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Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

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Team Digital
Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Gesetz der Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis zu nutzen.

Zunächst lernst du, wie sich eine Potenz zusammensetzt. Anschließend siehst du, wie du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst. Abschließend lernst du, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividierst und worauf du hierbei achten musst.

Lerne, wie du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst und dividierst, indem du Archimedes bei seinen Überlegungen unterstützt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenzen mit gleicher Basis, Multiplikation, Division, Basis, Exponent, Addition, Subtraktion, Potenzgesetz und Basis ungleich Null.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Potenzen sind.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Potenzgesetze zu lernen.

Transkript Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

In seinem Garten im alten Griechenland ist Archimedes tief in Gedanken versunken. Er denkt darüber nach, wie viele Sandkörner man bräuchte, um das Universum zu füllen. Während er so vor sich hin grübelt, bemerkt er ein Kind, das Steine in einem Rechteck anordnet. Heureka! Der mit Steinen gefüllte Raum stellt einen kleinen Teil des Universums dar. Vielleicht kann Archimedes hier etwas lernen. Da das Universum gigantisch groß ist, muss Archimedes Potenzen multiplizieren und dividieren, um dieses Mysterium zu lösen. Archimedes zählt die Steine im Rechteck. Die erste Seite hat eine Länge von 8 Steinen. Und die zweite Seite hat eine Länge von 16 Steinen. Aber was ist das? Die Steine der ersten Seite zählt das Kind als zwei mal zwei mal zwei. Und die der zweiten Seite als zwei mal zwei mal zwei mal zwei. Das Kind zählt die Steine als Vielfache von zwei! Ebenso wie Archimedes wissen auch wir längst, dass man wiederholte Multiplikationen als Potenzen ausdrücken kann. Wenn wir die 2 dreimal mit sich selbst multiplizieren, können wir das als 2 hoch 3 schreiben. Und wenn wir auf der zweiten Seite die 2 viermal mit sich selbst multiplizieren, ist das 2 hoch 4. Wie viele Steine würde das Kind brauchen, um das gesamte Rechteck zu füllen? Um das herauszufinden, müssen wir den Flächeninhalt berechnen, indem wir die eine Seitenlänge mit der anderen multiplizieren. Dabei erhalten wir 2 hoch 3 mal 2 hoch 4. Um Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren, lösen wir sie zunächst auf. Das bedeutet, wir haben die 2, dreimal mit sich selbst multipliziert mal die 2, viermal mit sich selbst multipliziert. Wie viele Zweien macht das? Wir sehen, dass wir so die 2 sieben mal mit sich selbst multipliziert haben. Und das kann man als 2 hoch schreiben. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen den ursprünglichen Exponenten, 3 und 4, und dem neuen Exponenten 7 auf? Wenn wir die Exponenten 3 und 4 addieren, erhalten wir den Exponenten 7. Hm, interessant. Archimedes möchte diese Schlussfolgerung nutzen, um seinem Sandkornproblem noch weiter auf den Grund zu gehen. Er schätzt, dass die Sandmenge in seinem rechteckigen Garten 10 hoch 5 mal 10 hoch 3 Sandkörner beträgt. Lösen wir auch diese beiden Terme zunächst auf. Siehst du, dass wir die 10 achtmal mit sich selbst multiplizieren? Das kann man als 10 hoch 8 schreiben. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den ursprünglichen Exponenten 5 und 3 und dem neuen Exponenten 8? Wenn wir Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, können wir offenbar einfach ihre Exponenten addieren. Das führt uns zu einem wichtigen Potenzgesetz, der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Anhand der Muster, die wir untersucht haben, erkennen wir, dass wir beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten addieren können. Dieses Gesetz gilt für alle Zahlen und kann uns helfen, Ausdrücke zu vereinfachen. Was aber, wenn wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren wollen? Schauen wir uns mal den Bruch 3 hoch 5 geteilt durch 3 hoch 2 an. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, lösen wir den Zähler auf und den Nenner ebenfalls. Weißt du noch? Bei Brüchen können wir gemeinsame Teiler kürzen. Was bleibt dann noch übrig? Wir erhalten 3 hoch 3. Hast du eine Idee, woher der Exponent 3 gekommen ist? Die ursprünglichen Exponenten wurden subtrahiert. Probieren wir noch ein Beispiel, nur um sicherzugehen. Wir wäre es mit 8 hoch 6 geteilt durch 8. Denk dran: Jede Zahl kann als Potenz mit dem Exponenten 1 geschrieben werden. Wieder lösen wir die Potenzen auf und kürzen gemeinsame Teiler. Hält unsere Theorie vom Subtrahieren der Exponenten noch immer stand? Ja, wenn wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren subtrahieren wir ihre Exponenten. Dieses Gesetz der Division von Potenzen mit gleicher Basis ist eng mit dem Gesetz der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis verwandt. Auch dieses Gesetz gilt für alle Zahlen mit einer Ausnahme: Da wir mit Brüchen rechnen, darf 'x' nicht gleich Null sein. Wiederholen wir unsere Erkenntnisse: Das Gesetz der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis besagt: Wenn wir Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren wollen, addieren wir ihre Exponenten. Und das Gesetz der Division von Potenzen mit gleicher Basis besagt: Wenn wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren wollen, subtrahieren wir ihre Exponenten. Und nicht vergessen: Beim Divisionsgesetz muss die Basis ungleich Null sein. Mit diesem Wissen berechnet Archimedes, dass in unser Universum 10 hoch 51 Sandkörner passen würden. Das wäre eine Eins und dahinter Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null…

Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, wie du mit dem Produkt von Potenzen rechnen kannst.

    Tipps

    Die Potenz einer Zahl ist ein mehrfaches Produkt dieser Zahl mit sich selbst. Die Anzahl der Faktoren ist der Exponent der Potenz.

    In der Gleichung $3^2 = 9$ ist $3$ die Basis und $2$ der Exponent.

    Es gilt: $3^3 = (3 \cdot 3) \cdot 3 = 3^2 \cdot 3^1$, also $3^2 \cdot 3^1 = 3^{2+1}$.

    Lösung

    Die Potenz $x^m$ einer Zahl $x$ ist ein mehrfaches Produkt dieser Zahl $x$ mit sich selbst. Die Anzahl der Faktoren ist der Exponent $m$. Für $x=7$ und $m=4$ ist also:

    $x^m = 7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

    Wegen der Assoziativität der Multiplikation kannst du verschiedene dieser Faktoren zusammenfassen:

    $7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot 7 = 7^3 \cdot 7^1$

    Bei dieser Rechnung war es nicht besonders wichtig, dass wir also Basis $x=7$ und als Exponent $m=4$ gewählt haben. Im Allgemeinen gilt also für eine beliebige Basis $x$ und beliebige Exponenten $m$ und $n$:

    $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$

    In dem Bild oben ist $2^3 \cdot 2^4$ die Anzahl der Steine, die in das rechteckige Feld passen. Du kannst diese Anzahl mit dem Potenzgesetz berechnen:

    $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

    Rechnest du die Potenzen aus, so erhältst du:

    $ \begin{array}{rcl} 2^3 &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\ 2^4 &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \\ 2^7 &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \end{array} $

  • Bestimme die Ergebnisse.

    Tipps

    Der Quotient zweier Potenzen derselben Basis ist wieder eine Potenz dieser Basis.

    Der Exponent eines Quotienten von Potenzen ist nicht der Quotient der Exponenten.

    Es gilt: $\frac{5^4}{5^3} = 5^{4-3}$

    Lösung

    Das Potenzgesetz für die Multiplikation lautet:

    $ x^m \cdot x^n= x^{m+n}$

    Hierbei sind $x$, $m$ und $n$ beliebige Zahlen. Für die Division von Potenzen derselben Basis gilt:

    $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

    Hierbei muss $x \neq 0$ gelten, da du nicht durch 0 dividieren darfst. $m$ und $n$ sind dabei beliebige Zahlen.

    Mit diesen beiden Potenzgesetzen kannst du die zueinander gehörigen Seiten der Gleichungen bestimmen:

    • $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
    • $10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8$
    • $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3$
    • $\frac{8^6}{8} = \frac{8^6}{8^1} = 8^{6-1} = 8^5$
  • Ermittle die Ergebnisse.

    Tipps

    Verwende die Regel:

    $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

    Das Produkt von Potenzen derselben Basis ist wieder eine Potenz derselben Basis.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $\frac{3^7}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$

    Lösung

    Multiplizierst du zwei Potenzen derselben Basis, so erhältst du als Produkt wieder eine Potenz dieser Basis. Der Exponent des Produktes der Potenzen ist nicht etwa das Produkt, sondern die Summe der Exponenten:

    $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$

    Für die Division von Potenzen zur selben Basis gilt etwas Analoges: Der Quotient ist eine Potenz eben derselben Basis. Der Exponent des Quotienten ist die Differenz des Exponenten des Dividenden und des Divisors:

    $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

    Hier erhältst du folgende konkreten Rechnungen:

    • grün: $3^3 \cdot 3^7 = 3^{3+7} = 3^{10} = 3^{13-3}$
    • gelb: $7^3 \cdot 7^4 = 7^{3+4} = 7^7 = 7^{5+2}$
    • blau: $\frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 3^{11-8}$
    • violett: $\frac{7^9}{7^4} = 7^{9-4} = 7^5 = 7^{12-7}$
  • Bestimme die Potenzen.

    Tipps

    Der Exponent eines Quotienten von Potenzen ist die Differenz der Exponenten des Dividenden und des Divisors.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $\frac{4^7}{4^4} = 4^3 = 4^2 \cdot 4^1$

    Lösung

    Mit den Potenzgesetzen

    $ \begin{array}{rcl} x^{m+n} &=& x^m \cdot x^n \\ \frac{x^m}{x^n} &=& x^{m-n} \end{array} $

    kannst du jede konkrete Potenz einer Zahl in beliebig viele Produkte oder Quotienten von Potenzen derselben Zahl umformen. Zum Beispiel ist

    $2^4 = 2^{3+1} = 2^3 \cdot 2^1 = 2^{7-3} = \frac{2^7}{2^3}$ usw.

    Hier findest du folgende Zuordnungen:

    $3^8$:

    • $=3 \cdot 3^7$, denn $3 \cdot 3^7 = 3^1 \cdot 3^7 = 3^{1+7} = 3^8$.
    • $=\frac{3^{11}}{3^3}$, denn $\frac{3^{11}}{3^3} = 3^{11-3} = 3^8$.
    • $=3^3 \cdot 3^5$: Hier ist $3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$.
    $7^4$:
    • $= \frac{7^7}{7^3} = 7^{7-3} = 7^4$
    • $=\frac{7^5}{7} = 7^{5-1} = 7^4$
    • $=7^{1} \cdot 7^3 = 7^{1+3} = 7^4$
    $8^3$:
    • $=\frac{8^7}{8^4} = 8^{7-4} = 8^3$
    • $=8^2 \cdot 8 = 8^2 \cdot 8^1 = 8^{2+1} = 8^3$
    • $= \frac{8^8}{8^5} = 8^{8-5} = 8^3$
    $3^5$:
    • $=\frac{3^9}{3^4} = 3^{9-4} = 3^5$
    • $= 3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$
    • $=3 \cdot 3^3 \cdot 3 = 3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^1 = 3^{1+3+1} = 3^5$

  • Gib die korrekten Umformungen der Potenzen wieder.

    Tipps

    Die zweite Potenz einer Zahl $x$ ist das Ergebnis einer Multiplikation dieser Zahl $x$ mit sich selbst. Man schreibt dafür:

    $x^2 = x \cdot x$

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

    Lösung

    Eine Potenz ist eine Zahl der Form $x^m$. Hierbei heißt $x$ die Basis und $m$ der Exponent. Du kannst die Werte einer Potenz ausrechnen, indem du die Basis mehrfach mit sich selbst malnimmst. Die Anzahl der Faktoren ist durch den Exponenten vorgegeben. Es ist also $x^1 = x$ und $x^2 = x \cdot x$ sowie $x^3 = x \cdot x \cdot x$ usw.

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$: Dies entspricht genau der Definition der dritten Potenz.
    • $8^1 = 8$: Die erste Potenz jeder Zahl ist diese Zahl selbst.
    • $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$: Dies ist das allgemeine Potenzgesetz für die Multiplikation.
    Folgende Gleichungen sind falsch:

    • $x^m:x^n=x^{m:n}$: Bei dem Potenzgesetz der Division dividierst du die Exponenten nicht, sondern subtrahierst sie: $x^m:x^n=x^{m-n}$.
    • $3^5 \neq 3+3+3+3+3$: Die Potenz einer Zahl steht für eine mehrfache Multiplikation und nicht Addition der Zahl mit sich selbst. Hier ist $3^5 = 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \neq 15 = 3+3+3+3+3$.
    • $2 \cdot 2 \cdot 2 \neq 2^4$: Die linke Seite der Gleichung ist das dreifache Produkt der Zahl $2$ mit sich selbst und daher identisch mit $2^3$ und nicht mit $2^4$.
  • Begründe die Potenzgesetze.

    Tipps

    $x = \frac{a}{b}$ ist die eindeutige Lösung der Gleichung $b \cdot x = a$ (mit $b \neq 0$).

    Lösung

    Potenzgesetz für die Division

    Du kannst das Potenzgesetz für die Division von Potenzen derselben Basis durch Kürzen von Faktoren erklären. Denn jede Potenz ist ein mehrfaches Produkt der Basis mit sich selbst und aus einem Quotienten solcher Produkte kannst du genau so viele Faktoren kürzen, wie im Nenner vorhanden sind. Übrig bleiben im Zähler so viele Faktoren, wie die Differenz der Anzahl der Faktoren ausmacht. Das ist aber genau die Differenz der Exponenten.

    Mit anderen Worten: Der Exponent des Quotienten ist die Differenz der Exponenten des Dividenden und des Divisors. Im Beispiel bedeutet das:

    $\frac{7^6}{7^2} = 7^{6-2}$.

    Statt durch Kürzen kannst du die Division von Potenzen aber auch durch die Multiplikation von Potenzen erklären. Bei einer Division ist der Quotient die eindeutig bestimmte Zahl, mit der du den Divisor multiplizieren musst, um den Dividenden zurückzuerhalten. In dem Beispiel muss demnach gelten:

    $7^2 \cdot \frac{7^6}{7^2} = 7^6$.

    Mit dem Potenzgesetz für die Multiplikation findest du:

    $7^2 \cdot 7^4 =7^{2+4} = 7^6$.

    Daher ist $7^4$ dasselbe wie $\frac{7^6}{7^2}$.

    $~$

    Exponent $0$

    Aus dem Potenzgesetz der Multiplikation kannst du den Wert einer Potenz mit Exponent $0$ erschließen: Setzt du nämlich $0$ als Exponent in das Potenzgesetz ein, so erhältst du die folgende Rechnung:

    $7^6 \cdot 7^0 =7^{6+0} =7^6$.

    $7^0$ ist also eine Zahl, mit der du jede Potenz von $7$ multiplizieren kannst, ohne sie zu verändern. Die einzige solche Zahl ist $1$, das neutrale Element der Multiplikation.

    Es ist also $7^0=1$.

    Du kannst diese Gleichung auch mit einer Division überprüfen: Nach dem Potenzgesetz für die Division gilt einerseits:

    $\frac{7^5}{7^5} = 7^{5-5} = 7^0$.

    Anderseits erhältst du durch Kürzen:

    $\frac{7^5}{7^5} = 1$.

    $~$

    Potenzen mit negativem Exponenten

    Du kannst nun sogar Potenzen mit negativen Exponenten ausrechnen. Ihr Wert ist durch die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division eindeutig bestimmt:

    $7^{-1} \cdot 7^3 = 7^{(-1) + 3} = 7^2$.

    Nach dieser Rechnung ist $7^{-1}$ die eindeutig bestimmte Zahl $k$, die mit $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7$ multipliziert $7^2 = 7 \cdot 7$ ergibt. Es gilt also:

    $7^3 =7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot k = 7 \cdot 7 = 7^2 $.

    Das gilt aber nur, wenn $7 \cdot k =1$. Daher ist $k=\frac{1}{7}$:

    $k= \frac{1}{7} = 7^{-1}$.

    Der Wert einer Potenz mit negativem Exponenten ist daher stets der Kehrwert der Potenz zur selben Basis mit dem betragsgleichen positiven Exponenten.

    Setzt du nun noch weitere negative Exponenten ein, so findest du ein weiteres interessantes Potenzgesetz: Für die Basis $7$ und den Exponenten $-4$ findest du durch das Potenzgesetz der Addition:

    $7^{-4} = 7^{(-1)+(-1)+(-1)+(-1)} = 7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1}$.

    Hier kannst du $7^{-1} =\frac{1}{7}$ einsetzen und erhältst:

    $7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \left(\frac{1}{7}\right)^4 = \frac{1}{7^4}$.

    Statt die Potenz im Nenner auszurechnen, kannst du auch $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ wieder einsetzen und erhältst so:

    $\left(\frac{1}{7}\right)^4 = \left(7^{-1}\right)^4$.

    Zusammengefasst ist das also:

    $7^{-4} = \left(7^{-1}\right)^4$.

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