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Potenzen

Potenzen sind eine kürzere Schreibweise, um eine Zahl mehrmals mit sich selbst zu multiplizieren. In der Potenzschreibweise wird die Basis mit dem Exponenten angegeben, wie z.B. $ab$. Wenn die Basis negativ ist, führt dies abhängig vom Exponenten zu einem positiven oder negativen Ergebnis. Neugierig? Das und vieles mehr kannst du im folgenden Text entdecken!

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Team Digital
Potenzen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Potenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Lohn am 6. Tag an.

    Tipps

    Erkennst du die Regelmäßigkeit?

    • 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
    • 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
    • 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$

    Die Anzahl der Goldstücke kannst du als Potenz mit der Basis $2$ ausdrücken, weil sie immer verdoppelt wird.

    Lösung

    Um den Lohn für den Architekten am $30$. Tag zu bestimmen, schauen wir uns erst einmal die ersten fünf Tage an:

    • 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
    • 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
    • 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
    • 4. Tag: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^4$
    • 5. Tag: $32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^5$
    Wir erkennen also das folgende Muster:

    Die Anzahl der Tage steht im Exponenten, also der Hochzahl. Die Basis ist jeweils die $2$, da die Bezahlung von $2$ Goldstücken Tag für Tag verdoppelt, also mit $2$ multipliziert wird.

    Deshalb kannst du den Lohn am $6$. Tag wie folgt ausdrücken:

    $2^{6} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64$

    Am $6$. Tag muss der Maharadscha also $64$ Goldstücke zahlen.

  • Erkläre, was sich hinter der Potenz $2^5$ verbirgt.

    Tipps

    Die abkürzende Schreibweise für wiederholte Addition, also wenn immer wieder der gleiche Summand addiert wird, ist die Multiplikation: $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$

    Wie kann man eine wiederholte Multiplikation abkürzend schreiben?

    Merke dir: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt

    Lösung

    Wiederholte Addition kannst du durch Multiplikation abkürzen:

    $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$

    Ebenso kannst du auch die wiederholte Multiplikation abgekürzt schreiben:

    $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5$

    Hier kommt der Faktor $2$ fünf Mal vor. Dabei ist

    • $2$ die Basis (auch „Grundzahl“), diese steht unten und
    • $6$ der Exponent (auch „Hochzahl“), dieser steht oben.
    Du sprichst diese Potenz „$2$ hoch $5$“ aus.

  • Ermittle, wie viele Katzen die Freunde von Lisa, Ben und John insgesamt haben.

    Tipps

    Verkürzte Addition:

    $4 + 4 + 4 = 4 \cdot 3$

    Verkürzte Multiplikation:

    $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$

    Lösung

    Lisa, Ben und John sind $3$ Personen und jeder von ihnen hat drei katzenverrückte Freunde. Das kann man als Produkt $3\cdot 3$ oder auch als Potenz $3^2$ ausdrücken. Das Ergebnis, also die Anzahl der Katzenfans in ihrem Freundeskreis, ist $9$.

    Jeder dieser Katzenliebhaber besitzt genau drei Katzen. Es muss also nochmals mit $3$ multipliziert werden: $3\cdot 3\cdot 3$. Du kannst auch das wieder als Potenz schreiben: $3^3$.

    Die Gesamtzahl der Katzen beträgt also $3\cdot 3\cdot 3=3^3=27$.

  • Stelle die Multiplikation als Potenz dar.

    Tipps

    Mit Potenzen kannst du wiederholte Multiplikationen des gleichen Faktors verkürzt schreiben.

    Zum Beispiel ist

    $5\cdot 5\cdot 5=5^3$.

    Zähle, wie oft der Faktor vorkommt. Die Anzahl ist der Exponent.

    Lösung

    Wenn du die allgemeine Schreibweise von Potenzen ansiehst, stellst du fest: Der wiederkehrende Faktor ist die Basis und die Anzahl des Faktors ist der Exponent.

    Achtung: Es ist wichtig zu unterscheiden, welche Zahl die Basis und welche Zahl der Exponent ist. Im Allgemeinen ist $a^b\neq b^a$.

    Bei $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$ kommt der Faktor $4$ fünfmal vor. $4$ ist also die Basis, $5$ der Exponent: $4^5$.

    Gehst du so auch bei den anderen Multiplikationen vor, erhältst du:

    • $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4$
    • $7\cdot 7\cdot 7=7^3$
    • $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^7$
    • $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6$
    • $6\cdot 6=6^2$

  • Benenne die einzelnen Teile der Potenz.

    Tipps

    In einem Bruch wie $\frac{4}{5}$ ist $4$ der Zähler und $5$ der Nenner.

    Schaue dir das folgende Beispiel an:

    In der Potenz $4^7$ ist $7$ der Exponent.

    Lösung

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation.

    Wenn zum Beispiel bei $3\cdot 3$ der Faktor $3$ zweimal vorkommt, so kann dies geschrieben werden als $3^2$. Dabei ist $3$ die Basis, also der wiederholte Faktor, und $2$ der Exponent, also die Anzahl, wie häufig der Faktor vorkommt.

    Vorsicht: $3^2$ darfst du nicht mit $3\cdot 2$ verwechseln. $3\cdot 2$ ist eine verkürzte Schreibweise für $3+3$, also für die Addition.

  • Berechne die gegebenen Potenzen.

    Tipps

    Du kannst Potenzen mit der gleichen Basis vergleichen:

    $2^3<2^4$, da $3<4$ ist.

    Du kannst ebenso Potenzen mit gleichem Exponenten vergleichen:

    $3^4 <5^4$, da $3<5$ ist.

    Wenn weder Basis noch Exponent übereinstimmen, musst du den jeweiligen Potenzwert berechnen.

    Merke dir hierfür, am Beispiel:

    $5^3=5\cdot 5\cdot 5$

    Lösung

    Um Potenzen miteinander zu vergleichen, kannst du die Werte berechnen:

    $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$

    Die Potenzen ihrer Größe nach sortiert sind:

    • $2^3 =2\cdot 2\cdot 2=8$
    • $3^2 =3\cdot 3=9$
    • $4^2 =4\cdot4=16$
    • $5^2 =5\cdot 5=25$
    • $3^3 =3\cdot 3\cdot 3=27$
    • $2^5 =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
    • $6^2 =6\cdot 6=36$
    • $4^3 =4\cdot 4\cdot 4=64$
    Tipp: Potenzen werden dir noch häufig begegnen. Es ist sinnvoll, wenn du dir einige Quadrate merkst: $3^2 =9$, $4^2 =16$, $5^2 =25$ ....