30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen

Bewertung

Ø 4.7 / 11 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Dreiecke ausgehend von bekannten Winkeln und Seiten zu zeichnen.

Zunächst lernst du, wann ein Dreieck eindeutig bestimmt ist. Anschließend siehst du an einigen Beispielen, wie du ein Dreieck ausgehend von bekannten Winkeln und Seiten konstruierst. Abschließend lernst du, bei welchen Angaben wie viele Dreiecke konstruiert werden können.

Lerne etwas über die Konstruktion von Dreiecken, indem du dem Pharao bei der Gestaltung seines Wandteppichs hilfst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Dreiecke zeichnen, konstruieren, Winkel, Seiten, eingeschlossener Winkel und Seitenlänge.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Eigenschaften Dreiecke haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Konstruktion von anderen geometrischen Figuren zu lernen.

Transkript Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen

Pharao Ahmose entspannt sich unter der gleißenden ägyptischen Sonne. Er braucht einen Wandteppich, der ihm etwas Schatten spendet. Also ruft er seine Schneider. Die Schneider sollen den Teppich zusammensetzen, indem jeder von ihnen ein Stück Stoff in der gleichen Dreiecksform herstellt. Sie müssen also Dreiecke mit bestimmten Winkeln oder Seitenlängen konstruieren - ganz nach den Vorgaben des Pharaos. Als Erstes verlangt Ahmose ein RECHTWINKLIGES Dreieck. Aber wie können wir ein solches Dreieck zeichnen, wenn uns nur ein Winkel gegeben ist? Zuerst zeichnen wir mit dem Lineal eine Halbgerade. Deren Startpunkt nennen wir 'C'. Nicht vergessen: Eine Halbgerade beginnt an einem Punkt und erstreckt sich dann ins Unendliche. Manchmal nennt man sie auch "Strahl". Mit dem Geodreieck messen wir am Punkt 'C' einen Winkel von 90 Grad ab. Anschließend zeichnen wir eine Halbgerade vom Punkt 'C' aus durch die Winkelmarkierung und erhalten so einen rechten WINKEL. Nun suchen wir uns einen beliebigen Punkt auf jeder der Halbgeraden und verbinden diese mit einer Linie. Wir nennen sie 'A' und 'B'. Wie können wir sichergehen, dass unser Dreieck 'ABC' wirklich RECHTWINKLIG ist? Nun, der Winkel Gamma hier beträgt 90 Grad, also ja, das Dreieck ist rechtwinklig. Vergleichen wir unser rechtwinkliges Dreieck mit dem der Schneider des Pharaohs. Offenbar konnten sie mit nur EINEM Winkel als Vorgabe viele verschiedene Dreiecke konstruieren. Pharao Ahmose möchte, dass wir ein eindeutiges Dreieck erstellen, bei dem die Angaben nur auf ein einziges Dreieck führen können. Aber wie konnten dann so viele verschiedene Dreiecke entstehen? Schau mal: Wenn wir die rechten Winkel vom Dreieck A Strich B Strich C Strich und von unserem Dreieck übereinanderlegen, erkennen wir, dass zwar beide Dreiecke rechtwinklig, aber nicht identisch sind. Gleiches gilt auch für das Dreieck A Strich Strich B Strich Strich C Strich Strich. Die Vorgabe ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, reicht also NICHT aus, um ein eindeutiges Dreieck zu erstellen. Tatsächlich könnten wir mit dieser Vorgabe UNENDLICH VIELE unterschiedliche rechtwinklige Dreiecke zeichnen, indem wir die Längen der SEITEN verändern. Also erteilt Ahmose eine neue Anweisung. Dieses mal gibt er einen Winkel und zwei Seitenlängen vor. Jedes Dreieck soll eine Seite der Länge 10 Zentimeter, eine der Länge 6 Zentimeter sowie einen Winkel von 30 Grad besitzen. Werden wir durch diese Anweisung ein EINDEUTIGES DREIECK erhalten, sodass wir von allen Schneidern die gleiche Form bekommen? Schauen wir mal. Wir nutzen ein Lineal, um für das Dreieck eine Seite mit einer Länge von 10 Zentimetern zu zeichnen. Diese Strecke nennen wir EF. Mit unserem Geodreieck messen wir bei Punkt 'E' einen Winkel von 30 Grad ab. Dann zeichnen wir von 'E' aus eine Halbgerade und erhalten so einen 30-Grad-Winkel. Vom Punkt 'E' aus messen wir nun 6 Zentimeter ab und zeichnen die Strecke 'DE'. Dann verbinden wir die Punkte 'D' und 'F' mit einer Linie, um das Dreieck zu vervollständigen. Haben wir Pharao Ahmoses Befehle ausgeführt? Die Strecke 'EF' ist 10 Zentimeter lang, die Strecke 'DE' 6 Zentimeter und der Winkel bei 'E' beträgt 30 Grad. Also ja. Aber schau, die Schneider haben UNTERSCHIEDLICHE DREIECKE erstellt, obwohl sie DENSELBEN Vorgaben gefolgt sind?! Die gegebenen Maße haben nicht für ein eindeutiges Dreieck gesorgt. Wie konnte das passieren? Schau: Die Strecke von 'E Strich' nach 'F Strich' ist ebenfalls 10 Zentimeter lang. Und auch der Winkel bei 'E Strich' beträgt 30 Grad. Aber die Strecke von 'D Strich' nach 'E Strich' ist NICHT 6 Zentimeter lang. Die Strecken 'DE' und 'D Strich F Strich' haben zwar die gleiche Länge, liegen aber auf verschiedenen Seiten des Dreiecks und der Winkel bei 'F' und der bei 'F Strich' haben definitiv eine unterschiedliche Größe. Es gibt zwar nur einige Dreiecke, die wir anhand der Vorgaben des Pharaos konstruieren können, aber diese Dreiecke UNTERSCHEIDEN sich voneinander. Pharao Ahmose will aber wirklich einen Wandteppich aus EINEM EINZIGEN, EINDEUTIGEN Dreieck. Aus diesem Grund gibt der Pharao nun drei Seitenlängen vor, bei denen die Summe der zwei kürzeren Seiten größer ist, als die Summe der längsten Seite. Alle Dreiecke sollen die Seitenlängen 9 Zentimeter, 7 Zentimeter und 4 Zentimeter besitzen. Mit dem Lineal zeichnen wir die längste Strecke von 9 Zentimetern und nennen sie 'PQ'. Wir stellen den Zirkel mit dem Lineal auf 7 Zentimeter ein, setzen die Nadel an Punkt 'P' an und zeichnen einen Kreisbogen. Dann stellen wir den Zirkel auf 4 Zentimeter. Wir setzen die Nadel bei Punkt 'Q' an und zeichnen einen zweiten Kreisbogen, um zu sehen, wo sich die beiden Seiten treffen. Diesen Schnittpunkt nennen wir 'R'. Mit dem Lineal zeichnen wir die Seiten 'QR' und 'PR'. Schau an: Die Dreiecke der Schneider sind zwar gedreht oder gespiegelt, aber davon abgesehen sehen sie genau gleich aus. Sie sind DECKUNGSGLEICH, weil sie DIE GLEICHE Größe und DIE GLEICHE Form besitzen. Egal, wie wir es konstruieren, es kann nur EIN EINZIGES Dreieck mit den Seitenlängen 9, 7 und 4 Zentimetern geben. Die Vorgabe des Pharaos von drei Seitenlängen hat also zu einem eindeutigen Dreieck geführt. Während die Schneider den Teppich zusammennähen, fassen wir noch mal rasch zusammen:

Wenn nur EIN Winkel gegeben ist, lassen sich damit unendlich viele unterschiedliche Dreiecke konstruieren. Eine Vorgabe von zwei Seiten und einem Winkel, dessen Lage nicht bekannt ist, ermöglicht die Konstruktion mehrerer unterschiedlicher Dreiecke Und drei Seitenlängen als Vorgabe ermöglichen nur ein einziges, eindeutiges Dreieck. Wichtig dabei ist, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten länger ist als die längste Seite. Ahmose ist äußerst zufrieden mit der Arbeit seiner Schneider. Nicht aber mit dem Verhalten seiner Katze.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Thorwald, vor 5 Monaten
  2. Hilft mir super gut!!😋

    Von Gerdi2004, vor 6 Monaten
  3. Hallo

    Von Singer Peter, vor 8 Monaten

Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, welche Dreiecke eindeutig konstruierbar sind.

    Tipps

    Die Summe der beiden kürzeren Seiten eines Dreiecks muss länger sein als die längste Seite des Dreiecks.

    Zur Lösung dieser Aufgabe kannst du versuchen, Dreiecke mit diesen Angaben aufzuzeichnen.

    Es gibt unendlich viele rechtwinklige Dreiecke.

    Lösung

    Wenn wir nur einen Winkel kennen, können wir mit diesem unendlich viele unterschiedliche Dreiecke konstruieren.

    Eine Vorgabe von zwei Seiten und einem Winkel, dessen Lage nicht bekannt ist, ermöglicht die Konstruktion mehrerer unterschiedlicher Dreiecke.

    Sind drei Seitenlängen gegeben, ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. Wichtig ist dabei, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten länger ist als die längste Seite. Dies ist der Fall bei:

    • $a=9\ \text{cm}$; $b=7\ \text{cm}$; $c=4\ \text{cm}$, denn $9<11=7+4$
  • Beschreibe, wie du ein Dreieck, dessen drei Seitenlängen gegeben sind, konstruierst.

    Tipps

    Zeichne zuerst die längste Seite des Dreiecks.

    Die Seite $b$ entspricht der Strecke $\overline{AC}$ und die Seite $a$ der Strecke $\overline{BC}$.

    Lösung

    Ein Dreieck, dessen drei Seitenlängen bekannt sind und dessen beide kürzere Seiten zusammen länger sind als die längste Seite, ist eindeutig konstruierbar.

    Bei der Konstruktion eines solchen Dreiecks gehen wir wie folgt vor:

    1. Wir zeichnen mit einem Lineal die Strecke $\overline{AB}$, also die längste Seite $c$ des Dreiecks.
    2. Wir stellen den Zirkel auf die Länge von $b$ ein und zeichnen einen Kreisbogen um $A$.
    3. Wir stellen den Zirkel auf die Länge von $a$ ein und zeichnen einen Kreisbogen um $B$.
    4. Den Punkt, in dem sich die beiden Kreisbogen schneiden, beschriften wir mit $C$.
    5. Mit einem Lineal zeichnen wir die Seiten $a$ und $b$, indem wir den Punkt $C$ jeweils mit den Punkten $A$ und $B$ verbinden.
  • Erläutere, wann ein Dreieck, dessen drei Seitenlängen bekannt sind, konstruierbar ist.

    Tipps

    Überlege, was für die kürzeren Seiten eines Dreiecks gelten muss, damit überhaupt ein Dreieck entstehen kann.

    Ein Dreieck entsteht erst dann, wenn die längste Seite kürzer ist als die beiden kurzen Seiten zusammen.

    Lösung

    In einem Dreieck ist die Summe der beiden kürzeren Seiten immer länger als die längste Seite, also gilt hier:

    $c<a+b$

    Nur in diesem Fall ist es überhaupt möglich, ein Dreieck zu zeichnen.

    Andernfalls würden sich die Enden zweier Seiten nicht im dritten Punkt treffen (falls $c>a+b$) oder alle Punkte würden auf einer Strecke liegen (falls $c=a+b$).

  • Erschließe, bei welchen der Angaben die Konstruktion eines Dreiecks möglich ist.

    Tipps

    Überlege dir, wie groß die Summe der kürzesten Seiten mindestens sein muss, damit ein Dreieck konstruiert werden kann.

    Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten.

    Das Dreieck mit den Seitenlängen $3\ \text{cm}$, $4\ \text{cm}$ und $5\ \text{cm}$ kann konstruiert werden, da die Dreiecksungleichung wie folgt erfüllt ist:

    • $3\ \text{cm}+4\ \text{cm}=7\ \text{cm}>5\ \text{cm}$
    Lösung

    Bevor wir die Angaben zu den Dreiecken untersuchen, wiederholen wir die Bedingung für die Seiten von Dreiecken:

    • Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden kürzeren Seiten sein.
    Mit dieser Bedingung können wir nun die Angaben überprüfen:

    Beispiel 1

    Die Seiten $a = 165\ \text{cm}$, $b = 75\ \text{cm}$ und $c = 35\ \text{cm}$ erfüllen nicht die Bedingung. Es gilt nämlich:

    • $b+c=75\ \text{cm}+35\ \text{cm}=110\ \text{cm}<165\ \text{cm}$
    Die längste Seite ist also nicht kleiner als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

    Beispiel 2

    Die Seiten $a = 95\ \text{cm}$, $b = 110\ \text{cm}$ und $c = 45\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die Bedingung erfüllen. Es gilt nämlich:

    • $a+c=95\ \text{cm}+45\ \text{cm}=140\ \text{cm}>110\ \text{cm}$
    Die längste Seite ist also kleiner als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

    Beispiel 3

    Die Seiten $a=b=c = 65\ \text{cm}$ erfüllen die Bedingung. Es handelt sich hier um ein gleichseitiges Dreieck. Die Dreiecksungleichung ist für alle Seiten erfüllt.

    Beispiel 4

    Die Seiten $a = 10\ \text{cm}$, $b = 20\ \text{cm}$ und $c = 30\ \text{cm}$ ergeben kein Dreieck, da sie die Bedingung nicht erfüllen. Es gilt nämlich:

    • $a+b=10\ \text{cm}+20\ \text{cm}=30\ \text{cm}$
    Da die Summe der längsten Seite entspricht, würden alle drei Punkte auf einer Strecke liegen.

    Beispiel 5

    Die Seiten $a = 70\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 10\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die Bedingung erfüllen. Es handelt sich hierbei um ein gleichschenkliges Dreieck. Es gilt:

    • $a+c>b$
    • $b+c>a$
    Beispiel 6

    Die Seiten $a = 120\ \text{cm}$, $b = 60\ \text{cm}$ und $c = 55\ \text{cm}$ ergeben kein Dreieck, da sie die Bedingung nicht erfüllen. Es gilt nämlich:

    • $b+c=60\ \text{cm}+55\ \text{cm}=115\ \text{cm}<120\ \text{cm}$
    Die längste Seite ist also größer als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

  • Gib diejenigen Dreiecke an, die die Vorgaben erfüllen.

    Tipps

    Einen rechten Winkel erkennst du an dem Punkt im Winkelbogen.

    Ein Dreieck mit den Vorgaben $10\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ und $30^\circ$ kann keinen rechten Winkel besitzen.

    Ein Dreieck mit den Seitenlängen $9\ \text{cm}$, $7\ \text{cm}$ und $4\ \text{cm}$ kann keinen rechten Winkel besitzen.

    Lösung

    Einen rechten Winkel erkennen wir an dem Punkt im Winkelbogen. Wir haben hier drei Dreiecke mit einem rechten Winkel im Punkt $C$. Diesen Winkel bezeichnen wir mit $\gamma$. Damit erfüllen folgende Dreiecke die Vorgabe $\gamma=90^\circ$: Dreieck $1$ und $3$.

    Die Beschriftungen der Seiten verraten uns, dass das Dreieck $4$ der Vorgabe $10\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ und $30^\circ$ zuzuordnen ist.

    Das Dreieck $2$ hat die Seitenlängen $9\ \text{cm}$, $7\ \text{cm}$ und $4\ \text{cm}$. Mit dieser Vorgabe ist dieses Dreieck eindeutig konstruierbar.

  • Zeige, welche Angaben nur kongruente, mehrere nicht kongruente oder keine Dreiecke liefern.

    Tipps

    Bedenke, dass die beiden kürzeren Seiten eines Dreiecks zusammen länger sein müssen als die längste Seite des Dreiecks.

    Es spielt eine Rolle, ob der bekannte Winkel von den beiden bekannten Seiten eingeschlossen wird oder nicht.

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$.

    Lösung

    Kennst du alle drei Seiten eines Dreiecks, die die Dreiecksungleichung erfüllen, so kannst du nur kongruente, also deckungsgleiche Dreiecke konstruieren.

    Die Dreiecksungleichung besagt, dass die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks zusammen länger sein müssen als die längste Seite.

    Kennst du alle drei Winkel eines Dreiecks, die die Innenwinkelsumme von $180^\circ$ erfüllen, so kannst du mehrere nicht kongruente Dreiecke konstruieren, da die Seitenlängen bei gleichbleibenden Winkeln variieren können.

    Kennst du zwei Seiten sowie den von diesen eingeschlossenen Winkel eines Dreiecks, so kannst du wieder nur kongruente Dreiecke konstruieren.

    Demnach kannst du die Vorgaben wie folgt zuordnen:

    Konstruktion mehrerer nicht kongruenter Dreiecke

    • $\alpha=35^\circ$, $\beta=125^\circ$ und $\gamma=20^\circ$
    Konstruktion kongruenter Dreiecke

    • $a=45\ \text{cm}$, $b=15\ \text{cm}$ und $c=45\ \text{cm}$
    • $b=6\ \text{cm}$, $c=10\ \text{cm}$ und $\alpha=30^\circ$
    Keine Konstruktion möglich

    • $a=70\ \text{cm}$, $b=15\ \text{cm}$ und $c=45\ \text{cm}$, denn $b+c<a$
    • $\alpha=40^\circ$, $\beta=45^\circ$ und $\gamma=90^\circ$, denn $\alpha+\beta+\gamma<180^\circ$
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.832

Lernvideos

44.281

Übungen

38.925

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden