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Grundlagen der beschreibenden Statistik

Die Statistik ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit dem Erheben, der Darstellung und der Auswertung von Daten beschäftigt.

Was ist Statistik?

In der Statistik geht es um die folgenden Themen:

  • die Erhebung von Daten,
  • deren Darstellung sowie
  • Auswertung.

Notenverteilung in einer Klassenarbeit

Dies schauen wir uns einmal an einem Beispiel an. Das kennst du sicher: Die Notentabelle der Mathematik-Klassenarbeit.

$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} \text{Note}&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{Anzahl}&2&8&8&7&2&2 \end{array}$

Du kannst erkennen, dass es zweimal die Note 1, jeweils achtmal die Noten 2 sowie 3, siebenmal die Note 4 und jeweils zweimal die Noten 5 und 6 gab.

Dein Lehrer gibt vielleicht mit der Notentabelle auch immer die Durchschnittsnote der Klassenarbeit an. Weißt du schon, wie diese berechnet wird? Du multiplizierst jede Note mit der zugehörigen Anzahl. Dann addierst du die Produkte und teilst die Summe durch die Anzahl der Schüler:

$\frac{2\cdot 1+8\cdot 2+8\cdot 3+7\cdot 4+2\cdot 5+2\cdot 6}{29}=\frac{92}{29}\approx3,2$

Die Durchschnittsnote bei der Klassenarbeit ist also $3,2$. In der Mathematik spricht man von dem arithmetischen Mittel. Dies ist ein Mittelwert der erhobenen Daten, in diesem Beispiel der von den Schülern erzielten Noten.

Laufwettbewerb

Zehn Schüler deiner Klasse trainieren für einen Laufwettbewerb.

Laufbahn.jpeg

Dabei kommt es zu den folgenden Zeiten, welche jeweils in Sekunden angegeben sind:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} 62,2&59,4&60,5&56,6&63,7&57,6&61,2&58,8&57,5&60,4 \end{array}$

Diese Liste erhältst du, wenn du die Zeiten in der Reihenfolge, in welcher die Schüler laufen, notierst. Hier spricht man von einer Urliste. Um einen genaueren Überblick zu erhalten, kannst du diese Daten noch ordnen.

Hier siehst du die geordnete Liste:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} 56,6&57,5&57,6&58,8&59,4&60,4&60,5&61,2&62,2&63,7 \end{array}$

Anhand dieser Liste siehst du sofort die Zeit des schnellsten Schülers, nämlich das Minimum $56,6$ Sekunden, sowie die Zeit des langsamsten Schülers, nämlich das Maximum $63,7$. Die Differenz dieser beiden Werte $63,7-56,6=7,1$ wird als Spannweite bezeichnet.

Mittelwerte, wie zum Beispiel das arithmetische Mittel, werden als Lageparameter bezeichnet. Die Spannweite ist ein Beispiel für einen Streuparameter.

Wie beliebt ist Mathematik?

Daten kannst du auch im Rahmen einer Umfrage erheben.

Dabei gehst du wie folgt vor: Du möchtest wissen, wie sehr jemand das Fach Mathematik liebt. Dies bezeichnet man als Merkmal in der beschreibenden Statistik. Für dieses Merkmal gibst du verschiedene Antwortmöglichkeiten, man sagt auch Merkmalsausprägungen, vor:

  • Ich liebe Mathematik.
  • Es ist in Ordnung und es gibt sicher schlimmere Fächer.
  • Ich quäle mich schon sehr mit Mathematik.
  • Mathematik ist das mit Abstand schlimmste aller Schulfächer.

Nun befragst du nicht die Gesamtheit aller Menschen, sondern nur eine Stichprobe. Die Ergebnisse notierst du.

Verschiedene Skalen von Daten

An den obigen Beispielen kannst du bereits einen Unterschied feststellen. Die Daten sind verschieden skaliert.

Die Nominalskala

Hier werden die Daten beschrieben. Dies ist bei der Umfrage zur Beliebtheit von Mathematik der Fall. Bei nominal skalierten Daten kannst du keinen Mittelwert bestimmen.

Die Ratioskala

Die Ratioskala oder auch Verhältnisskala ist die Skala, die beim Sammeln von messbaren Daten, wie zum Beispiel die oben genannten Zeiten beim Laufen, verwendet wird.

Die Ordinalskala

Die Ordinalskala wird verwendet, wenn Daten in verschiedene Klassen eingeteilt werden. Zum Beispiel könntest du Obst in Güteklassen unterteilen.

Im eigentlichen Sinne sind die Schulnoten ordinalskaliert. Nichtsdestotrotz rechnet man mit diesen üblicherweise wie mit ratioskalierten Daten.

Sowohl bei der Ratioskala als auch bei der Ordinalskala kannst du Mittelwerte berechnen.