Prozentrechnung (Übung)

Prozentrechnung (Übung) Übung

• Gib eine Lösungsstrategie für Textaufgaben zur Prozentrechnung an.

  Tipps

  $G$ ist der Grundwert. $W$ ist der Prozentwert. $p$ ist der Prozentsatz. Diese Werte muss man in der Aufgabe wiedererkennen.

  Wenn du die Werte zugeordnet hast, musst du sie in die Formel einsetzen.

  Lösung

  Bei der Prozentrechnung müssen wir uns drei grundlegende Größen merken:

  • Grundwert $G$,
  • Prozentwert $W$
  • Prozentsatz $p\,%$.

  Die drei Größen stehen in diesem Verhältnis zueinander: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$

  Die Lösungsstrategie für Prozentrechnen ist:

  ${1)}$ Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen.

  ${2)}$ Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.

  ${3)}$ Dann kannst du die Formel anwenden. Sie lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$

  ${4)}$ Bei Bedarf musst du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen und diese berechnen.

  ${5)}$ Abschließend formulierst du einen Antwortsatz.

• Bestimme den Prozentsatz.

  Tipps

  Zunächst sollte man die Grundbegriffe zuordnen.
  $p\,\%$ ist gesucht.

  Danach musst du die Formel anwenden (nach $p\,\%$ umstellen, indem man über Kreuz multipliziert) und anschließend berechnen.

  Lösung

  Bei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten:

  • Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen.
  • Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.
  • Dann kannst du die Formel anwenden. Diese lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
  • Du löst die Formel nach der gesuchten Größe auf und formulierst einen Antwortsatz.

  Bei diesem Beispiel ist die richtige Reihenfolge:

  ${1)}$ Grundbegriffe zuordnen
  $G$ = $35\,€$
  $W$ = $21\,€$
  $p\,\%$ ist gesucht

  ${2)}$ In Formel einsetzten
  ${\frac{p}{100}=\frac{21}{35}}$

  ${3)}$ Rechnung
  ${p \cdot 35=21 \cdot 100}$
  ${p \cdot 35=2100}$
  ${p=60}$
  ${p\,\%=60\,\%}$

  ${4)}$ Antwort
  ${60\,\%}$ entsprechen ${21\,€}$
  ${100\,\%-60\,\%=40\,\%}$ ${p\,\%=40\,\%}$

  Die falsche Rechnung ist:
  ${60\,\%}$ entsprechen ${14\,€}$
  ${p\,\%=60\,\%}$
  ${\rightarrow}$ die ${40\,\%}$ entsprechen den ${14 \,€}$

• Bestimme den Grundwert.

  Tipps

  Die Formel lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$

  Da wir ${30\,\%}$ Rabatt bekommen, müssen wir also nur noch ${70\,\%}$ des ursprünglichen Preises bezahlen.

  Lösung

  Bei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten:

  • Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen.
  • Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu.
  • Dann kannst du die Formel anwenden. Diese lautet: ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
  • Du löst die Formel nach der gesuchten Größe auf und formulierst einen Antwortsatz.

  Diese Aufgabe wird folgendermaßen gerechnet:

  Grundbegriffe zuordnen
  $G$ ist gesucht
  $W$ = ${35€}$ entspricht hier dem Preis in $€$ nach dem Rabatt
  $p\%$ = ${100\%}$ - ${30\%}$ = ${70\%}$ ist das, was wir nach dem Rabatt in Prozent bezahlen müssen

  In Formel einsetzen
  Die Formel lautet ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$
  ${\frac{70}{100}}$ = ${\frac{35}{G}}$

  Rechnung
  ${70}$ ${\cdot}$ ${G}$ = ${35}$ ${\cdot}$ ${100}$
  ${70}$ ${\cdot}$ ${G}$ = $3500$
  $G = \frac{3500}{70} =50$

  Antwort
  $G$ = ${50\,€}$
  Der ursprüngliche Preis lag bei ${50\,€}$. Dies entspricht ${100\%}$.

• Prüfe, ob sich das Angebot rentiert.

  Tipps

  Ordne zunächst im ersten Schritt die Grundbegriffe Grundwert $G$, Prozentwert $W$ und Prozentsatz $p\,\%$ zu und berechne das neue Gewicht.

  Setzte im zweiten Schritt die gegebenen Werte in die Formel ein.

  Lösung

  Bei Prozentrechnungen im Sachkontext kannst du dich an folgende Lösungsstrategie halten: Zunächst solltest du die Aufgabe sorgfältig lesen, um dir einen Überblick zu verschaffen. Danach ordnest du die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den gegebenen Größen zu. Dann kannst du die Formel anwenden.

  Beachte bei dieser Aufgabe, dass sie in zwei Schritten gerechnet wird. Zunächst wird das neue Gewicht berechnet, also $G$ und $p\%$ sind gegeben und $W$ wird gesucht. Danach wird überprüft, ob der Preis ebenfalls um $15\,\%$ gestiegen ist. Also ist $W$ und $G$ gegeben und $p\,\%$ wird gesucht.

  In dieser Aufgabe ist die richtige Lösung:

  Ermittlung neues Gewicht:

  $G = 500 ~\text{g}$
  $p\,\% = 15\,\%$
  $W$ ist gesucht

  ${\frac{15}{100}=\frac{W}{500\,g}}$
  ${15}$ ${\cdot}$ ${500~\text{g}}$ $=$ $W$ ${\cdot}$ ${100}$
  ${7500~\text{g}}$ $=$ $W$ ${\cdot}$ ${100}$
  $7500 ~\text{g} : 100~\text{g}$ $=$ $W$
  $75 ~\text{g}$ $=$ $W$

  Die neue Verpackung wiegt $500 ~\text{g} + 75 ~\text{g} = 575 ~\text{g}$.

  Ist der Preis nun auch um $15\,\%$ gestiegen?

  $G$ $=$ $1,99\,€$
  $W$ $=$ $2,35\,€$ - $1,99\,$ $=$ $0,36\,€$
  $p\,\%$ wird mit $15\,\%$ verglichen

  ${\frac{p}{100}=\frac{0,36\,€}{1,99\,€}}$
  $p \cdot 1,99\,€$ $=$ ${0,36\,€ \cdot 100}$
  $p\,\% = (36:1,99)\,\%$
  $p\,\% \approx 18\,\% > 15\,\%$

  Das Angebot rentiert sich nicht!

• Benenne die grundlegenden Begriffe der Prozentrechnung.

  Tipps

  Zum Beispiel:

  ${30\,€}$ ($W$) von ${40\,€}$ ($G$) sind ${75\,\%}$ ($p\,\%$)

  Lösung

  Bei der Prozentrechnung müssen wir uns drei grundlegende Größen merken:

  Den Grundwert $G$ (er ist der Ausgangswert der Rechnung),

  den Prozentwert $W$ (das ist der Anteil des Ganzen, er kann kleiner, aber auch größer als der Grundwert sein),

  und den Prozentsatz $p\,\%$ (wird in Prozent, also pro 100, angegeben und ist das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert).

  Zum Beispiel:

  ${30\,€}$ ($W$) von ${40\,€}$ ($G$) sind ${75\,\%}$ ($p\,\%$)

  Die drei Größen stehen in diesem Verhältnis zueinander:

  ${\frac{p}{100}=\frac{W}{G}}$

• Entscheide, ob die Prozentrechnungen richtig sind.

  Tipps

  Ordne die Begriffe den gegebenen Werten zu und berechne die fehlenden Werte. Zum Beispiel ist bei der Buchaufgabe $G$ = $27\,€$ und $p\, \%$ = $15 \,\%$.

  Lösung

  Diese Rechnungen sind korrekt:

  Das Buch:
  $G$ = $27\,€$
  $p\, \%$ = $15 \,\%$
  ${\frac{15}{100}=\frac{W}{27}}$ $\Leftrightarrow$ $W$ = $4,05\,€$
  $27\,€$ - $4,05\,€$ = $22,95\,€$

  Der Wassereimer:
  $G$ = $4~\ell$
  $p\,\%$ = $23\,\%$
  ${\frac{23}{100}=\frac{W}{4}}$ $\Leftrightarrow W$ = $0,92~\ell = 920~\text{m}\ell$

  Diese Rechnungen sind nicht korrekt:

  Die Fahrradtour:
  $G$ = $105~\text{km}$
  $W = 105~\text{km}$ - $75,6~\text{km}$ = $29,40~\text{km}$
  $p\,\%$ = $30\,\%$, denn richtig wäre: ${\frac{p}{100}=\frac{29,40}{105}}$ $\Leftrightarrow$ $p\,\%$ = $28\,\%$

  Der Mehlsack:
  $p\,\%$ = $82\,\%$
  $W$ = $44,034~\text{kg}$
  $G$ = $55~\text{kg}$, denn richtig wäre: ${\frac{82}{100}=\frac{44,034}{G}}$ $\Leftrightarrow$ $G$ = $53,70~\text{kg}$