Potenzgesetze sind ein wichtiger Bestandteil der Mathematik, der dir hilft, Berechnungen mit Potenzen zu vereinfachen. Sie ermöglichen es dir, mathematische Ausdrücke mit Exponenten effizient zu berechnen. Ob beim Multiplizieren, Dividieren oder Potenzieren von Potenzen – die Regeln sind klar und logisch aufgebaut. In diesem Text übst du, wie du Potenzgesetze sicher anwendest.
Erklärung:
Das erste Potenzgesetz (Exponenten addieren) kann auch auf mehr als zwei Faktoren und auch bei negativen Zahlen im Exponenten angewendet werden. Eine beliebige Zahl hoch $0$ ist immer gleich $1$!
Erklärung:
Dieser Term hat die Form des sechsten Potenzgesetzes (rationaler Exponent). Ein Bruch im Exponent ist eine andere Schreibweise für die Quadratwurzel aus der entsprechenden Basis. Wir betrachten also bei der Umformung den Nenner des Bruchs, um zu ermitteln, welche Wurzel wir ziehen müssen. Der Zähler gibt an, mit welcher Zahl wir diese Wurzel potenzieren. Es ist egal, ob wir zuerst die Wurzel ziehen und dann potenzieren oder umgekehrt. Hier bietet sich ersteres an, weil die Rechnung so leichter ist.
Erklärung:
Dieser Term kann mit dem zweiten Potenzgesetz (Exponenten subtrahieren) berechnet werden. Wir rechnen von links nach rechts und können bei dem Ergebnis den Exponenten $1$ einfach weglassen.
Erklärung:
Dieser Term hat die Form des sechsten Potenzgesetzes (rationaler Exponent). Da hier eine $3$ im Nenner steht, müssen wir die dritte Wurzel aus $27$ ziehen. Hier bietet es sich an, erst die Wurzel zu ziehen und anschließend mit der $2$ im Zähler zu potenzieren.
Erklärung:
Dieser Term kann mit dem vierten Potenzgesetz (gleicher Exponent) berechnet werden. Wir rechnen von links nach rechts, verechnen zuerst die Basen und können anschließend potenzieren.
Erklärung:
Dieser Term hat die Form des sechsten Potenzgesetzes (rationaler Exponent). Die fünfte Wurzel aus $32$ ist $2$, da $2^5=32$. Auch hier ist es einfacher, erst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.
Erklärung:
Dieser Term hat die Form des zweiten Potenzgesetzes (Exponenten subtrahieren). Hier müssen wir auf die Vorzeichen achten: Durch den negativen Exponenten wird die Subtraktion zu einer Addition.
Erklärung:
Bei diesem Term können wir zunächst zweimal hintereinander das erste Potenzgesetz anwenden. Dann können wir das Produkt aus zwei Potenzen mit gleichem Exponenten mithilfe des dritten Potenzgesetz umformen und abschließend das Endergebnis berechnen.
Potenzgesetze – Übungen für Fortgeschrittene
Berechne die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze.
Erklärung:
Hier wendest du das zweite Potenzgesetz an (gleiche Basis, Exponenten subtrahieren). Potenzen mit negativem Exponenten lassen sich auch als Bruch schreiben.
Erklärung:
Hier kannst du jeweils die Faktoren vor den Potenzen ($3$ und $5$ ausklammern und die Potenzen mit gleicher Basis nach dem ersten Potenzgesetz (Exponenten addieren) umformen. Alternativ könntest du den Term $3y^{-1}$ auch als Bruch schreiben und anschließend kürzen, um dasselbe Endergebnis zu erhalten.
Erklärung:
Hier kommt das erste Potenzgesetz zum Einsatz (Exponenten addieren). Den Exponenten $-k+2$ können wir noch umstellen, dann aber nicht weiter vereinfachen.
Erklärung:
Da hier nur multipliziert wird, kannst du zuerst das erste Potenzgesetz für gleiche Basen anwenden. Dann kann das dritte Potenzgesetz für gleiche Exponenten angewendet werden. $z^0$ ist gleich $1$.
Erklärung:
Für die erste Umformung wird hier das fünfte Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen angewendet. Anschließend kannst du mit dem ersten Potenzgesetz die Potenzen mit der gleichen Basis zusammenfassen, indem du die Exponenten addierst. Abschließend kannst du die Potenz mit negativem Exponenten noch umformen, indem du sie als Bruch schreibst.
Erklärung:
Zunächst kannst du die Wurzelterme mithilfe des sechsten Potenzgesetzes in Potenzen umformen. Dann kannst du zuerst das erste und dann das zweite Potenzgesetz anwenden, um den Term zu vereinfachen.
Ausblick – so kannst du weiterlernen
Im nächsten Schritt kannst du dein Wissen über Potenzgesetze nutzen, um dich mit der Exponentialfunktion zu beschäftigen. Dabei wirst du lernen, wie schnell Werte in der Mathematik wachsen können. Zudem kannst du dich auf das Thema Logarithmen vorbereiten, das dir helfen wird, exponentielle Gleichungen zu lösen und in vielen Bereichen der Mathematik und Wissenschaft eine Schlüsselrolle spielt.
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