30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Prozentgleichungen lösen 03:03 min

Textversion des Videos

Transkript Prozentgleichungen lösen

Oswald der Magier hat sich Hals über Kopf verliebt. Doch seine Angebetete, Prinzessin Appollina hat überhaupt keine Augen für ihn. Deshalb soll der altbewährte Liebestrank Nummer 9 nach dem Rezept seiner Urgroßmutter Abhilfe verschaffen. Einige Zutaten sind allerdings in Prozent angegeben. Oswald muss also zuerst ein paar Prozentgleichungen lösen.

Prozentgleichungen lösen

Für eine volle Dosis, also 200 ml, benötigt der Magier folgende Zutaten:

  • 20% Honig
  • Einen halben Fledermausflügel
  • 50 Tränen der Liebe
  • 17,5% Feenstaub

Wie du siehst, sind im Buch die Zutaten Honig und Feenstaub in Prozenten angegeben.

Wie finden wir heraus, wie viel Oswald davon genau nehmen muss?

Lösungsweg für die Umrechnung von Prozentangaben

Wenn 20% des Trankes Honig ist, müssen wir herausfinden, wie viel 20% von 200ml ist.

Die Menge an Honig eben wir mit x an.

Nun können wir Formel Prozentwert geteilt durch Grundwert ist gleich Prozentzahl geteilt durch 100 nutzen.

Setzen wir ein:

  • 20% des Trankes ist Honig, also setzen wir 20 als Prozentzahl p ein.
  • Da der Trank 200ml umfassen soll, ist 200 unser Grundwert, ihn setzen wir für G ein.
  • x steht für den gesuchten Prozentwert W, die Menge an Honig.
  • Wir multiplizieren über Kreuz, um die Brüche loszuwerden.
  • Das ergibt die Gleichung 100 mal x ist gleich 20 mal 200.
  • Das vereinfachen wir zu 100x ist gleich 4000.
  • Jetzt können wir noch beide Seiten durch 100 dividieren.
  • Das ergibt x ist gleich 40.
  • 20% von 200ml entsprechen also 40ml Honig.

Super, dann ran an den Kessel! - Ach nein...

Eine weitere Zutat ist noch in Prozenten angegeben: Feenstaub!

Um herauszufinden, wie viel 17,5 Prozent von 200ml sind, nutzen wir wieder die Formel und setzen ein:

  • 17,5 für die Prozentzahl
  • 200 für den Grundwert
  • x für den Prozentwert

Wieder multiplizieren wir über Kreuz:

100 mal x ist gleich 17,5 mal 200

oder vereinfacht:

100x ist gleich 3500

Wir dividieren beide Seiten durch 100.

Das ergibt x ist gleich 35.

Oswald muss also 35ml Feenstaub hinzufügen.

#

Endlich kann er den Zaubertrank für die geliebte Prinzessin fertig brauen doch dann ...(puuffffff)...

Also, so richtig kann sich das Oswald auch nicht erklären aber der Waschbär sieht plötzlich wunderschön aus.

20 Kommentare
  1. Sehr gutes Video! Hat mir geholfen!

    Von Fred19, vor 5 Tagen
  2. Hallo Bazongista, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor 10 Tagen
  3. Mir wurd es anders erklärt... Das ich verstehe dieses vorgehen nicht.

    Von Bazongista, vor 12 Tagen
  4. C

    Von Yiren Y., vor 28 Tagen
  5. O

    Von Yiren Y., vor 28 Tagen
  1. O

    Von Yiren Y., vor 28 Tagen
  2. L

    Von Yiren Y., vor 28 Tagen
  3. !

    Von Yiren Y., vor 28 Tagen
  4. Was gibt es da nicht zu checken?

    Von Pflegedienst Arnold, vor 2 Monaten
  5. Ok

    Von Yiren Y., vor 3 Monaten
  6. ez

    Von Itslearning Nutzer 2535 1067716, vor 10 Monaten
  7. check ich nich

    Von Itslearning Nutzer 2535 1067716, vor 10 Monaten
  8. Wir benutzen nur andere Bezeichnungen:
    W: PW
    G:GW
    P:PS

    Von Emma S., vor 11 Monaten
  9. Eure Geschichten sind immer so kreativ ! o_O

    Von Emma S., vor 11 Monaten
  10. Hallo fadymuhab E.,
    bitte beschreibe genauer, welche Gleichung und was daran du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 12 Monaten
  11. ich hab das mit der Gleichung nicht richtig verstanden

    Von fadymuhab E., vor 12 Monaten
  12. Cool Gemacht blos ein bisschen Kindisch lol
    Aber sonst alles cool xD

    Von Alessio Ciro, vor mehr als einem Jahr
  13. Cool umgesetzt =)

    Von Prashant Kelker, vor fast 2 Jahren
  14. Ja war ziemlich gut

    Von Neoin Hd, vor etwa 2 Jahren
  15. Super Video 1a

    Von Hugo Leopold, vor etwa 2 Jahren
Mehr Kommentare

Prozentgleichungen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentgleichungen lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Prozentformel und die Bedeutung der Variablen an.

    Tipps

    In Worten lautet die Prozentformel:

    Prozentwert : Grundwert = Prozentzahl : 100.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \begin{array}{llrl} G & = & 200 & \text{ml}\\ W & = & 120 & \text{ml}\\ p & = & 60 & \end{array} $

    Lösung

    Die Prozentformel erlaubt die Berechnung von

    • dem Prozentwert $W$, falls $G$ und $p$ bekannt sind.
    • dem Grundwert $G$, falls $W$ und $p$ bekannt sind.
    • der Prozentzahl $p$, falls $G$ und $W$ bekannt sind.
    Die Formel lautet $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$ und kann durch Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe umgestellt werden.

  • Beschrifte die Formelzeichen in der Prozentformel.

    Tipps

    Die Prozentzahl wird meistens mit der Einheit $\%$ angegeben. Die Einheit $\%$ bedeutet Hundertstel, also $\frac{1}{100}$. Somit gilt:

    $20\ \%=20\cdot\frac{1}{100}=\frac{20}{100}$.

    Schau dir die Markierungen der Buchstaben an:

    • Grundwert,
    • prozentzahl und
    • ProzentWert.
    Außerdem: Beide Wörter, die das Wort Prozent enthalten, stehen in der Formel im Zähler. Der Grundwert und die $100$ stehen im Nenner.

    Lösung

    Da es sich bei der Prozentformel um eine Gleichung handelt, müssen die rechte und linke Seite der Gleichung zu demselben Resultat führen. Dies gilt nicht nur für den Zahlenwert, sondern auch für die Einheit.

    Der Prozentwert $W$ und Grundwert $G$ haben stets dieselbe Einheit, welche sich auf der linken Seite der Gleichung aufhebt.

    Die Prozentzahl $p$ auf der rechten Seite der Gleichung hat keine Einheit, genauso wie die $100$.

    Hier siehst du noch ein Beispiel: Du willst wissen, was $30\ \%$ von $200\ €$ sind.

    Da du hier eine Prozentangabe siehst, weißt du sofort, dass es sich dabei um $p$ handeln muss. Da die $200\ €$ nicht den $30\ \%$ entsprechen, muss es sich dabei um den Grundwert $G$ handeln. Wir berechnen also Folgendes:

    $\frac{P}{200} = \frac{30}{100} \Leftrightarrow P = 60\ €$.

  • Berechne die gesuchten Prozentwerte.

    Tipps

    Die Prozentzahl $p$ wird oft zusammen mit der Einheit $\%$ angegeben. Es gilt $p\% = \frac{p}{100}$.

    Also musst du für $p$ die Zahl vor dem Prozentzeichen aus Großmutters Rezept einsetzen.

    Im Folgenden siehst du ein ähnliches Beispiel:

    Gegeben: $G=100\ \text{kg}$, $p=50$

    Gesucht: $W=?$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{100} & = & \frac{50}{100} && \vert \cdot 100 \\ W & = & \frac{50}{100}\cdot 100 && \\ W & = & 50\ \text{[kg]}&& \\ \end{array} $

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns aus der Aufgabenstellung für $200\ \text{ml}$ Liebestrank bekannt:

    • $20\ \%$ Honig,
    • $\frac{1}{2}$ Fledermausflügel,
    • $50$ Tränen der Liebe und
    • $17,5\ \%$ Feenstaub.
    Für unsere Berechnung interessieren uns folgende Größen:

    • Menge Liebestrank $200\ \text{ml}$,
    • Anteil Honig $20\ \%$ und
    • Anteil Feenstaub $17,5\ \%$.
    Mit diesen drei Größen und der Prozentformel

    $\frac{W\ \text{(Prozentwert)}}{G\ \text{(Grundwert)}}=\frac{p\ \text{(Prozentzahl)}}{100}$

    können wir die Mengenangaben für Honig und Feenstaub in $\text{ml}$ berechnen.

    Berechnung der Menge von Honig

    Gegeben: $G=200\ \text{ml}$, $p=20$

    Gesucht: $W=?$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \\ \frac{W}{200} & = & \frac{20}{100} && \vert \cdot 200 \\ W & = & \frac{20}{100}\cdot 200 && \\ W & = & 40\ \text{[ml]}&& \\ \\ \end{array} $

    Also muss Oswald dem Liebestrank $40\ \text{ml}$ Honig zumischen.

    Berechnung der Menge von Feenstaub

    Gegeben: $G=200\ \text{ml}$, $p=17,5$

    Gesucht: $W=?$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \\ \frac{W}{200} & = & \frac{17,5}{100} && \vert \cdot 200 \\ W & = & \frac{17,5}{100}\cdot 200 && \\ W & = & 35\ \text{[ml]}&& \\ \\ \end{array} $

    Von dem Feenstaub kommen $35\ \text{ml}$ in den Liebestrank.

  • Entscheide, welche Größen gesucht sind und bestimme diese.

    Tipps

    Bei einem Rabatt handelt es sich um einen Preisnachlass. Er beschreibt den Anteil vom Grundwert, den der Kunde nicht bezahlen muss.

    Der prozentuale Anteil, den der Kunde bezahlen muss, ergibt sich dann zu:

    $100\ \%\ -$ Rabatt.

    Hier folgt ein anderes Beispiel. Wir betrachten nun eine andere Rabattaktion. Auf einen Tisch aus Massivholz gibt es $12\ \%$ Rabatt. Der Ladenpreis von dem Tisch beträgt $1800\ €$.

    Wie viel kostet der Tisch nach dem angebotenen Preisnachlass?

    Gegeben: $G=1800\ €$, $p=88$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} W & = & \frac{p\cdot G}{100} && \\ W & = & \frac{88\cdot 1800}{100} && \\ W & = & 1584\ \text{€} && \end{array} $

    Lösung

    Betrachten wir nun die beiden Textaufgaben.

    In der ersten Aufgabe sind uns folgende Daten bekannt:

    • Rabatt: $12\ \%$
    • endgültiger Preis: $1848\ €$
    Der Kunde bekommt auf die Ware also einen Preisnachlass von $12\ \%$. Das bedeutet, dass er einen Anteil von $100\ \%\ - 12\ \%=88\ \%$ zu bezahlen hat. Dieser Anteil entspricht einem Endpreis von $1848\ €$. Somit sind folgende Größen für die Prozentrechnung gegeben:

    Gegeben: $W=1848\ €$, $p=88$

    Gesucht: $G$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} G & = & \frac{W\cdot 100}{p} && \\ G & = & \frac{1848\cdot 100}{88} && \\ G & = & 2100 && \\ \\ \end{array} $

    In der zweiten Aufgabe sind uns folgende Daten bekannt:

    • zu bezahlender prozentualer Anteil: $75\ \%$
    • Preis für zwei Karten ohne Rabattaktion: $16\ €$
    Wir erfahren also direkt, dass der Kunde einen prozentualen Anteil von $75\ \%$ bezahlen muss. Somit sind uns folgende Größen gegeben:

    Gegeben: $G=16\ €$, $p=75$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} W & = & \frac{p\cdot G}{100} && \\ W & = & \frac{75\cdot 16}{100} && \\ W & = & 12 && \\ \\ \end{array} $

  • Bestimme die gesuchten Prozentwerte.

    Tipps

    Nutze für die Berechnungen die Prozentformel:

    $\frac{W\ \text{(Prozentwert)}}{G\ \text{(Grundwert)}}=\frac{p\ \text{(Prozentzahl)}}{100}$.

    Durch Äquivalenzumformung kannst du diese nach dem Prozentwert $W$ umstellen.

    Wir betrachten ein Beispiel.

    Gegeben: $G=150\ \text{Personen}$, $p=30$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{150} & = & \frac{30}{100} && \vert \cdot 150 \\ W & = & \frac{30}{100}\cdot 150 && \\ W & = & 45\ \text{[Personen]}&& \\ \end{array} $

    Lösung

    Folgende Daten sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:

    Die Gesamtzahl der Schüler aus beiden Kursen beträgt $40$. Diese liefert uns unseren Grundwert $G=40$.

    Die Prozentzahlen $p$ sind gegeben durch die Liste von Frau Schiller. Diese entnehmen wir der ersten Tabellenspalte.

    $ \begin{array}{r|l} p & \text{Grund} \\ \hline 10\ \% & \text{Klausur im anderen Kurs} \\ 20\ \% & \text{Krankheit} \\ 12,5\ \% & \text{bereits im Zoo gewesen} \\ 5\ \% & \text{Allergie gegen Tierhaare} \\ \end{array} $

    Die gegebenen Daten, eingesetzt in die Prozentformel $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$, liefern uns die gesuchten Prozentwerte $W$.

    Berechnung der Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Klausur nicht teilnehmen können:

    Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=10$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{40} & = & \frac{10}{100} && \vert \cdot 40 \\ W & = & \frac{10}{100}\cdot 40 && \\ W & = & 4\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array} $

    Berechnung der Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Krankheit nicht teilnehmen können:

    Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=20$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{40} & = & \frac{20}{100} && \vert \cdot 40 \\ W & = & \frac{20}{100}\cdot 40 && \\ W & = & 8\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array} $

    Berechnung der Anzahl der Schüler, die bereits im Zoo gewesen sind:

    Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=12,5$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{40} & = & \frac{12,5}{100} && \vert \cdot 40 \\ W & = & \frac{12,5}{100}\cdot 40 && \\ W & = & 5\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array} $

    Berechnung der Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Allergie gegen Tierhaare nicht teilnehmen können:

    Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=5$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{40} & = & \frac{5}{100} && \vert \cdot 40 \\ W & = & \frac{5}{100}\cdot 40 && \\ W & = & 2\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array} $

  • Ermittle die fehlenden Größen.

    Tipps

    Nutze für die Berechnung der fehlenden Größen die Prozentformel:

    $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$.

    Stelle diese durch Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe um.

    Lass uns die Formel gemeinsam umstellen:

    Gegeben: $G$, $p$

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{G} & = & \frac{p}{100} && \vert \cdot G \\ W & = & \frac{p}{100}\cdot G && \\ \\ \end{array} $

    Gegeben: $W$, $p$

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{G} & = & \frac{p}{100} && \\ \frac{G}{W} & = & \frac{100}{p} && \vert\cdot W\\ G & = & \frac{100}{p}\cdot W && \\ \\ \end{array} $

    Gegeben: $G$, $W$

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{G} & = & \frac{p}{100} && \\ \frac{p}{100} & = & \frac{W}{G} && \vert\cdot 100\\ p & = & \frac{W}{G}\cdot 100 && \end{array} $

    Lösung

    Unsere Prozentformel kann durch Äquivalenzumfomungen unter Verwendung der jeweiligen Umkehroperation nach der fehlenden Größe umgestellt werden. Wenn der Prozentwert $W$ gesucht ist, stellen wir die Formel wie folgt um:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W}{G} & = & \frac{p}{100} && \vert \cdot G \\ W & = & \frac{p\cdot G}{100} && \\ \\ \end{array} $

    Ist der Grundwert $G$ gesucht, dann können wir die Formel weiter umstellen zu:

    $ \begin{array}{lllll} W & = & \frac{p}{100}\cdot G && \vert \cdot 100 \\ W\cdot 100 & = & p\cdot G && \vert :p \\ \frac{W\cdot 100}{p} & = & G && \\ \\ \end{array} $

    Zuletzt soll diese Formel noch nach der Prozentzahl $p$ umgestellt werden. Wir erhalten folgenden Zusammenhang:

    $ \begin{array}{lllll} \frac{W\cdot 100}{p} & = & G && \vert \cdot p \\ W\cdot 100 & = & G\cdot p && \vert :G \\ \frac{W\cdot 100}{G} & = & p && \\ \\ \end{array} $

    Nun verwenden wir diese Formel(n), um die fehlenden Tabellenwerte zu berechnen.

    Paracetabol

    Gegeben: $G=500\ \text{Personen}$, $W=200\ \text{Personen}$

    Gesucht: $p$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} p & = & \frac{W\cdot 100}{G} && \\ p & = & \frac{200\cdot 100}{500} && \\ p & = & 40 && \\ \\ \end{array} $

    Dolorwin

    Gegeben: $W=195\ \text{Personen}$, $p=65$

    Gesucht: $G$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} G & = & \frac{W\cdot 100}{p} && \\ G & = & \frac{195\cdot 100}{65} && \\ G & = & 300\ \text{[Personen]}&& \\ \\ \end{array} $

    Ibuproten

    Gegeben: $G=250\ \text{Personen}$, $p=80$

    Gesucht: $W$

    Lösung:

    $ \begin{array}{lllll} W & = & \frac{p\cdot G}{100} && \\ W & = & \frac{80\cdot 250}{100} && \\ W & = & 200\ \text{[Personen]} && \\ \\ \end{array} $