30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Potenzen 04:30 min

Textversion des Videos

Transkript Potenzen

Es war einmal eine Stadt in Persien. Hier lebte der Maharadscha Maini in einem überaus pompösen Palast. Die Schatzkammer des reichen Königs quoll bereits über vor Gold. Darum beschloss er, eine größere Kammer für seinen beachtlichen Goldschatz bauen zu lassen, natürlich vom günstigsten Architekten, den der habgierige König finden konnte. Besonders ein Angebot stach ihm dabei ins Auge. Der Architekt verlangte 2 Stück Gold für den ersten Tag, 4 für den zweiten, 8 für den dritten und so weiter. Der Preis für seine 30-tägige Arbeit verdoppelte sich also mit jedem Tag. Das Angebot klang sehr gut, aber dem Maharadscha wurde eine Lektion in Potenzen erteilt.

Erklärung Potenzen

Schauen wir mal, welch' böse Überraschung auf ihn wartete. Der Architekt wurde täglich entlohnt. Am ersten Tag zahlte ihm der Maharadscha 2 Stück Gold. Am zweiten Tag musste er bereits doppelt so viel wie am Vortag berappen. Am fünften Tag fragte sich der König, ob seine Wahl tatsächlich die beste war. So beschloss er, die Zahlungen für den übrigen Monat zu kalkulieren. Er fing an, die einzelnen Tage in einem Kalender zu berechnen. Hm...der Platz im Kalender reichte gar nicht aus, um die Berechnung für den sechsten Tag auszuschreiben. Gibt es nicht einen einfacheren Weg dies auszudrücken? Vielleicht finden wir eine Lösung. Bestimmt weißt du, dass Multiplikation tatsächlich die wiederholte Addition ist. Du kennst bereits eine kürzeren Weg um 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 zu schreiben. Nämlich einfach 6 mal 2. Beide Ausdrücke ergeben 12. Doch gibt es eine verkürzte Schreibweise für wiederholte MULTIPLIKATION?

Schreibweise Potenzen

Gibt es! Zum Beispiel können wir 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mit 26 ausdrücken und erhalten 64. Potenzen verkürzen also die Schreibung von wiederholter Multiplikation einer bestimmten Zahl. Schauen wir auf das Beispiel 3 hoch 2. Hierbei ist 3 die sogenannte Basis und 2 nennt man "Exponent", oder "Hochzahl". Der Exponent sagt aus, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Die ungekürzte Schreibweise von 3 hoch 2 ist 3 mal 3 und ergibt 9. Also ist 3 zum Quadrat 9. Eine beliebige Zahl in Potenzschreibweise ausgedrückt, wäre a hoch n. dies ist das gleiche wie 'a' mal 'a' mal 'a' mal 'a' - 'n' mal. So konnte der Maharadscha die Geldbeträge in seinen Kalender schreiben! Lass uns den Lohn, den er dem Architekten an den ersten 5 Tagen schuldete, umformulieren. Am ersten Tag war er dem Architekten 2 Stück Gold schuldig dies lässt sich ausdrücken mit: 2 hoch 1. Am zweiten Tag betrug der Lohn 2 hoch 2 Stück Gold am dritten Tag betrug der Lohn 2 hoch 3 Stück Gold. erkennst du ein Muster? Wie drückst du den Betrag aus, den der König dem Architekten am fünften Tag schuldete? Richtig! Du kannst ihn einfach mit 2 hoch 5 ausdrücken! Für den 30sten Tag nahm der Maharadscha 2 als Basis und 30 als Exponenten für den Betrag, den er dem Architekten an Tag 30 schuldete.

Nachdem er dem Architekten diese astronomisch hohe Summe bezahlt hatte, war seine Schatzkammer nun zwar größer aber jetzt hatte der Maharadscha ein neues Problem. Was sollte die neue Kammer füllen? Hätte der Maharadscha Exponenten verstanden und das gewiefte Angebot nicht angenommen, vielleicht hätte er dann noch Gold gehabt, um die neue Kammer zu befüllen...

40 Kommentare
  1. Bei mir ladet jedes Video! Kann man da nichts machen?

    Von Lydiajaeger, vor 5 Tagen
  2. Ich finde die Art Lervideo sehr gut, das mit den Beispielen. So kann man sich das viel besser verbildlichen,vor allem wenn man ein Problem in Mathe hat

    Von Florentinedanz, vor 15 Tagen
  3. Hallo Marc Luca, vielen Dank für Dein positives Feedback! Das freut uns sehr. Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  4. Sehr gutes Video . So lernt man es am besten 🤗:)

    Von Marc Luca S., vor etwa einem Monat
  5. SUPER DIGITAL TEAM

    Von Dalgis K., vor 8 Monaten
  1. !

    Von Fabricio, vor 8 Monaten
  2. DIGITAL

    Von Fabricio, vor 8 Monaten
  3. TEAM

    Von Fabricio, vor 8 Monaten
  4. gut gemacht

    Von Fabricio, vor 8 Monaten
  5. ich finde das video sehr cool und es ist gut erklärt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Fabricio, vor 8 Monaten
  6. Gutes Video,cool gemacht

    Von K Maerzlebsack, vor 9 Monaten
  7. luistiges video, das ist echt sehr gut erklärt

    Von Joerdispede, vor 9 Monaten
  8. das ist das beste Video in ganz sofatutor
    weiter so !!!!!!

    Von Michael W., vor 9 Monaten
  9. Ich fand das Video sehr sehr hilfreich!So lernt man es am besten!👍😁

    Von Annikawehry, vor 9 Monaten
  10. Super cooles Video ,war sehr hilfreich.

    Von Kmacgowan, vor 9 Monaten
  11. War gut 😊

    Von Ana.Luisa, vor 11 Monaten
  12. Ich habe es verstanden und habe sogar alles richtig ich glaube jetzt schreibe ich mindestens eine 2🎺🥈

    Von Steffrank77, vor etwa einem Jahr
  13. Danke sehr hilfreich!

    Von Joerglempke, vor etwa einem Jahr
  14. Ich fand das Video sehr cool und hilfreich!

    Von Christoph B., vor etwa einem Jahr
  15. Hilfreiches Video Danke:)

    Von Niki 35, vor etwa einem Jahr
  16. Das Video ist toll und hat mir sehr gut geholfen 😃

    Von Rapp2006, vor etwa einem Jahr
  17. Danke!

    Von Deleted User 639402, vor etwa einem Jahr
  18. :-D

    Von Lana V., vor mehr als einem Jahr
  19. Ich fand das Video total gut! Am meisten habe ich daraus besser gelernt als bei den anderen Sofatutor Videos! Danke sehr!

    Von Lana V., vor mehr als einem Jahr
  20. der anfang ist albern

    Von Meni71, vor mehr als einem Jahr
  21. DANKE ! ICH FAND DAS VEDIO SEEEEEEEHR GUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUT!😊☺

    Von Zein M., vor mehr als einem Jahr
  22. Mit den Beispiel habe ich es gut verstanden, Dankeschön! :D

    Von Hendrik D., vor fast 2 Jahren
  23. So versteht man es am besten. SUPER

    Von Kim Heilig123, vor fast 2 Jahren
  24. Sehr tolles Video.Die Beispielgeschichte finde ich toll

    Von Nimesayoezgoeren, vor fast 2 Jahren
  25. SUPER,SO MACHT DAS SPAß!!!

    Von Teresastoettner, vor etwa 2 Jahren
  26. Perfekt! So kann man gerne lernen. Weiter so =D

    Von Silas M., vor mehr als 2 Jahren
  27. witzig, aber gut aufgebaut =D

    Von Ralfburkert, vor mehr als 2 Jahren
  28. Lustig

    Von Jeristina C., vor mehr als 2 Jahren
  29. Guter dramaturgischer Aufbau! .. schön fand ich auch, dass man mal weg von Tafel und Whiteboardanschriften gekommen ist … so manch ein Schüler hat ja nicht den beste emotionale Effekt bei "Tafel-Assoziationen" … gern weiter in diese Richtung produzieren!!

    Von Key Ci, vor mehr als 2 Jahren
  30. so müssen Videos aufgebaut sein . Viel hilfreicher, da es sehr anschaulich ist!

    Von Thanuja Sriranjan, vor mehr als 2 Jahren
  31. es war sehr hilfreich danke und ein Großes lob an das Team Digital

    Von Charlie Tillmann, vor mehr als 2 Jahren
  32. Super animiert sehr hilfreich!

    Von Sven 6, vor mehr als 2 Jahren
  33. Sehr hilfreich.

    Von Catharina H., vor mehr als 2 Jahren
  34. Sehr gutes Video

    Von Renehoffmann1982, vor fast 3 Jahren
  35. lol so witzig aber danke

    Von fares a., vor fast 3 Jahren
Mehr Kommentare

Videos im Thema

Quadratzahlen – Wie berechnet man sie? (2 Videos)

zur Themenseite

Potenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die einzelnen Teile der Potenz.

    Tipps

    In einem Bruch wie $\frac{4}{5}$ ist $4$ der Zähler und $5$ der Nenner.

    Schaue dir das folgende Beispiel an:

    In der Potenz $4^7$ ist $7$ der Exponent.

    Lösung

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation.

    Wenn zum Beispiel bei $3\cdot 3$ der Faktor $3$ zweimal vorkommt, so kann dies geschrieben werden als $3^2$. Dabei ist $3$ die Basis, also der wiederholte Faktor, und $2$ der Exponent, also die Anzahl, wie häufig der Faktor vorkommt.

    Vorsicht: $3^2$ darfst du nicht mit $3\cdot 2$ verwechseln. $3\cdot 2$ ist eine verkürzte Schreibweise für $3+3$, also für die Addition.

  • Gib den Lohn am 6. Tag an.

    Tipps

    Erkennst du die Regelmäßigkeit?

    • 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
    • 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
    • 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$

    Die Anzahl der Goldstücke kannst du als Potenz mit der Basis $2$ ausdrücken, weil sie immer verdoppelt wird.

    Lösung

    Um den Lohn für den Architekten am $30$. Tag zu bestimmen, schauen wir uns erst einmal die ersten fünf Tage an:

    • 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
    • 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
    • 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
    • 4. Tag: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^4$
    • 5. Tag: $32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^5$
    Wir erkennen also das folgende Muster:

    Die Anzahl der Tage steht im Exponenten, also der Hochzahl. Die Basis ist jeweils die $2$, da die Bezahlung von $2$ Goldstücken Tag für Tag verdoppelt, also mit $2$ multipliziert wird.

    Deshalb kannst du den Lohn am $6$. Tag wie folgt ausdrücken:

    $2^{6} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64$

    Am $6$. Tag muss der Maharadscha also $64$ Goldstücke zahlen.

  • Erkläre, was sich hinter der Potenz $2^5$ verbirgt.

    Tipps

    Die abkürzende Schreibweise für wiederholte Addition, also wenn immer wieder der gleiche Summand addiert wird, ist die Multiplikation: $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$

    Wie kann man eine wiederholte Multiplikation abkürzend schreiben?

    Merke dir: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt.

    Lösung

    Wiederholte Addition kannst du durch Multiplikation abkürzen:

    $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$

    Ebenso kannst du auch die wiederholte Multiplikation abgekürzt schreiben:

    $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5$

    Hier kommt der Faktor $2$ fünf Mal vor. Dabei ist

    • $2$ die Basis (auch „Grundzahl“), diese steht unten und
    • $6$ der Exponent (auch „Hochzahl“), dieser steht oben.
    Du sprichst diese Potenz „$2$ hoch $5$“ aus.

  • Berechne die gegebenen Potenzen.

    Tipps

    Du kannst Potenzen mit der gleichen Basis vergleichen:

    $2^3<2^4$, da $3<4$ ist.

    Du kannst ebenso Potenzen mit gleichem Exponenten vergleichen:

    $3^4 <5^4$, da $3<5$ ist.

    Wenn weder Basis noch Exponent übereinstimmen, musst du den jeweiligen Potenzwert berechnen.

    Merke dir hierfür, am Beispiel:

    $5^3=5\cdot 5\cdot 5$.

    Lösung

    Um Potenzen miteinander zu vergleichen, kannst du die Werte berechnen:

    $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$

    Die Potenzen ihrer Größe nach sortiert sind:

    • $2^3 =2\cdot 2\cdot 2=8$
    • $3^2 =3\cdot 3=9$
    • $4^2 =4\cdot4=16$
    • $5^2 =5\cdot 5=25$
    • $3^3 =3\cdot 3\cdot 3=27$
    • $2^5 =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
    • $6^2 =6\cdot 6=36$
    • $4^3 =4\cdot 4\cdot 4=64$
    Tipp: Potenzen werden dir noch häufig begegnen. Es ist sinnvoll, wenn du dir einige Quadrate merkst: $3^2 =9$, $4^2 =16$, $5^2 =25$ ....

  • Ermittle, wie viele Katzen die Freunde von Lisa, Ben, John insgesamt haben.

    Tipps

    Verkürzte Addition:

    $4 + 4 + 4 = 4 \cdot 3$

    Verkürzte Multiplikation:

    $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$

    Lösung

    Lisa, Ben und John sind $3$ Personen und jeder von ihnen hat drei katzenverrückte Freunde. Das kann man als Produkt $3\cdot 3$ oder auch als Potenz $3^2$ ausdrücken. Das Ergebnis, also die Anzahl der Katzenfans in ihrem Freundeskreis, ist $9$.

    Jeder dieser Katzenliebhaber besitzt genau drei Katzen. Es muss also nochmals mit $3$ multipliziert werden: $3\cdot 3\cdot 3$. Du kannst auch das wieder als Potenz schreiben: $3^3$.

    Die Gesamtzahl der Katzen beträgt also $3\cdot 3\cdot 3=3^3=27$.

  • Stelle die Multiplikation als Potenz dar.

    Tipps

    Mit Potenzen kannst du wiederholte Multiplikationen des gleichen Faktors verkürzt schreiben.

    Zum Beispiel ist

    $5\cdot 5\cdot 5=5^3$.

    Zähle, wie oft der Faktor vorkommt. Die Anzahl ist der Exponent.

    Lösung

    Wenn du die allgemeine Schreibweise von Potenzen ansiehst, stellst du fest: Der wiederkehrende Faktor ist die Basis und die Anzahl des Faktors ist der Exponent.

    Achtung: Es ist wichtig zu unterscheiden, welche Zahl die Basis und welche Zahl der Exponent ist. Im Allgemeinen ist $a^b\neq b^a$.

    Bei $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$ kommt der Faktor $4$ fünfmal vor. $4$ ist also die Basis, $5$ der Exponent: $4^5$.

    Gehst du so auch bei den anderen Multiplikationen vor, erhältst du:

    • $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4$
    • $7\cdot 7\cdot 7=7^3$
    • $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^7$
    • $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6$
    • $6\cdot 6=6^2$