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Flächeninhalt von zusammengesetzten Rechtecken 05:33 min

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Transkript Flächeninhalt von zusammengesetzten Rechtecken

Das hier ist Prinz Ikarus, ein Strauß mit einem Problem. Als Prinz kann er alles haben, was sein Herz begehrt, nur eines nicht: Er wird niemals fliegen können. Heute empfängt der Prinz einen besonderen Besucher, der ihm einen Eindruck davon vermitteln will, wie es ist, der Schwerkraft zu trotzen. Dafür muss der Prinz seinen Thronsaal in einen riesigen Trampolinpark verwandeln. Doch um das zu tun, muss er den Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen ermitteln. Dieser Plan zeigt den Grundriss des Thronsaals. Das Känguru schlägt vor, die gesamte Fläche mit Trampolinen auszustatten. Das Vieleck im Plan ist eine zusammengesetzte Fläche - sie besteht also aus anderen Flächen, zum Beispiel Rechtecken. Den Flächeninhalt zusammengesetzter Vielecke können wir durch ZERLEGUNG ermitteln. Dabei zerlegen wir eine Fläche in kleinere Teilflächen. Wie können wir dieses Vieleck in kleinere RECHTECKE aufteilen? Man kann den Thronsaal zum Beispiel in drei Rechtecke zerlegen, die wir 'A', 'B' und 'C' nennen. Wenn wir die Flächeninhalte von 'A', 'B' und 'C' addieren, erhalten wir den Flächeninhalt des Vielecks. Berechnen wir zunächst den Flächeninhalt von 'A'. Dieses Rechteck hat Seitenlängen von 27 Metern und 12 Metern. Wie berechnen wir den Flächeninhalt? Wir multiplizieren die Länge und Breite und erhalten einen Flächeninhalt von 324 Quadratmetern für 'A'. Diesen Wert können wir in unserer Formel für 'A' einsetzen. Schauen wir uns nun Rechteck 'B' an. Kommt dir an dieser Fläche etwas bekannt vor? Obwohl für eine der Seiten von 'B' keine Länge angegeben ist, sehen wir, dass 'B' genau so groß ist wie 'A'. Wir wissen also, dass das Rechteck 'B' ebenfalls einen Flächeninhalt von 324 Quadratmetern besitzt. Wie sieht es aber mit Rechteck 'C' aus? Für dieses Rechteck haben wir gar keine Seitenlängen. Aber gibt es vielleicht Hinweise, durch die wir die fehlenden Längen herausfinden können? Wir wissen, dass die untere Seite genau so lang ist wie DIESE drei Seiten zusammen also berechnen wir die Länge, indem wir 12 Meter und 14 Meter und 12 Meter addieren. Die untere Seite ist also 38 Meter lang. Wie können wir unser Wissen nutzen, um die Längen der senkrechten Seiten von Rechteck 'C' herauszufinden? Wir sehen, dass die linke Seite des Vielecks 54 Meter lang ist. Wir sehen auch, dass das Rechteck 'A' eine Seitenlänge von 27 Metern hat. Die fehlende Seitenlänge von Rechteck 'C' ist also 54 Meter minus 27 Meter, was 27 Meter ergibt. Wir multiplizieren die Länge und Breite und erhalten eine Fläche von 1.026 Quadratmetern für das Rechteck 'C'. Wenn wir die drei rechteckigen Flächen addieren, erhalten wir einen Flächeninhalt von 1.674 Quadratmetern für das zusammengesetzte Vieleck! Um das Ergebnis zu überprüfen, versuchen wir jetzt mal, den Flächeninhalt des Vielecks durch eine ERGÄNZUNG zu finden. Wenn wir eine Linie ziehen, die die Oberkanten verbindet, erkennen wir ein großes Rechteck, das das gesamte Vieleck einfasst. Wir nennen es 'D'. Innerhalb von 'D' liegt ein Rechteck, das wir 'E' nennen. Wie können wir mithilfe dieser beiden Flächen den Flächeninhalt der gesamten zusammengesetzten Fläche bestimmen? Ganz einfach: Wir berechnen den Flächeninhalt des großen Rechtecks 'D' und subtrahieren davon den von Rechteck 'E'. Übrig bleibt der Flächeninhalt des Vielecks. Der Flächeninhalt von 'D' beträgt 38 mal 54 Meter, was 2.052 Quadratmeter ergibt. Der Flächeninhalt des kleineren Rechtecks beträgt 14 mal 27 Meter, also 378 Quadratmeter. Wir setzen diese Werte in unsere Formel ein und erhalten wie in unserer ersten Berechnung 1.674 Quadratmeter. Während sich Prinz Ikarus auf seinen neuen Trampolinpark wagt, fassen wir noch einmal zusammen, wie man den Flächeninhalt von Vielecken mittels Zerlegung oder Ergänzung bestimmt. Wir können das Vieleck in kleinere Flächen zerlegen oder Flächen ergänzen. Dann stellst du eine Formel auf, mit der du den Flächeninhalt des Vielecks berechnen kannst, indem du Teilflächen mittels Addition hinzufügst und mittels Subtraktion entfernst. Als Nächstes musst du mit den gegebenen Informationen die Seitenlängen ermitteln. Dann berechnest du die Flächeninhalte der Teilflächen und setzt die Ergebnisse in deine Formel ein. Wie es aussieht, ist Prinz Ikarus' Traum vom Fliegen endlich wahr geworden. Na ja, vielleicht braucht er etwas Zeit, sich daran zu gewöhnen.

1 Kommentar
  1. Ich fand das Video sehr witzig und hilfreich.

    Von Simone Kuepper, vor etwa einem Monat

Flächeninhalt von zusammengesetzten Rechtecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt von zusammengesetzten Rechtecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Flächeninhalte.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Längen von zwei nicht parallelen Seiten.

    Zerlege die Figur in drei Rechtecke und berechne deren Flächeninhalte einzeln.

    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=16$ und $b=25$ hat den Flächeninhalt $A=16 \cdot 25=400$.

    Lösung

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Längen von zwei nicht parallelen Seiten. Oft schreibt man einfach: $a \cdot b$. Du kannst eine kompliziertere Figur wie die in dem Bild oben in Rechtecke zerlegen. Der Flächeninhalt der Figur ist dann die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke.

    Die beiden Rechtecke $A$ und $B$ im Bild oben sind zueinander kongruent, sie haben also denselben Flächeninhalt. Ihre Seitenlängen sind jeweils $12$ und $27$, der Flächeninhalt jedes dieser Rechtecke beträgt daher:

    $12 \cdot 27 = 324$

    Das Rechteck $C$ hat die Seitenlängen $38$ und $27$, sein Flächeninhalt ist daher:

    $27 \cdot 38 = 1.026$

    Die aus den drei Rechtecken zusammengesetzte Figur hat also den folgenden Flächeninhalt:

    $324 + 324 + 1.026 = 1.674$

  • Beschreibe, wie man den Flächeninhalt bestimmt.

    Tipps

    Zerlegst du eine Figur in Rechtecke, so ist der Flächeninhalt der Figur die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke.

    Dem großen Quadrat fehlt oben rechts ein kleines Quadrat. Der Flächeninhalt der Figur ist die Differenz der Flächeninhalte der beiden Quadrate:

    $5^2-2^2 = 25 -4 = 21$

    Man kann den Flächeninhalt der Figur des zweiten Tipps aber auch aus zwei Rechtecken zusammensetzen:

    $5 \cdot 3 + 3 \cdot 2 =15+6=21$

    Lösung

    Du kannst den Flächeninhalt einer Figur ausrechnen, indem du die Figur als Summe oder als Differenz von Rechtecken darstellst. Der Flächeninhalt der Figur ist dann die Summe bzw. Differenz der Flächeninhalte der Rechtecke. Da der Flächeninhalt unabhängig von der Darstellung durch die Rechtecke ist, müssen beide Rechnungen dasselbe Ergebnis liefern.

    Die Fläche ist die Summe dreier Rechtecke. Alle diese Rechtecke haben die vertikale Seitenlänge $27$. Zwei der Rechtecke haben in der horizontalen (waagerechten) Richtung die Seitenlänge $12$. Das dritte Rechteck, das die beiden anderen verbindet, hat als horizontale Seite die Seitenlänge $38$.

    Der Flächeninhalt von $D$ ist die Summe der Flächeninhalte aller drei Rechtecke, aus denen sich die Fläche $D$ zusammensetzen lässt:

    $12 \cdot 27+ 12 \cdot 27 + 27 \cdot 38 = 1.674$

    Statt als Summe von drei Rechtecken kannst du die Fläche $D$ auch mit nur zwei Rechtecken darstellen: Die Fläche $D$ entsteht, indem du von einem größeren Rechteck ein kleineres wegnimmst. Der Flächeninhalt von $D$ ist dann die Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Rechtecks. Das größere Rechteck, also der Minuend, hat die Kantenlängen $38$ und $54$, das kleinere Rechteck, also der Subtrahend, hat die Seitenlängen $14$ und $27$.

    Der Flächeninhalt von $D$ beträgt nach dieser Rechnung:

    $38 \cdot 54 - 14 \cdot 27 =1.674$

  • Bestimme die Flächeninhalte.

    Tipps

    Zerlege jede Figur in eine Summe oder Differenz von Rechtecken und bestimme den Flächeninhalt.

    Figuren von ähnlicher geometrischer Gestalt können dieselben oder verschiedene Flächeninhalte haben.

    Du kannst diese Figur in $5$ Rechtecke zerlegen, die jeweils die Breite $1$ haben. Je zwei der Rechtecke haben die Höhe $5$ bzw. $2$, ein Rechteck hat die Höhe $3$. Der Flächeninhalt beträgt daher:

    $A = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 = 17$

    Lösung

    Jede der Figuren kannst du als Summe oder als Differenz von Rechtecken darstellen. Aus einer solchen Darstellung erhältst du jeweils den Flächeninhalt der Figur als Summe oder Differenz der Flächeninhalte der Rechtecke. Dabei ist die Zerlegung nicht eindeutig. Deshalb sind die Rechnungen hier nur mögliche Beispiele, der Flächeninhalt muss aber bei jeder Zerlegung gleich sein.

    Im Bild hier siehst du die passenden Paare zusammen mit dem zugehörigen Flächeninhalt. In den Beschreibungen der Zerlegung sind hier immer die horizontalen Kantenlängen als erste genannt.

    • $A=20$: Die linke Figur lässt sich in zwei Rechtecke der Maße $2 \cdot 6$ und $4 \cdot 2$ zerlegen. Die rechte Figur ist die Differenz eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt $8 \cdot 4$ und eines Rechtecks des Flächeninhalts $4 \cdot 3$.
    • $A=19$: Links siehst du eine Figur, die aus der Subtraktion von drei Rechtecken des Flächeninhalts $1 \cdot 3$ von einem Rechteck des Flächeninhalts $7 \cdot 4$ hervorgeht. Die Figur rechts ist die Summe von vier Rechtecken. Zwei Rechtecke haben denselben Flächeninhalt $6 \cdot 1$, die beiden übrigen haben die Flächeninhalte $1 \cdot 5$ und $2 \cdot 1$.
    • $A=22$: Links siehst du die Differenz zweier Rechtecke mit den Flächeninhalten $5 \cdot 8-3 \cdot 6$, rechts mit den Maßen $7 \cdot 6-5 \cdot 4$.
    • $A=34$: Die Figur links ist die Differenz eines Quadrates mit Kantenlänge $7$ und eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt $3 \cdot 5$, rechts erhältst du den Flächeninhalt durch Subtraktion zweier Rechtecke des Flächeninhalts $2 \cdot 4$ von einem Rechteck des Flächeninhalts $10 \cdot 5$.
    • $A=21$: Die Figur links besteht aus drei Rechtecken der Maße $2 \cdot 5$ und $2 \cdot 2$ und $1 \cdot 7$; rechts benötigst du zwei Rechtecke der Maße $6 \cdot 1$, zwei Rechtecke der Maße $2 \cdot 1$ sowie ein Rechteck des Maßes $5 \cdot 1$.
  • Stelle die Fläche als Differenz von Rechtecken dar.

    Tipps

    Die Maße der äußeren umgebenden Form einer Figur kennzeichnen das grüne Rechteck, aus dem du die Figur gewinnen kannst.

    Wähle jeweils die Anzahl der zu subtrahierenden Rechtecke so klein wie möglich.

    Lösung

    Den Flächeninhalt einer komplizierten Figur kannst du durch eine Zerlegung in Rechtecke berechnen. Manchmal ist die Darstellung einer Figur als Differenz von Rechtecken einfacher als die Darstellung als Summe von Rechtecken.

    Hier sollst du zu jeder Figur eine passende Darstellung als Differenz finden. Die Minuenden sind jeweils die grünen Rechtecke, die Subtrahenden sind rot dargestellt. Du sollst jeweils eine Darstellung mit möglichst wenigen Rechtecken als Subtrahenden finden.

    Du findest zu jeder Figur den passenden grünen Subtrahenden, indem du die Maße der äußeren Kanten bestimmst. Die passenden Subtrahenden findest du durch die Maße der inneren Kanten, an denen die Flächen von dem großen Rechteck entfernt werden müssen, um die vorgegebene Figur zu ergeben.

    Im Bild siehst du zwei der Figuren von oben mit der passenden Darstellung als Differenz von Rechtecken. Die beiden anderen Figuren erhältst du ganz analog.

    Die Flächen für die obere Figur (in der Form des Buchstaben „E“) findest du wie folgt:

    1. Die äußere Breite und Höhe der blauen Figur sind beide $5$, daher ist das zugrunde liegende Rechteck ein Quadrat der Seitenlänge $5$.
    2. Wähle das grüne Quadrat mit der Seitenlänge $5$ aus.
    3. Um aus einem Quadrat den Buchstaben „E“ zu bilden, müssen zwei gleiche Rechtecke entfernt werden.
    4. Die Maße in dem blauen „E“ zeigen, dass die zu entfernenden Rechtecke die Breite $3$ und die Höhe $1$ haben müssen.
    5. Wähle die beiden roten Rechtecke der Breite $3$ und der Höhe $1$.
  • Bestimme die Flächeninhalte.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Quadrat seiner Kantenlänge.

    Ein Rechteck mit den Seiten $a=5$ und $b=7$ hat den Flächeninhalt $A=35$.

    Hat eine Seite eines Rechtecks die Länge $1$, so stimmen der Zahlwert der anderen Seitenlänge und des Flächeninhalts überein.

    Lösung

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Längen seiner beiden nicht parallelen Seiten. Ist die Einheit der Länge $\text{cm}$, so ist die Einheit des zugehörigen Flächeninhalts $\text{cm}^2$.

    Du erhältst die Zuordnung, indem du jeweils die beiden angegebenen Seitenlängen multiplizierst. Im Bild siehst du die Rechtecke jeweils mit dem passenden Flächeninhalt. Hier sind die zugehörigen Rechnungen:

    • $7~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} = 21~\text{cm}^2$
    • $5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = 20~\text{cm}^2$
    • $3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 15~\text{cm}^2$
    • $2~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} = 14~\text{cm}^2$
    • $1~\text{cm} \cdot 9~\text{cm} = 9~\text{cm}^2$
    • $4~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = 16~\text{cm}^2$
  • Erschließe die Flächeninhalte.

    Tipps

    Figuren von ähnlicher geometrischer Gestalt müssen nicht denselben Flächeninhalt haben.

    Zerlege die Figuren in Rechtecke, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

    Lösung

    Du kannst die Figuren jeweils in die Summe oder Differenz von Rechtecken zerlegen, um den Flächeninhalt zu berechnen. Es gibt vier grün zu markierende Flächen vom Flächeninhalt $7$ und drei gelb zu markierende Flächen des Flächeninhalts $8$. Violett zu markieren sind drei Flächen mit dem Flächeninhalt $9$, und weitere drei Flächen haben den Flächeninhalt $10$, sodass du sie mit Blau markieren sollst. Die verbleibenden sechs Flächen haben andere Flächeninhalte.

    Im Bild siehst du exemplarisch fünf der obigen Flächen, eine zu jeder Farbe und eine weitere, die nicht markiert werden darf. Wir beschreiben die Berechnung der Flächeninhalte dieser Flächen im Einzelnen, um die Markierung zu rechtfertigen.

    grün:

    • Auch bei dieser Figur erkennst du zwei Rechtecke der Breite $1$ und der Höhe $2,5$.
    • Hinzu kommen noch zwei Quadrate der Kantenlänge $1$.
    • Der gesamte Flächeninhalt beträgt also $1 \cdot 2,5 + 1 \cdot 2,5 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 7$.
    gelb:
    • Am linken und rechten Rand der Figur siehst du zwei Rechtecke der Breite $1$ und der Höhe $2,5$. Zusammen haben Sie den Flächeninhalt $1 \cdot 2,5 + 1 \cdot 2,5 =5$.
    • Hinzu kommt noch ein Quadrat der Kantenlänge $1$ sowie ein Rechteck der Breite $1$ und der Höhe $2$.
    • Der Flächeninhalt beträgt also $5 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 =8$.
    violett:
    • Diese Figur besteht in der Mitte aus einem Rechteck der Breite $2$ und der Höhe $3,5$.
    • Oben befindet sich rechts und links noch jeweils ein Quadrat der Kantenlänge $1$.
    • Der Flächeninhalt ist also: $2 \cdot 3,5 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 7+1+1=9$.
    blau:
    • Die Form sieht der violetten sehr ähnlich (beide haben ungefähr T-Form), hat aber nicht denselben Flächeninhalt.
    • Das Rechteck in der Mitte hat die Breite $2$ und die Höhe $4$, die beiden Quadrate oben rechts und links haben die Kantenlänge $1$.
    • Der Flächeninhalt ist also $2 \cdot 4 +1+1= 10$.
    grau:
    • Diese Figur kannst du in drei Rechtecke zerlegen, die übereinander liegen.
    • Die beiden Rechtecke oben und unten haben die Breite $2$ und die Höhe $1$.
    • Das mittlere Rechteck hat die Breite $3,5$ und die Höhe $1$.
    • Der Flächeninhalt beträgt also $2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3,5 \cdot 1 = 7,5$. Das stand aber nicht zur Auswahl, also sollte diese Form nicht markiert werden.