Potenzen
Potenzen sind eine kürzere Schreibweise, um eine Zahl mehrmals mit sich selbst zu multiplizieren. In der Potenzschreibweise wird die Basis mit dem Exponenten angegeben, wie z.B. $ab$. Wenn die Basis negativ ist, führt dies abhängig vom Exponenten zu einem positiven oder negativen Ergebnis. Neugierig? Das und vieles mehr kannst du im folgenden Text entdecken!
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Grundlagen zum Thema Potenzen
Potenz – Definition
In der Mathematik musst du manchmal eine Zahl mehrmals mit sich selbst multiplizieren. Meistens kannst du die Rechnung einfach ausschreiben, weil du die Multiplikation nicht so häufig durchführen musst. Zum Beispiel, wenn du die Zwei dreimal als Faktor nutzt:
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Es kommt aber vor, dass du eine Zahl häufiger mit sich selbst multiplizieren musst. Dann kann es sehr mühsam und lang werden, alle Faktoren einzeln zu schreiben. Deswegen gibt es die Potenzschreibweise, mit der man diese Rechnung viel kürzer schreiben kann.
Die $n$-fache Multiplikation einer Zahl $a$ mit sich selbst kann kurz als Potenz mit Basis $a$ und Exponent $n$ geschrieben werden:
$ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot .... \cdot a}_{n-mal} = a^{n}$
Schlaue Idee
Wenn du dich für Astronomie interessierst, kannst du mithilfe von Potenzen die extrem großen Entfernungen im Weltall besser nachvollziehen. Entfernungen zwischen Sternen werden oft in Millionen $\left( 1\,000\,000 = 10^6 \right)$, Milliarden $\left(1\,000\,000\,000 = 10^9 \right)$ oder noch mehr Kilometern angegeben.
Bereits ein einziges Lichtjahr beträgt schon rund $9{,}5$ Billionen Kilometer, also $9{,}5 \cdot 10^{12}~\text{km}$. Das sind $9{,}5$ mal eine Million mal eine Million Kilometer!
Potenzschreibweise – Erklärung
In der Potenzschreibweise nennt man die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, die Basis. Die Anzahl der Faktoren heißt Exponent und steht rechts oben neben der Basis. Das Ergebnis der Rechnung ist dann der Potenzwert. Das können wir so aufschreiben:
$\text{Potenzwert} = \text{Basis}^{\text{Exponent}}$
Schauen wir uns an, wie man das Beispiel mit der Zwei in der Potenzschreibweise ausdrücken würde. Die Zahl, die hier mit sich selbst multipliziert wird, ist die Zwei. Sie ist also die Basis. In der Rechnung $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ taucht die Zwei dreimal als Faktor auf. Die Drei ist also der Exponent. Wir können diese Rechnung damit folgendermaßen als Potenz schreiben:
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8$
Fehleralarm
Eine häufige Verwechslung ist die Annahme, Potenzen und Exponenten seien dasselbe. Die Potenz ist die gesamte Operation (z. B. der Term $2^3$), der Exponent ist nur die Hochzahl (z. B. die $3$ bei $2^3$).
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal eine Pizza bestellt und überlegt, wie viel größer die Familienpizza im Vergleich zur kleinen Pizza ist. Wenn der Durchmesser der Familienpizza doppelt so groß ist wie der der kleinen Pizza, dann ist die Fläche, die du genießt, tatsächlich viermal größer.
Dieser Unterschied lässt sich durch das Verständnis von Potenzen und des mathematischen Flächeninhalts von Kreisen erklären. So hilft dir Mathematik zu verstehen, was du wirklich bekommst.
Potenzschreibweise – Beispiele
In der Tabelle siehst du einige weitere Beispiele für Potenzen.
| Rechnung | Potenzschreibweise | Ergebnis |
|---|---|---|
| $2 \cdot 2$ | $2^{2}$ | $ 4$ |
| $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ | $2^{5}$ | $32$ |
| $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ | $3^{4}$ | $81$ |
| $5 \cdot 5$ | $5^{2}$ | $25$ |
Wusstest du schon?
Das Schachbrett macht Potenzen anschaulich:
Es hat $8$ mal $8$, also $8^2 = 64$ Felder.
Der Legende nach wurden Schachbrett und Schachspiel vom indischen Mathematiker Sissa erfunden. Zum Dank dafür sollte er vom König Reis bekommen – und zwar ein Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei Körner auf dem zweiten und dann auf jedem weiteren die jeweils doppelte Menge.
Klingt erstmal wenig – aber kannst du berechnen, wie viel Reiskörner dann auf dem $64$ten Feld liegen müssten? Es sind rund $9$ Trillionen!
Die Rechnung dazu lautet: $1 + 2^{63} \approx 9{,}2 \cdot 10^{18}$
So viel Reis gab’s im ganzen indischen Reich des Königs nicht – das ist die Macht der Potenzen!
Potenzen mit negativer Basis
Bei Potenzen mit negativer Basis ist das Vorzeichen abhängig davon, ob der Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Das liegt daran, dass sich das Vorzeichen eines Produkts aus der Anzahl der negativen Faktoren ergibt.
Beispiel:
- $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$
- $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$
Da eine Potenz mit geradem Exponenten für ein Produkt mit einer geraden Anzahl gleicher Faktoren steht, erhalten wir auch bei einer negativen Zahl als Basis ein positives Ergebnis.
Ist der Exponent einer Potenz ungerade, so entspricht dies einem Produkt mit einer ungeraden Zahl gleicher Faktoren. Dabei ergibt sich bei einer negativen Zahl als Basis ein negatives Ergebnis.
Allgemein gilt für eine Basis $a < 0$ mit einer natürlichen Zahl $n$ als Exponent:
- $n$ gerade
$\Rightarrow a^n = \underbrace{a \cdot a}_{- ~\cdot~ - ~=~ +} \cdot … \cdot \underbrace{a \cdot a}_{- ~\cdot~ - ~=~ +}$ ist positiv. - $n$ ungerade
$\Rightarrow a^n = \underbrace{a \cdot a}_{- ~\cdot~ - ~=~ +} \cdot … \cdot \underbrace{a \cdot a}_{- ~\cdot~ - ~=~ +} \cdot a$ ist negativ („plus $\cdot$ minus $=$ minus“).
Achtung!
Wird eine Zahl mit negativem Vorzeichen als Potenz ohne Klammer geschrieben, dann wird nur die Zahl ohne das Vorzeichen potenziert:
- $-5^2 = - (5 \cdot 5) = -25$
- $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$
Potenzen mit negativem Exponenten
Um die Bedeutung negativer Exponenten bei Potenzen zu verstehen, überlegen wir zunächst, was es bedeutet, den Exponenten zu verringern.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25 = 5^3 : 5$
Den Exponenten um $1$ zu verringern ist also dasselbe, wie durch die Basis zu teilen.
Allgemein gilt:
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
- $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$
Außerdem sehen wir, dass eine Potenz mit Exponent $0$ unabhängig von der Basis den Wert $1$ hat.
Dadurch ergibt sich folgendes Bild für negative Exponenten.
Rechnen mit Potenzen
Neben der Berechnung des Potenzwerts kannst du auch in Termen mit Potenzen rechnen. Dabei helfen die Potenzgesetze.
Ausblick – das lernst du nach Potenzen
Entdecke die spannenden Anwendungen von Potenzen in der Geometrie und in den Naturwissenschaften! Das Video Flächeninhalt und Umfang von Quadraten und der Text Abgeleitete Einheiten und Vorsätze helfen dir dabei.
Lerne außerdem, wie du mithilfe der Potenzgesetze mit Potenzen rechnen und diese praktisch anwenden kannst.
Zusammenfassung der Potenzen
- Produkte, die denselben Faktor mehrfach enthalten, können über die Schreibweise als Potenz abgekürzt werden.
- Eine Potenz besteht aus Basis $a$ und Exponenten $n$:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot .... \cdot a}_{n-mal}$ - Bei Potenzen mit negativer Basis ist der Potenzwert positiv, wenn der Exponent gerade ist und negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
- Potenzen mit negativem Exponenten können als Bruch geschrieben werden:
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzen
Transkript Potenzen
Es war einmal eine Stadt in Persien. Hier lebte der Maharadscha Maini in einem überaus pompösen Palast. Die Schatzkammer des reichen Königs quoll bereits über vor Gold. Darum beschloss er, eine größere Kammer für seinen beachtlichen Goldschatz bauen zu lassen, natürlich vom günstigsten Architekten, den der habgierige König finden konnte. Besonders ein Angebot stach ihm dabei ins Auge. Der Architekt verlangte 2 Stück Gold für den ersten Tag, 4 für den zweiten, 8 für den dritten und so weiter. Der Preis für seine 30-tägige Arbeit verdoppelte sich also mit jedem Tag. Das Angebot klang sehr gut, aber dem Maharadscha wurde eine Lektion in Potenzen erteilt.
Erklärung Potenzen
Schauen wir mal, welch' böse Überraschung auf ihn wartete. Der Architekt wurde täglich entlohnt. Am ersten Tag zahlte ihm der Maharadscha 2 Stück Gold. Am zweiten Tag musste er bereits doppelt so viel wie am Vortag berappen. Am fünften Tag fragte sich der König, ob seine Wahl tatsächlich die beste war. So beschloss er, die Zahlungen für den übrigen Monat zu kalkulieren. Er fing an, die einzelnen Tage in einem Kalender zu berechnen. Hm...der Platz im Kalender reichte gar nicht aus, um die Berechnung für den sechsten Tag auszuschreiben. Gibt es nicht einen einfacheren Weg dies auszudrücken? Vielleicht finden wir eine Lösung. Bestimmt weißt du, dass Multiplikation tatsächlich die wiederholte Addition ist. Du kennst bereits eine kürzeren Weg um 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 zu schreiben. Nämlich einfach 6 mal 2. Beide Ausdrücke ergeben 12. Doch gibt es eine verkürzte Schreibweise für wiederholte MULTIPLIKATION?
Schreibweise Potenzen
Gibt es! Zum Beispiel können wir 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mit 26 ausdrücken und erhalten 64. Potenzen verkürzen also die Schreibung von wiederholter Multiplikation einer bestimmten Zahl. Schauen wir auf das Beispiel 3 hoch 2. Hierbei ist 3 die sogenannte Basis und 2 nennt man "Exponent", oder "Hochzahl". Der Exponent sagt aus, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Die ungekürzte Schreibweise von 3 hoch 2 ist 3 mal 3 und ergibt 9. Also ist 3 zum Quadrat 9. Eine beliebige Zahl in Potenzschreibweise ausgedrückt, wäre a hoch n. dies ist das gleiche wie 'a' mal 'a' mal 'a' mal 'a' - 'n' mal. So konnte der Maharadscha die Geldbeträge in seinen Kalender schreiben! Lass uns den Lohn, den er dem Architekten an den ersten 5 Tagen schuldete, umformulieren. Am ersten Tag war er dem Architekten 2 Stück Gold schuldig dies lässt sich ausdrücken mit: 2 hoch 1. Am zweiten Tag betrug der Lohn 2 hoch 2 Stück Gold am dritten Tag betrug der Lohn 2 hoch 3 Stück Gold. erkennst du ein Muster? Wie drückst du den Betrag aus, den der König dem Architekten am fünften Tag schuldete? Richtig! Du kannst ihn einfach mit 2 hoch 5 ausdrücken! Für den 30sten Tag nahm der Maharadscha 2 als Basis und 30 als Exponenten für den Betrag, den er dem Architekten an Tag 30 schuldete.
Nachdem er dem Architekten diese astronomisch hohe Summe bezahlt hatte, war seine Schatzkammer nun zwar größer aber jetzt hatte der Maharadscha ein neues Problem. Was sollte die neue Kammer füllen? Hätte der Maharadscha Exponenten verstanden und das gewiefte Angebot nicht angenommen, vielleicht hätte er dann noch Gold gehabt, um die neue Kammer zu befüllen...
Potenzen Übung
-
Gib den Lohn am 6. Tag an.
TippsErkennst du die Regelmäßigkeit?
- 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
- 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
- 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
Die Anzahl der Goldstücke kannst du als Potenz mit der Basis $2$ ausdrücken, weil sie immer verdoppelt wird.
LösungUm den Lohn für den Architekten am $30$. Tag zu bestimmen, schauen wir uns erst einmal die ersten fünf Tage an:
- 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
- 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
- 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
- 4. Tag: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^4$
- 5. Tag: $32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^5$
Die Anzahl der Tage steht im Exponenten, also der Hochzahl. Die Basis ist jeweils die $2$, da die Bezahlung von $2$ Goldstücken Tag für Tag verdoppelt, also mit $2$ multipliziert wird.
Deshalb kannst du den Lohn am $6$. Tag wie folgt ausdrücken:
$2^{6} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64$
Am $6$. Tag muss der Maharadscha also $64$ Goldstücke zahlen.
-
Erkläre, was sich hinter der Potenz $2^5$ verbirgt.
TippsDie abkürzende Schreibweise für wiederholte Addition, also wenn immer wieder der gleiche Summand addiert wird, ist die Multiplikation: $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$
Wie kann man eine wiederholte Multiplikation abkürzend schreiben?
Merke dir: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt
LösungWiederholte Addition kannst du durch Multiplikation abkürzen:
$4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$
Ebenso kannst du auch die wiederholte Multiplikation abgekürzt schreiben:
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5$
Hier kommt der Faktor $2$ fünf Mal vor. Dabei ist
- $2$ die Basis (auch „Grundzahl“), diese steht unten und
- $6$ der Exponent (auch „Hochzahl“), dieser steht oben.
-
Ermittle, wie viele Katzen die Freunde von Lisa, Ben und John insgesamt haben.
TippsVerkürzte Addition:
$4 + 4 + 4 = 4 \cdot 3$
Verkürzte Multiplikation:
$4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$
LösungLisa, Ben und John sind $3$ Personen und jeder von ihnen hat drei katzenverrückte Freunde. Das kann man als Produkt $3\cdot 3$ oder auch als Potenz $3^2$ ausdrücken. Das Ergebnis, also die Anzahl der Katzenfans in ihrem Freundeskreis, ist $9$.
Jeder dieser Katzenliebhaber besitzt genau drei Katzen. Es muss also nochmals mit $3$ multipliziert werden: $3\cdot 3\cdot 3$. Du kannst auch das wieder als Potenz schreiben: $3^3$.
Die Gesamtzahl der Katzen beträgt also $3\cdot 3\cdot 3=3^3=27$.
-
Stelle die Multiplikation als Potenz dar.
TippsMit Potenzen kannst du wiederholte Multiplikationen des gleichen Faktors verkürzt schreiben.
Zum Beispiel ist
$5\cdot 5\cdot 5=5^3$.
Zähle, wie oft der Faktor vorkommt. Die Anzahl ist der Exponent.
LösungWenn du die allgemeine Schreibweise von Potenzen ansiehst, stellst du fest: Der wiederkehrende Faktor ist die Basis und die Anzahl des Faktors ist der Exponent.
Achtung: Es ist wichtig zu unterscheiden, welche Zahl die Basis und welche Zahl der Exponent ist. Im Allgemeinen ist $a^b\neq b^a$.
Bei $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$ kommt der Faktor $4$ fünfmal vor. $4$ ist also die Basis, $5$ der Exponent: $4^5$.
Gehst du so auch bei den anderen Multiplikationen vor, erhältst du:
- $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4$
- $7\cdot 7\cdot 7=7^3$
- $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^7$
- $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6$
- $6\cdot 6=6^2$
-
Benenne die einzelnen Teile der Potenz.
TippsIn einem Bruch wie $\frac{4}{5}$ ist $4$ der Zähler und $5$ der Nenner.
Schaue dir das folgende Beispiel an:
In der Potenz $4^7$ ist $7$ der Exponent.
LösungEine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation.
Wenn zum Beispiel bei $3\cdot 3$ der Faktor $3$ zweimal vorkommt, so kann dies geschrieben werden als $3^2$. Dabei ist $3$ die Basis, also der wiederholte Faktor, und $2$ der Exponent, also die Anzahl, wie häufig der Faktor vorkommt.
Vorsicht: $3^2$ darfst du nicht mit $3\cdot 2$ verwechseln. $3\cdot 2$ ist eine verkürzte Schreibweise für $3+3$, also für die Addition.
-
Berechne die gegebenen Potenzen.
TippsDu kannst Potenzen mit der gleichen Basis vergleichen:
$2^3<2^4$, da $3<4$ ist.
Du kannst ebenso Potenzen mit gleichem Exponenten vergleichen:
$3^4 <5^4$, da $3<5$ ist.
Wenn weder Basis noch Exponent übereinstimmen, musst du den jeweiligen Potenzwert berechnen.
Merke dir hierfür, am Beispiel:
$5^3=5\cdot 5\cdot 5$
LösungUm Potenzen miteinander zu vergleichen, kannst du die Werte berechnen:
$a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$
Die Potenzen ihrer Größe nach sortiert sind:
- $2^3 =2\cdot 2\cdot 2=8$
- $3^2 =3\cdot 3=9$
- $4^2 =4\cdot4=16$
- $5^2 =5\cdot 5=25$
- $3^3 =3\cdot 3\cdot 3=27$
- $2^5 =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
- $6^2 =6\cdot 6=36$
- $4^3 =4\cdot 4\cdot 4=64$
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Es wurde sehr gut erklärt und hat mir geholfen
Das Video war gut und es hat mir auf jeden fall geholfen
Ich fand das Video sehr gut erklärt und ich hab Potenzen endlich verstanden aber der König tut mir echt leid 😁
echt cool ich hab meine 5 mit ner 2 ausgebessert
mein papa sagt aber man sollte bei solchen gechäften besser aufpasssen was der könig nicht gelernt hat von mir5 sterne
Cool