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Standardabweichung 06:06 min

Textversion des Videos

Transkript Standardabweichung

Der Unternehmer Cliff möchte ein eigenes Basketballteam auf die Beine stellen. Er liebt Zahlen und plant Dinge immer ganz genau, darum hasst er es, wenn etwas nicht wie erwartet läuft. In seinem Team möchte er keine Spieler haben, die mal Traumleistungen abliefern und mal miserabel sind, sondern lieber Spieler, die alle auf konstantem Niveau spielen. Um die Meisterschaft zu gewinnen, will Cliff mithilfe der Standardabweichung die Leistung der Spieler bewerten, und dann die passenden für sein Team auswählen. Eine verlässliche Quelle in einer Sport-Kneipe hat Cliff die Profile mehrerer Spieler besorgt. So besitzt er nun Tabellen, in denen die Punkte eingetragen sind, die diese Spieler in ihren letzten fünf Spielen erzielt haben. Schauen wir uns an, wie man für die Punktzahlen jedes Spielers die Standardabweichung berechnet. Die Standardabweichung ist eine Größe, die angibt, wie sehr die einzelnen Werte aus einem Datensatz mit n Elementen durchschnittlich vom Mittelwert des Datensatzes abweichen. Das Symbol für die Standardabweichung ist das Sigma, ein griechischer Kleinbuchstabe, der SO aussieht. Und die Formel für die Standardabweichung lautet wie folgt: Die Wurzel des Mittelwerts der Quadrate der Differenzen zwischen jedem einzelnen Element des Datensatzes und dem Mittelwert des Datensatzes. Jetzt können wir die Standardabweichung der Leistungen des ersten Spielers, Martin McTry, berechnen. Das hier sind seine letzten Ergebnisse. Da wir die Punktwerte für fünf Spiele kennen, ist n gleich 5. Denk dran: Den Mittelwert des Datensatzes berechnest du, indem du alle Werte des Datensatzes addierst und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte teilst. Wir addieren also die Punkte aller Spiele dieses Spielers und teilen das Ergebnis durch 5. Martin McTry hat in seinen letzten fünf Spielen im Durchschnitt 20 Punkte gemacht. Jetzt kennen wir also den Mittelwert und können damit die Standardabweichung von McTrys erzielten Punkten berechnen. Dafür setzen wir einfach n = 5 ein und den Mittelwert des Datensatzes, also 20, und subtrahieren davon jeden der Punktwerte x1 bis x5. Wir rechnen die Klammern aus, quadrieren, addieren und ziehen zuletzt die Wurzel aus 38 Fünfteln. So erhalten wir gerundet 2,757. Wenn wir die Punkte, die Martin McTry in den letzten 5 Spielen erzielt hat, in ein Schaubild eintragen, können wir den Mittelwert und die Standardabweichung besser erkennen. Der Mittelwert entspricht dieser Geraden, die überall den y-Wert 20 besitzt. Zeichnen wir oberhalb und unterhalb dieser Geraden nun jeweils Streifen ein, deren Breite der Standardabweichung entspricht, dann liegen die meisten Punkte innerhalb des Streifens. Je breiter dieser Streifen ist, desto mehr weichen die einzelnen Resultate im Durchschnitt vom Mittelwert ab. Ist er schmaler, liegen die einzelnen Ergebnisse näher am Mittelwert. Der zweite Spieler, den Cliff sich anschaut, ist Lance Layton. Seine Punktetabelle sieht so aus. Auch für Layton liegen die Punktwerte von fünf Spielen vor, n ist also wieder gleich 5. Nun brauchen wir den Mittelwert der Punktetabelle, also addieren wir alle Punktwerte und teilen das Ergebnis durch 5. Lance Layton hat in seinen letzten fünf Spielen ebenfalls im Durchschnitt 20 Punkte erzielt. Schauen wir mal, ob seine Standardabweichung so gering ist wie die von Martin McTry. Wir setzen n=5 in die Formel für die Standardabweichung ein, außerdem auch den Mittelwert von 20 und die Punktwerte x1 bis x5. Das rechnen wir wieder aus. Und ziehen zum Schluss die Wurzel aus 336 Fünfteln. So erhalten wir gerundet 8,198. Auch für Lance Layton können wir die Resultate in ein Schaubild übertragen. Der Mittelwert ist wieder eine Gerade, die überall den y-Wert 20 besitzt. Die Streifen für die Standardabweichungen sehen so aus – ganz schön breit! Wieder liegen die meisten Resultate innerhalb dieses Streifens. Der Vergleich von Martin McTrys und Lance Laytons Ergebnissen zeigt, dass beide in den letzten fünf Spielen im Durchschnitt 20 Punkte erzielt haben. Mit einer Standardabweichung von 2,757 zeigt Martin McTry aber eine weitaus konstantere Leistung als Lance Layton mit seiner Standardabweichung von 8,198. Wir können auch die beiden Schaubilder miteinander vergleichen. Hier sehen wir auf einen Blick, dass die Mittelwerte der beiden Spieler gleich sind: Aber Martins Streifen ist deutlich schmaler als der von Lance. Auch das bedeutet: Martin hat eine viel konstantere Leistung gebracht als Lance, dessen Resultate deutlich stärker schwanken. Nachdem Cliff für jeden Spieler dessen Standardabweichung berechnet hat, kann er sein Team zusammenstellen. Cliff ist schon ganz aufgeregt – die Meisterschaft kann kommen! Von wegen verlässliche Quelle. Wahrscheinlich waren das ihre Ergebnisse beim Mensch ärgere dich nicht.

Standardabweichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Standardabweichung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Standardabweichung.

    Tipps

    Der Mittelwert wird oft auch Durchschnitt genannt.

    Die Formel für die Standardabweichung lautet:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Den Mittelwert eines Datensatzes berechnest du, indem du die einzelnen Werte multiplizierst und durch die Anzahl der Werte teilst.“

    • Bei der Berechnung des Mittelwertes eines Datensatzes musst du die einzelnen Werte addieren und diese Summe dann durch die Anzahl der Werte teilen.
    „Ist der Mittelwert zweier Datensätze identisch, besitzen diese auch dieselbe Standardabweichung.“

    • Zwei Datensätze mit identischem Mittelwert können unterschiedliche Standardabweichungen haben. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung eines Datensatzes, sie beschreibt also, wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Werte eines Datensatzes durchschnittlich vom Mittelwert abweichen.“

    „Die Standardabweichung wird mit dem griechischen Buchstaben $\sigma$ bezeichnet.“

    „Je größer die Standardabweichung ist, desto stärker weichen die einzelnen Werte eines Datensatzes vom Mittelwert ab.“

    • Die obigen drei Aussagen beschreiben die Standardabweichung korrekt.
  • Berechne die Standardabweichung.

    Tipps

    Den Mittelwert $\bar{x}$ kannst du entweder aus der Formel der Standardabweichung ablesen (jeder Summand $(\bar{x}-x_i)^2$ enthält den Mittelwert) oder durch die Werte aus der Tabelle bestimmen.

    Die Größe $n$ beschreibt die Anzahl der Werte des Datensatzes. Diese Anzahl kannst du mit Hilfe der Tabelle ermitteln.

    In die Formel der Standardabweichung kannst du die Werte aus der Tabelle einsetzen. Die Reihenfolge der quadrierten Summanden ist dabei nicht relevant.

    Lösung

    So kannst du die Lücken füllen:

    • Den Mittelwert $\bar{x}$ kannst du entweder aus der Formel der Standardabweichung ablesen (jeder Summand $(\bar{x}-x_i)^2$ enthält den Mittelwert) oder durch die Werte aus der Tabelle bestimmen.
    • Die Größe $n$ beschreibt die Anzahl der Werte des Datensatzes. Diese Anzahl kannst du mit Hilfe der Tabelle ermitteln. Der hier betrachtete Datensatz enthält $n=5$ Werte.
    • In die Formel der Standardabweichung kannst du die Werte aus der Tabelle einsetzen. Die Reihenfolge der quadrierten Summanden ist dabei nicht relevant. Wir können zunächst die Abweichungen der Werte vom Mittelwert berechnen.
    $\bar{x}-x_1=20-23=-3$

    $\bar{x}-x_2=20-31=-11$

    $\bar{x}-x_3=20-10=10$

    $\bar{x}-x_4=20-25=-5$

    $\bar{x}-x_5=20-11=9$

    • Hast du alle Werte in die Formel der Standardabweichung eingesetzt, kannst du einen gerundeten Wert bestimmen.
    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(-3)^2+(-11)^2+10^2+(-5)^2+9^2}{5}}\approx 8,2$
  • Berechne die Standardabweichung.

    Tipps

    Da in der Formel der Standardabweichung der Mittelwert enthalten ist, musst du diesen zuerst berechnen.

    Die Formel der Standardabweichung ist recht lang. Es kann helfen, Teile der Formel zuerst einzeln auszurechnen und anschließend einzusetzen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Bevor wir die Standardabweichung bestimmen können, benötigen wir den Mittelwert des betrachteten Datensatzes. Dieser berechnet sich durch:

    $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

    Hier bezeichnet $n$, die Anzahl der Werte des Datensatzes. Wir erhalten:

    $\bar{x}=\dfrac{21+18+16+24+21}{5}=20$.“

    • Da in der Formel der Standardabweichung der Mittelwert enthalten ist, musst du diesen zuerst ausrechnen.
    „Damit können wir die Standardabweichung bestimmen. Diese berechnen wir durch:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

    Bei der Berechnung können wir Schritt für Schritt vorgehen. Beginnen wir mit den Abweichungen der Werte vom Mittelwert:

    $\bar{x}-x_1=20-21=-1$,

    $\bar{x}-x_2=20-18=2$,

    $\bar{x}-x_3=20-16=4$,

    $\bar{x}-x_4=20-24=-4$ und

    $\bar{x}-x_5=20-21=-1$.“

    • Die Formel der Standardabweichung ist recht lang. Es kann helfen, Teile der Formel zuerst einzeln auszurechnen und anschließend einzusetzen.
    „Anschließend setzen wir diese Werte in unsere Formel ein:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(-1)^2+2^2+4^2+(-4)^2+(-1)^2}{5}}\approx 2,757$.“

  • Ermittle, welche Aussagen zur Standardabweichung korrekt sind.

    Tipps

    Das ist die Formel der Standardabweichung:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

    Lösung

    Mit der Formel der Standardabweichung und einigen Überlegungen können wir bestimmen, welche Aussagen richtig sind. Die Formel für die Standardabweichung lautet wie folgt:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Betrachtest du zwei beliebige Datensätze mit unterschiedlicher Anzahl der Werte $n$, dann hat immer der Datensatz mit größerem $n$ die kleinere Standardabweichung.“

    • In der Formel der Standardabweichung wird zwar durch $n$ geteilt, also ist es korrekt, dass ein größeres $n$ zu einer kleineren Standardabweichung führt. Allerdings beeinflussen die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert die Standardabweichung ebenso. Es kann also keine generelle Aussage getroffen werden, dass ein größeres $n$ immer zu einer kleineren Standardabweichung führt.
    „Die Standardabweichung gibt an, wie groß die Werte des Datensatzes durchschnittlich sind.“

    • Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Werte durchschnittlich vom Mittelwert abweichen. Der Mittelwert gibt an, wie groß die Werte des Datensatzes durchschnittlich sind.
    Diese Aussagen sind richtig.

    „Kennst du nur den Mittelwert $\bar{x}$ eines Datensatzes, kannst du keine Aussage über die Standardabweichung treffen.“

    • Aus obiger Formel kannst du ablesen, dass du alle Werte des Datensatzes benötigst, um die Standardabweichung zu berechnen. Der Mittelwert allein reicht nicht aus.
    „Die Standardabweichung ist die Wurzel der durchschnittlichen quadrierten Abweichung der Messwerte vom Mittelwert.“

    • So kann man die Formel in Worten ausdrücken.
    „Zwei gleich große Datensätze $x_i$ und $y_i$ besitzen zwei unterschiedliche Mittelwerte. Die einzelnen Werte weichen jedoch jeweils genau gleich von ihrem jeweiligen Mittelwert ab (also gilt für alle Werte $\bar{x}-x_i =\bar{y}-y_i$). Dann haben diese Datensätze die gleiche Standardabweichung.“

    • Sind die einzelnen Abweichungen der Werte von ihrem jeweiligen Mittelwert sowie die Anzahl der Werte zweier Datensätze gleich, müssen sie laut Formel dieselbe Standardabweichung besitzen.
  • Ermittle die Standardabweichung des Datensatzes.

    Tipps

    Den Mittelwert berechnest du durch:

    $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

    Es kann helfen, zuerst die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert zu bestimmen und diese anschließend in die Formel der Standardabweichung einzusetzen. Die Standardabweichung berechnest du mit folgender Formel:

    • $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} $.
    Lösung

    Du kannst die beiden Werte wie folgt bestimmen.

    Mittelwert:

    $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\dfrac{51+62+51+60+56}{5}=56$

    Nun berechnen wir damit die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert.

    $\bar{x}-x_1=56-56=0$

    $\bar{x}-x_2=56-51=5$

    $\bar{x}-x_3=56-60=-4$

    $\bar{x}-x_4=56-62=-6$

    $\bar{x}-x_5=56-51=5$

    Damit können wir nun die Standardabweichung wie folgt ermitteln:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{5^2+(-4)^2+(-6)^2+5^2}{5}} \approx 4,52$.

  • Ermittle, welches Diagramm zu welcher Standardabweichung gehört.

    Tipps

    Du kannst die Diagramme zuordnen, indem du den Mittelwert und die Standardabweichung der Datensätze bestimmst und anschließend mit den Zahlen aus dem Diagramm vergleichst.

    Lösung

    Du kannst die Diagramme zuordnen, indem du den Mittelwert und die Standardabweichung der Datensätze bestimmst und anschließend mit den Zahlen aus dem Diagramm vergleichst.

    Den Mittelwert der ersten Tabelle berechnest du durch:

    $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\dfrac{12+14+15+11+17}{5}=13,8$.

    Berechnen wir damit zunächst die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert.

    $\bar{x}-x_1=1,8$

    $\bar{x}-x_2=-0,2$

    $\bar{x}-x_3=-1,2$

    $\bar{x}-x_4=2,8$

    $\bar{x}-x_5=-3,2$

    Das können wir in die Formel der Standardabweichung einsetzen:

    $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{1,8^2+(-0,2)^2+(-1,2)^2+2,8^2+(-3,2)^2}{5}} \approx 2,14$.

    Für die anderen Datensätze kannst du Mittelwert und Standardabweichung genauso bestimmen. Dann erhältst du:

    • Zweite Tabelle: $~ \bar{x}=20$; $~\sigma \approx 3,16$,
    • Dritte Tabelle: $~ \bar{x}=10$; $~\sigma \approx 0,63$ und
    • Vierte Tabelle: $~ \bar{x}=21,8$; $~\sigma \approx 1,72$.