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Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken 05:07 min

Textversion des Videos

Transkript Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken

Der berüchtigte Biker Mofa hat zwei Leidenschaften: Motorradfahren und ehrenamtliches Engagement. Dieser harte Hund beziehungsweise verantwortungsbewusste Bürger stellt der Bürgermeisterin eine Projektidee vor. Mofa schlägt vor, mehrere ungenutzte, dreieckige Flächen in der Stadt zu öffentlichen Gemüsegärten zu machen. Die Bürgermeisterin lässt sich aber nicht so einfach bequatschen. Um ihr die Idee schmackhaft zu machen, wird Mofa den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken berechnen müssen. Mofa möchte Gärten in der Form von rechtwinkligen Dreiecken anlegen, damit sie problemlos in ungenutzte Ecken und Winkel der Stadt passen. Wir wissen, dass es sich bei diesem Garten um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, weil zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Mofa muss den Flächeninhalt eines jeden Gartens herausfinden, um dann die benötigte Erde, Dünger und Saatgut zu berechnen. Um die Fläche eines rechtwinkligen Dreieckes zu bestimmen, schauen wir uns zunächst ein Rechteck an. Den Flächeninhalt eines beliebigen Rechtecks berechnet man als: Länge mal Breite. Dieses Rechteck hat eine Länge von 5 und eine Breite von 3. Wir setzen die Werte in die Formel ein und erhalten so einen Flächeninhalt von 15. Wenn wir hier eine Diagonale ziehen, erhalten wir zwei rechtwinklige Dreiecke. Was meinst du, welches Verhältnis diese beiden Dreiecke zueinander haben? Sind sie unterschiedlich oder vielleicht doch eher gleich groß? Wenn wir die Dreiecke übereinander legen, sehen wir, dass sie tatsächlich gleich groß sind. Wie könntest du also den Flächeninhalt eines dieser beiden Dreiecke berechnen? Weil man den Flächeninhalt eines Rechtecks durch 'Länge mal Breite' berechnet, ist der Flächeninhalt eines unserer Dreiecke die Hälfte davon. Also die Hälfte von 3 mal 5, was 7,5 ergibt. Damit machen wir uns jetzt daran, Mofa bei der Berechnung seiner geplanten Gärten zu helfen. Das hier ist eine der leerstehenden Flächen, aus der Mofa eine grüne Oase inmitten der Stadt schaffen möchte. Um den Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Längen dieser beiden Seiten. Bei einem Dreieck verwenden wir die Begriffe Grundseite, also g, und Höhe, also h. Normalerweise nehmen wir als Grundseite die untere Seite, also setzen wir in die Formel für 'g' 8 ein. Dann wäre 15 unsere Höhe 'h', denn diese Seite liegt senkrecht auf der Grundseite. Wir multiplizieren einhalb mal 8 und erhalten 4 und 4 mal 15 ergibt 60. Überprüfen wir doch mal unsere Berechnungen. Um da aber ein wenig Spannung reinzubringen, wählen wir diese Seite hier als unsere Grundseite. Dann wäre das hier unsere Höhe. Bleibt der Flächeninhalt dann gleich? Wir setzen für die Grundseite 15 ein und 8 für die Höhe. Aha, wir erhalten noch immer 60. Das wird die Bürgermeisterin sicherlich beeindrucken. Schauen wir uns einen weiteren von Mofas geplanten Gärten an. Welche Seite ist hier die Grundseite und welche die Höhe? Normalerweise nennen wir die untere Seite eines Dreiecks die Grundseite, aber hier gibt es keine "untere Seite", also drehen wir die Figur ein wenig, denn dadurch ändert sich ja der Flächeninhalt nicht. Können wir jetzt eine der anderen beiden Seiten als Höhe verwenden? Nicht vergessen: Grundseite und Höhe müssen senkrecht aufeinander stehen, also funktioniert keine dieser beiden Seiten. Wenn wir das Dreieck aber so legen, erhalten wir eine Grundseite und eine Höhe, die senkrecht aufeinander stehen. In unsere Formel setzen wir jetzt einfach 21,5 für 'g' ein und 17,2 für 'h'. Wir multiplizieren und erhalten einen Flächeninhalt von 184,9. Ein ziemlich großer Garten, aber Mofas Hingabe für eine grünere Stadt MUSS die Bürgermeisterin einfach beeindrucken. Während sie sich die Pläne zu Gemüte führt, fassen wir noch mal zusammen. Jedes rechtwinklige Dreieck kann man sich als die Hälfte eines Rechtecks vorstellen. Deswegen berechnet man den Flächeninhalt als 'einhalb mal Grundseite mal Höhe'. Um die Grundseite und die Höhe zu finden, suchst du einfach die Seiten, die senkrecht aufeinander stehen. Nach einigen Monaten harter Arbeit steht in Mofas Gärten die Ernte an. Er lädt deswegen einige seiner Bikerfreunde ein, um gemeinsam die Früchte seiner harten Arbeit zu genießen. Vielleicht passen Motorräder und städtische Kleingärtnerei aber einfach nicht zusammen.

2 Kommentare
  1. Gut

    Aber

    Auch

    Sclecht

    Von Gokturkalper2007, vor einem Tag
  2. Ich werde den Video noch einmal sehen.

    Von Sandra C., vor einem Tag

Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Berechnung des Flächeninhalts.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Produkt der beiden Seiten.

    Ein rechtwinkliges Dreieck ist immer die Hälfte eines Rechtecks.

    Ein Dreieck mit der Grundseite $5$ und der Höhe $4$ hat den Flächeninhalt:

    $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$.

    Lösung

    Mofa berechnet den Flächeninhalt verschiedener Gemüsebeete. Diese haben die Form von Rechtecken oder rechtwinkligen Dreiecken. Bei einem Rechteck ist der Flächeninhalt das Produkt der beiden Seiten. Jedes rechtwinklige Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks. Sein Flächeninhalt ist daher die Hälfte des Flächeninhaltes dieses Rechtecks, d.h. die Hälfte des Produktes der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.

    Mofas erstes Gemüsebeet hat die Form eines Rechtecks. Seinen Flächeninhalt kann Mofa daher einfach ausrechnen: Dies ist das Produkt der beiden Seiten des Rechtecks.

    Also Länge $\cdot$ Breite.

    Mofa kann das auch als Formel aufschreiben:

    $A = l \cdot b$.

    Bei einer Breite von $b = 5$ und einer Länge von $l=3$ ergibt sich daher der Flächeninhalt für das Rechteck der Flächeninhalt:

    $A = 3 \cdot 5= 15$.

    Jedes rechtwinklige Dreieck entsteht aus einem Rechteck durch Halbierung längs einer Diagonalen des Rechtecks. Umgekehrt kann man aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken wieder ein Rechteck zusammensetzen. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist daher genau die Hälfte des Flächeninhaltes des zugehörigen Rechtecks.

    Als Formel schreibt man für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks:

    $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

    Mofa erhält also:

    $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5$.

    Hierbei ist $g$ eine Grundseite und $h$ die zugehörige Höhe des Dreiecks. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man die Rollen von Grundseite und Höhe vertauschen. Denn jede der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, steht auf der jeweils anderen Seite senkrecht. Daher kann jede dieser beiden Seiten die Höhe zu der jeweils anderen Seite sein.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Jede Höhe in einem Dreieck steht senkrecht auf einer Seite des Dreiecks.

    Der rechte Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird von den beiden Katheten gebildet.

    Lösung

    Ein rechtwinkliges Dreieck hat verschieden lange Seiten. Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie heißt Hypotenuse. Da die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber liegt, wird der rechte Winkel von den beiden anderen Seiten, den Katheten gebildet. Sie sind in jedem Fall kürzer als die Hypotenuse. Die beiden Katheten können gleich lang sein. Die Höhe in einem Dreieck ist eine Strecke, die auf einer Dreieckseite senkrecht steht. Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, so gibt es keine zwei Seiten, die aufeinander senkrecht stehen. Daher kann keine Höhe eine Seite des Dreiecks sein.

    Mit diesen Überlegungen findest du folgende Sätze:

    • In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse ... die längste Seite.
    • In einem rechtwinkligen Dreieck liegt an dem rechten Winkel ... die kürzeste Seite.
    • In einem nicht rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe ... keine der Dreiecksseiten.
    • In jedem Dreieck ist die Höhe ... senkrecht zur Grundseite.
  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der beiden Seiten.

    Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produktes der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.

    Bei einem Dreieck mit den Seiten $3$, $4$ und $5$ bilden die beiden kürzeren Seiten den rechten Winkel. Der Flächeninhalt ist daher:

    $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du ausrechnen, indem du die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, multiplizierst und von dem Produkt die Hälfte nimmst. Ohne den Faktor $\frac{1}{2}$ erhältst du den Flächeninhalt des Rechtecks mit diesen beiden Seiten.

    • Das Rechteck mit den Seitenlängen $3$ und $5$ hat den Flächeninhalt $A = 3 \cdot 5 = 15$.
    • Der Flächeninhalt des Dreiecks mit den beiden kürzeren Seiten der Längen $3$ und $5$ ist $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5$.
    • Der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seitenlängen $8$, $15$ und $17$ ist $A=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$. Denn bei jedem rechtwinkligen Dreieck liegt der rechte Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten.
    • Für das Dreieck mit den Seitenlängen $17,2$, und $21,5$ und $27,53$ findest du den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 17,2 \cdot 21,5 = 184,9$.
  • Charakterisiere die Bestimmung des Flächeninhalts von nicht rechtwinkligen Dreiecken.

    Tipps

    Da die Höhe immer senkrecht auf der Grundseite steht, haben wir mit ihr die Möglichkeit unsere beliebigen Dreiecke in rechtwinklige Dreiecke aufzuteilen oder zu rechtwinkligen zu ergänzen.

    In dem Bild des stumpfwinkligen Dreiecks siehst du drei Dreiecke. Überlege, wie du den Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$ aus den Flächeninhalten der beiden anderen Dreiecke bestimmen kannst.

    Lösung

    Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks hast du die Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ kennengelernt. Hierbei sind $g$ und $h$ die beiden Katheten des Dreiecks. Auch für andere als rechtwinklige Dreiecke gilt diese Formel, wenn du die Größen $g$ und $h$ richtig einsetzt. In dieser Aufgabe siehst du die Begründung einmal für spitzwinklige und dann für stumpfwinklige Dreiecke:

    Spitzwinkliges Dreieck: Die Höhe $h$ in dem spitzwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ im ersten Bild zerlegt dieses Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{DBC}$. Der Flächeninhalt dieser Dreiecke ist nach der bekannten Formel:

    $A(\Delta_{ADC}) = \frac{1}{2} \cdot g_1 \cdot h$

    und

    $A(\Delta_{DBC}) = \frac{1}{2} \cdot g_2 \cdot h$.

    Denn beide Dreiecke haben die gemeinsame Kathete $h$ und die jeweils andere Kathete ist $g_1$ bzw. $g_2$. Da das Dreieck $\Delta_{ABC}$ genau aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken zusammen gesetzt ist, ergibt die Summe der Flächeninhalte von $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{DBC}$ den Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$:

    $A(\Delta_{ABC}) = A(\Delta_{ADC}) + A(\Delta_{DBC})$.

    Für die Grundseite $g=\overline{AB}$ von $\Delta_{ABC}$ gilt:

    $g = g_1 + g_2$.

    Den Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$ kann man demnach durch folgende Formel berechnen:

    $A(\Delta_{ABC})= \frac{1}{2} \cdot (g_1 + g_2) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

    Stumpfwinkliges Dreieck: Die außerhalb liegende Höhe $h$ zur Grundseite $g=\overline{AB}$ in dem stumpfwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ bildet die beiden rechtwinkligen Dreiecke $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{BDC}$. Für diese beiden kannst du wieder die bekannte Formel für den Flächeninhalt verwenden. Der Flächeninhalt von $\Delta_{ADC}$ ist:

    $A(\Delta_{ADC}) = \frac{1}{2} \cdot (g + g') \cdot h$.

    Der Flächeninhalt von $\Delta_{BDC}$ dagegen ist:

    $A(\Delta_{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot g' \cdot h$.

    Das Dreieck $\Delta_{ADC}$ kannst du aus den beiden Dreiecken $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{BDC}$ zusammensetzen. Daher ist sein Flächeninhalt die Summe der Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke. Umgekehrt ist also die Differenz der Flächeninhalte von $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{BDC}$ der gesuchte Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$:

    $A(\Delta_{ABC}) = A(\Delta_{ADC}) - A(\Delta_{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot \big((g+g') - g'\big) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

    Nutzt du in diesem Dreieck die Seite $\overline{AC}$ als Grundseite, kannst du ebenso wie beim spitzwinkligen Dreieck vorgehen.

  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    In der Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kommt die Hypotenuse des Dreiecks nicht vor.

    Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen $3$, $4$ und $5$ ist:

    $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

    Lösung

    Mofa hat alle Beete als Dreiecke geplant. Die meisten der Dreiecke sind rechtwinklig. Für diese hat Mofa die Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ direkt aus der Fläche des zugehörigen Rechtecks abgelesen. Auch für die nicht rechtwinkligen Vierecke kann er diese Formel verwenden, wenn er die Größen $g$ und $h$ richtig verwendet. Denn $g$ ist als Grundseite immer eine der Seiten des Dreiecks. $h$ ist die zugehörige Höhe, also eine zur Grundseite senkrechte Strecke von der Grundseite (oder ihrer Verlängerung) bis zur gegenüberliegenden Ecke. Im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks kann Mofa jede der beiden Seiten an dem rechten Winkel als Grundseite wählen. Die jeweils andere Seite ist dann die zugehörige Höhe.

    In den Konstruktionen sind einige Dinge durcheinander geraten:

    1. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts ist korrekt, aber die Seiten im Dreieck sind nicht dazu passend bezeichnet. Die mit $h$ bezeichnete Seite ist die Hypotenuse und steht nicht senkrecht auf der Grundseite $g$.
    2. Die Seiten des Dreiecks sind korrekt bezeichnet und die Formel für den Flächeninhalt ist ebenfalls korrekt.
    3. Das Dreieck ist die Hälfte eines Quadrates, daher sind die beiden Katheten gleich lang. Die Länge $a = 1,41$ ist ungefähr dasselbe wie $\sqrt{2}$, daher ist der Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \approx \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
    4. Das Dreieck ist rechtwinklig, die beiden Katheten sind $2$ und $8$. Daher ist der Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.
    5. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig. Dennoch kannst du dieselbe Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ für den Flächeninhalt verwenden wie bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn du die Größen $g$ und $h$ richtig zuordnest. Die Grundseite $g$ muss eine Seite des Dreiecks sein und $h$ die zugehörige Höhe. In dem Bild stehen $g$ und $h$ nicht aufeinander senkrecht und $g$ ist keine Seite des Dreiecks. Zudem fehlt in der Formel für den Flächeninhalt der Faktor $\frac{1}{2}$.
  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    Um den Flächeninhalt eines rechteckigen Beetes zu bestimmen, kannst du die Länge und Breite des Rechteck multiplizieren.

    Ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks doppelt so groß wie $5~\text m^2$, so kannst du nichts über die Seitenlängen dieses Dreiecks bestimmen.

    Die dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen: Ist die kürzeste Seite $3~\text m$ lang und die längste $5~\text m$, so ist die Länge der mittleren Seite in $\text m$:

    $\sqrt{5^2 -3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du mit einer einfachen Formel ausrechnen: Du multiplizierst die Längen der beiden kürzeren Seiten (der Katheten) und teilst das Produkt durch $2$. Hier sind die Flächeninhalte der einzelnen Beete:

    Salat: Die längste Seite ist die Hypotenuse. Mofa muss zuerst die Länge der zweiten Kathete ausrechnen. Das geht mit dem Satz des Pythagoras. Sind die beiden Katheten $a=3~\text m$ und $b = ?$ und die Hypotenuse $c = 5~\text m$, so kannst du die Formel des Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ nach $b$ auflösen:

    $b = \sqrt{b^2} = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{25-9}~\text m = \sqrt{16}~\text m = 4~\text m$.

    In die Formel für den Flächeninhalt gehen die beiden Katheten $a= 3~\text m$ und $b = 4~\text m$ ein. Der Flächeninhalt ist dann:

    $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4~\text m^2 = 6~\text m^2$.

    Blaukraut: Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten gleich lang, so müssen dies die Katheten sein. Denn die Hypotenuse ist stets länger als jede der beiden Katheten. Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist die Hälfte eines Quadrates. Der Flächeninhalt ist $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2$. Die Länge dieser Seite $a$ ist gegeben durch die Hypotenuse des Salatbeetes, also $a = 5~\text m$. Die beiden Seiten in der Formel des Flächeninhaltes haben also jeweils die Länge $5~\text m$. Mofa erhält daraus den Flächeninhalt:

    $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5~\text m^2 = 12,5~\text m^2$.

    Gelbe Rüben: Das Beet für die Gelben Rüben ist die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a = 3,5~\text m$ und $b = 7~\text m$. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist das Produkt dieser beiden Längen. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß, also:

    $A = \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 7 = 12,25~\text m^2$.

    Die beiden Seiten des Dreiecks, die zur Berechnung des Flächeninhaltes verwendet wurden, sind $a = 3,5~\text m$ und $b=7~\text m$.

    Rote Bete: Der Flächeninhalt des Beetes für die Rote Bete ist doppelt so groß wie der des Beetes für die Gelben Rüben. Dies ist nur eine Aussage über den Flächeninhalt. Die Seitenlängen des Beetes für die Rote Bete sind nicht bekannt. Das Beet für die Gelben Rüben hat einen Flächeninhalt von $12,25~\text m^2$. Daher findet Mofa für die Rote Bete den Flächeninhalt:

    $A = 2 \cdot 12,25~\text m^2 = 24,5~\text m^2$.