Prozentrechnung (Übung)
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Grundlagen zum Thema Prozentrechnung (Übung)
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Prozentrechnung im Sachkontext anzuwenden.
Zunächst lernst du anhand verschiedener Beispiele, wie du aus dem Kontext die gegebenen Größen Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz herausfindest und die gesuchte Größe erkennst. Anschließend werden die Formeln angewendet und umgestellt, um die gesuchte Größe zu berechnen. Abschließend lernst du, warum wir Marketingstrategien erkennen und unserer eigenes Konsumverhalten hinterfragen sollten.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits mit den Grundlagen der Prozentrechnung vertraut sein.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Anwendungsaufgaben zur Prozentrechnung lösen und Marketingtricks rechnerisch überprüfen zu können.
Transkript Prozentrechnung (Übung)
Es ist Winterschlussverkauf.
Der Super Sale ist in vollem Gange.
Überall regnet es Prozente.
Aber werden wir hier wirklich sparen?
Um das Herauszufinden, vertiefen wir uns in die „Prozentrechnung“.
Bei der Prozentrechnung müssen wir uns drei grundlegende Größen merken: Den Grundwert Prozent.
Die drei Größen stehen in diesem Verhältnis zueinander.
Damit sind wir gut ausgestattet, um uns in die Shoppingcenter zu stürzen.
Zunächst geht es in die Modeabteilung.
Die Pullover wurden von fünfunddreißig Euro auf einundzwanzig Euro heruntergesetzt.
Lohnt es sich, bei diesem Angebot zuzuschlagen?
Wie viel Prozent können wir dadurch sparen?
Bevor wir das berechnen können, müssen wir zunächst die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz zuordnen.
Der Grundwert G ist der Ausgangspreis, also fünfunddreißig Euro.
Die einundzwanzig Euro sind der Prozentwert W, also der Anteil des Ganzen.
Die gesuchte Größe ist der Prozentsatz.
Nun können wir unsere Gleichung anwenden und die gegebenen Größen einsetzen.
Dann multiplizieren wir über Kreuz.
„p mal fünfunddreißig“ ist gleich „einundzwanzig mal einhundert“.
Diese Gleichung können wir nun nach p umstellen und p berechnen.
p Prozent sind sechzig Prozent.
Können wir also sechzig Prozent sparen?
Nein, sechzig Prozent entsprechen einundzwanzig Euro, also dem Preis, den wir bezahlen müssen.
Wir müssen sechzig Prozent von einhundert Prozent subtrahieren und sparen also vierzig Prozent bei diesem Einkauf.
Wir hätten auch zuerst den gesparten Betrag ausrechnen und diesen in die Formel einsetzen können.
Auf diesem Weg wären wir auch auf die vierzig Prozent gekommen.
Das erste Schnäppchen haben wir erfolgreich ergattert.
Schauen wir als nächstes in die Technikabteilung.
Auf das praktische Headset gibt es zwanzig Prozent Rabatt, es kostet nur noch sechsunddreißig Euro.
Wie teuer war es ursprünglich?
Ordnen wir zunächst die Begriffe zu.
Der Grundwert ist der ursprüngliche Preis, also die gesuchte Größe.
Der neue Preis ist der Prozentwert.
Da wir zwanzig Prozent Rabatt bekommen, müssen wir also nur noch 80% des ursprünglichen Preises bezahlen.
Wir setzen die Werte in die Gleichung ein multiplizieren über Kreuz stellen nach G um und können so den Ausgangspreis G berechnen.
Der ursprüngliche Preis des Headsets lag also bei fünfundvierzig Euro.
Zum Schluss soll es noch etwas Süßes sein.
Also, auf in die Süßwarenabteilung!
Bei unserer Lieblingsschokolade sind es nun zwanzig Prozent mehr Inhalt.
Normalerweise kostet die vierhundert Gramm Packung zwei Euro vierzig.
Das neue Gewicht ist nicht angegeben. Lohnt es sich bei zwanzig Prozent mehr Inhalt nun fast drei Euro zu bezahlen?
Dazu müssen wir zuerst das neue Gewicht ermitteln.
Als Erstes ordnen wir die Begriffe zu.
Das Ausgangsgewicht liegt bei vierhundert Gramm.
Zwanzig Prozent von diesem Gewicht sind zusätzlich in der Packung.
Welchen Anteil das ausmacht, können wir nun berechnen.
Wir setzen wieder die gegebenen Werte in die Gleichung ein multiplizieren über Kreuz und stellen nach W um.
Es sind also achtzig Gramm mehr Inhalt.
Die neue Verpackung wiegt also vierhundertachtzig Gramm.
Und ist der Preis auch um zwanzig Prozent gestiegen?
Das überprüfen wir mal.
Der Ausgangspreis liegt bei zwei Euro vierzig.
Für den neuen Preis muss man nun neunundfünfzig Cent mehr zahlen.
Entspricht das einer Preiserhöhung von zwanzig Prozent?
Rechne es doch selbst kurz nach.
Das sind fast fünfundzwanzig Prozent!
Bei diesem Angebot macht der Supermarkt ja sogar noch Gewinn!
Da sollte man lieber genau hinschauen.
Um solche Marketingstrategien in Zukunft gut entlarven zu können, fassen wir die Vorgehensweise noch einmal zusammen.
Bei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten:
Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen um dir einen Überblick zu verschaffen.
Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.
Dann kannst du die Formel anwenden und die Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen, um diese zu ermitteln.
Und was stellen wir noch fest?
Es lohnt sich, Marketing-Strategien zu hinterfragen.
Prozentrechnung (Übung) Übung
-
Gib eine Lösungsstrategie für Textaufgaben zur Prozentrechnung an.
Tipps$G$ ist der Grundwert. $W$ ist der Prozentwert. $p$ ist der Prozentsatz. Diese Werte muss man in der Aufgabe wiedererkennen.
Wenn du die Werte zugeordnet hast, musst du sie in die Formel einsetzen.
LösungBei der Prozentrechnung müssen wir uns drei grundlegende Größen merken:
- Grundwert $G$,
- Prozentwert $W$
- Prozentsatz $p\,%$.
Die Lösungsstrategie für Prozentrechnen ist:
${1)}$ Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen.
${2)}$ Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.
${3)}$ Dann kannst du die Formel anwenden. Sie lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
${4)}$ Bei Bedarf musst du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen und diese berechnen.
${5)}$ Abschließend formulierst du einen Antwortsatz.
-
Bestimme den Prozentsatz.
TippsZunächst sollte man die Grundbegriffe zuordnen.
$p\,\%$ ist gesucht.Danach musst du die Formel anwenden (nach $p\,\%$ umstellen, indem man über Kreuz multipliziert) und anschließend berechnen.
LösungBei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten:
- Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen.
- Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.
- Dann kannst du die Formel anwenden. Diese lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
- Du löst die Formel nach der gesuchten Größe auf und formulierst einen Antwortsatz.
${1)}$ Grundbegriffe zuordnen
$G$ = $35\,€$
$W$ = $21\,€$
$p\,\%$ ist gesucht${2)}$ In Formel einsetzten
${\frac{p}{100}=\frac{21}{35}}$${3)}$ Rechnung
${p \cdot 35=21 \cdot 100}$
${p \cdot 35=2100}$
${p=60}$
${p\,\%=60\,\%}$${4)}$ Antwort
${60\,\%}$ entsprechen ${21\,€}$
${100\,\%-60\,\%=40\,\%}$ ${p\,\%=40\,\%}$Die falsche Rechnung ist:
${60\,\%}$ entsprechen ${14\,€}$
${p\,\%=60\,\%}$
${\rightarrow}$ die ${40\,\%}$ entsprechen den ${14 \,€}$ -
Bestimme den Grundwert.
TippsDie Formel lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
Da wir ${30\,\%}$ Rabatt bekommen, müssen wir also nur noch ${70\,\%}$ des ursprünglichen Preises bezahlen.
LösungBei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten:
- Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen.
- Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.
- Dann kannst du die Formel anwenden. Diese lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
- Du löst die Formel nach der gesuchten Größe auf und formulierst einen Antwortsatz.
Grundbegriffe zuordnen
$G$ ist gesucht
$W$ = ${35€}$ entspricht hier dem Preis in $€$ nach dem Rabatt
$p\%$ = ${100\%}$ - ${30\%}$ = ${70\%}$ ist das, was wir nach dem Rabatt in Prozent bezahlen müssenIn Formel einsetzen
Die Formel lautet ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
${\frac{70}{100}}$ = ${\frac{35}{G}}$Rechnung
${70}$ ${\cdot}$ ${G}$ = ${35}$ ${\cdot}$ ${100}$
${70}$ ${\cdot}$ ${G}$ = $3500$
$G = \frac{3500}{70} =50$Antwort
$G$ = ${50\,€}$
Der ursprüngliche Preis lag bei ${50\,€}$. Dies entspricht ${100\%}$. -
Prüfe, ob sich das Angebot rentiert.
TippsOrdne zunächst im ersten Schritt die Grundbegriffe Grundwert $G$, Prozentwert $W$ und Prozentsatz $p\,\%$ zu und berechne das neue Gewicht.
Setzte im zweiten Schritt die gegebenen Werte in die Formel ein.
LösungBei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten: Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen. Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu. Dann kannst du die Formel anwenden.
Beachte bei dieser Aufgabe, dass sie in zwei Schritten gerechnet wird. Zunächst wird das neue Gewicht berechnet, also $G$ und $p\%$ sind gegeben und $W$ wird gesucht. Danach wird überprüft, ob der Preis ebenfalls um $15\,\%$ gestiegen ist. Also ist $W$ und $G$ gegeben und $p\,\%$ wird gesucht.
In dieser Aufgabe ist die richtige Lösung:
Ermittlung neues Gewicht:
$G = 500 ~\text{g}$
$p\,\% = 15\,\%$
$W$ ist gesucht${\frac{15}{100}=\frac{W}{500\,g}}$
${15}$ ${\cdot}$ ${500~\text{g}}$ $=$ $W$ ${\cdot}$ ${100}$
${7500~\text{g}}$ $=$ $W$ ${\cdot}$ ${100}$
$7500 ~\text{g} : 100~\text{g}$ $=$ $W$
$75 ~\text{g}$ $=$ $W$Die neue Verpackung wiegt $500 ~\text{g} + 75 ~\text{g} = 575 ~\text{g}$.
Ist der Preis nun auch um $15\,\%$ gestiegen?
$G$ $=$ $1,99\,€$
$W$ $=$ $2,35\,€$ - $1,99\,$ $=$ $0,36\,€$
$p\,\%$ wird mit $15\,\%$ verglichen${\frac{p}{100}=\frac{0,36\,€}{1,99\,€}}$
$p \cdot 1,99\,€$ $=$ ${0,36\,€ \cdot 100}$
$p\,\% = (36:1,99)\,\%$
$p\,\% \approx 18\,\% > 15\,\%$Das Angebot rentiert sich nicht!
-
Benenne die grundlegenden Begriffe der Prozentrechnung.
TippsZum Beispiel:
${30\,€}$ ($W$) von ${40\,€}$ ($G$) sind ${75\,\%}$ ($p\,\%$)
LösungBei der Prozentrechnung müssen wir uns drei grundlegende Größen merken:
Den Grundwert $G$ (er ist der Ausgangswert der Rechnung),
den Prozentwert $W$ (das ist der Anteil des Ganzen, er kann kleiner, aber auch größer als der Grundwert sein),
und den Prozentsatz $p\,\%$ (wird in Prozent, also pro 100, angegeben und ist das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert).
Zum Beispiel:
${30\,€}$ ($W$) von ${40\,€}$ ($G$) sind ${75\,\%}$ ($p\,\%$)
Die drei Größen stehen in diesem Verhältnis zueinander:
${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
-
Entscheide, ob die Prozentrechnungen richtig sind.
TippsOrdne die Begriffe den gegebenen Werten zu und berechne die fehlenden Werte. Zum Beispiel ist bei der Buchaufgabe $G$ = $27\,€$ und $p\, \%$ = $15 \,\%$.
LösungDiese Rechnungen sind korrekt:
Das Buch:
$G$ = $27\,€$
$p\, \%$ = $15 \,\%$
${\frac{15}{100}=\frac{W}{27}}$ $\Leftrightarrow$ $W$ = $4,05\,€$
$27\,€$ - $4,05\,€$ = $22,95\,€$Der Wassereimer:
$G$ = $4~\ell$
$p\,\%$ = $23\,\%$
${\frac{23}{100}=\frac{W}{4}}$ $\Leftrightarrow W$ = $0,92~\ell = 920~\text{m}\ell$Diese Rechnungen sind nicht korrekt:
Die Fahrradtour:
$G$ = $105~\text{km}$
$W = 105~\text{km}$ - $75,6~\text{km}$ = $29,40~\text{km}$
$p\,\%$ = $30\,\%$, denn richtig wäre: ${\frac{p}{100}=\frac{29,40}{105}}$ $\Leftrightarrow$ $p\,\%$ = $28\,\%$Der Mehlsack:
$p\,\%$ = $82\,\%$
$W$ = $44,034~\text{kg}$
$G$ = $55~\text{kg}$, denn richtig wäre: ${\frac{82}{100}=\frac{44,034}{G}}$ $\Leftrightarrow$ $G$ = $53,70~\text{kg}$
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Sehr gutes Video
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