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Potenzen 04:30 min

Textversion des Videos

Transkript Potenzen

Es war einmal eine Stadt in Persien. Hier lebte der Maharadscha Maini in einem überaus pompösen Palast. Die Schatzkammer des reichen Königs quoll bereits über vor Gold. Darum beschloss er, eine größere Kammer für seinen beachtlichen Goldschatz bauen zu lassen, natürlich vom günstigsten Architekten, den der habgierige König finden konnte. Besonders ein Angebot stach ihm dabei ins Auge. Der Architekt verlangte 2 Stück Gold für den ersten Tag, 4 für den zweiten, 8 für den dritten und so weiter. Der Preis für seine 30-tägige Arbeit verdoppelte sich also mit jedem Tag. Das Angebot klang sehr gut, aber dem Maharadscha wurde eine Lektion in Potenzen erteilt.

Erklärung Potenzen

Schauen wir mal, welch' böse Überraschung auf ihn wartete. Der Architekt wurde täglich entlohnt. Am ersten Tag zahlte ihm der Maharadscha 2 Stück Gold. Am zweiten Tag musste er bereits doppelt so viel wie am Vortag berappen. Am fünften Tag fragte sich der König, ob seine Wahl tatsächlich die beste war. So beschloss er, die Zahlungen für den übrigen Monat zu kalkulieren. Er fing an, die einzelnen Tage in einem Kalender zu berechnen. Hm...der Platz im Kalender reichte gar nicht aus, um die Berechnung für den sechsten Tag auszuschreiben. Gibt es nicht einen einfacheren Weg dies auszudrücken? Vielleicht finden wir eine Lösung. Bestimmt weißt du, dass Multiplikation tatsächlich die wiederholte Addition ist. Du kennst bereits eine kürzeren Weg um 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 zu schreiben. Nämlich einfach 6 mal 2. Beide Ausdrücke ergeben 12. Doch gibt es eine verkürzte Schreibweise für wiederholte MULTIPLIKATION?

Schreibweise Potenzen

Gibt es! Zum Beispiel können wir 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mit 26 ausdrücken und erhalten 64. Potenzen verkürzen also die Schreibung von wiederholter Multiplikation einer bestimmten Zahl. Schauen wir auf das Beispiel 3 hoch 2. Hierbei ist 3 die sogenannte Basis und 2 nennt man "Exponent", oder "Hochzahl". Der Exponent sagt aus, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Die ungekürzte Schreibweise von 3 hoch 2 ist 3 mal 3 und ergibt 9. Also ist 3 zum Quadrat 9. Eine beliebige Zahl in Potenzschreibweise ausgedrückt, wäre a hoch n. dies ist das gleiche wie 'a' mal 'a' mal 'a' mal 'a' - 'n' mal. So konnte der Maharadscha die Geldbeträge in seinen Kalender schreiben! Lass uns den Lohn, den er dem Architekten an den ersten 5 Tagen schuldete, umformulieren. Am ersten Tag war er dem Architekten 2 Stück Gold schuldig dies lässt sich ausdrücken mit: 2 hoch 1. Am zweiten Tag betrug der Lohn 2 hoch 2 Stück Gold am dritten Tag betrug der Lohn 2 hoch 3 Stück Gold. erkennst du ein Muster? Wie drückst du den Betrag aus, den der König dem Architekten am fünften Tag schuldete? Richtig! Du kannst ihn einfach mit 2 hoch 5 ausdrücken! Für den 30sten Tag nahm der Maharadscha 2 als Basis und 30 als Exponenten für den Betrag, den er dem Architekten an Tag 30 schuldete.

Nachdem er dem Architekten diese astronomisch hohe Summe bezahlt hatte, war seine Schatzkammer nun zwar größer aber jetzt hatte der Maharadscha ein neues Problem. Was sollte die neue Kammer füllen? Hätte der Maharadscha Exponenten verstanden und das gewiefte Angebot nicht angenommen, vielleicht hätte er dann noch Gold gehabt, um die neue Kammer zu befüllen...

50 Kommentare
  1. geil

    Von Urbi, vor 5 Monaten
  2. Lustig

    Von Urbi, vor 5 Monaten
  3. nice

    Von Ilka Vanbeek, vor 5 Monaten
  4. Cool nur das Internet hackt

    Von Stephan Regner, vor 6 Monaten
  5. MEGA GEIL

    Von Kob 1, vor 7 Monaten
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Potenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib den Lohn am 6. Tag an.

    Tipps

    Erkennst du die Regelmäßigkeit?

    • 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
    • 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
    • 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$

    Die Anzahl der Goldstücke kannst du als Potenz mit der Basis $2$ ausdrücken, weil sie immer verdoppelt wird.

    Lösung

    Um den Lohn für den Architekten am $30$. Tag zu bestimmen, schauen wir uns erst einmal die ersten fünf Tage an:

    • 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
    • 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
    • 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
    • 4. Tag: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^4$
    • 5. Tag: $32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^5$
    Wir erkennen also das folgende Muster:

    Die Anzahl der Tage steht im Exponenten, also der Hochzahl. Die Basis ist jeweils die $2$, da die Bezahlung von $2$ Goldstücken Tag für Tag verdoppelt, also mit $2$ multipliziert wird.

    Deshalb kannst du den Lohn am $6$. Tag wie folgt ausdrücken:

    $2^{6} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64$

    Am $6$. Tag muss der Maharadscha also $64$ Goldstücke zahlen.

  • Erkläre, was sich hinter der Potenz $2^5$ verbirgt.

    Tipps

    Die abkürzende Schreibweise für wiederholte Addition, also wenn immer wieder der gleiche Summand addiert wird, ist die Multiplikation: $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$

    Wie kann man eine wiederholte Multiplikation abkürzend schreiben?

    Merke dir: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt.

    Lösung

    Wiederholte Addition kannst du durch Multiplikation abkürzen:

    $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$

    Ebenso kannst du auch die wiederholte Multiplikation abgekürzt schreiben:

    $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5$

    Hier kommt der Faktor $2$ fünf Mal vor. Dabei ist

    • $2$ die Basis (auch „Grundzahl“), diese steht unten und
    • $6$ der Exponent (auch „Hochzahl“), dieser steht oben.
    Du sprichst diese Potenz „$2$ hoch $5$“ aus.

  • Ermittle, wie viele Katzen die Freunde von Lisa, Ben, John insgesamt haben.

    Tipps

    Verkürzte Addition:

    $4 + 4 + 4 = 4 \cdot 3$

    Verkürzte Multiplikation:

    $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$

    Lösung

    Lisa, Ben und John sind $3$ Personen und jeder von ihnen hat drei katzenverrückte Freunde. Das kann man als Produkt $3\cdot 3$ oder auch als Potenz $3^2$ ausdrücken. Das Ergebnis, also die Anzahl der Katzenfans in ihrem Freundeskreis, ist $9$.

    Jeder dieser Katzenliebhaber besitzt genau drei Katzen. Es muss also nochmals mit $3$ multipliziert werden: $3\cdot 3\cdot 3$. Du kannst auch das wieder als Potenz schreiben: $3^3$.

    Die Gesamtzahl der Katzen beträgt also $3\cdot 3\cdot 3=3^3=27$.

  • Stelle die Multiplikation als Potenz dar.

    Tipps

    Mit Potenzen kannst du wiederholte Multiplikationen des gleichen Faktors verkürzt schreiben.

    Zum Beispiel ist

    $5\cdot 5\cdot 5=5^3$.

    Zähle, wie oft der Faktor vorkommt. Die Anzahl ist der Exponent.

    Lösung

    Wenn du die allgemeine Schreibweise von Potenzen ansiehst, stellst du fest: Der wiederkehrende Faktor ist die Basis und die Anzahl des Faktors ist der Exponent.

    Achtung: Es ist wichtig zu unterscheiden, welche Zahl die Basis und welche Zahl der Exponent ist. Im Allgemeinen ist $a^b\neq b^a$.

    Bei $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$ kommt der Faktor $4$ fünfmal vor. $4$ ist also die Basis, $5$ der Exponent: $4^5$.

    Gehst du so auch bei den anderen Multiplikationen vor, erhältst du:

    • $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4$
    • $7\cdot 7\cdot 7=7^3$
    • $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^7$
    • $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6$
    • $6\cdot 6=6^2$

  • Benenne die einzelnen Teile der Potenz.

    Tipps

    In einem Bruch wie $\frac{4}{5}$ ist $4$ der Zähler und $5$ der Nenner.

    Schaue dir das folgende Beispiel an:

    In der Potenz $4^7$ ist $7$ der Exponent.

    Lösung

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation.

    Wenn zum Beispiel bei $3\cdot 3$ der Faktor $3$ zweimal vorkommt, so kann dies geschrieben werden als $3^2$. Dabei ist $3$ die Basis, also der wiederholte Faktor, und $2$ der Exponent, also die Anzahl, wie häufig der Faktor vorkommt.

    Vorsicht: $3^2$ darfst du nicht mit $3\cdot 2$ verwechseln. $3\cdot 2$ ist eine verkürzte Schreibweise für $3+3$, also für die Addition.

  • Berechne die gegebenen Potenzen.

    Tipps

    Du kannst Potenzen mit der gleichen Basis vergleichen:

    $2^3<2^4$, da $3<4$ ist.

    Du kannst ebenso Potenzen mit gleichem Exponenten vergleichen:

    $3^4 <5^4$, da $3<5$ ist.

    Wenn weder Basis noch Exponent übereinstimmen, musst du den jeweiligen Potenzwert berechnen.

    Merke dir hierfür, am Beispiel:

    $5^3=5\cdot 5\cdot 5$.

    Lösung

    Um Potenzen miteinander zu vergleichen, kannst du die Werte berechnen:

    $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$

    Die Potenzen ihrer Größe nach sortiert sind:

    • $2^3 =2\cdot 2\cdot 2=8$
    • $3^2 =3\cdot 3=9$
    • $4^2 =4\cdot4=16$
    • $5^2 =5\cdot 5=25$
    • $3^3 =3\cdot 3\cdot 3=27$
    • $2^5 =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
    • $6^2 =6\cdot 6=36$
    • $4^3 =4\cdot 4\cdot 4=64$
    Tipp: Potenzen werden dir noch häufig begegnen. Es ist sinnvoll, wenn du dir einige Quadrate merkst: $3^2 =9$, $4^2 =16$, $5^2 =25$ ....