Was ist der Flächeninhalt?
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Grundlagen zum Thema Was ist der Flächeninhalt?
Was ist der Flächeninhalt?
Hast du schon einmal dein Zimmer in einer neuen, coolen Farbe angestrichen?
Wenn man ein Zimmer streichen will, muss man natürlich Farbe dafür kaufen. Aber wie viele Liter Farbe braucht man für ein Zimmer? Auf den großen Farbeimern, die es zum Beispiel im Baumarkt gibt, steht meistens so etwas wie: reicht für $20~\text{m}^2$. Das ist die Fläche, die man insgesamt streichen kann. Um zu wissen, wie viel Farbe du brauchst, musst du den Flächeninhalt der Wand kennen.
Der Flächeninhalt ist per Definition die Fläche, die durch den Rand einer geometrischen Form eingeschlossen wird.
Das kann zum Beispiel ein Quadrat, ein Kreis oder ein Dreieck sein. Aber auch komplizierte Formen haben einen Flächeninhalt, den man berechnen kann. Wie das funktioniert, wollen wir uns an einem Beispiel anschauen.
Wie kann man den Flächeninhalt berechnen?
Als erstes betrachten wir ein Quadrat, das auf ein Blatt kariertes Rechenpapier gezeichnet ist. Wir wollen herausfinden, aus wie vielen Kästchen das Quadrat insgesamt besteht. Das ist dann der Flächeninhalt des Quadrats. Du kannst die Kästchen natürlich einfach zählen. Aber je größer das Quadrat ist, desto länger dauert das. Wir können den Flächeninhalt aber auch ausrechnen. Dazu brauchen wir nur die Anzahl der Kästchen zählen, die sich in jeder Spalte und Reihe befinden. Diese Zahlen müssen wir dann nur noch miteinander multiplizieren. Wenn das Quadrat zum Beispiel vier Kästchen breit und vier Kästchen hoch ist, müssen wir rechnen:
$4 \cdot 4 = 16$
So ein Quadrat hat also einen Flächeninhalt von $16$ Kästchen. Normalerweise rechnet man natürlich nicht in Kästchen, sondern in Metern oder Quadratmetern. Die Kästchen sind dann wiederum kleine Quadrate, die eine Seitenlänge von $1~\text{m}$ haben. Ihre Fläche ist damit genau $1~\text{m}^2$ groß. Man nennt so ein Quadrat auch ein Einheitsquadrat. Wenn wir ein Quadrat oder Rechteck in Einheitsquadrate unterteilen, können wir den Flächeninhalt bestimmen, in dem wir die Anzahl der Quadrate in den Zeilen und Spalten zählen und Zeile mal Spalte multiplizieren – genau wie in unserem Beispiel.
Flächeninhalt – Formel
Als Formel kannst du dir also merken:
Flächeninhalt = Seitenlänge mal Seitenlänge
Oder, mathematisch ausgedrückt:
$A = a \cdot b$
Hier steht $A$ für die Fläche und $a$ und $b$ für die Seitenlängen. Damit kannst du den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnen. Aber was ist, wenn deine Fläche komplizierter aussieht? Dann kannst du die Fläche oft in Rechtecke und Quadrate unterteilen, und die Flächeninhalte am Ende addieren. Zum Beispiel so:
Hier hast du zwei Quadrate mit einer Seitenlänge von $2$ Einheitskästchen, das heißt einem Flächeninhalt von je $4~\text{m}^2$. Außerdem gibt es ein Rechteck mit den Seitenlängen von $5$ und $4$ Einheitskästchen, also dem Flächeninhalt von $20~\text{m}^2$. Der gesamte Flächeninhalt ist:
$4~\text{m}^2 + 4~\text{m}^2 + 20~\text{m}^2 = 28~\text{m}^2$
Auf diese Weise kannst du den Flächeninhalt immer dann bestimmen, wenn du eine Form in Rechtecke unterteilen kannst.
Kurze Zusammenfassung vom Video Was ist der Flächeninhalt?
In diesem Video wird der Flächeninhalt für die Mathematik in der Grundschule erklärt. An einigen Beispielen wird gezeigt, wie man den Flächeninhalt berechnen kann. Außerdem gibt es natürlich auch zum Thema Flächeninhalt Übungen und ein Arbeitsblatt.
Transkript Was ist der Flächeninhalt?
Kappu möchte seinen Dachboden verschönern. Er hat sich überlegt die größte seiner Wände zu streichen. Um herauszufinden, welche Wand die größte ist, kann Kappu den Flächeninhalt seiner Wände bestimmen. Was ist der Flächeninhalt überhaupt? Betrachten wir dazu einmal diese Formen: das Rechteck, den Kreis und das Quadrat. Das was von dem Rand eingeschlossen ist, ist die Fläche. Erkennst du, welche Form die größte Fläche besitzt? Genau, der Kreis ist am größten. Aber manchmal ist es nicht so leicht zu erkennen, welche Fläche die größte ist. Schau dir doch einmal dieses Rechteck und dieses Quadrat an. Wir können sie übereinander legen. Machen wir es SO, steht hier ein Teil der Fläche über. Legen wir sie andersherum übereinander, steht hier ein Teil der Fläche über. Wir können also nicht direkt erkennen, welche der beiden Flächen größer ist. Um Flächen besser miteinander zu vergleichen, verwenden wir den Flächeninhalt. Kappu hat sich die Formen dazu auf kariertem Papier aufgezeichnet. Dort helfen die Kästchen ihm dabei die beiden Flächen miteinander zu vergleichen. Wir können jetzt jedes einzelne Kästchen zählen. Zähl doch mit! Es sind 18 Kästchen. Wir können aber auch zählen, wie viele Kästchen sich in jeder Reihe und Spalte befinden. Wie viele Kästchen zählst du in dieser Reihe? Es sind 6 Kästchen. Wie viele Kästchen sind in dieser Spalte? 3. Da wir 3 Spalten mit jeweils 6 Kästchen haben, sind dies 3 mal 6, also auch 18 Kästchen. Wie groß ist die andere Fläche? Hier haben wir 4 mal 4 Kästchen also 16 Kästchen. Nun können wir mit Sicherheit sagen, dass das Rechteck größer ist als das Quadrat. Mit dem Wissen schafft Kappu es nun bestimmt auch die verschiedenen Flächen der Wände zu vergleichen. Dazu hat er sich Skizzen der Flächen auf Karopapier aufgezeichnet. Jedes Quadrat steht hier für einen Quadratmeter. Ein Quadratmeter ist ein Quadrat mit den Seitenlängen 1m. Vergleichen wir Flächen mithilfe solcher Quadrate, dann nennen wir diese Quadrate auch Einheitsquadrate. Bei diesen Formen können wir aber nicht einfach die Kästchen der Zeilen und Spalten zählen. Wir können die Formen aber in für uns einfachere Formen unterteilen. Beginnen wir mit dieser hier. Unterteilen wir sie SO, haben wir nun zwei Rechtecke. Dieses hat 5 mal 2 Quadrate also eine Größe von 10 Quadraten und dieses 3 mal 4 Quadrate also eine Größe von 12 Quadraten. Wie viele Quadrate sind das insgesamt? Es sind 22 Quadrate. Da ein Quadrat für einen Quadratmeter steht, ist diese Wand also 22 Quadratmeter groß. Schauen wir uns jetzt die andere Wand an. Wir können sie SO aufteilen. So haben wir zwei Quadrate und ein Rechteck. Die Quadrate sind gleich groß. Erkennst du, aus wie vielen Einheitsquadraten eines dieser Quadrate besteht? Aus 4 Einheitsquadraten. Das Rechteck besteht aus 5 mal 4 Einheitsquadraten, also 20. Wie groß ist die Wand dann insgesamt? 20 plus 4 plus 4 ist gleich 28. Die Wand ist also 28 Quadratmeter groß. Somit ist sie größer als die erste Wand. Es ist entschieden, Kappu wird die 28 Quadratmeter große Wand streichen. Er macht sich direkt an die Arbeit. Und wir gucken uns noch einmal an, was wir gelernt haben. Das was von dem Rand eingeschlossen ist, ist die Fläche. Um Flächen besser miteinander zu vergleichen, verwenden wir den Flächeninhalt. Wir können den Flächeninhalt bestimmen, indem wir die Einheitsquadrate abzählen. Beim Rechnen hilft es, die Fläche in verschiedene Teilflächen zu unterteilen. Und Kappu hat sein Werk vollbracht! Naja, da hat er wohl nicht nur die Wand gestrichen.
Was ist der Flächeninhalt? Übung
-
Welche Fläche ist am kleinsten? Entscheide.
TippsZähle die Kästchen an den zwei verschiedenen Seiten der Figuren. Hier sind das 4 und 5.
Jetzt rechnest du: 4 ⋅ 5 = 20.
Es sind also 20 Kästchen.Die Fläche mit der kleinsten Anzahl an Kästchen ist am kleinsten.
LösungDieses Rechteck hat 3 Kästchen waagerecht, also von links nach rechts. Es hat 5 Kästchen senkrecht, also von oben nach unten.
Insgesamt sind das dann 5 Reihen mit jeweils 3 Kästchen.
- 3 ⋅ 5 = 15
Rechne so alle weiteren Vierecke aus. Dann findest du heraus, dass dieses somit das Rechteck mit der kleinsten Fläche ist.
-
Wie berechnest du den Flächeninhalt? Bestimme.
TippsUm den Flächeninhalt von komplexen Flächen zu berechnen, musst du diese in kleinere Flächen aufteilen.
Kappu hat diese Fläche in drei kleinere Rechtecke geteilt. Er hat jede einzeln berechnet und die Ergebnisse zusammengezählt.
LösungKappu möchte sich das Zählen der einzelnen Kästchen ersparen.
Deshalb teilt er die komplexen Flächen in Formen auf, die er schon kennt, wie zum Beispiel drei Rechtecke. Er rechnet dann die Anzahl der Kästchen von jedem einzelnen Rechteck aus. Dann zählt er die Anzahl der Kästchen zusammen. Das Ergebnis ist der Flächeninhalt der gesamten Form.
Hier rechnest du:
- 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 = 38
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Wie viele Kästchen haben die Formen? Gib an.
TippsTeile dir die Abbildungen in kleinere Formen auf.
Rechne dann die Flächeninhalte der kleineren Formen aus und addiere sie. Das Ergebnis ist der Flächeninhalt der ganzen Form.
LösungIn dieser Aufgabe gibt es zwei verschiedene Formen mit unterschiedlicher Anzahl von Kästchen. Um diese schnell und ohne Fehler zu berechnen, ist es sinnvoll, die Formen jeweils in einfachere aufzuteilen, wie zum Beispiel in drei Rechtecke (Abbildung).
Dann können wir die Anzahl der Kästchen so berechnen:
Blaues Rechteck: 5 Kästchen waagerecht (von links nach rechts) und 2 Kästchen senkrecht (von oben nach unten)
5 ⋅ 2 = 10
Grünes Rechteck: 2 Kästchen waagerecht (von links nach rechts) und 4 Kästchen senkrecht (von oben nach unten)
2 ⋅ 4 = 8
Rotes Rechteck: 5 Kästchen waagerecht (von links nach rechts) und 2 Kästchen senkrecht (von oben nach unten)
5 ⋅ 2 = 10
Alle drei Rechtecke zusammengerechnet: 10 + 8 + 10 = 28
Diese Form hat 28 Kästchen.
Ähnlich kannst du dir die andere Form aufteilen und sie berechnen.
-
Wie kannst du das Dreieck ergänzen, um später den Flächeninhalt zu berechnen? Prüfe.
TippsDu musst das Dreieck zu einem Viereck ergänzen.
Du brauchst nur zwei Linien.
LösungUm den Flächeninhalt von einem Dreieck zu berechnen, musst du dieses zuerst zu einem Viereck ergänzen.
Dann berechnest du den Flächeninhalt des Vierecks und teilst ihn durch zwei. Die Hälfte des Flächeninhalts des Vierecks ist der Flächeninhalt des Dreiecks. Somit erhälst du das Ergebnis für den Flächeninhalt eines Dreiecks.
-
Was ist der Flächeninhalt? Beschreibe.
TippsLiter ist zum Beispiel ein Maß für den Rauminhalt.
Gewichte werden zum Beispiel in kg oder g angegeben.
LösungDer Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Mit diesem kannst du die Größe von verschiedenen Flächen vergleichen. Wie du die Fläche von einem Rechteck oder einem Quadrat berechnest, hast du sicherlich schon herausgefunden. Dazu musst du jeweils die Breite und die Länge der Form messen und diese malnehmen.
Gewichte oder Rauminhalte kannst du mit dem Flächeninhalt nicht bestimmen. Denn Flächen haben kein Gewicht und keinen Rauminhalt.
-
Wie viele Quadratmeter hat diese Wand? Berechne.
TippsDu kannst dir die Wand in kleinere Formen aufteilen. Zum Beispiel in zwei große Rechtecke, ein kleines Rechteck und ein Dreieck.
Den Flächeninhalt von einem Dreieck berechnest du fast genauso wie bei einem Rechteck.
Du zählst die Kästchen an den Seiten, in diesem Fall 6 ⋅ 6 und teilst diese durch 2. So erhälst du den Flächeninhalt von einem Dreieck.
LösungUm den Flächeninhalt dieser großen Wand auszurechnen, kannst du sie in kleinere Formen aufteilen.
Violettes Rechteck: 6 Kästchen waagerecht (von links nach rechts), 10 Kästchen senkrecht (von oben nach unten)
6 ⋅ 10 = 60
Blaues Rechteck: 6 Kästchen waagerecht, 10 Kästchen senkrecht
6 ⋅ 10 = 60
Grünes Rechteck: 6 Kästchen waagerecht, 4 Kästchen senkrecht
6 ⋅ 4 = 24
Rotes Dreieck: 6 Kästchen waagerecht, 6 Kästchen senkrecht
6 ⋅ 6 = 36
36 : 2 = 18
Ergebnisse zusammengerechnet: 60 + 60 + 24 + 18 = 162
Da ein Kästchen gleich 1 m² ist, hat die Wand 162 m².
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sehr cool hat mir sehr geholfen
ich komme villeicht auf die schule von meinem freund weiel ich eine eins habe
Ich habe morgen das Elterngespräch auf die weiterführende Schule wegen Sofatotor habe ich gute Noten und hoffe dass ich auf dem Gymnasium gehe!😆 und drei meiner Freunde gehen auch ins Gymnasium und da will ich auch hin 😁😃
alles richtig nur einen fehler