Satz des Pythagoras – Übungen

1)

Frage:
Wie nennt man im rechtwinkligen Dreieck die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt?

Antwort: Hypotenuse

Erläuterung:

• In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es genau einen rechten Winkel ($90$°).
• Die Seite, die diesem rechten Winkel direkt gegenüberliegt, ist immer die längste Seite des Dreiecks.
• Diese längste Seite wird Hypotenuse genannt.
• Die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.

2)

Frage:
Was besagt der Satz des Pythagoras in einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten $a$ und $b$ und Hypotenuse $c$?

Antwort: $$a^2 + b^2 = c^2$$

Erläuterung:

• In einem rechtwinkligen Dreieck steht die Hypotenuse $c$ dem rechten Winkel gegenüber.
• Die beiden anderen Seiten heißen Katheten und werden üblicherweise mit $a$ und $b$ bezeichnet.
• Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse ist.
• Mathematisch schreibt man: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$
• Beispiel: Liegen $a = 3$ cm und $b = 4$ cm vor, ergibt sich $$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2, $$ also $c = 5$ cm.

3)

Frage:
Welcher Term beschreibt das Berechnen der Hypotenuse $c$, wenn die Kathetenlängen $a$ und $b$ bekannt sind?

Antwort: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Erläuterung:

• Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir: $a^2 + b^2 = c^2$.

• Um $c$ zu berechnen, müssen wir die Gleichung nach $c$ auflösen:
  $$ c^2 = a^2 + b^2 \;\Longrightarrow\; c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

• Beispiel: Für $a = 3$ cm, $b = 4$ cm gilt: $$ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,[\text{cm}] $$

4)

Frage:
Wie berechnet man eine Kathete $a$, wenn die Hypotenuse $c$ und die andere Kathete $b$ gegeben sind?

Antwort: $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Erläuterung:

• Wieder beginnt man beim Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.
• Um $a$ zu isolieren, bringt man $b^2$ auf die rechte Seite: $$ a^2 = c^2 - b^2 $$
• Dann zieht man die Quadratwurzel, um $a$ zu erhalten: $$ a = \sqrt{c^2 - b^2} $$
• Beispiel: Angenommen $c = 10$ cm, $b = 6$ cm, dann $$ a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\,[\text{cm}] $$
• Achte darauf, dass $c^2 - b^2 \ge 0$ sein muss, damit eine echte Kathetenlänge entsteht.

5)

Frage:
Welche Aussage trifft zu, wenn für die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ eines Dreiecks gilt: $a^2 + b^2 = c^2$?

Antwort: Das Dreieck ist rechtwinklig, wobei $c$ die Hypotenuse ist.

Erläuterung:

• Die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ ist genau die Bedingung des umgekehrten Pythagoras:
• Wenn in einem Dreieck die Quadrate zweier Seiten genau dem Quadrat der dritten Seite entsprechen, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
• Dabei ist die Seite mit der Bezeichnung $c$ automatisch die längste und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
• Wenn die Gleichung nicht erfüllt wäre, könnte das Dreieck spitzwinklig oder stumpfwinklig sein:
  • Für ein spitzwinkliges Dreieck gilt: $a^2 + b^2 > c^2$.
  • Für ein stumpfwinkliges Dreieck gilt: $a^2 + b^2 < c^2$.

$$z^2=x^2+y^2$$

Erklärung:
Die längste Seite $z$ liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist daher die Hypotenuse des Dreiecks.

$$s^2=t^2+r^2$$

Erklärung:
Die längste Seite $s$ liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist daher die Hypotenuse des Dreiecks.

$$d^2=e^2+f^2$$

Erklärung:
Die längste Seite $d$ liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist daher die Hypotenuse des Dreiecks.

$$a^2=b^2+c^2$$

Erklärung:
Die längste Seite $a$ liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist daher die Hypotenuse des Dreiecks.

Die gesuchte Seitenlänge $x$ ist die Hypotenuse. Wir rechnen in Schritten:

$$ \begin{array}{rcl} x^2 &=& (7\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2\\[6pt] x^2 &=& 49\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2\\[6pt] x^2 &=& 65\,\text{cm}^2 & \vert \sqrt{~~}\\[6pt] x &=& \sqrt{65\,\text{cm}^2}\\[6pt] x &\approx& \underline{\underline{8{,}06\,\text{cm}}} \end{array} $$

Die gesuchte Seitenlänge $c$ ist die Hypotenuse. Schrittweise:

$$ \begin{array}{rcl} c^2 &=& (2\,\text{cm})^2 + (8\,\text{cm})^2\\[6pt] c^2 &=& 4\,\text{cm}^2 + 64\,\text{cm}^2\\[6pt] c^2 &=& 68\,\text{cm}^2 & \vert \sqrt{~~}\\[6pt] c &=& \sqrt{68\,\text{cm}^2}\\[6pt] c &\approx& \underline{\underline{8{,}25\,\text{cm}}} \end{array} $$

Die gesuchte Seitenlänge $z$ ist eine Kathete. Wir formen um:

$$ \begin{array}{rcl} (14\,\text{cm})^2 &=& z^2 + (11\,\text{cm})^2\\[6pt] 196\,\text{cm}^2 &=& z^2 + 121\,\text{cm}^2 & \vert -121\,\text{cm}^2\\[6pt] 196\,\text{cm}^2 - 121\,\text{cm}^2 &=& z^2 \end{array} $$

Also: $$ \begin{array}{rcl} z^2 &=& 196\,\text{cm}^2 - 121\,\text{cm}^2\\[6pt] z^2 &=& 75\,\text{cm}^2 & \vert \sqrt{~~}\\[6pt] z &=& \sqrt{75\,\text{cm}^2}\\[6pt] z &\approx& \underline{\underline{8{,}66\,\text{cm}}} \end{array} $$

Die gesuchte Seitenlänge $v$ ist eine Kathete. Im Detail:

$$ \begin{array}{rcl} (45\,\text{cm})^2 &=& v^2 + (35\,\text{cm})^2\\[6pt] 2025\,\text{cm}^2 &=& v^2 + 1225\,\text{cm}^2 & \vert -1225\,\text{cm}^2\\[6pt] 2025\,\text{cm}^2 - 1225\,\text{cm}^2 &=& v^2 \end{array} $$

Also: $$ \begin{array}{rcl} v^2 &=& 2025\,\text{cm}^2 - 1225\,\text{cm}^2\\[6pt] v^2 &=& 800\,\text{cm}^2 & \vert \sqrt{~~}\\[6pt] v &=& \sqrt{800\,\text{cm}^2}\\[6pt] v &\approx& \underline{\underline{28{,}28\,\text{cm}}} \end{array} $$

In einem Rechteck sind alle Innenwinkel rechte Winkel. Die Seiten $a$ und $b$ des Rechtecks bilden zusammen mit der Diagonalen $d$ daher ein rechtwinkliges Dreieck, wobei $d$ die Hypotenuse ist. Wir können folgende Gleichung aufstellen:

$$d^2 = a^2 + b^2$$

Wir setzen die entsprechenden Werte ein:

$$d^2 = (5\,\text{cm})^2 + (12\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2 + 144\,\text{cm}^2 = 169\,\text{cm}^2$$

Anschließend ziehen wir die Wurzel und erhalten unser Endergebnis:

$$d = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = \underline{\underline{13\,\text{cm}}}$$

Antwort:
Die Diagonale des Rechtecks ist $13\,\text{cm}$ lang.

Die Leiter, der Bodenabstand und die Wand bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Leiter ist die Hypotenuse $c$, der Abstand zur Wand ist die Kathete $a$ und die gesuchte Höhe $h$ ist die andere Kathete. Es gilt:

$$c^2 = a^2 + h^2$$

Einsetzen der Werte:

$$(4{,}00\,\text{m})^2 = (1{,}20\,\text{m})^2 + h^2 \quad\Longrightarrow\quad h^2 = 16{,}00\,\text{m}^2 - 1{,}44\,\text{m}^2 = 14{,}56\,\text{m}^2$$

Wurzel ziehen:

$$h = \sqrt{14{,}56\,\text{m}^2} \approx \underline{\underline{3{,}82\,\text{m}}}$$

Antwort:
Die Leiter reicht $3{,}82\,\text{m}$ die Wand hinauf.

Die Breite des Flusses und der Versatz flussabwärts bilden zusammen mit der direkten Strecke durch das Wasser ein rechtwinkliges Dreieck. Die gesuchte Distanz $d$ ist die Hypotenuse, die Katheten sind $40\,\text{m}$ und $25\,\text{m}$ lang.

$$d^2 = (40\,\text{m})^2 + (25\,\text{m})^2 = 1600\,\text{m}^2 + 625\,\text{m}^2 = 2225\,\text{m}^2$$

Wurzel ziehen:

$$d = \sqrt{2225\,\text{m}^2} \approx \underline{\underline{47{,}17\,\text{m}}}$$

Antwort:
Sie hat ungefähr $47{,}17\,\text{m}$ im Wasser zurückgelegt.

Wir betrachten im Querschnitt den vertikalen Abstand und den horizontalen Versatz der Stahlseile.

• Vertikaler Unterschied (Höhenunterschied) zwischen Anbringung der Stahlseile und Fahrbahn: $50\,\text{m} - 6\,\text{m} = 44\,\text{m}$
• Horizontaler Versatz (Abstand zwischen Träger und Innenseite der Fahrbahn): Der Radius bis zu den Außenseiten beträgt $72\,\text{m} : 2 = 36\,\text{m}$ (Radius ist halb so groß wie der Durchmesser). Wir ziehen die Fahrbahn­breite von $5\,\text{m}$ ab und erhalten den Abstand $36\,\text{m} - 5\,\text{m} = 31\,\text{m}$.

Damit ist die Seillänge $s$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten $44\,\text{m}$ und $31\,\text{m}$:

$$s^2 = (44\,\text{m})^2 + (31\,\text{m})^2 = 1936\,\text{m}^2 + 961\,\text{m}^2 = 2897\,\text{m}^2$$

Wurzel ziehen:

$$s = \sqrt{2897\,\text{m}^2} \approx \underline{\underline{53{,}82\,\text{m}}}$$

Antwort:
Die Stahlseile sind ungefähr $53{,}82\,\text{m}$ lang.