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Potenzen Definition

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Team Digital
Potenzen Definition
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzen Definition

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Potenzen mit positivem und negativem Exponenten zu berechnen.

Zunächst lernst du die allgemeine Definition von Potenzen kennen. Anschließend lernst du wie du Potenzen mit einer Null im Exponenten berechnest. Abschließend lernst du, wie du Potenzen mit negativem Exponenten berechnen kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenz, Basis, Exponent (Hochzahl) und Potenzwert

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie multipliziert und dividiert wird.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Potenzgesetze zu lernen.

Transkript Potenzen Definition

Was war nochmal ein EXPONENT? Wo genau finde ich diese BASIS? Warum ist zwei hoch null jetzt nochmal EINS? Und was zum Teufel ergibt drei hoch MINUS vier? Wenn es um POTENZEN geht, kann man schnell mal den Überblick verlieren. Um da wieder voll durchzublicken, klären wir die „Definition von Potenzen“ nochmal ganz in Ruhe. Fangen wir vorne an: Potenzen sind nichts Anderes als eine verkürzte Schreibweise für die WIEDERHOLTE Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. So ist zum Beispiel „vier hoch drei“ die Kurzschreibweise für „vier mal vier mal vier“. Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, hier die vier, ist unsere BASIS. Der EXPONENT, manchmal auch Hochzahl genannt, gibt an, WIE OFT die Basis mit sich selbst multipliziert wird. In unserem Beispiel ist es also die drei. Basis und Exponent zusammengenommen nennen wir POTENZ. Wenn wir unsere Potenz ausrechnen, erhalten wir vierundsechzig. Das Ergebnis nennen wir POTENZWERT. Allgemein können wir das Ganze so formulieren: Die Potenz „a hoch n“, mit der Basis a und dem Exponenten n, ist gleich der Zahl a „n-mal“ mit sich selbst multipliziert. Setzen wir zum Beispiel für a fünf und für n zwölf ein, wird die fünf zwölf mal mit sich selbst multipliziert. Keine Sorge, das rechnen wir jetzt nicht aus. Soweit zu den Grundlagen. Doch wenn der Exponent angibt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Was ist dann, wenn eine NULL, oder sogar eine NEGATIVE Zahl im Exponenten steht? Auch in diesen Fällen lassen sich die Potenzen problemlos berechnen. Wie wir vorgehen müssen, wird schnell klar, wenn wir uns folgendes Beispiel anschauen: Drei hoch EINS ist einfach drei, drei hoch ZWEI ergibt neun, drei hoch DREI ist gleich siebenundzwanzig und so weiter. Immer wenn wir den Exponenten um EINS erhöhen, müssen wir ein weiteres mal mit der Basis drei multiplizieren. Wir können aber auch ANDERSHERUM vorgehen: Verringern wir den Exponenten um eins, müssen wir die Umkehroperation zur Multiplikation anwenden. Also einmal durch die Basis DIVIDIEREN. Wenn wir auf der einen Seite den Exponenten von „drei hoch vier“ auf „drei hoch drei“ verringern, dann teilen wir auf der anderen Seite dementsprechend durch drei und erhalten siebenundzwanzig. Nach einem weiteren Schritt landen wir bei neun und schließlich bei drei. Diese Vorgehensweise können wir nun weiter fortsetzen und den Exponenten erneut um eins verringern. Wir dividieren einfach ein weiteres Mal durch drei. Drei hoch null ist also EINS. Als Regel notieren wir: Eine Basis a, die mit null potenziert wird, ist IMMER gleich eins. a selbst darf dabei NICHT gleich null sein. Zurück zu unserem Beispiel, wir können tatsächlich noch weitergehen. Verringern wir den Exponenten erneut um eins, wird dieser negativ, wir erhalten drei hoch MINUS eins. Um den Potenzwert zu berechnen, müssen wir nur ein weiteres mal durch drei teilen. Das Ergebnis ist also ein Drittel! Diesen Schritt können wir beliebig oft wiederholen: Wenn wir einen Bruch durch drei DIVIDIEREN wollen, machen wir das, indem wir den Nenner mit drei MULTIPLIZIEREN. Drei hoch minus zwei ist dementsprechend ein Neuntel, drei hoch minus drei ist ein Siebenundzwanzigstel, drei hoch minus vier ein Einundachtzigstel und so weiter. Schauen wir nochmal auf die Nenner: Diese können wir mit Hilfe der Potenzschreibweise auch wieder umschreiben. Und auch hier erkennen wir eine allgemeine Regel: a hoch minus n ist gleich „eins durch a hoch n“. a darf hierbei nicht den Wert Null annehmen und n muss eine natürliche Zahl sein. Na, das ist doch eigentlich ganz easy. Schauen wir uns die wichtigsten Begriffe und Definitionen zu Potenzen noch einmal auf einen Blick an: Eine Potenz besteht aus Basis und Exponent. Der EXPONENT gibt an, wie oft die BASIS mit sich selbst multipliziert wird. Steht eine NULL im Exponenten, so ist der Potenzwert immer gleich eins. Für den Fall, dass der Exponent NEGATIV ist, können wir die Potenz als Bruch umschreiben. Im Zähler steht dann immer eine eins, im Nenner die Potenz selbst, allerdings ohne das Minus im Exponenten. Mit Hilfe der Bruchschreibweise können wir auch bei Potenzen mit negativem Exponenten den Potenzwert leicht berechnen. Und das reicht auch schon als Überblick. Dann sollte in Zukunft ja POTENZIELL nichts mehr schief gehen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Ich fand es sehr hilfreich, schreibe morgen Schulaufgabe wünscht mir Glück :)

    Von Emily, vor 3 Tagen
  2. Hat mir super geholfen!!!

    Von Nicolas V., vor 11 Tagen

Potenzen Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Potenz ist.

    Tipps

    Beispiel:
    $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

    Der Exponent wird auch Hochzahl genannt.

    Beispiel:
    $3^{-4} = \frac{1}{3^4}$

    Lösung

    Die Potenz $a^n$ mit der Basis $a$ und dem Exponenten $n$ ist gleich einer Multiplikation: Der Faktor ist $a$, die Anzahl der Faktoren ist $n$.

    $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot .... \cdot a}_{n\text{-mal}}\\ \\ ~$

    Beispiel: $~6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot6$

    Ist der Exponent negativ, so kann die Potenz als Bruch geschrieben werden. Im Zähler steht eine Eins und im Nenner die Potenz selbst ohne das Minuszeichen im Exponenten:

    $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

    Beispiel: $~8^{-3} = \frac{1}{8^3}$

  • Gib die ausführliche Schreibweise der Potenz an.

    Tipps

    Die Potenz $a^n$ ist gleich einer Multiplikation. Dabei ist die Zahl $a$ der Faktor, der mit sich selbst multipliziert wird, und die Zahl $n$ die Anzahl der Faktoren.

    Beispiel:

    $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{7 \cdot 7}$

    Lösung

    Beispiele mit positiven Exponenten
    Ist der Exponent positiv, so können wir die Potenz als Multiplikation der Basis mit sich selbst schreiben.

    $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
    $3^2 = 3 \cdot 3$
    $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot4$

    Beispiele mit negativen Exponenten
    Ist der Exponent negativ, so können wir die Potenz als Bruch schreiben. Im Zähler des Bruches steht eine Eins und im Nenner die Multiplikation der Basis mit sich selbst.

    $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$
    $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

  • Ermittle die jeweiligen Potenzwerte.

    Tipps

    Steht im Exponenten eine Null, so ist der Potenzwert immer Eins.

    Beispiel:

    $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

    Lösung

    Ist der Exponent positiv, so können wir den Potenzwert durch Multiplikation berechnen:
    $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
    $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
    Ist die Basis $1$, so ist der Potenzwert immer $1$:
    $1^9 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
    Ist die Basis $0$ und der Exponent positiv, so ist der Potenzwert immer $0$:
    $0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
    Ist der Exponent $0$, so ist der Potenzwert immer $1$:
    $4^0 = 1$
    Ist der Exponent negativ und die Basis ungleich Null, so können wir die Potenz als Bruch schreiben und dann berechnen:
    $4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} = 0,25$

  • Entscheide, ob die Rechnung richtig oder falsch ist.

    Tipps

    Steht im Exponenten eine Null und in der Basis eine Zahl ungleich Null, so ist der Wert der Potenz immer Eins.

    Beispiel:
    $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

    Lösung

    Bei einer Potenz mit positiven Exponenten, können wir die Potenz als Multiplikation schreiben.

    • Das Beispiel $8^5 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot8$ ist richtig. Die $8$ kommt fünfmal als Faktor in der Multiplikation vor.
    • In dem Beispiel $3^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4$ wurden Basis und Exponent vertauscht. Richtig lautet die Multiplikation: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
    • Das Beispiel $1^1=1$ ist richtig.
    Ist der Exponent $0$, so ist der Potenzwert $1$.
    • Das Beispiel $3^0=0$ ist somit falsch, korrekt lautet es: $3^0=1$
    Ist der Exponent negativ, so können wir die Potenz als Bruch schreiben:
    • Das Beispiel $5^{-3} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$ ist richtig.
    • Bei dem Beispiel $6^{-2} = \frac{6^2}{1}$ wurden Zähler und Nenner vertauscht. Korrekt lautet es: $6^{-2} = \frac{1}{6^2}$.
    • Das Beispiel $7^{-1} = \frac{1}{7}$ ist richtig.
    • Das Beispiel $0^{-4} = 1$ ist falsch. Wir können auch hier die Potenz als Bruch schreiben und erkennen so das mathematische Problem: $0^{-4} = \frac{1}{0^4} = \frac{1}{0}$. Da wir nicht durch $0$ dividieren dürfen, ist diese Potenz nicht lösbar.

  • Gib die jeweiligen Fachbegriffe an.

    Tipps

    Der Exponent gibt die Anzahl der Faktoren der Multiplikation an.

    $3^6$ ist eine Potenz.

    $4$ ist der Potenzwert von $2^2$.

    Lösung

    Bei dem abgebildeten Beispiel ist $4$ die Basis. Sie ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird.
    $3$ ist der Exponent. Er gibt an, wie oft die Basis als Faktor in der Multiplikation auftaucht.
    Den Ausdruck $4^3$ nennt man Potenz.
    Das Ergebnis $64$ ist der Potenzwert.

  • Ordne die Potenzen von klein nach groß.

    Tipps

    Bestimme zunächst den Potenzwert aller Potenzen.

    Was ist der kleinstmögliche Potenzwert?

    Lösung

    Wir bestimmen zunächst alle Potenzwerte:

    • $4^1=4$
    • $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
    • $2^3= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
    • $13^0=1$
    • $2^{-1} = \frac{1}{2}$
    • $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
    • $4^{-1} = \frac{1}{4}$
    Wir sortieren die Werte nun von klein nach groß:
    $3^{-2} < 4^{-1} < 2^{-1} < 13^0 < 4^1 < 2^3 < 3^2$

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