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Die Raute 04:40 min

Textversion des Videos

Transkript Die Raute

Die ägyptische Katzengöttin liegt hier begraben. Der Legende nach, kann sie wieder zum Leben erweckt werden, vervollständigt man ihren Sarkophag. Wir haben jedoch nur einen Versuch, die Teile richtig einzusetzen. Sonst werden wir in der Pyramide eingesperrt. Die fehlenden Stücke bilden zusammen eine ganz besondere Form, nämlich eine Raute. In diesem Video lernst du, was eine Raute ist, wie man sie beschriftet und welche besonderen Eigenschaften sie besitzt. Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle 4 Seiten gleich lang sind. Manchmal wird die Raute auch 'Rhombus' genannt. Die Eckpunkte der Raute bezeichnen wir mit A, B, C und D. Da alle Seiten dieselbe Länge haben, können wir alle Seiten auch mit einem kleinen a beschriften. Dem griechischen Alphabet entsprechend bezeichnen wir den Winkel bei A mit Alpha, den Winkel bei B mit Beta und die anderen Winkel demnach mit Gamma und Delta. Da alle Seiten gleich lang sind, sind gegenüberliegende Seiten auch stets parallel zueinander. Die Seite AB ist also parallel zu CD. Somit ist auch BC parallel zu DA. Die Summe zweier angrenzender Winkel ist in der Raute immer 180 Grad. So ist beispielsweise Alpha plus Beta gleich 180 Grad. Insgesamt ergibt sich für die Winkelsumme aller 4 Winkel 360 Grad. In der Raute sind gegenüberliegende Winkel immer gleich groß. Alpha ist also gleich Gamma und Beta gleich Delta. Die Winkel werden durch Diagonalen halbiert. Eine Diagonale ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbindet. Diese stehen dabei stets senkrecht aufeinander. Gleichzeitig sind die Diagonalen auch die Symmetrieachsen der Raute. Wir können die Raute an dieser Diagonalen zusammenklappen und auch an dieser. In beiden Fällen sind die jeweiligen Hälften deckungsgleich zu den anderen Hälften. Somit entspricht die Raute auch der Definition eines Drachenvierecks, denn jedes Viereck, dessen Diagonale eine Symmetrieachse ist, ist ein Drachenviereck. Auch so haben wir weiterhin eine Raute. Alle Winkel sind nun jedoch rechte Winkel. Somit erfüllt diese Raute gleichzeitig die Eigenschaften eines Rechtecks, bei dem alle Winkel 90 Grad betragen. Da zusätzlich alle Seiten gleich lang sind, ist diese Form der Raute auch ein Quadrat. Grundsätzlich ist jedes Quadrat auch eine Raute, da es stets die Eigenschaft hat, dass alle Seiten gleich lang sind. Doch selbst wenn nicht alle Winkel 90 Grad betragen, ist die Raute auch ein Parallelogramm, denn gegenüberliegende Seiten sind jeweils parallel zueinander. Somit ist die Raute auch gleichzeitig ein Trapez, dessen Eigenschaft es ist, dass zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Lass uns das noch einmal zusammenfassen. Die Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind stets parallel zueinander und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen stehen senkrecht zueinander, halbieren sich gegenseitig und die Winkel an den Eckpunkten. Lass uns nun schauen, was passiert, wenn wir das letzte Stück einsetzen und die Raute vervollständigen. Oh, so hat sich die Katzengöttin wohl keiner vorgestellt.

2 Kommentare
  1. Hallo Conductor, du hast recht, jedes Rechteck ist ein Viereck. Genau wie jede Raute. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 25 Tagen
  2. Hallo Team Digital ich glaube das das Rechteck ein Viereck ist...

    Von Conductor Q., vor 29 Tagen

Die Raute Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Raute kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften einer Raute.

    Tipps

    Eine Raute ist ein Viereck.

    So kann eine Raute aussehen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Alle fünf Seiten der Raute sind gleich lang.“

    • Es stimmt, dass alle Seiten einer Raute gleich lang sind, allerdings besitzt eine Raute nur vier Seiten.
    „Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer parallel.“

    • Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Summe zweier angrenzender Winkel einer Raute beträgt immer $180^{\circ}$“

    „Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.“

    „Die Diagonalen einer Raute sind gleichzeitig die Symmetrieachsen.“

    • All dies sind Eigenschaften von Rauten. Du solltest sie dir gut merken.
  • Gib an, welche geometrischen Figuren ebenfalls Rauten sind.

    Tipps

    Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß

    Überlege dir, welche der angegebenen Figuren diese Eigenschaften erfüllen.

    Lösung

    Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Überlege dir, welche dieser Figuren diese Eigenschaften erfüllen.

    Dann erhältst du, dass diese Figuren ebenfalls Rauten sind:

    „Rhombus“

    • Das ist einfach ein anderer Name für eine Raute.
    „Parallelogramm mit gleich langen Seiten“

    • Diese Figur erfüllt alle Voraussetzungen für eine Raute.
    „Quadrat“

    • Diese Figur erfüllt alle Voraussetzungen für eine Raute. Zusätzlich sind alle Winkel rechte Winkel.
    Diese Figuren erfüllen die Anforderungen für eine Raute nicht:

    „Trapez“

    • Hier sind nicht alle gegenüberliegenden Seiten parallel. Eine Raute ist zwar ein Trapez, aber ein Trapez ist nicht automatisch auch eine Raute.
    „Kreis“

    • Ein Kreis ist kein Viereck.
  • Beschreibe die Eigenschaften einer Raute.

    Tipps

    $\alpha$ und $\beta$ befinden sich in nebeneinanderliegenden Ecken.

    Klappst du eine Raute entlang einer der Diagonalen um, dann sind die beiden Hälften deckungsgleich.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Sie wird auch Rhombus genannt.

    Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$. Es gilt also beispielsweise:

    $\alpha + \beta=180^{\circ}$“

    • $\alpha$ und $\beta$ befinden sich in nebeneinanderliegenden Ecken.
    „Außerdem sind gegenüberliegende Winkel immer gleich groß. Es gilt also:

    $\alpha = \gamma$“

    Die Diagonalen einer Raute verlaufen durch gegenüberliegende Ecken und halbieren die jeweiligen Winkel. Sie bilden gleichzeitig die Symmetrieachsen.

    • Klappst du eine Raute entlang einer der Diagonalen um, dann sind die beiden Hälften deckungsgleich.
  • Erschließe den Flächeninhalt der Raute.

    Tipps

    Um den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, musst du die Flächeninhaltsformel für das Dreieck mal $4$ nehmen und anschließend die Längen der Diagonalen in die Formel des Flächeninhalts einsetzen.

    Die Raute besteht aus vier gleich großen Dreiecken. Somit lautet die Flächeninhaltsformel für die Raute:

    $A= \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4} \cdot 4$

    $A = \frac12 \cdot e \cdot f$

    Für die erste Raute erhältst du also:

    $A= \frac{1}{2} e \cdot f= \frac{1}{2} \cdot 3,5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} =$

    Lösung

    Die Raute wird durch die Diagonalen in vier gleich große Dreiecke unterteilt. Die Katheten der Dreiecke entsprechen jeweils der Hälfte der Diagonalen. Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist somit

    $A=\frac12 \cdot \frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} = \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4}$

    Da die Raute aus vier solcher Dreiecke besteht, ist ihr Flächeninhalt:

    $A= \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4} \cdot 4$

    $A = \frac12 \cdot e \cdot f$

    Um den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, musst du die Diagonalen in die Formel des Flächeninhalts einsetzen. Für die erste Raute erhältst du also:

    • $A=\frac{1}{2} e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot 3,5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} =7~\text{cm}^2$
    Genauso ergibt sich für die zweite Raute:

    • $A=\frac{1}{2} e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} =7,5~\text{cm}^2$
    Diese Raute ist also größer.

  • Ermittle, welche Bezeichnung der geometrischen Figuren am zutreffendsten ist.

    Tipps

    Bei einem Parallelogramm sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel.

    Zwei gegenüberliegende Seiten eines Trapezes sind parallel.

    Lösung

    So kannst du die Bezeichnungen mit den geometrischen Figuren verbinden.

    • Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Die einzige Figur, die diese Voraussetzungen erfüllt, ist die zweite von rechts.
    • Bei einem Parallelogramm sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel. Die Seiten müssen jedoch nicht alle gleich lang sein. Also ist es die zweite Figur von links.
    • Zwei gegenüberliegende Seiten eines Trapezes sind parallel. Die Figur ganz rechts entspricht dieser Beschreibung am besten.
    • Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Die Figur ganz links entspricht dieser Definition.
  • Erschließe die fehlenden Winkel der Rauten.

    Tipps

    Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind gleich.

    Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$.

    Lösung

    Mit diesen Informationen kannst du die Lücken füllen:

    Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.

    Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$.

    Damit erhalten wir für die erste Raute:

    • Der gegenüberliegende Winkel von $\alpha$ ist $\gamma$. Also gilt: $\gamma=100^{\circ}$
    • Der gegenüberliegende Winkel von $\beta$ ist $\delta$. Also gilt: $\delta=80^{\circ}$
    Für die zweite Raute erhalten wir:

    Der Winkel $\beta$ liegt neben $\alpha$. Also gilt:

    $\alpha+\beta=180^{\circ}$. Mit $\alpha=60^{\circ}$ erhalten wir:

    • $\beta=120^{\circ}$
    Damit können wir die anderen Winkel angeben (gegenüberliegende Winkel sind gleich):

    • $\gamma=60^{\circ}$ und $\delta=120^{\circ}$
    Für die dritte Raute erhalten wir:

    Der Winkel $\gamma$ liegt neben $\delta$. Also gilt:

    $\gamma+\delta=180^{\circ}$. Mit $\delta=105^{\circ}$ erhalten wir:

    • $\gamma=75^{\circ}$
    Die gegenüberliegenden Winkel sind immer gleich groß. Daher ist $\alpha =75^{\circ}$ und $\beta=105^{\circ}$