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Satz des Cavalieri 06:24 min

Textversion des Videos

Transkript Satz des Cavalieri

Hallo. In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Satz von Cavalieri. Er stellt eine bedeutsame Aussage über die Volumen von Körpern dar. Zu Beginn werde ich dir an einem Beispiel die Fragestellung des Cavalieri vorstellen. Bevor wir dann zur Formulierung des Satzes von Cavalieri kommen, erkläre ich dir, was man unter der Schnittfläche eines Körpers versteht. Im Anschluss stellen wir den Satz von Cavalieri auf und schauen uns ein Rechenbeispiel an. Zum Schluss werden wir das Gelernte noch einmal zusammenfassen. Bonaventura Cavalieri, ein italienischer Mathematiker, beschäftigte sich unter anderem mit dem Volumen von Körpern. Dabei stellte er sich die Frage, wann zwei Körper das gleiche Volumen haben können. Betrachten wir diese zwei Vasen. Cavalieri wollte herausfinden, welche Eigenschaften die geometrischen Körper aufweisen müssen, damit beide Vasen die gleiche Menge an Wasser fassen können. Die Menge des Wassers entspricht dabei dem Volumen der Vasen. Bevor wir uns dieser Frage annehmen können, müssen wir zunächst den Begriff der Schnittfläche eines Körpers klären. Betrachten wir ein dreiseitiges Prisma. Als Schnittflächen werden nun in der Mathematik Flächen gezeigt, die parallel zur Grundfläche eines Körpers diesen in der Höhe h zerschneiden. Kommen wir nun zur Formulierung des Satzes von Cavalieri. Der Satz von Cavalieri lautet: Zwei Körper gleicher Gesamthöhe besitzen das gleiche Volumen, wenn ihre Schnittflächen in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. Betrachten wir zwei Türme, die aus baugleichen Holzklötzen gebaut wurden, einen geraden Turm und einen schiefen Turm. Da die Anzahl der Holzklötze und ihre Beschaffenheit identisch ist, wundert es nicht, dass beide Türme trotz ihres unterschiedlichen Aussehens dasselbe Volumen haben. Das Volumen ist nur die Aufaddierung der einzelnen Volumen der Holzklötze. In jeder Höhe bestehen die Türme aus denselben Bauklötzen, haben also dasselbe Volumen. Der Satz von Cavalieri spricht jedoch von Schnittflächen und nicht von Teilvolumen, wie sie unsere Bauklötze darstellen. An dieser Stelle müssen wir einen gedanklichen Trick anwenden, indem wir annehmen, dass die Bauklötze unendlich dünn sind, so dass die Türme aus unendlich vielen Flächen bestehen. Wir lassen die Höhe der Bauklötze also gegen null laufen. So erhalten wir anstelle der Bauklötze mit ihren Volumen einzelne Schnittflächen mit ihrem Flächeninhalt. Sind in jeder Höhe diese Schnittflächen zweier Körper gleich groß, so sagt der Satz von Cavalieri, haben die Körper auch die gleichen Volumen. Betrachten wir ein Rechenbeispiel. Dazu seien uns zwei Quader gegeben. Der eine Quader hat ein Quadrat mit Seitenlänge vier Zentimeter als Grundfläche, der zweite Quader ein Rechteck mit der Seitenlänge zwei Zentimeter und acht Zentimeter. Beide Quader haben eine Höhe von zehn Zentimetern. Betrachten wir den Flächeninhalt der Grundfläche beider Quader. Bei dem ersten Quadrat mit quadratischer Grundfläche und Seitenlänge vier Zentimeter beträgt der Flächeninhalt 16 Quadratzentimeter. Bei dem zweiten Quader mit rechteckiger Grundfläche und Seitenlängen zwei Zentimeter und acht Zentimeter beträgt der Flächeninhalt ebenfalls 16 Quadratzentimeter. Betrachten wir nun eine zur jeweiligen Grundfläche parallele Schnittfläche in selber Höhe beider Prismen. Die Schnittfläche hat wieder die Form eines Quaders beziehungsweise eines Rechteckes mit denselben Maßen der Grundfläche. Man sieht schnell, egal in welcher Höhe wir einen Schnitt parallel zur Grundfläche durch unseren Quader machen würden, wir würden stets ein Quadrat beziehungsweise Rechteck kongruent zur Fläche erhalten. Kommen wir nun zu Cavalieris Aussage zurück. Er sagt aus: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn die Grundflächen und alle Schnittflächen in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. Der Flächeninhalt der Grundflächen unserer zwei Quader ist identisch, nämlich wie schon berechnet 16 Quadratzentimeter. Nun hat aber auch jede Schnittfläche beider Quader den Flächeninhalt von 16 Quadratzentimeter und damit haben beide Quader in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt. Nach Cavalieri muss das Volumen beider Quader also identisch sein. Dies können wir aber auch ganz einfach über die Volumenformel V ist gleich Grundfläche mal Höhe überprüfen. Bei beiden Quadern erhalten wir 16 Quadratzentimeter mal zehn Zentimeter, also 160 Kubikzentimeter. Kommen wir nun zur Zusammenfassung: Du weißt jetzt, was man unter der Schnittfläche eines Körpers versteht, nämlich die Fläche, die beim Schnitt durch den Körper entsteht und die parallel zur Grundfläche ist. Du kennst den Satz von Cavalieri, der besagt, dass zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn die Schnittflächen der Körper in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt aufweisen. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal!

2 Kommentare
  1. Thank u very much!

    Von Rapmonster, vor mehr als 3 Jahren
  2. Sehr gut erklärt, Dankeschön! :))

    Von Julia Ip, vor mehr als 6 Jahren

Satz des Cavalieri Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Cavalieri kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze den Satz von Cavalieri.

    Tipps

    Stell dir einen Stapel Druckerpapier vor:

    • Dieser Stapel hat ein Volumen.
    • Wenn du den Stapel so verschiebst, dass er schräg ist, hat er immer noch das gleiche Volumen.
    Woran liegt das?

    Du kannst dir den Satz des Cavalieri an geraden Körpern klarmachen.

    Ein gerader Körper ist zum Beispiel ein Prisma.

    Lösung

    Der Satz von Cavalieri enthält eine Aussage darüber, wann das Volumen zweier Körper identisch ist:

    Zwei Körper besitzen das gleiche Volumen, wenn ihre Schnittflächen in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt haben.

    Wissenswertes zu Cavalieri:

    • Bonaventura Francesco Cavalieri war ein italienischer Mathematiker und Astronom.
    • Er lebte von 1598 bis 1647.
    • Seine Berechnungen von Flächen und Volumina nehmen einiges vorweg, was in der Schule später im Bereich Integralrechnung behandelt wird.

  • Stelle die Aussage des Satzes von Cavalieri am Beispiel eines Quaders dar.

    Tipps

    Quader sind gerade Körper.

    Jede Schnittfläche parallel zur Grundfläche eines geraden Körpers ist kongruent, das heißt deckungsgleich zu der Grundfläche.

    Dass die Volumina der beiden Körper übereinstimmen, kannst du auch wie folgt zeigen:

    • $V_{Q_1}=(4~cm)^2\cdot 10~cm=160~cm^3$ und
    • $V_{Q_2}=2~cm\cdot 8~cm\cdot 10~cm=160~cm^3$.

    Lösung

    Der Quader $Q_1$ hat die Grundfläche $(4~cm)^2=16~cm^2$ und der Quader $Q_2$ $2~cm\cdot 8~cm=16~cm^2$.

    Jeder Schnitt in beliebiger Höhe liefert bei beiden Quadern ein Flächenstück, welches kongruent, das heißt deckungsgleich, zu der Grundfläche ist.

    Daraus folgt, dass auch die entsprechenden Flächeninhalte übereinstimmen. Da die Grundflächen der beiden Quader den gleichen Flächeninhalt haben, gilt dies auch für jede Schnittfläche in beliebiger Höhe $h\le 10~cm$.

    Mit dem Satz von Cavalieri folgt, dass die beiden Quader das gleiche Volumen besitzen.

    Dies hätte auch mit der Volumenformel berechnet werden können:

    • $V_{Q_1}=(4~cm)^2\cdot 10~cm=160~cm^3$ und
    • $V_{Q_2}=2~cm\cdot 8~cm\cdot 10~cm=160~cm^3$.

  • Entscheide, welche Körper das gleiche Volumen besitzen.

    Tipps

    Da alle Körper gerade sind, ist jede Schnittfläche in beliebiger Höhe kongruent zur Grundfläche und hat somit den gleichen Flächeninhalt.

    Es genügt also, von jedem Körper den Flächeninhalt der Grundfläche auszurechnen.

    Natürlich könntest du auch hier, es handelt sich ausschließlich um gerade Körper, die Volumenformel

    $V=A_G\cdot h$

    verwenden, wobei $A_G$ der Flächeninhalt der Grundfläche ist.

    Zwei der vier Körper besitzen das gleiche Volumen.

    Die Flächenformel für ein regelmäßiges Sechseck lautet:

    $A_G=\frac32\cdot a^2\cdot \sqrt3$.

    Lösung

    Da alle vier Körper gerade Körper sind, genügt es, den Flächeninhalt der Grundfläche zu berechnen. Jede Schnittfläche in beliebiger Höhe ist kongruent zur entsprechenden Grundfläche und hat damit auch den gleichen Flächeninhalt.

    • Zylinder: $A_G=\pi\cdot r^2=\pi\cdot (4~cm)^2\approx50,3~cm^2$
    • Prisma mit dreieckiger Grundfläche: $A_G=\frac{6~cm\cdot 6~cm}2=18~cm^2$
    • Prisma mit sechseckiger Grundfläche: $A_G=\frac32\cdot a^2\cdot \sqrt3=\frac32\cdot (5~cm)^2\cdot \sqrt3\approx 65~cm^2$
    • Quader: $A_G=a\cdot b=4,5~cm\cdot 4~cm=18~cm^2$
    Das bedeutet, dass nur das Prisma mit dreieckiger Grundfläche und der Quader im Flächeninhalt ihrer Grundflächen übereinstimmen. Diese beiden haben als einzige Körper den gleichen Flächeninhalt.

  • Begründe, dass die Voraussetzungen des Satzes von Cavalieri erfüllt sind.

    Tipps

    Der blaue Körper ist ein gerader Körper.

    Hier ist ein Schnitt angedeutet. Was fällt dir auf?

    Wenn du frontal auf den grünen Körper schaust, siehst du ein Parallelogramm. Das bedeutet, dass die untere Kante, welche mit einer Seite der Grundfläche des blauen Körpers übereinstimmt, ebenso lang ist wie die obere.

    Lösung

    Bei dem blauen Körper handelt es sich um einen Quader, also einen geraden Körper, bei dem grünen um ein Parallelepiped.

    Die beiden Körper müssen die gleiche Höhe haben, sonst ist der Satz des Cavalieri nicht anwendbar.

    Bei dem Quader ist die Schnittfläche, der Schnitt ist angedeutet durch die rote gestrichelte Linie, eine zur Grundfläche kongruente Fläche.

    Wenn gezeigt werden kann, dass auch die Schnittfläche des grünen Körpers kongruent zu dessen Grundfläche ist, so ist die Identität der Flächeninhalte der Schnittfläche bewiesen, da die Grundflächen übereinstimmen.

    Die Seitenlängen der Schnittfläche des grünen Körpers sind, am Beispiel der Frontalansicht, Seiten eines Parallelogramms. Somit sind sie parallel zu der entsprechenden Seite der Grundfläche und auch gleich lang. Daraus folgt, dass die Schnittfläche kongruent zu der Grundfläche ist.

    Nach dem Satz des Cavalieri haben die beiden Körper den gleichen Flächeninhalt.

  • Beschreibe, was eine Schnittfläche ist.

    Tipps

    Stell dir ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche vor:

    Wie schneidest du da?

    • Parallel zur Grundfläche oder
    • senkrecht zur Grundfläche oder
    • beliebig?

    Lösung

    Was ist die Schnittfläche eines Körpers?

    Unter der Schnittfläche versteht man eine Fläche, die den Körper parallel zur Grundfläche in einer Höhe $h$ zerschneidet.

    Bei einem geraden Körper, zum Beispiel einem Prisma mit dreieckiger Grundfläche, kommt dabei immer eine Fläche heraus, die kongruent zur Grundfläche ist.

  • Weise nach, dass ein Kegel und eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche das gleiche Volumen haben.

    Tipps

    Berechne die Flächeninhalte der Grundflächen der beiden Körper. Diese sind identisch. Diese Identität benötigst du.

    Wenn du beide Körper in der gleichen Höhe schneidest, hast du die Situation eines Strahlensatzes.

    Es gilt $a=\frac{r}{r'}\cdot a'$.

    Benutze die Identität der Flächeninhalte der Grundflächen sowie die obige Gleichung.

    Lösung

    Die Flächeninhalte der Grundflächen stimmen überein:

    $\pi \cdot r^2=a^2$.

    Die Flächeninhalte an der Spitze stimmen ebenfalls überein. Sie sind jeweils $0$. Nun muss gezeigt werden, dass die Flächeninhalte für alle Schnittflächen in beliebiger Höhe $h$ mit $0<h<H$ bei beiden Körpern identisch sind. Der Radius der Schnittfläche des Kegels sei $r'$ und die Seitenlänge der Schnittfläche der Pyramide $a'$.

    Hierfür wird ein Strahlensatz verwendet, welcher in dem Bild zu erkennen ist.

    Es gilt:

    • $\frac{a'}{a}=\frac{h}{H}$ bei der Pyramide sowie
    • $\frac{r'}{r}=\frac{h}{H}$.
    Daraus kann gefolgert werden, dass $\frac{a'}{a}=\frac{r'}{r}$ gilt. Dies ist äquivalent zu $a=\frac{r}{r'}\cdot a'$.

    Nun kann die Identität der Flächeninhalte der Grundflächen verwendet werden:

    $\begin{align*} \pi\cdot r^2&=a^2&|&~a=\frac{r}{r'}\cdot a'\\ \pi \cdot r^2&=\left(\frac{r}{r'}\cdot a'\right)^2\\ \pi \cdot r^2&=\frac{r^2}{r'^2}\cdot a'^2&|&\cdot \frac{r'^2}{r^2}\\ \pi \cdot r^2\cdot \frac{r'^2}{r^2}&=a'^2\\ \pi \cdot r'^2&=a'^2. \end{align*}$

    Also ist $\pi \cdot r'^2=a'^2$. Das ist gerade die Identität der Flächeninhalte der Schnittfläche in beliebiger Höhe.

    Nach dem Satz des Cavalieri haben der Kegel und die Pyramide das gleiche Volumen.

    Man hätte diese Aussage auch nachweisen können ohne die Einschränkung, dass die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt.