30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Innenwinkel im Parallelogramm 13:47 min

Textversion des Videos

Transkript Innenwinkel im Parallelogramm

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zu diesem Video. Es ist das Video Geometrie, Teil 24. Das Thema lautet: Parallelogramm, das Unterthema lautet: Teil b, die Innenwinkel. Wir betrachten zunächst ein Parallelogramm. Ich zeichne für das Parallelogramm die Eckpunkte mit Großbuchstaben A, B, C und D ein. Die Seiten werden durch kleine Buchstaben a, b, c und d gekennzeichnet. Nun trage ich die Winkel ein, mit kleinen griechischen Buchstaben α, β, γ und δ. Wir bezeichnen nun die Winkel exakt durch die Eckpunkte. Der Winkel DAB=α, der Winkel ABC=β, der Winkel BCD=γ und der Winkel CDA=δ. Nun messe ich die 4 Innenwinkel des Parallelogramms aus. Ich erhalte für α=57°, für β=123°, für γ=57° und für δ=123°. Schauen wir uns die Ergebnisse doch einmal etwas näher an, zunächst α und γ: α=γ und nun β und δ, und hier gilt: β=δ. Schaut einmal auf α und β. Was fällt euch auf? Richtig, α+β=57°+123° und das ergibt 180°, nun zu α und δ: 57°+123° ergeben wieder 180°, nun zu β und γ: β+γ=123°+57°=180° und zuletzt γ und δ: γ+δ=57°+123°=180°. Schreiben wir somit die Behauptungen auf: 1. α=γ und β=δ. Schreiben wir somit die Behauptungen auf: α+β=180°, α+δ=180°, β+γ=180° und γ+δ=180°. Diese Behauptung wollen wir nun beweisen. Um den Beweis zu führen, möchte ich unser Modellparallelogramm etwas variieren. Ich nehme die Eckpunkte weg, da wir sie nicht benötigen und schreibe die 4 Parallelogrammseiten in die Fläche hinein. Wir beginnen den Beweis mit dem 2. Teil. Wir betrachten zunächst die Winkel α und β. Wir drehen das Parallelogramm etwas. Die Seiten b und d, unten und oben, sind parallel zueinander. Ich möchte das durch diese beiden Stäbe andeuten, die Parallelen darstellen. Dann sind aber α und β entgegengesetzt liegende Winkel, an einer Geraden, die Parallelen schneidet. Da α und β entgegengesetzte Winkel sind, folgt daraus: α+β=180°. Wir haben also gezeigt, dass α+β gleich 180° ist. Betrachten wir nun das Winkelpaar α und δ. Durch c geht eine Gerade, und durch die Strecke a geht ebenfalls eine Gerade. Beide sind parallel zueinander, denn wir haben es mit einem Parallelogramm zu tun. Dort ist es aber so, dass die Strecke d, wenn wir sie verlängern, als Gerade betrachtet, diese Parallelen schneidet und α und δ entgegengesetzt liegende Winkel sind. Für die Summe von entgegengesetzten Winkeln ergibt sich: α+δ=180°. Somit haben wir gezeigt, α+δ ist 180°. Betrachten wir nun das Winkelpaar β und γ. Auch hier können wir wieder argumentieren, dass es sich bei β und γ um entgegengesetzte Winkel an parallelen Geraden handelt. Somit ergibt sich: β+γ=180°. Als Letztes bleibt das Winkelpaar γ und δ übrig. Hier sind die beiden Seiten b und d parallel zueinander und auch deswegen kann man argumentieren, dass γ und δ entgegengesetzt liegende Winkel an parallelen Geraden sind und demzufolge gilt: γ+δ=180°. Wir haben somit gezeigt: γ+δ=180°. Damit haben wir die Behauptung 2 vollständig bewiesen. Wer sich den Zusammenhang von entgegengesetzten Winkeln noch einmal anschauen möchte, dem möchte ich das Video Geometrie, Teil 5 empfehlen. Wir machen weiter in unserem Beweis und wollen nun den Teil 1 der Behauptung beweisen. Dafür schreibe ich noch einmal die Eckpunkte mit Großbuchstaben an das Parallelogramm an. Schauen wir uns zunächst das Winkelpaar α und γ an. Ich nehme nun ein Parallelogramm, das zu dem auf der Tafel kongruent ist.und kennzeichne dort nur die Winkel α und γ. Ich bezeichne nun noch die Eckpunkte A, B, C und D. Ich verbinde die Punkte B und D und erhalte 2 Dreiecke, DAB und BCD. Diese sind kongruent zueinander. Das kann man zeigen, indem man das Parallelogramm entlang der Strecke BD zerschneidet. Dann erhalten wir diese beiden kongruenten Dreiecke. Noch haben wir das Parallelogramm, wenn ich es aber umdrehe, so seht ihr es, erhalte ich 2 deckungsgleiche Dreiecke, und die Winkel α und γ liegen genau übereinander. Also sind diese beiden Dreiecke kongruent. Ich lege aus ihnen wieder das Parallelogramm zusammen. Wir können auch exakt argumentieren: AD=BC, damit haben wir eine gemeinsame Seite, als Zweites gilt: AB=DC, damit haben wir die 2. gemeinsame Seite und als Drittes: DA=CB, damit haben wir die 3. gemeinsame Seite. Also gilt nach dem Kongruenzsatz SSS, dass beide Dreiecke kongruent sind. Und daraus folgt: α=γ, denn sie liegen tatsächlich aufeinander. Beide Dreiecke sind deckungsgleich, kongruent, und α und γ überdecken sich vollständig. Damit haben wir gezeigt, dass gilt: α=γ. Nun betrachten wir das Winkelpaar β und δ. Um die Gleichheit zu zeigen, nehme ich wieder ein frisches Parallelogramm, bezeichne die 4 Eckpunkte und trage die Winkel β und δ ein. Nun verbinde ich die Punkte A und C und erhalte wieder 2 Dreiecke. Es sind die Dreiecke ACD und CAB. Beide sind kongruent zueinander. Die Dreiecke haben eine gemeinsame Seite: AC, eine 2.: CD=AB und die 3.: AD=BC. Demzufolge ist für sie der Kongruenzsatz SSS, Seite-Seite-Seite, erfüllt. Damit sind diese beiden Dreiecke kongruent zueinander. Nun möchte ich diese Kongruenz durch Übereinanderlegen dieser beiden Dreiecke zeigen. Dafür zerschneide ich das Parallelogramm entlang der Strecke BD in diese beiden Dreiecke. Ich nehme nun die beiden Dreiecke und versuche, sie so zu legen, dass sie deckungsgleich sind. Und tatsächlich, es gelingt mir. Die Winkel β und δ liegen genau übereinander und sind gleich groß. Beide Dreiecke überdecken sich vollständig, sie sind deckungsgleich, kongruent. Aus dieser Kongruenz folgt nun, dass die beiden Winkel β und δ gleich groß sind, β=δ. Damit haben wir auch die Behauptung 1 vollständig bewiesen. Schaut euch die bewiesenen Behauptungen an, ich werde sie jetzt weglöschen und neu aufschreiben. Habt ihr euch alles gemerkt? Beginnen wir mit der Gleichheit. Welche Winkel waren gleich? Richtig: α=γ und β=δ. Welche Winkel ergaben zusammen 180°? Versucht es einmal zu formulieren: α+β=180°, β+γ=180° und weiter: γ+δ=180° und zuletzt: α+δ=180°. Wer gesagt hat, δ+α=180°, der hat natürlich auch recht. So, und zum Schluss möchten wir noch einen schönen Merksatz formulieren. Habt ihr eine Idee? Vielleicht so: In einem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Winkel gleich groß. Die Summe zweier nebeneinander liegender Winkel beträgt stets 180°. Ich bedanke mich bei euch! Es ist schön, dass ihr bis hierhin durchgehalten habt. Ich hoffe, ihr hattet auch ein wenig Spaß an dem Video, wie ich auch bei der Erstellung und wünsche euch Schülerinnen und Schülern alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!        

7 Kommentare
  1. guteerklärt

    Von Hbothner, vor 7 Monaten
  2. Bist du franzose

    Von Zindi47, vor mehr als 2 Jahren
  3. gut gemacht

    Von Fabian R., vor mehr als 2 Jahren
  4. SUPPPEERRR Video richtig gut zum verstehen

    Von Prosic, vor mehr als 3 Jahren
  5. Mah

    Von Prosic, vor mehr als 3 Jahren
  1. Sehr sehr gutes Video ! Wenn man dieses Thema einfach nochmal wiederholen möchte , ist dieses Video bestens dafür geeignet . Aber auch für diejenigen , die das Thema noch nicht recht verstanden haben ist es ein sehr lehrreiches Video ! ;)

    Von Der Mü, vor mehr als 3 Jahren
  2. Ein sehr lernreiches Video.

    Von Nessa 66, vor mehr als 7 Jahren
Mehr Kommentare

Innenwinkel im Parallelogramm Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Innenwinkel im Parallelogramm kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften eines Parallelogramms.

    Tipps
    • Benachbarte Seiten sind zum Beispiel $a$ und $d$.
    • Die Seiten $a$ und $c$ liegen zum Beispiel einander gegenüber.

    $\alpha$ und $\beta$ sind benachbarte Winkel, ebenso $\alpha$ und $\delta$.

    Lösung

    In einem Parallelogramm sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander (daher kommt auch der Name) und gleich lang.

    Kommen wir nun zu den Besonderheiten der Innenwinkel im Parallelogramm:

    1. Es gilt, dass die Summe eines beliebigen Winkels und eines zu diesem Winkel benachbarten Winkel immer $180^\circ$ beträgt: $\alpha+\beta=\beta+\gamma=\gamma+\delta=\delta+\alpha=180^\circ$
    2. Zwei einander gegenüber liegende Winkel in einem Parallelogramm sind immer gleich groß.
    Übrigens: Diese Aussagen gelten natürlich auch für jede Raute, für jedes Rechteck und für jedes Quadrat, da diese besondere Parallelogramme sind.

  • Benenne die Eigenschaften der Innenwinkel eines Parallelogramms.

    Tipps
    • Die Winkel $\alpha$ und $\alpha'$ sind Stufenwinkel.
    • Die Winkel $\alpha'$ und $\gamma$ sind Wechselwinkel.

    Die beiden Winkel $\beta$ und $\alpha'$ sind Nebenwinkel.

    • Stufenwinkel und Wechselwinkel sind gleich groß.
    • Nebenwinkel addieren sich zu $180^\circ$.
    Lösung

    In einem Parallelogramm sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander und gleich lang. Außerdem kann man auch noch besondere Eigenschaften für die Innenwinkel feststellen.

    Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich groß

    Das bedeutet: $\alpha=\gamma$ und $\beta=\delta$.

    Benachbarte Winkel summieren sich immer zu $180^\circ$.

    Also gilt:

    • $\alpha+\beta=180^\circ$
    • $\alpha+\delta=180^\circ$
    • $\gamma+\beta=180^\circ$
    • $\gamma+\delta=180^\circ$
  • Zeige auf, wie die Eigenschaften der Innenwinkel eines Parallelogramms nachgewiesen werden können.

    Tipps

    Verwende den Kongruenzsatz SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, also deckungsgleich, wenn sie in den Längen ihrer Seiten übereinstimmen.

    Aus der Kongruenz zweier Dreiecke folgt, dass diese Dreiecke ähnlich sind. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.

    In ähnlichen Dreiecken stimmen die einander entsprechenden Winkel überein.

    Lösung

    Zuerst soll folgende Behauptung bewiesen werden:

    $\alpha+\beta=\alpha+\delta=\gamma+\beta=\gamma+\delta=180^\circ$.

    Hierfür betrachten wir das Winkelpaar $\alpha$ und $\beta$. Bei gedrehtem Parallelogramm kannst du erkennen, dass $\alpha$ und $\beta$ entgegengesetzt liegende Winkel an parallelen Geraden sind. Deshalb ist deren Summe $180^\circ$.

    Ebenso kannst du diese Behauptung für die übrigen drei Winkelpaare nachweisen.

    Kommen wir nun zu folgender Behauptung:

    $\alpha=\gamma$ und $\beta=\delta$.

    Um diese zu beweisen betrachten wir das Parallelogramm mit den Ecken $A$, $B$, $C$ und $D$ sowie die beiden einander gegenüber liegenden Winkel $\alpha$ und $\gamma$.

    • Die Verbindung der beiden Punkte $B$ und $D$ ist eine Diagonale.
    • Diese teilt das Parallelogramm in zwei Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{BCD}$.
    • Diese beiden Dreiecke sind kongruent.
    Die Kongruenz kann mit dem Kongruenzsatz SSS nachgewiesen werden. Dieser besagt, dass zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, sind, wenn sie in den Längen ihrer Seiten übereinstimmen.

    • $|\overline{AB}|=|\overline{CD}|$
    • $|\overline{AD}|=|\overline{BC}|$
    • Die beiden Dreiecke haben die Seite $\overline{BD}$ gemeinsam.
    Da die Dreiecke kongruent sind, stimmen auch die einander entsprechenden Winkel überein.

    Übrigens kann man dies umgekehrt nicht schlussfolgern. Wenn man also zwei Dreiecke betrachtet, die in ihren Winkeln übereinstimmen, müssen diese nicht kongruent sein.

    Damit folgt, dass $\alpha=\gamma$ ist.

    Auf die gleiche Weise kann auch $\beta =\delta$ nachgewiesen werden.

  • Ermittle alle Winkel der Raute.

    Tipps
    • Das Dreieck $\Delta_{ABD}$ ist gleichschenklig.
    • In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

    Es gilt der Winkelsummensatz: In einem Dreieck ist die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$.

    Beachte, dass in jedem Parallelogramm Folgendes gilt:

    • Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
    • Die Summe benachbarter Winkel beträgt immer $180^\circ$.
    Lösung

    Das Dreieck $\Delta_{ABD}$ ist gleichschenklig. Die Basiswinkel von gleichschenkligen Dreiecken sind gleich groß: Das bedeutet, dass der Winkel $\angle(ADB)=\beta_1=40^\circ$ ist.

    Mit dem Winkelsummensatz in dem Dreieck $\Delta_{ABD}$ folgt $\alpha=180^\circ-(40^\circ-40^\circ)=100^\circ$.

    Damit sind alle übrigen Winkel klar:

    • $\gamma=\alpha=100^\circ$
    • Mit $\alpha+\delta=180^\circ$ folgt durch Subtraktion von $100^\circ$, dass $\delta=80^\circ$ ist.
    • Somit muss auch $\beta=\beta_1+\beta_2=\delta=80^\circ$ gelten und du erhältst $\beta_2=40^\circ$.
    Insbesondere kannst du der obigen Argumentation entnehmen, dass die (beiden!) Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sowie $\beta$ und $\delta$ halbieren.

  • Berechne die fehlenden Winkel.

    Tipps

    Einander gegenüber liegende Winkel in einem Parallelogramm sind gleich groß.

    Benachbarte Winkel in einem Parallelogramm summieren sich immer zu $180^\circ$.

    Lösung

    Der Winkel $\delta$ liegt dem bekannten Winkel gegenüber.

    Da einander gegenüber liegende Winkel gleich groß sind, gilt $\delta=70^\circ$.

    Sowohl der Winkel $\alpha$ als auch $\gamma$ sind benachbart zu dem bekannten Winkel.

    Da benachbarte Winkel sich zu $180^\circ$ addieren, gilt

    • $\alpha+70^\circ=180^\circ$
    • Durch Subtraktion von $70$ erhältst du $\alpha=180^\circ-70^\circ=110^\circ$.
    • Da der Winkel $\gamma$ dem Winkel $\alpha$ gegenüber liegt, gilt $\gamma=110^\circ$.
  • Leite die vier Innenwinkel her.

    Tipps

    Sei der kleinere Winkel $\alpha$, dann ist der größere benachbarte Winkel $\beta=n\cdot \alpha$.

    Da die Summe benachbarter Winkel $180^\circ$ beträgt, erhältst du die Gleichung $\alpha+n\cdot \alpha=(n+1)\alpha=180^\circ$.

    Forme die Gleichung $(n+1)\alpha=180^\circ$ nach $\alpha$ um.

    Wenn du $\alpha$ kennst, kannst du auch alle anderen fehlenden Winkel berechnen.

    Es ist $\gamma=\alpha$ und $\delta=n\cdot \alpha$.

    Lösung

    Für die beiden benachbarten Winkel $\alpha$ und $\beta$ ist bekannt, dass $\beta=n\cdot\alpha$ ist.

    • Da die Summe zweier benachbarter Winkel $180^\circ$ beträgt, folgt $\alpha+n\cdot\alpha=180^\circ$.
    • Ausklammern von $\alpha$ führt zu $(n+1)\alpha=180^\circ$.
    • Division durch $n+1$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{n+1}$.
    Nun kann es losgehen:

    • $n=2$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{2+1}=60^\circ$ und somit $\gamma=60^\circ$ sowie $\beta=\delta=120^\circ$.
    • $n=3$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{3+1}=45^\circ$ und somit $\gamma=45^\circ$ sowie $\beta=\delta=135^\circ$.
    • $n=4$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{4+1}=36^\circ$ und somit $\gamma=36^\circ$ sowie $\beta=\delta=144^\circ$.
    • $n=5$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{5+1}=30^\circ$ und somit $\gamma=30^\circ$ sowie $\beta=\delta=150^\circ$.