Standardabweichung
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Grundlagen zum Thema Standardabweichung
Spannweite, Standardabweichung und Varianz
Wenn Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler Experimente durchführen, wiederholen sie diese oft viele Male, um sie statistisch analysieren zu können. Eine solche Reihe von Experimenten nennt man auch eine Messreihe. Jede Messreihe hat die Messergebnisse $x_i$ mit einem Mittelwert $\bar{x}$. Neben dem Mittelwert ist auch die Streuung der Messergebnisse eine wichtige Größe, mit der Daten analysiert werden können. Sie gibt an, wie nahe beisammen oder weit auseinander die Messwerte liegen. Dafür nutzen wir in der Mathematik unter anderem die drei Streuungsparameter Spannweite, Varianz und Standardabweichung.
Die Spannweite
Das Streuungsmaß Spannweite $R$ ist nichts anderes als der Abstand zwischen dem niedrigsten und dem höchsten Messwert einer Verteilung bzw. Stichprobe von Messwerten.
Die Spannweite ist:
$R = x_{max} - x_{min}$
Die Spannweite $R$ wird auch Range oder Variationsbreite genannt.
Die Varianz und die Standardabweichung
Die Streuungsmaße Varianz und Standardabweichung beschreiben die Streuung der Messwerte um den Mittelwert. Wir müssen also zunächst den Mittelwert $\bar{x}$ berechnen, indem wir alle Messwerte addieren und die Summe durch die Anzahl der Werte teilen.
Die Varianz
Die Varianz beschreibt die quadrierte durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Mittelwert (auch mittlere quadratische Abweichung).
Meist wird für die Varianz der Messwerte $x_i$ die Bezeichnung $\text{Var}(x)$ verwendet.
Die Formel für die Varianz ist:
$\text{Var}(x) = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{n} {(x_i - \bar{x})}^2}{n}$
mit $n =$ Zahl der Messungen, $\bar{x} =$ Mittelwert, $x_{i} =$ einzelner Messwert.
Das Quadrieren der Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert $x_i - \bar{x}$ hat dabei zwei wesentliche Effekte:
- Alle Abweichungen gehen positiv in die Varianz ein, unabhängig davon, ob ein Messwert unter oder über dem Mittelwert liegt.
Es ist daher auch möglich in der Formel $\bar{x} - x_i$ zu schreiben, da gilt: ${(x_i - \bar{x})^2 = (\bar{x} - x_i)^2}$ - Messwerte, die besonders weit vom Mittelwert entfernt sind, werden stärker gewichtet als solche, die nahe am Mittelwert liegen, was die Varianz besonders sensibel gegenüber Ausreißern macht.
Die Standardabweichung
Die Standardabweichung $\sigma$ ist das wichtigste Streuungsmaß in der Statistik. Sie ist ein Maß für die mittlere Abweichung der gemessenen Werte $x_i$ einer Variablen vom Mittelwert $\bar{x}$. Sie entspricht der Wurzel der Varianz.
Die Formel für die Standardabweichung ist:
$\sigma = \sqrt{\text{Var}(x)}$
mit der Varianz $\text{Var}(x)$.
Anstatt $\sigma$ wird als Symbol für die Standardabweichung auch $SD(x)$ oder $s$ verwendet.
Interpretation von Varianz und Standardabweichung
Um zu verstehen, wie Varianz und Standardabweichung interpretiert werden können, betrachten wir ein Beispiel.
Alisa und Iwan haben eine Woche lang jeden Tag notiert, wie viele Minuten sie ihr Smartphone nutzen.
$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c} & \text{Mo} & \text{Di} & \text{Mi} & \text{Do} & \text{Fr} & \text{Sa} & \text{So} \\ \hline \text{Alisa} & 120 & 70 & 85 & 110 & 130 & 95 & 90 \\ \hline \text{Iwan} & 60 & 35 & 40 & 70 & 50 & 240 & 205 \end{array}$
Wir berechnen zunächst für beide den Mittelwert, also wie viele Minuten sie ihr Smartphone täglich durchschnittlich nutzen:
- $\bar{x}_{\text{Alisa}} = \dfrac{120 + 70 + 85 + 110 + 130 + 95 + 90}{7} = \dfrac{700}{7} = 100$
- $\bar{x}_{\text{Iwan}} = \dfrac{60 + 35 + 40 + 70 + 50 + 240 + 205}{7} = \dfrac{700}{7} = 100$
Damit können wir Varianz und Standardabweichung bestimmen.
Alisa:
$\begin{array}{rl} \text{Var}(x) =& \large \frac{(120 - 100)^2 + (70 - 100)^2 + (85 - 100)^2 + (110 - 100)^2 + (130 - 100)^2 + (95 - 100)^2 + (90 - 100)^2}{7} \\ \\ =& \large \frac{400 ~+~ 900 ~+~ 225 ~+~ 100 ~+~ 900 ~+~ 25 ~+~ 100}{7} \\ \\ =& \large \frac{2650}{7} \\ \\ \approx& 378{,}6 \end{array}$
$~$
$\sigma = \sqrt{\large \frac{2650}{7}} \approx 19{,}5$
Iwan:
${\begin{array}{rl} \text{Var}(x) =& \large \frac{(60 - 100)^2 + (35 - 100)^2 + (40 - 100)^2 + (70 - 100)^2 + (50 - 100)^2 + (240 - 100)^2 + (205 - 100)^2}{7} \\ \\ =& \large \frac{1600 ~+~ 4225 ~+~ 3600 ~+~ 900 ~+~ 2500 ~+~ 19\,600 ~+~ 11\,025}{7} \\ \\ =& \large \frac{43\,450}{7} \\ \\ \approx& 6207{,}1 \end{array}}$
$~$
$\sigma = \sqrt{\large \frac{43\,450}{7}} \approx 78{,}8$
Wie können wir diese Werte interpretieren?
Obwohl Alisa und Iwan beide in der Woche durchschnittlich $100$ Minuten täglich ihr Smartphone genutzt haben, fällt auf, dass Alisa ihr Gerät die gesamte Woche über relativ gleichmäßig genutzt hat. Im Gegensatz dazu hat Iwan sein Smartphone unter der Woche deutlich weniger lang genutzt als am Wochenende. Diese sehr ungleichmäßige Verteilung der Nutzungszeiten zeigt sich auch in den deutlich höheren Werten der Varianz und Standardabweichung der Daten von Iwan im Vergleich zu Alisa.
Varianz und Standardabweichung von Zufallsgrößen
Varianz und Standardabweichung sind auch bei der Betrachtung von Zufallsgrößen wichtige Kenngrößen für die Streuung einer Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert $E(X)$. (manchmal auch $\mu$).
Dabei gelten die folgenden Formeln:
$\text{Var}(x) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$
mit $x_i = $ Ausprägungen der Zufallsgröße $X$, $p_i = P(X = x_i)$ und $\mu = E(X)$ (Erwartungswert).
$\sigma = \sqrt{\text{Var}(x)}$
Für Zufallsgrößen mit einer speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilung können Varianz und Standardabweichung aus wenigen Kenngrößen berechnet werden oder sind standardisiert.
-
Binomialverteilung:
$~\rightarrow~$ $\text{Var}(x) = n \cdot p \cdot (1 - p); \quad$ $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ - Standardnormalverteilung:
$~\rightarrow~$ $\mu = 0; \quad$ $\sigma = 1$
Bei diesen Verteilungen können anhand der Standardabweichung unter bestimmten Voraussetzungen auch Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten getroffen werden. Dazu werden die sogenannten Sigma-Regeln verwendet.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Spannweite, Standardabweichung und Varianz
Transkript Standardabweichung
Der Unternehmer Cliff möchte ein eigenes Basketballteam auf die Beine stellen. Er liebt Zahlen und plant Dinge immer ganz genau, darum hasst er es, wenn etwas nicht wie erwartet läuft. In seinem Team möchte er keine Spieler haben, die mal Traumleistungen abliefern und mal miserabel sind, sondern lieber Spieler, die alle auf konstantem Niveau spielen. Um die Meisterschaft zu gewinnen, will Cliff mithilfe der Standardabweichung die Leistung der Spieler bewerten, und dann die passenden für sein Team auswählen. Eine verlässliche Quelle in einer Sport-Kneipe hat Cliff die Profile mehrerer Spieler besorgt. So besitzt er nun Tabellen, in denen die Punkte eingetragen sind, die diese Spieler in ihren letzten fünf Spielen erzielt haben. Schauen wir uns an, wie man für die Punktzahlen jedes Spielers die Standardabweichung berechnet. Die Standardabweichung ist eine Größe, die angibt, wie sehr die einzelnen Werte aus einem Datensatz mit n Elementen durchschnittlich vom Mittelwert des Datensatzes abweichen. Das Symbol für die Standardabweichung ist das Sigma, ein griechischer Kleinbuchstabe, der SO aussieht. Und die Formel für die Standardabweichung lautet wie folgt: Die Wurzel des Mittelwerts der Quadrate der Differenzen zwischen jedem einzelnen Element des Datensatzes und dem Mittelwert des Datensatzes. Jetzt können wir die Standardabweichung der Leistungen des ersten Spielers, Martin McTry, berechnen. Das hier sind seine letzten Ergebnisse. Da wir die Punktwerte für fünf Spiele kennen, ist n gleich 5. Denk dran: Den Mittelwert des Datensatzes berechnest du, indem du alle Werte des Datensatzes addierst und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte teilst. Wir addieren also die Punkte aller Spiele dieses Spielers und teilen das Ergebnis durch 5. Martin McTry hat in seinen letzten fünf Spielen im Durchschnitt 20 Punkte gemacht. Jetzt kennen wir also den Mittelwert und können damit die Standardabweichung von McTrys erzielten Punkten berechnen. Dafür setzen wir einfach n = 5 ein und den Mittelwert des Datensatzes, also 20, und subtrahieren davon jeden der Punktwerte x1 bis x5. Wir rechnen die Klammern aus, quadrieren, addieren und ziehen zuletzt die Wurzel aus 38 Fünfteln. So erhalten wir gerundet 2,757. Wenn wir die Punkte, die Martin McTry in den letzten 5 Spielen erzielt hat, in ein Schaubild eintragen, können wir den Mittelwert und die Standardabweichung besser erkennen. Der Mittelwert entspricht dieser Geraden, die überall den y-Wert 20 besitzt. Zeichnen wir oberhalb und unterhalb dieser Geraden nun jeweils Streifen ein, deren Breite der Standardabweichung entspricht, dann liegen die meisten Punkte innerhalb des Streifens. Je breiter dieser Streifen ist, desto mehr weichen die einzelnen Resultate im Durchschnitt vom Mittelwert ab. Ist er schmaler, liegen die einzelnen Ergebnisse näher am Mittelwert. Der zweite Spieler, den Cliff sich anschaut, ist Lance Layton. Seine Punktetabelle sieht so aus. Auch für Layton liegen die Punktwerte von fünf Spielen vor, n ist also wieder gleich 5. Nun brauchen wir den Mittelwert der Punktetabelle, also addieren wir alle Punktwerte und teilen das Ergebnis durch 5. Lance Layton hat in seinen letzten fünf Spielen ebenfalls im Durchschnitt 20 Punkte erzielt. Schauen wir mal, ob seine Standardabweichung so gering ist wie die von Martin McTry. Wir setzen n=5 in die Formel für die Standardabweichung ein, außerdem auch den Mittelwert von 20 und die Punktwerte x1 bis x5. Das rechnen wir wieder aus. Und ziehen zum Schluss die Wurzel aus 336 Fünfteln. So erhalten wir gerundet 8,198. Auch für Lance Layton können wir die Resultate in ein Schaubild übertragen. Der Mittelwert ist wieder eine Gerade, die überall den y-Wert 20 besitzt. Die Streifen für die Standardabweichungen sehen so aus – ganz schön breit! Wieder liegen die meisten Resultate innerhalb dieses Streifens. Der Vergleich von Martin McTrys und Lance Laytons Ergebnissen zeigt, dass beide in den letzten fünf Spielen im Durchschnitt 20 Punkte erzielt haben. Mit einer Standardabweichung von 2,757 zeigt Martin McTry aber eine weitaus konstantere Leistung als Lance Layton mit seiner Standardabweichung von 8,198. Wir können auch die beiden Schaubilder miteinander vergleichen. Hier sehen wir auf einen Blick, dass die Mittelwerte der beiden Spieler gleich sind: Aber Martins Streifen ist deutlich schmaler als der von Lance. Auch das bedeutet: Martin hat eine viel konstantere Leistung gebracht als Lance, dessen Resultate deutlich stärker schwanken. Nachdem Cliff für jeden Spieler dessen Standardabweichung berechnet hat, kann er sein Team zusammenstellen. Cliff ist schon ganz aufgeregt – die Meisterschaft kann kommen! Von wegen verlässliche Quelle. Wahrscheinlich waren das ihre Ergebnisse beim Mensch ärgere dich nicht.
Standardabweichung Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zur Standardabweichung.
TippsDer Mittelwert wird oft auch Durchschnitt genannt.
Die Formel für die Standardabweichung lautet:
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Den Mittelwert eines Datensatzes berechnest du, indem du die einzelnen Werte multiplizierst und durch die Anzahl der Werte teilst.“
- Bei der Berechnung des Mittelwertes eines Datensatzes musst du die einzelnen Werte addieren und diese Summe dann durch die Anzahl der Werte teilen.
- Zwei Datensätze mit identischem Mittelwert können unterschiedliche Standardabweichungen haben. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung eines Datensatzes. Sie beschreibt also, wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.
„Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Werte eines Datensatzes durchschnittlich vom Mittelwert abweichen.“
„Die Standardabweichung wird mit dem griechischen Buchstaben $\sigma$ bezeichnet.“
„Je größer die Standardabweichung ist, desto stärker weichen die einzelnen Werte eines Datensatzes vom Mittelwert ab.“
- Die obigen drei Aussagen beschreiben die Standardabweichung korrekt.
-
Berechne die Standardabweichung.
TippsDa in der Formel der Standardabweichung der Mittelwert enthalten ist, musst du diesen Wert zuerst berechnen.
Die Formel der Standardabweichung ist recht lang. Es kann helfen, Teile der Formel zuerst einzeln auszurechnen und anschließend einzusetzen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Bevor wir die Standardabweichung bestimmen können, benötigen wir den Mittelwert des betrachteten Datensatzes. Dieser berechnet sich durch:
$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.
Hier bezeichnet $n$ die Anzahl der Werte des Datensatzes. Wir erhalten:
$\bar{x}=\dfrac{21+18+16+24+21}{5}=20$.“
- Da in der Formel der Standardabweichung der Mittelwert enthalten ist, musst du diesen zuerst ausrechnen.
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.
Bei der Berechnung können wir Schritt für Schritt vorgehen. Beginnen wir mit den Abweichungen der Werte vom Mittelwert:
$\bar{x}-x_1=20-21=-1$,
$\bar{x}-x_2=20-18=2$,
$\bar{x}-x_3=20-16=4$,
$\bar{x}-x_4=20-24=-4$ und
$\bar{x}-x_5=20-21=-1$.“
- Die Formel der Standardabweichung ist recht lang. Es kann helfen, Teile der Formel zuerst einzeln auszurechnen und anschließend einzusetzen.
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(-1)^2+2^2+4^2+(-4)^2+(-1)^2}{5}}\approx 2,757$.“
-
Ermittle die Standardabweichung des Datensatzes.
TippsDen Mittelwert berechnest du durch:
$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.
Es kann helfen, zuerst die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert zu bestimmen und diese anschließend in die Formel der Standardabweichung einzusetzen. Die Standardabweichung berechnest du mit folgender Formel:
- $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} $.
LösungDu kannst die beiden Werte wie folgt bestimmen.
Mittelwert:
$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\dfrac{51+62+51+60+56}{5}=56$
Nun berechnen wir damit die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert.
$\bar{x}-x_1=56-56=0$
$\bar{x}-x_2=56-51=5$
$\bar{x}-x_3=56-60=-4$
$\bar{x}-x_4=56-62=-6$
$\bar{x}-x_5=56-51=5$
Damit können wir nun die Standardabweichung wie folgt ermitteln:
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{5^2+(-4)^2+(-6)^2+5^2}{5}} \approx 4,52$.
-
Ermittle, welches Diagramm zu welcher Standardabweichung gehört.
TippsDu kannst die Diagramme zuordnen, indem du den Mittelwert und die Standardabweichung der Datensätze bestimmst und anschließend mit den Zahlen aus dem Diagramm vergleichst.
LösungDu kannst die Diagramme zuordnen, indem du den Mittelwert und die Standardabweichung der Datensätze bestimmst und anschließend mit den Zahlen aus dem Diagramm vergleichst.
Den Mittelwert der ersten Tabelle berechnest du durch:
$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\dfrac{12+14+15+11+17}{5}=13,8$.
Berechnen wir damit zunächst die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert.
$\bar{x}-x_1=1,8$
$\bar{x}-x_2=-0,2$
$\bar{x}-x_3=-1,2$
$\bar{x}-x_4=2,8$
$\bar{x}-x_5=-3,2$
Das können wir in die Formel der Standardabweichung einsetzen:
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{1,8^2+(-0,2)^2+(-1,2)^2+2,8^2+(-3,2)^2}{5}} \approx 2,14$.
Für die anderen Datensätze kannst du Mittelwert und Standardabweichung genauso bestimmen. Dann erhältst du:
- Zweite Tabelle: $~ \bar{x}=20$; $~\sigma \approx 3,16$,
- Dritte Tabelle: $~ \bar{x}=10$; $~\sigma \approx 0,63$ und
- Vierte Tabelle: $~ \bar{x}=21,8$; $~\sigma \approx 1,72$.
-
Berechne die Standardabweichung.
TippsDen Mittelwert $\bar{x}$ kannst du entweder aus der Formel der Standardabweichung ablesen (jeder Summand $(\bar{x}-x_i)^2$ enthält den Mittelwert) oder durch die Werte aus der Tabelle bestimmen.
Die Größe $n$ beschreibt die Anzahl der Werte des Datensatzes. Diese Anzahl kannst du mithilfe der Tabelle ermitteln.
In die Formel der Standardabweichung kannst du die Werte aus der Tabelle einsetzen. Die Reihenfolge der quadrierten Summanden ist dabei nicht relevant.
LösungSo kannst du die Lücken füllen:
- Den Mittelwert $\bar{x}$ kannst du entweder aus der Formel der Standardabweichung ablesen (jeder Summand $(\bar{x}-x_i)^2$ enthält den Mittelwert) oder durch die Werte aus der Tabelle bestimmen.
- Die Größe $n$ beschreibt die Anzahl der Werte des Datensatzes. Diese Anzahl kannst du mithilfe der Tabelle ermitteln. Der hier betrachtete Datensatz enthält $n=5$ Werte.
- In die Formel der Standardabweichung kannst du die Werte aus der Tabelle einsetzen. Die Reihenfolge der quadrierten Summanden ist dabei nicht relevant. Wir können zunächst die Abweichungen der Werte vom Mittelwert berechnen.
$\bar{x}-x_2=20-31=-11$
$\bar{x}-x_3=20-10=10$
$\bar{x}-x_4=20-25=-5$
$\bar{x}-x_5=20-11=9$
- Hast du alle Werte in die Formel der Standardabweichung eingesetzt, kannst du einen gerundeten Wert bestimmen.
-
Ermittle, welche Aussagen zur Standardabweichung korrekt sind.
TippsDas ist die Formel der Standardabweichung:
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.
LösungMit der Formel der Standardabweichung und einigen Überlegungen können wir bestimmen, welche Aussagen richtig sind. Die Formel für die Standardabweichung lautet wie folgt:
$\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.
Diese Aussagen sind falsch.
„Betrachtest du zwei beliebige Datensätze mit unterschiedlicher Anzahl der Werte $n$, dann hat immer der Datensatz mit größerem $n$ die kleinere Standardabweichung.“
- In der Formel der Standardabweichung wird zwar durch $n$ geteilt, also ist es korrekt, dass ein größeres $n$ zu einer kleineren Standardabweichung führt. Allerdings beeinflussen die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert die Standardabweichung ebenso. Es kann also keine generelle Aussage getroffen werden, dass ein größeres $n$ immer zu einer kleineren Standardabweichung führt.
- Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Werte durchschnittlich vom Mittelwert abweichen. Der Mittelwert gibt an, wie groß die Werte des Datensatzes durchschnittlich sind.
„Kennst du nur den Mittelwert $\bar{x}$ eines Datensatzes, kannst du keine Aussage über die Standardabweichung treffen.“
- Aus obiger Formel kannst du ablesen, dass du alle Werte des Datensatzes benötigst, um die Standardabweichung zu berechnen. Der Mittelwert allein reicht nicht aus.
- So kann man die Formel in Worten ausdrücken.
- Sind die einzelnen Abweichungen der Werte von ihrem jeweiligen Mittelwert sowie die Anzahl der Werte zweier Datensätze gleich, müssen sie laut Formel dieselbe Standardabweichung besitzen.
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