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Umfang von Rechtecken

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Team Digital
Umfang von Rechtecken
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Umfang von Rechtecken

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Umfang von rechtecken zu berechnen.

Zunächst lernst du, dass der Umfang eines Rechtecks gleich der Summe der vier Seitenlängen ist. Anschließend lernst du die Formel kennen, mit der du den Umfang eines Rechtecks berechnen kannst.

Umfang eines Rechtecks.jpg

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Rechteck, Seitenlänge, rechter Winkel und Umfang.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Rechteck ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, den Umfang von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren zu berechnen.

Transkript Umfang von Rechtecken

Sommer, Sonne, Strand und Meer! Was darf da nicht fehlen? Na klar! Eine Runde Beachvolleyball! Aber so richtig Spaß macht das dann doch erst mit einem richtigen Spielfeld! Hmm, wie lang muss denn das Seil für die Spielfeldbegrenzung sein? Um das herauszufinden, müssen wir den „Umfang von Rechtecken berechnen“ können. Rechtecke sind Vierecke mit zwei Paaren gleich langer gegenüberliegender Seiten und vier rechten Winkeln. Ein klassisches Strandhandtuch hat also von oben betrachtet grob gesehen die Form eines Rechtecks. Der Umfang ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Wir können ihn berechnen, indem wir die Seitenlängen des Rechtecks messen – unser Strandhandtuch ist einhundertfünfzig Zentimeter lang und einhundert Zentimeter breit – und diese anschließend addieren. Der Umfang eines Rechteckes ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Der Umfang unseres Badetuchs beträgt somit fünfhundert Zentimeter. Wir erkennen, dass sowohl die einhundertfünfzig Zentimeter als auch die einhundert Zentimeter jeweils zweimal vorkommen. Das ergibt Sinn, denn die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind ja gleich lang. Daher können wir die Rechnung auch zu „zwei Mal einhundertfünfzig Zentimeter plus zwei Mal einhundert Zentimeter“ zusammenfassen. Achtung! Jetzt gilt die Punkt-vor-Strichrechnung! Wir rechnen also zuerst zwei Mal einhundertfünfzig Zentimeter, das sind dreihundert Zentimeter, und dann zwei mal einhundert Zentimeter, das sind zweihundert Zentimeter. Addieren wir beide Werte, kommen wir wieder auf das gleiche Ergebnis: fünfhundert Zentimeter. Wir haben also eine Kurzschreibweise für die Summe der vier Rechteckseiten gefunden! Genauso können wir den Umfang auch bei einem anderen Rechteck berechnen. Zum Beispiel bei diesem Rechteck, das aus Muscheln gelegt wurde. Es ist fünfundsechzig Zentimeter lang, und zweiunddreißig Zentimeter breit. Um den Umfang des Rechtecks zu berechnen, multiplizieren wir beide Seitenlängen mit zwei. Das ergibt einhundertdreißig, und vierundsechzig Zentimeter. Jetzt müssen wir nur noch addieren: Der Umfang beträgt also einhundertvierundneunzig Zentimeter. Gar nicht schwer oder? Schauen wir uns nochmal an, wie wir den Umfang der beiden Rechtecke berechnet haben. In beiden Fällen haben wir die Seitenlängen jeweils mit zwei multipliziert und anschließend addiert. Daraus können wir eine allgemeine Formel ableiten, wenn wir den Seitenlängen die Bezeichnungen a und b geben: Der Umfang – mit groß u abgekürzt – ist gleich zwei Mal „Seitenlänge a“, plus zwei Mal „Seitenlänge b“. Bei Rechnung und Ergebnis immer darauf achten, die Einheiten mitaufzuschreiben! Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir die Längeneinheiten wie Millimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter oder Kilometer. Mit der allgemeinen Formel können wir jetzt den Umfang für jedes beliebige Rechteck berechnen. Also auch den Umfang unseres rechteckigen Volleyballfeldes, das wir nun mit einem Seil abstecken können. Ein Beachvolleyballfeld ist sechzehn Meter lang, und acht Meter breit. Kannst du den Umfang berechnen und so bestimmen wie lang das Seil sein muss, das das Spielfeld einmal umrandet? Pausiere das Video kurz und rechne selbst, dann erfährst du das Ergebnis. Das Seil muss achtundvierzig Meter lang sein! Na dann kann ja endlich drauflos gebaggert werden, viel Spaß!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Gut

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 29 Tagen
  2. Lol

    Von Benni, vor etwa 2 Monaten
  3. L0L

    Von Feline , vor 3 Monaten
  4. COOL (0_0)

    Von Feline , vor 3 Monaten
  5. Toll 😊

    Von Alice , vor 5 Monaten
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Umfang von Rechtecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umfang von Rechtecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man den Umfang eines Rechtecks berechnet.

    Tipps

    Es gilt:

    $2ab = 2 \cdot a \cdot b$

    $2a+2b = 2 \cdot a + 2 \cdot b$

    Lösung

    Rechtecke sind Vierecke mit zwei Paaren gleich langer gegenüberliegender Seiten und vier rechten Winkeln. Wir nennen die eine Seitenlänge $a$ und die andere Seitenlänge $b$.

    Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechteckes ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Wir können also schreiben:

    $U = a+b+a+b$

    Wir können jeweils zwei Seitenlängen zusammenfassen und erhalten somit die allgemeine Formel

    $U=2a+2b$.

    Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir die Längeneinheiten wie Millimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter oder Kilometer.

    Beispiel
    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=4~\text{cm}$ und $b=7~\text{cm}$ hat den Umfang
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 7~\text{cm} = 8~\text{cm} + 14~\text{cm} = 22~\text{cm}$

  • Berechne den Umfang des Rechtecks.

    Tipps

    $U=2a+2b$.

    Beispiel
    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=4~\text{cm}$ und $b=7~\text{cm}$ hat den Umfang
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 7~\text{cm} = 8~\text{cm} + 14~\text{cm} = 22~\text{cm}$

    Lösung

    Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechteckes ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ schreiben:

    $U=2a+2b$.

    Wir setzen die Seitenlängen $a=65~\text{cm}$ und $b=32~\text{cm}$ ein und erhalten:

    $U = 2a+2b$
    $ = 2 \cdot 65~\text{cm} + 2 \cdot 32~\text{cm}$
    $ = 130~\text{cm} + 64~\text{cm}$
    $ = 194~\text{cm}$

  • Bestimme den Umfang der Rechtecke.

    Tipps

    Der Umfang eines Rechteckes ist gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten.

    Lösung

    Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechteckes ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ schreiben:

    $U=2a+2b$.

    Wir setzen die Seitenlängen ein und erhalten:

    Beispiel 1: $U = 2 \cdot 3~\text{cm} + 2 \cdot 7~\text{cm} = 6~\text{cm} + 14~\text{cm} = 20~\text{cm}$

    Beispiel 2: $U = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 5~\text{cm} = 8~\text{cm} + 10~\text{cm} = 18~\text{cm}$

    Beispiel 3: $U = 2 \cdot 2~\text{cm} + 2 \cdot 4~\text{cm} = 4~\text{cm} + 8~\text{cm} = 12~\text{cm}$

    Beispiel 4: $U = 2 \cdot 3~\text{cm} + 2 \cdot 5~\text{cm} = 6~\text{cm} + 10~\text{cm} = 16~\text{cm}$

  • Berechne den Umfang der Rechtecke mit den Seitenlängen $a$ und $b$.

    Tipps

    Achte auf die Einheiten! Manche Einheiten musst du noch umwandeln.

    Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und $\text{m}$ beträgt $10$.

    So gilt zum Beispiel: $1 \text{dm}=10 \text{cm}$.

    Lösung

    Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechteckes ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ schreiben:

    $U=2a+2b$.

    Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir die Längeneinheiten wie:

    • Millimeter ($\text{mm}$)
    • Zentimeter ($\text{cm}$)
    • Dezimeter ($\text{dm}$)
    • Meter ($\text{m}$)
    • Kilometer ($\text{km}$)
    Wir müssen darauf achten, dass die Einheit von $a$ und $b$ gleich ist, bevor wir den Umfang berechnen können. Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und $\text{m}$ beträgt $10$. Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{km}$ und $\text{m}$ beträgt $1000$.

    Beispiel 1:
    $a=3~\text{dm}$ und $b=13~\text{dm}$
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 3~\text{dm} + 2 \cdot 13~\text{dm} = 6~\text{dm} + 26~\text{dm} = 32~\text{dm}$

    Beispiel 2:
    $a=13~\text{mm}$ und $b=3~\text{mm}$
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 3~\text{mm} + 2 \cdot 13~\text{mm} = 6~\text{mm} + 26~\text{mm} = 32~\text{mm}$

    Beispiel 3:
    $a=13~\text{cm}$ und $b=3~\text{dm} = 30~\text{cm} $
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 13~\text{cm} + 2 \cdot 30~\text{cm} = 26~\text{cm} + 60~\text{cm} = 86~\text{cm}$

    Beispiel 4:
    $a=13~\text{m}$ und $b=3~\text{m}$
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 13~\text{m} + 2 \cdot 3~\text{m} = 26~\text{m} + 6~\text{m} = 32~\text{m}= 320~\text{dm}$

    Beispiel 5:
    $a=6~\text{dm}$ und $b=2~\text{dm}$
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 6~\text{dm} + 2 \cdot 2~\text{dm} = 12~\text{dm} + 4~\text{dm} = 16~\text{dm}$

  • Gib an, welche Einheiten der Umfang eines Rechtecks haben kann.

    Tipps

    Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt.

    Überlege, welche Einheiten überhaupt Längeneinheiten sind.

    Beispiel
    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=1~\text{m}$ und $b=7~\text{m}$ hat den Umfang
    $U = 2 \cdot 1~\text{m} + 2 \cdot 7~\text{m} = 2~\text{m} + 14~\text{m} = 15~\text{m}$

    Nur Einheiten wie $\text{m}$ stehen für Längeneinheiten. Solche mit einer kleinen Zahl oben, also mit einem Exponenten, wie $\text{m²}$, stehen für Flächeneinheiten oder, wie bei $\text{m³}$, für Raumeinheiten.

    Lösung

    Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechteckes ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Wir können schreiben:

    $U=2a+2b$.

    Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir die Längeneinheiten wie:

    • Millimeter ($\text{mm}$)
    • Zentimeter ($\text{cm}$)
    • Dezimeter ($\text{dm}$)
    • Meter ($\text{m}$)
    • Kilometer ($\text{km}$)
    Folgende Größen stellen also einen Umfang dar:

    • $\text{cm}$
    • $\text{mm}$
    • $\text{m}$
    • $\text{km}$
    Folgende Größen stellen keinen Umfang dar:

    • $\text{t}$ (Gewicht)
    • $\text{dm}^2$ (Fläche)
    • $\text{m}^3$ (Volumen)
    • $\text{kg}$ (Gewicht)
  • Berechne die fehlenden Größen bei den Rechtecken und gib sie in $\text{dm}$ an.

    Tipps

    Achte auf die Einheiten. Es gilt:

    • $10~\text{dm} = 1~\text{m}$

    Berechne im letzten Beispiel zuerst $2b$ und versuche dann zu $U$ zu ergänzen.

    Lösung

    Für den Umfang $U$ des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ gilt:

    $U=2a+2b$.

    Da der Umfang eine Länge ist, verwenden wir die Längeneinheiten. Diese müssen wir gegebenenfalls umrechnen. Dabei gilt:

    • Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und $\text{m}$ beträgt $10$.
    • Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{km}$ und $\text{m}$ beträgt $1000$.
    Beispiel 1:
    $a=9~\text{dm}$ und $b=1~\text{dm}$
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 9~\text{dm} + 2 \cdot 1~\text{dm} = 18~\text{dm} + 2~\text{dm} = 20~\text{dm}$

    Beispiel 2:
    $a=11~\text{dm}$ und $b=2~\text{m}=20~\text{dm}$
    $U = 2a+2b = 2 \cdot 11~\text{dm} + 2 \cdot 20~\text{dm} = 22~\text{dm} + 40~\text{dm} = 62~\text{dm}$

    Beispiel 3:
    $b=35~\text{dm}$ und $U=10~\text{m}=100~\text{dm}$
    Wir berechnen zuerst das Doppelte von $b$:
    $2b = 2 \cdot 35~\text{dm} = 70~\text{dm}$
    Zum Umfang $U=100~\text{dm}$ fehlen nun noch $30~\text{dm}$. Diese müssen $2a$ entsprechen, also gilt:
    $a = 15~\text{dm}$

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