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Quadrat- und Kubikzahlen

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Team Digital
Quadrat- und Kubikzahlen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadrat- und Kubikzahlen

Inhalt

Quadratzahlen und Kubikzahlen einfach erklärt

So ein Zauberwürfel ist schon was Feines. Den klassischen mit einer Kantenlänge von drei Steinen kann Mike mittlerweile mit links. Jetzt sucht er eine neue Herausforderung und hat sich einen Würfel mit einer Kantenlänge von fünf Steinen geholt. Während er versucht, den Würfel zu lösen, fragt er sich, wie viele Steine so ein Würfel insgesamt hat. Um diese Frage zu beantworten, brauchen wir unser Wissen über die Quadrat- und Kubikzahlen.


Was sind Quadratzahlen?

Schauen wir uns zunächst eine Seite des Würfels an. Pro Reihe sind es fünf Steine und auch in jeder Spalte sind fünf Steine. Es handelt sich um ein Quadrat mit einer Seitenlänge von fünf Steinen. Um die Anzahl der Steine in diesem Quadrat zu ermitteln, müssen wir fünf zum Quadrat nehmen. Mathematisch wird das geschrieben als: $5^{2}$. Das bedeutet, wir müssen fünf einmal mit sich selbst multiplizieren.

$5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$

Das Ergebnis ist $25$. Die $25$ ist somit eine Quadratzahl.

Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl $n$ quadrieren, das heißt mit sich selbst multiplizieren.

$ n \cdot n = n^{2}$

Eine solche Quadratzahl entspricht auch immer dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der natürlichen Zahl $n$ als Seitenlänge. Um den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $12$ zu bestimmen, müssen wir $12$ zum Quadrat berechnen.

$12^{2} = 12 \cdot 12 = 144$

Die ersten zehn Quadratzahlen sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.

Zahl Quadratzahl
$1$ $1$
$2$ $4$
$3$ $9$
$4$ $16$
$5$ $25$
$6$ $36$
$7$ $49$
$8$ $64$
$9$ $81$
$10$ $100$

Quadratzahlen Eigenschaften:

Quadratzahlen haben ein paar wichtige Eigenschaften:

  • Quadratzahlen von geraden Zahlen sind immer gerade.
  • Quadratzahlen von ungeraden Zahlen sind immer ungerade.
  • Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.

Schauen wir uns den letzten Fakt genauer an. Rechnest du $1+3$ ergibt das $4$. $4$ ist eine Quadratzahl. Auch $1+3+5+7$ ergibt eine Quadratzahl. Das Ergebnis ist $16$, die Quadratzahl von $4$. Wichtig ist, dass du immer mit der $1$ anfängst und dann die darauffolgenden ungeraden Zahlen addierst.
Vielleicht hilft dir diese letzte Eigenschaft beim Lernen oder Erkennen von Quadratzahlen. Jetzt wissen wir, wie wir Quadratzahlen berechnen. Um herauszufinden, wie viele Steine der gesamte Würfel hat, müssen wir uns die Kubikzahlen genauer anschauen.


Was sind Kubikzahlen?

Schauen wir uns zunächst einen Würfel mit der Kantenlänge von drei Steinen an. Für eine Würfelseite ergibt sich ein Quadrat mit einer Seitenfläche von $3 \cdot 3$ Steinen. Der Würfel besteht insgesamt aus drei solcher Quadrate.

Würfel_Kubikzahlen

Um die Gesamtanzahl an Steinen zu bestimmen, müssen wir also ein weiteres Mal mit drei multiplizieren. Wir rechnen daher $3 \cdot 3 \cdot 3$. In anderen Worten: drei hoch drei. Das können wir schreiben als:

$3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$

Das ergibt $27$. Die $27$ ist somit eine Kubikzahl.

Wird eine natürliche Zahl $n$ zweimal mit sich selbst multipliziert, erhält man eine Kubikzahl.

$n^{3} = n \cdot n \cdot n$

Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $n$. So können wir auch ganz leicht die Gesamtzahl an Steinen von Mikes Zauberwürfel mit einer Kantenlänge von $5$ Steinen herausfinden.

$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

Mikes Zauberwürfel besteht also aus $125$ Steinen.

Zusammenfassung Quadratzahlen und Kubikzahlen

Quadratzahlen

  • Quadratzahlen ergeben sich, wenn man eine beliebige Zahl $n$ mit sich selbst multipliziert.
  • $n^{2} = n \cdot n$
  • Man spricht von $n$ zum Quadrat oder $n$ hoch zwei.
  • Eine solche Quadratzahl entspricht immer dem Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $n$.

Kubikzahlen

  • Kubikzahlen ergeben sich, wenn man eine natürliche Zahl $n$ zweimal mit sich selbst multipliziert.
  • $n^{3} = n \cdot n \cdot n$
  • Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $n$.

Um die Quadratzahlen und Kubikzahlen an mehr Beispielen üben zu können, findest du eine Übung zum Thema hier auf der Seite.

Transkript Quadrat- und Kubikzahlen

So ein Zauberwürfel ist schon was Feines. Den klassischen mit einer Kantenlänge von drei Steinen kann Mike mittlerweile mit links! Jetzt sucht er eine neue Herausforderung und hat sich einen Würfel mit einer Kantenlänge von fünf Steinen geholt. Gar nicht so einfach zu lösen. Während Mike so rumprobiert, fragt er sich, wie viele Steine der Würfel überhaupt insgesamt hat. Um diese Frage zu beantworten, brauchen wir unser Wissen über die „Quadrat- und Kubikzahlen“. Zunächst schauen wir uns eine Seite des Würfels an. Pro Reihe sind das fünf Steine. Und auch in jeder Spalte sind fünf. Es handelt sich eindeutig um ein Quadrat mit einer Seitenlänge von fünf Steinen. Um die Anzahl der Steine in diesem Quadrat zu ermitteln, müssen wir die fünf zum Quadrat nehmen, sprich einmal mit sich selbst multiplizieren. Das Ergebnis ist fünfundzwanzig. Die Fünfundzwanzig ist somit eine Quadratzahl. Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl quadrieren, das heißt mit sich selbst multiplizieren. Eine solche Zahl entspricht dann immer auch dem Flächeninhalt eines Quadrates mit einer natürlichen Zahl n als Seitenlänge. Um zum Beispiel den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge zwölf zu bestimmen, müssen wir zwölf zum Quadrat berechnen. Das ergibt hundertvierundvierzig. In einer Multiplikationstabelle finden wir die Quadratzahlen genau auf der Diagonalen von oben links nach unten rechts wieder: Die ersten zehn Quadratzahlen können wir hier einfach ablesen. Quadratzahlen haben einige coole mathematische Eigenschaften. So ist zum Beispiel die Quadratzahl einer gerade Zahl immer gerade und die einer ungeraden Zahl immer ungerade. Quadratzahlen sind außerdem die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen. Beginnen wir mit der eins und addieren schrittweise die nächstgrößere ungerade Zahl hinzu, so erhalten wir immer eine Quadratzahl. Das glaubst du nicht? Eins plus drei ist vier, das ist eine Quadratzahl. Addieren wir nun fünf hinzu, erhalten wir neun, also „drei zum Quadrat“. Und so weiter. Probiere es doch mal aus und führe das Muster weiter fort. So weit so gut, jetzt wissen wir, wie wir Quadratzahlen berechnen können. Doch wir wollten ja die Gesamtanzahl an Steinen im ganzen Würfel bestimmen. Dafür brauchen wir die Kubikzahlen. Schauen wir uns zunächst einen Würfel mit der Kantenlänge von drei Steinen an. Für eine Würfelseite ergibt sich so ein Quadrat mit drei mal drei Steinen. Der Würfel besteht insgesamt aus drei solcher Quadrate. Um die Gesamtanzahl von Steinen zu bestimmen, müssen wir also ein weiteres Mal mit drei multiplizieren. Wir rechnen daher insgesamt „drei mal drei mal drei“. In anderen Worten „drei hoch drei“. Das ergibt siebenundzwanzig. Wenn wir eine natürliche Zahl n zweimal mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir eine Kubikzahl. Eine Kubikzahl gibt das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge n an. Das Wort Kubik kommt übrigens aus dem Lateinischen - cubus - und bedeutet genau das: Würfel. So können wir auch ganz leicht die Gesamtzahl an Steinen von Mikes Zauberwürfel mit fünf Steinen pro Reihe herausfinden. Dafür müssen wir nur „fünf hoch drei“ berechnen, sprich die fünf zwei mal mit sich selbst multiplizieren. Fünf mal fünf sind fünfundzwanzig und fünf mal fünfundzwanzig sind hundertfünfundzwanzig. Mikes Zauberwürfel besteht also insgesamt aus hundertfünfundzwanzig Steinen. Das ist ja schon eine ganze Menge. Kein Wunder, dass Mike den Würfel nicht so schnell gelöst kriegt. Wir fassen derweil das Wesentliche noch einmal kurz zusammen: Quadratzahlen erhalten wir, wenn wir eine beliebige ganze Zahl n mit sich selbst multiplizieren. Wir sprechen von „n zum Quadrat“ oder auch „n hoch zwei“. Eine solche Zahl entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge n. Eine Kubikzahl, ist eine Zahl, die entsteht, wenn wir eine natürliche Zahl n Zweimal mit sich selbst multiplizieren. Wir erhalten „n hoch drei“. Eine solche Kubikzahl entspricht immer dem Volumen eines Würfels mit Kantenlänge n. Und wie schlägt sich Mike mit seinem hundertfünfundzwanzig-steinigen Zauberwürfel? Oh, der hat schon wieder ein neues Spielzeug. Na dann, viel Erfolg!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Es kann nicht mit dem Würfel stimmen ich hab meinen zeschmettert und es sind nur 26 und es fehlte nichts

    Von Bianca Blankschein, vor etwa 2 Monaten

Quadrat- und Kubikzahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadrat- und Kubikzahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, ob es sich um eine Quadratzahl, eine Kubikzahl oder keines von beiden handelt.

    Tipps

    Eine Quadratzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird.

    Eine Kubikzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert wird.

    Beispiel:

    $8$ ist eine Kubikzahl, da $2^3=8$ gilt.

    Lösung

    Quadratzahlen

    • $25$ ist eine Quadratzahl, da $5^2=5\cdot5=25$
    • $16$ ist eine Quadratzahl, da $4^2=4 \cdot 4=16$
    • $81$ ist eine Quadratzahl, da $9^2=9 \cdot 9=81$
    Kubikzahlen

    • $125$ ist eine Kubikzahl, da $5^3=5 \cdot 5 \cdot 5=125$
    • $27$ ist eine Kubikzahl, da $3^3=3 \cdot 3 \cdot 3=27$
    keine Quadrat- oder Kubikzahlen:

    • $3$
    • $5$
  • Gib an, ob die Aussagen richtig sind.

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $5^3=5 \cdot 5 \cdot 5 =125$

    Der Begriff „Kubikzahl“ kommt von dem lateinischen Wort „Kubus“, welches Würfel bedeutet.

    Lösung

    Wahre Aussagen:

    • Ist eine Zahl gerade, so ist ihre Quadratzahl auch gerade.
    Diese Aussage ist richtig, was wir an einem Beispiel veranschaulichen können: Die Zahl $4$ ist gerade. Ihre Quadratzahl ist $4^2=16$, also auch eine gerade Zahl.
    • Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.
    Dies ist richtig, was wir an einem Beispiel verdeutlichen können: Addieren wir die ersten beiden ungeraden Zahlen $1+3$, so ergibt sich die Quadratzahl $2^2=4$.
    • Wird eine ganze Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert, so ergibt sich eine Kubikzahl.
    Diese Aussage ist richtig. Beispielsweise ist $125$ eine Kubikzahl, wir können auch schreiben: $125=5^3=5\cdot 5\cdot 5$.

    Falsche Aussagen:

    • Die Quadratzahl $5^2$entspricht dem Volumen eines Würfels, mit der Kantenlänge $5$.
    Diese Aussage ist falsch, denn die Quadratzahl $5^2$ entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $5$. Dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $5$ entspricht hingegen die Kubikzahl $5^3$.
    • Die Quadratzahl einer ungeraden Zahl ist gerade.
    Diese Aussage ist falsch. An dem Beispiel $3^2=9$ erkennen wir, dass die Quadratzahl einer ungeraden Zahl ungerade ist.
  • Entscheide jeweils, ob es sich um eine Quadratzahl handelt.

    Tipps

    Eine Quadratzahl ist das Produkt einer Multiplikation, bei der eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Beispielsweise ist $16$ eine Quadratzahl, da $4^2=16$ gilt.

    Lösung

    Folgende Zahlen sind Quadratzahlen:

    • $1=1^2$
    • $81=9^2$
    • $121=11^2$
    • $289=17^2$
    • $441 = 21^2$
    Wir können feststellen, dass eine Zahl keine Quadratzahl ist, indem wir sie mit der nächstkleineren und nächstgrößeren Quadratzahl vergleichen:
    • $5$ ist keine Quadratzahl, da $2^2=4$ und $3^2=9$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
    • $76$ ist keine Quadratzahl, da $8^2=64$ und $9^2=81$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
    • $239$ ist keine Quadratzahl, da $15^2=225$ und $16^2=256$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.
    • $11$ ist keine Quadratzahl, da $3^2=9$ und $4^2=16$, dazwischen gibt es keine Quadratzahl.

  • Charakterisiere die gegebenen Quadrate und Würfel.

    Tipps

    Um das Volumen eines Würfels zu berechnen, wird die Kantenlänge zweimal mit sich selbst multipliziert. Es ergibt sich eine Kubikzahl.

    Lösung
    • Ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ hat das Volumen $4^3=4 \cdot 4 \cdot 4= 64$.
    • Ein Quadrat mit der Kantenlänge $6$ hat einen Flächeninhalt von $6^2=6 \cdot 6=36$.
    • Ein Würfel mit der Kantenlänge $2$ hat das Volumen $2^3=2 \cdot 2 \cdot 2= 8$.
    • Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $9$ hat eine Seitenlänge von $3$, da $3^2=3\cdot3=9$. Der Würfel mit der Grundfläche $9$ hat also eine Kantenlänge von $3$ und das Volumen von $3^3=3\cdot3\cdot3=27$.
  • Berechne die Quadratzahlen.

    Tipps

    $3^3=3\cdot 3 =9$

    Lösung

    Eine Quadratzahl erhält man, indem man eine natürliche Zahl quadriert, also einmal mit sich selbst multipliziert. Wir können also die Quadratzahlen durch Multiplikation der Zahlen mit sich selbst berechnen:

    $2^2=2 \cdot 2=4$
    $4^2=4 \cdot 4=16$
    $5^2=5 \cdot 5=25$
    $8^2=8 \cdot 8=64$
    $10^2=10 \cdot 10=100$
    $12^2=12 \cdot 12=144$

  • Vervollständige die Überlegung zur Bestimmung der nächsten Quadratzahl.

    Tipps

    Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.

    Lösung

    Die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit $1$, ergibt immer eine Quadratzahl.

    Beginnen wir mit den ersten beiden ungeraden Zahlen, so ergibt sich:
    $1+3=4=2^2$
    Addieren wir die nächste ungerade Zahl, also $5$, so ergibt sich:
    $1+3+5=4+5=9=3^2$
    Addieren wir die nächste ungerade Zahl, so ergibt sich die nächstgrößere Quadratzahl, also $16$:
    $1+3+5+7=16=4^2$
    Das Ergebnis der Addition ist also immer eine Quadratzahl, wobei die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, der Anzahl der Summanden entspricht:
    $1+3+5+7+9+11+13=49=7^2$
    Hier werden beispielsweise die ersten sieben ungeraden Zahlen addiert, die Anzahl der Summanden ist also $7$, das Ergebnis ist daher $7^2$.
    Werden die ersten zehn ungeraden Zahlen summiert, so ist das Ergebnis $10^2$:
    $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100=10^2$

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