Multiplikation und Division von Potenzen

Multiplikation und Division von Potenzen Übung

• Berechne die Potenzen.

  Tipps

  $5^7$ ist dasselbe wie $5$ siebenmal mit sich selbst multipliziert.

  Das Potenzgesetz besagt: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  Bei einer Potenz $a^n$ ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

  Lösung

  Zuerst betrachten wir das Potenzieren von Potenzen. Dafür gilt die Formel:

  $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$

  Du kannst diese Formel besser verstehen, indem du konkrete Zahlen einsetzt. Wenn Du $a=2$, $m=3$ und $p=4$ einsetzt, lautet die linke Seite der Potenzgleichung:

  $(a^m)^p = (2^3)^4$

  Der Term rechts ist die vierte Potenz von $2^3$, also ist $(2^3)$ viermal mit sich selbst multipliziert. Du kannst das ausschreiben und erhältst:

  $(2^3)^4 = (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3)$

  Das Potenzgesetz besagt: Bei Potenzen mit gleicher Basis kannst du die Exponenten addieren. Das ergibt dann:

  $(2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) = 2^{3+3+3+3} =2^{3 \cdot 4}$

  Als Nächstes betrachten wir die Division von Potenzen. Dafür gilt die Formel:

  $\big(\frac{a}{b}\big)^m = \frac{a^m}{b^m}$

  Setzen wir $a = 2$, $b=5$ und $m=3$ in die Formel ein, so erhalten wir:

  $\big(\frac{a}{b}\big)^m= \Big(\frac{2}{5}\Big)^3$

  Die rechte Seite ist die dritte Potenz von $\frac{2}{3}$, also $\frac{2}{3}$ dreimal mit sich selbst multipliziert:

  $\Big(\frac{2}{5}\Big)^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$

  Das Produkt der Brüche kannst du ausmultiplizieren und zusammenfassen zu:

  $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2\cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2^3}{5^3}$

• Benenne die Regeln zum Rechnen mit Potenzen.

  Tipps

  Das Potenzgesetz besagt: Das Produkt von Potenzen mit der gleichen Basis ist die Potenz mit der Summe der Exponenten.

  Es gilt: $(2^3)^4 = 2^{(3 \cdot 4)}$.

  Es gilt: $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$.

  Lösung

  Für das Rechnen mit Potenzen gelten verschiedene Regeln. Das Potenzgesetz besagt, dass das Produkt von Potenzen mit derselben Basis die Potenz mit der Summe der Exponenten ist:

  $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

  Das Produkt von Potenzen desselben Exponenten und verschiedener Basen ist die Potenz mit dem Produkt der Basen:

  $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$

  Die Potenz einer Potenz ist die Potenz mit dem Produkt der Exponenten:

  $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$.

  Der Quotient von Potenzen mit demselben Exponenten ist die Potenz des Quotienten:

  $\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m$.

  Jetzt zu den Aussagen:

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Für die Multiplikation von Potenzen gilt die Formel: $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$.“

  • „Für die Division von Potenzen gilt die Formel $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$.“

  • „Potenzen zu verschiedenen Basen mit demselben Exponenten kann man multiplizieren, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten übernimmt.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Das Potenzieren von Potenzen folgt dem Potenzgesetz $(a^m)^p = a^{m+p}$.“ Stattdessen gilt: $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$.

  • „Die Regel für die Multiplikation von Brüchen führt auf die Formel $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{m^b}$.“ Stattdessen gilt: $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$.

  • „Nach dem Potenzgesetz gilt $(2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) = 2^{3+4}$.“ Stattdessen ist $(2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) \cdot (2^3) = 2^{3+3+3+3} = 2^{3 \cdot 4}$.

  • „Potenzen derselben Basis multipliziert man, indem man die Exponenten potenziert.“ Die Exponenten werden vielmehr addiert; dies ist die Aussage des Potenzgesetzes.

• Bestimme die Potenzen.

  Tipps

  Potenziere eine Potenz, indem du die Potenz genügend oft mit sich selbst multiplizierst.

  Benutze das Kommutativgesetz der Multiplikation, um das Produkt von Potenzen verschiedener Basen umzuformen.

  Es gilt: $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$.

  Lösung

  Für die Aufgabe verwendest Du die Regeln:

  $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$

  und:

  $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$

  mit verschiedenen Zahlen. Du kommst damit auf folgende Gleichungen:

  • $4^3 \cdot 3^3 = (4\cdot 3)^3 = 12^3$

  • $(3^4)^3 = 3^{4\cdot 3} = 3^{12}$

  • $3^{8} \cdot 3^3 = 3^{8+3} = 3^{11}$

  • $(4^2)^6 = 4^{2\cdot 6} = 4^{12}$

  • $6^4 \cdot 2^4 = (6\cdot 2)^4 = 12^4$

• Prüfe die Potenzgleichungen.

  Tipps

  Rechne die Potenzen aus, um die Gleichungen zu überprüfen.

  Die erste binomische Formel lautet $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  Es gilt: $(2 \cdot 3)^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

  Lösung

  Für das Rechnen mit Potenzen benutzt du die Formeln für das Produkt:

  $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$

  für die Potenz:

  $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$

  und für den Quotienten:

  $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$.

  Mit diesen Regeln findest Du folgende richtige Gleichungen:

  • $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$

  • $(3 \cdot 4)^2 = 144$

  • $(3^2)^3 = 3^4 \cdot 3^2$

  • $(2+2)^3 = (2^2)^3$

  Die nachfolgenden Gleichungen dagegen sind falsch:

  • $(a+b)^m = a^m + b^m$; denn z.B. für $m=2$ gilt die erste binomische Formel $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  • $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^2}{3^3}$; richtig wäre $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3}$.

  • $(a^m)^n = a^{m + n}$; richtig wäre $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ bzw $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

  • $(2\cdot 3)^4 = (2^3)^4$; richtig wäre $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4$.

• Berechne die Potenzen.

  Tipps

  Die vierte Potenz einer Zahl erhältst Du, indem Du die Zahl viermal mit sich selbst multiplizierst.

  Mit dem Kommutativgesetz kannst Du bei Multiplikationen die Reihenfolge der Terme vertauschen.

  Es gilt: $(3 \cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$.

  Lösung

  Die Regel für die Multiplikation von Potenzen mit verschiedenen Basen und denselben Exponenten lautet:

  $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$.

  Du kannst dich davon überzeugen, dass die Regel stimmt, indem du konkrete Zahlen einsetzt: Für die Basen $a=2$ und $b=5$ und den Exponenten $m=3$ ist:

  $(a \cdot b)^m = (2 \cdot 5)^3$.

  Rechts steht die dritte Potenz von $2 \cdot 5$, das ist ausgeschrieben dasselbe wie:

  $(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$.

  Mit dem Assoziativ- und Kommutativgesetz kannst du die Klammern weglassen und die Reihenfolge der Faktoren ändern. Wenn du jeweils alle Faktoren $2$ und alle Faktoren $5$ zusammenfasst, so erhältst du:

  $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

  Das kannst du wieder zu Potenzen zusammenfassen und kommst schließlich auf:

  $2^3 \cdot 5^3$.

• Erschließe die Umformungen.

  Tipps

  Das Potenzgesetz $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ gilt auch für negative $n$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du lernen, die verschiedenen Rechenregeln für Potenzen zu kombinieren. Um die Aufgabe zu lösen, kannst du zuerst alle Zentralelemente auf die jeweils einfachste Form bringen, nämlich auf eine einzige Potenz. Die Umformungen der Zentralelemente sind die Folgenden:

  • $(3 \cdot 4)^5 = 12^5$

  • $(6 \cdot 2)^4 = 12^4$

  • $(3+4)^7 = 7^7$

  • $\left( \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2} \right)^6 = \left(\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}\right)^6 = 6^6$

  Im nächsten Schritt kannst du alle Elemente der Blätter auf jeweils eine Potenz bringen und findest durch diese Umformung die richtige Zuordnung heraus. Wir rechnen exemplarisch zwei Umformungen vor:

  • $(3+4)^5 \cdot 49 = 7^5 \cdot 7^2 = 7^7$

  • $6^{12-7} \cdot 6 = 6^5 \cdot 6 = 6^6$

  Auf diese Weise kannst du den Term jedes Blattes in eine Potenz umformen. Zusammengefasst erhältst du die folgenden Gleichungen, aus denen du die richtige Zuordnung ablesen kannst:

  • $(3 \cdot 4)^{5} = 3^5 \cdot 4^5 = 6^5 \cdot 2^5 = 12^3 \cdot 12^2 = (6 \cdot 2)^{2 + 3}$

  • $(6 \cdot 2)^4 = ((3 \cdot 4)^2)^2 = (3 \cdot 4)^3 \cdot 12 = 6^4 \cdot 2^4 = (6 \cdot 2)^2 \cdot (3 \cdot 4)^2$

  • $(3+4)^7 = 7^3 \cdot 7^4 = 7^{3+4} = (3+4)^5 \cdot 49 = (3 \cdot 4 -5)^7$

  • $\left(\frac{4}{3} \cdot\frac{9}{2}\right)^6 = (6^3)^2 = (3 \cdot 2)^{2\cdot 3} = (2 \cdot 3)^3 \cdot 6^3 = 6^{12-7} \cdot 6$

  Dies sind aber noch längst nicht alle möglichen Umformungen. Du findest bestimmt noch mehr, oder?