei mal G plus M und das sind 2 mal pi mal r mal in Klammern (r +h). Die Oberfläche umschließt das Volumen des Zylinders. Dieses berechnet man mithilfe der Grundfläche und der Höhe, also pi mal r quadrat mal h. Ist Titus wohl schon auf dem Weg zum Wettbewerb? Oh, da konnte er der Torte wohl nicht widerstehen.
Zylinder – Volumen und Oberfläche Übung
-
Gib wieder, wie man die Oberfläche eines Zylinders bestimmt.
TippsDa die Grundfläche $G$ und Deckfläche $D$ kongruent sind, können wir $D=G$ annehmen.
Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an.
Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche. Das können wir so schreiben:
$O=2G+M$“.
- Da die Grund - und Deckfläche kongruent sind, können wir diese hier zusammenfassen.
$G=\pi r^2$.“
- So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises.
$M=h\cdot2 \pi r$.“
- Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an. Deshalb muss dies eine Seite des Rechtecks sein.
$O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.“
- Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.
-
Gib an, wie man das Volumen eines Zylinders bestimmt.
TippsDas Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers mutiplizierst.
Zum Schluss kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Das Volumen eines Zylinders berechnen wir, indem wir die Grundfläche $G$ mit der Höhe $h$ multiplizieren. So erhalten wir:
$V=G \cdot h$.“
- Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
$G=\pi r^2$.
Wir erhalten:
$V=\pi r^2 \cdot h$.“
- Hier setzen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises in die Formel des Volumens ein.
$V=\pi (15~\text{cm})^2 \cdot 5~\text{cm}\approx3534,29~\text{cm}^3$.“
- Anschließend kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.
-
Ermittle, wo die Oberfläche der Zylinder korrekt bestimmt wurde.
TippsDie Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.
$O=2G+M$
Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhältst du:
$O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.
In diese Formel kannst du die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und zu vergleichen.
LösungDie Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.
$O=2G+M$
Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhalten wir:
$O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.
In diese Formel können wir die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und mit den gegebenen Werten zu vergleichen. Damit erhalten wir, dass folgende Oberflächen falsch berechnet wurden:
„Ein Zylinder mit $r=3~\text{cm}$ und $h=3~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=131,2~\text{cm}^2$.“
- So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 3~\text{cm} \cdot (3~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 113,10~\text{cm}^2.$
- So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3,5~\text{cm}) \approx 69,12~\text{cm}^2.$
- $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 62,83 ~\text{cm}^2$
- $O=2 \pi \cdot 2,5~\text{cm} \cdot (2,5~\text{cm}+2,5~\text{cm}) \approx 78,54 ~\text{cm}^2$
-
Ermittle die Volumen der Zylinder.
TippsDas Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.
$V=G \cdot h$
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt $\pi r^2$. Dabei ist $r$ der Kreisradius.
LösungDas Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.
$V=G \cdot h$
Da die Grundfläche ein Kreis mit Flächeninhalt $\pi r^2$ ist, kannst du die Formel für das Volumen eines Zylinders so angeben:
$V=\pi r^2 \cdot h$.
Setzten wir in diese Formel die gegebenen Größen ein, erhalten wir:
- $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 37,70~\text{m}^3$
- $V=\pi (3~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 84,82~\text{m}^3$
- $V=\pi (2,5~\text{m})^2 \cdot 2,5~\text{m}\approx 49,09~\text{m}^3$
- $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3,5~\text{m}\approx 43,98~\text{m}^3$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zur Oberfläche und dem Volumen von Zylindern.
TippsDie Grund- und Deckfläche eines Zylinders sind zwei kongruente Kreise.
Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Viereck.“
- Ein Zylinder hat zwei kongruente Kreise. Diese heißen Grund- und Deckfläche.
- Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und dem Umfang der Grundfläche als Seitenlängen.
„Die Grund- und Deckfläche besitzen den gleichen Radius.“
- Da die beiden Flächen kongruent sind, besitzen sie auch den gleichen Radius.
„Das Volumen eines Zylinders kannst du bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“
- Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst. Dies ist auch hier der Fall.
-
Ermittle das Volumen und die Oberfläche des Halbzylinders.
TippsMit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.
Die Mantelfläche eines Zylinders beträgt $M=2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$.
Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Da der Zylinder genau halbiert wurde, ist nur noch die Hälfte des Volumens $V$ übrig. Wir erhalten also für das Volumen des Halbzylinders $V_H$ folgende Formel:
$V_H=\frac{V}{2}=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \cdot h$.“
- Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.
- Setzt du die gegebenen Größen ein, erhältst du diesen Zahlenwert.
$O_K=\frac{1}{2} \pi r^2$.“
- Ein Halbkreis hat genau die Hälfte der Fläche eines Kreises. Deshalb kannst du die Fläche eines Halbkreises angeben, indem du mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.
$A_M=h \cdot \pi \cdot r$.“
- Auch hier wurde durch zwei geteilt. Da allerdings die Mantelfläche eines Zylinders $2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$ beträgt, können wir hier die zwei wegkürzen: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h \cdot \pi \cdot r =h \cdot \pi \cdot r.$
$A_R=h \cdot 2r$.“
- Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius: $d=2r$.
$O_H=\pi r^2+h \cdot \pi \cdot r+2rh$.“
- Jetzt setzen wir die einzelnen Teile der Formel zusammen.
$O_H \approx 931,15~\text{cm}^2$.“
Zylinder – Definition
Zylinder – Volumen und Oberfläche
Zylinder – Ergänzungen (1)
Zylinder – Ergänzungen (2)
Mantelfläche von Zylindern
Mantelfläche von Zylindern – Aufgabe
Oberfläche von Zylindern
Oberfläche von Zylindern – Aufgabe
Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche von Zylindern
Volumen von Zylindern
Volumen von Zylindern – Definition
Volumen von Zylindern – Aufgabe
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6 Kommentare
Danke🧍🏻
So kompliziert erklärt und die Formeln so komisch erklärt. 0 von 5 sternen
Hallo Sivli Strauss,
bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Grausam, da kann ich auch bei meinem Mathelehrer bleiben und mir das Abo hier sparen. Für Mathegenies mag es gut sein, für andere völlig unverständlich erklärt, danach stellen sich mehr Fragen als beantwortet wurden.
Hallo Arno Brandherm,
vielen Dank für deinen Hinweis. Wir werden den Fehler schnellstmöglich korrigieren.
Liebe Grüße aus der Redaktion