Quadrate und Rechtecke konstruieren
Erfahre, wie man mithilfe von Zirkel und Lineal Quadrate und Rechtecke erstellt. Quadrate besitzen vier gleich lange Seiten sowie rechte Winkel. Rechtecke haben gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel zueinander. Interessiert? Entdecke, wie du diese geometrischen Formen selbst konstruieren kannst!
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Grundlagen zum Thema Quadrate und Rechtecke konstruieren
Quadrate und Rechtecke konstruieren – Mathematik
Heute lernst du anhand von Beispielen, wie man Quadrate und Rechtecke konstruieren kann. Dazu benötigen wir einen Zirkel, ein Lineal und ein Blatt Papier.
Was ist ein Quadrat? – Definition
Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck mit vier Eckpunkten, vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.
Wir wollen uns nun anschauen, wie man Quadrate konstruieren kann:
Ein Quadrat konstruieren mit Zirkel und Lineal
Wir wollen als Beispiel ein Quadrat mit $5~\text{cm}$ Seitenlänge konstruieren. Dazu gehen wir wie folgt vor:
- Wir zeichnen eine Gerade, auf der die Grundseite des Quadrats liegt. Wir zeichnen also eine Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$ im Abstand von $5~\text{cm}$ ein.
- Wir konstruieren im Punkt $A$ eine zu der Grundseite senkrechte Gerade: Dazu stechen wir den Zirkel im Punkt $A$ ein und ziehen links und rechts zwei Kreisbogen um den Punkte $A$. Dadurch entstehen zwei Schnittpunkte mit der Geraden, die wir als Hilfspunkte verwenden. Wir vergrößern die Zirkelspanne und ziehen nacheinander einen Kreisbogen um jeden der beiden Hilfspunkte. Diese neuen Kreisbogen schneiden sich in zwei Punkten. Wir verbinden diese beiden Punkte und erhalten damit eine zu der ersten Geraden senkrechte Gerade, die durch den Punkt $A$ verläuft.
- Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $5~\text{cm}$ ein und ziehen einen Kreisbogen um den Punkt $A$. Der Schnittpunkt dieses Kreisbogens mit der zuletzt gezeichneten Geraden ist der Punkt $D$ des Quadrats.
- Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $5~\text{cm}$ ein und ziehen jeweils einen Kreisbogen um den Punkt $B$ und um den Punkt $D$. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreisbogen ist der vierte Eckpunkt $C$.
- Wir verbinden den Punkt $C$ mit $D$ und mit $B$.
Damit konnten wir das Viereck eindeutig konstruieren.
Was ist ein Rechteck? – Definition
Auch ein Rechteck hat vier Eckpunkte. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Das Rechteck hat außerdem vier rechte Winkeln.
Aber wie kann man ein Rechteck konstruieren? Das schauen wir uns im Folgenden an:
Ein Rechteck konstruieren mit Zirkel und Lineal
Wir wollen als Beispiel ein Rechteck mit den Seitenlängen $20~\text{cm}$ und $10~\text{cm}$ konstruieren. Dazu gehen wir wie folgt vor:
- Wir zeichnen eine Grundseite, auf der die Punkte $A$ und $B$ einen Abstand von $20~\text{cm}$ haben.
- Wir konstruieren im Punkt $A$ eine senkrechte Gerade mithilfe des Zirkels.
- Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $10~\text{cm}$ ein und ziehen einen Kreisbogen um den Punkt $A$. Der entstehende Schnittpunkt mit der senkrechten Geraden ist der Punkt $D$.
- Wir konstruieren im Punkt $B$ eine senkrechte Gerade mithilfe des Zirkels.
- Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $10~\text{cm}$ ein und ziehen einen Kreisbogen um den Punkt $B$. Der entstehende Schnittpunkt ist der Punkt $D$.
- Wir verbinden den Punkt $C$ mit dem Punkt $D$.
In diesem Video zum Thema Vierecke konstruieren in Mathe …
… betrachten wir Quadrate und Rechtecke. Wir schauen uns an, wie man diese Vierecke mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Das Konstruieren der Vierecke wird mit Beispielen einfach erklärt. Wenn du weitere Aufgaben und Übungen zum Thema Vierecke konstruieren suchst, wirst du auf dieser Seite fündig. Hier gibt es außerdem ein Arbeitsblatt zum Konstruieren von Vierecken.
Transkript Quadrate und Rechtecke konstruieren
Willkommen in der Ausgrabungsstätte Fossilienstadt! Hier wurden schon viele Fossilien von Dinosauriern gefunden. Zum Beispiel von Theropoden, Sauropoden, und anderen Bewohnern der Kreidezeit. Die Paläontologin Sara hat Hinweise auf einen neuen Fundort bekommen, den sie untersuchen will. Dazu muss eine einfache, viereckige Fläche abgesteckt werden. Also müssen wir wissen, wie man „Quadrate und Rechtecke konstruieren“ kann. Wir beginnen mit der Konstruktion eines Quadrates, denn das geht am einfachsten. Zur Erinnerung: Ein Quadrat hat vier Eckpunkte, vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Sara möchte ein Quadrat abstecken, das fünf Meter lang und fünf Meter breit ist. Auf der Karte muss sie aber mit Zentimetern arbeiten. Sie beginnt mit der Grundseite und zeichnet dort die Punkte A und B in einem Abstand von fünf Zentimetern ein. Für die nächste Seite muss sie im Punkt A nun eine senkrechte Gerade konstruieren. Dazu zieht sie links und rechts zwei Kreisbogen um den Punkt A. Dadurch entstehen zwei Hilfspunkte. Nun vergrößert Sara ihre Zirkelspanne und zieht um den ersten Hilfspunkt einen weiteren Kreisbogen. Das gleiche macht sie auf der anderen Seite mit dem anderen Hilfspunkt. Die beiden Kreisbogen schneiden sich in zwei Punkten. Einmal über und einmal unter dem Punkt A. Sara verbindet die beiden Punkte und erhält eine Gerade, die genau durch den Punkt A geht. Mit einem Geodreieck kann Sara nun überprüfen, ob diese Gerade wirklich senkrecht zur Grundlinie verläuft. Perfekt! Da bei einem Quadrat alle Seiten gleich lang sind, überträgt sie die Seitenlänge in die Zirkelspanne und zieht einen Kreisbogen um den Punkt A. Der entstehende Schnittpunkt ist der Eckpunkt D. Der vierte Eckpunkt C liegt senkrecht über dem Eckpunkt B. Hier könnte Sara auch im Punkt B eine Senkrechte konstruieren. Aber sie kennt einen Trick. Sie übernimmt die Seitenlänge in die Zirkelspanne, und zieht einen Kreisbogen um Punkt B und Punkt D. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbogen ist nun FÜNF Zentimeter von Punkt B und fünf Zentimeter von Punkt D entfernt. Deshalb ist das der letzte Eckpunkt von unserem Quadrat. Nun muss sie nur noch die Eckpunkte verbinden und fertig ist das Quadrat ABCD. Sara macht sich nun mit Hammer, Meißel, Bürste und Schaufel an die Arbeit. Aber was ist das? Sara ist hier wirklich auf ein Fossil gestoßen! Welcher Dinosaurier verbirgt sich wohl dahinter? Um das herauszufinden, muss sie das Ausgrabungsgebiet vergrößern. Wenn das eventuell ein Brachiosaurus ist, dann muss das Ausgrabungsgebiet zwanzig Meter lang und zehn Meter breit sein. Sara will jetzt also ein Rechteck konstruieren. Ein Rechteck hat wie das Quadrat auch vier Eckpunkte und vier rechte Winkel, aber kann zwei unterschiedlich lange Seiten a und b haben. In unserem Fall ist die lange Seite auf der Karte zwanzig Zentimeter und die kurze Seite zehn Zentimeter lang. Sie zeichnet wieder eine Grundseite auf der die Punkte A und B einen Abstand von zwanzig Zentimetern haben. Dann errichtet sie eine Senkrechte durch den Punkt A. Nun kann sie die Länge von zehn Zentimetern abtragen und den Punkt D markieren. Für den Zirkeltrick zum Punkt C ist Saras Zirkel leider zu klein. Deshalb muss sie auch hier eine Senkrechte im Punkt B errichten. Dazu zieht sie um den Punkt B zwei Kreisbogen rechts und links. Die Zirkelspanne wieder vergrößern, vom ersten Hilfspunkt einen Kreisbogen ziehen, vom zweiten ebenso, die Schnittpunkte miteinander verbinden und schon haben wir eine Senkrechte durch Punkt B konstruiert. Nun muss Sara wieder die Länge abtragen und den Punkt C markieren. Am Ende verbindet sie die Eckpunkte und fertig ist das Rechteck ABCD. Während Sara ihre Ausgrabungen fortsetzt, fassen wir die Konstruktion von Quadrat und Rechteck zusammen. Bei der Konstruktion von Quadraten und Rechtecken zeichnen wir zuerst die Grundseite und markieren die Punkte A und B. Dann errichten wir im Punkt A eine Senkrechte. Auf dieser Senkrechten können wir nun die entsprechende Seitenlänge abtragen und den Punkt D markieren. Wir errichten auch im Eckpunkt B eine Senkrechte, tragen die entsprechende Seitenlänge ab und markieren anschließend den Eckpunkt C. Nun müssen wir nur noch die Eckpunkte miteinander verbinden. Für Konstruktionsprofis gibts es aber auch einen Trick. Bei einem Quadrat ziehen wir um Punkt B und Punkt D einen Kreisbogen mit der Seitenlänge a. Der Schnittpunkt ist dann der Punkt C. Beim Rechteck müssen wir aufpassen. Da die Seiten unterschiedlich lang sind, müssen wir entsprechend beide Seitenlängen als Zirkelspannen verwenden. Und wie weit ist Sara mit ihrer paläontologischen Ausgrabung gekommen? Oh, das ist ja ein unerwarteter Fund. Aber auch ein Bewohner der Kreidezeit.
Quadrate und Rechtecke konstruieren Übung
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Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$.
TippsDu beginnst die Konstruktion immer mit einer Seite des Quadrats.
Anschließend musst du die Lage der weiteren Eckpunkte nacheinander konstruieren.
LösungEin Quadrat hat vier Eckpunkte, vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
Um ein Quadrat mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$ zu konstruieren, können wir folgendermaßen vorgehen:
- Wir zeichnen eine Seite der Länge $5~\text{cm}$ mit den Eckpunkten $A$ und $B$.
- Wir errichten eine Senkrechte im Punkt $A$.
- Wir markieren den Eckpunkt $D$ im Abstand von $5~\text{cm}$ zu $A$ auf der Senkrechten.
- Wir ermitteln die Lage des letzten Eckpunkts $C$ als Schnittpunkt zweier Kreise um $B$ und $D$ mit der Seitenlänge als Radius.
- Wir verbinden die Eckpunkte zu einem Quadrat.
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Beschreibe das Vorgehen zur Konstruktion der Senkrechten in einem Punkt.
TippsDu benötigst für die Konstruktion zwei Hilfspunkte.
Probiere aus, was passiert, wenn du die Zirkelspanne für den zweiten Konstruktionsschritt nicht veränderst, vergrößerst oder verkleinerst.
LösungUm die Senkrechte in einem Punkt zu konstruieren, brauchen wir zunächst zwei Hilfspunkte. Diese erhalten wir, wenn wir einen Kreisbogen mit beliebigem Radius um den Punkt ziehen, als Schnittpunkte mit der Grundseite.
Nun ziehen wir um jeden dieser Hilfspunkte erneut einen Kreisbogen. Dabei müssen wir die Zirkelspanne vergrößern, damit sich die beiden Kreise in zwei Punkten schneiden. Lassen wir die Zirkelspanne unverändert, berühren sich beide Kreisbogen in unserem ursprünglichen Punkt. Wenn wir die Zirkelspanne verringern, dann schneiden sich die Kreisbogen nicht.
Zuletzt ziehen wir eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen. Diese Gerade ist unsere gesuchte Senkrechte. Sie geht durch unseren Punkt und steht senkrecht zur Grundseite.
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Beschreibe das Vorgehen zur Konstruktion des Rechtecks.
TippsAlle Punkte auf einem Kreis haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand ist der Radius des Kreises.
Überlege dir, welchen Abstand die verschiedenen Eckpunkte des Rechtecks voneinander haben.
LösungUm ein Rechteck mit den Seitenlängen $7~\text{cm}$ und $18~\text{cm}$ zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor:
- Wir zeichnen die Grundseite $AB$ mit der Länge $18~\text{cm}$.
- Wir errichten die Senkrechte im Punkt $A$.
- Wir ziehen einen Kreisbogen um $A$ mit Radius $7~\text{cm}$. Der Eckpunkt $D$ liegt auf diesem Kreisbogen, da er von $A$ den Abstand $7~\text{cm}$ hat. So können wir den Punkt $D$ auf der Senkrechten markieren.
- Der Eckpunkt $C$ ist $7~\text{cm}$ von $B$ und $18~\text{cm}$ von $D$ entfernt. Wir können ihn daher als Schnittpunkt von einem Kreisbogen um $D$ mit Radius $18~\text{cm}$ und einem Kreisbogen um $B$ mit Radius $7~\text{cm}$ konstruieren.
- Zuletzt verbinden wir alle vier Eckpunkte zu einem Rechteck.
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Entscheide, aus welchen Angaben du das Quadrat oder Rechteck eindeutig konstruieren kannst.
TippsMache dir eine Skizze und überlege, wie du die Punkte nach und nach konstruieren kannst.
Nutze die gegebenen Längen als Abstände zwischen den Eckpunkten.
LösungWir wissen, wie wir Quadrate und Rechtecke konstruieren:
- Wir zeichnen die Grundseite mit der gegebenen Länge.
- Wir errichten die Senkrechten in beiden Eckpunkten auf der Grundseite.
- Wir markieren die fehlenden Eckpunkte, indem wir die Längen der Seiten mit dem Zirkel abtragen.
- Wir verbinden die Eckpunkte.
- Mit dieser Vorgehensweise können wir ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 3~\text{cm}$ konstruieren.
- Ein Quadrat mit zwei verschieden langen Seiten $a = 3~\text{cm}$ und $b = 1~\text{cm}$ existiert nicht. Daher können wir es auch nicht konstruieren.
- Eine Diagonale verbindet in einem Viereck zwei gegenüberliegende Ecken. In Rechtecken und Quadraten haben die beiden Diagonalen $\text{AC}$ und $\text{BD}$ dieselbe Länge $d$. Deshalb können wir ein Rechteck mit der Seitenlänge $a = 6~\text{cm}$ und einer Diagonalen mit Länge $d = 10~\text{cm}$ konstruieren.
$\text{C}$ liegt auf der Senkrechten in $\text{B}$ und hat von $\text{A}$ den Abstand $d = 10~\text{cm}$. Das heißt, wir können $\text{C}$ dort markieren, wo ein Kreisbogen um $\text{A}$ mit Radius $10~\text{cm}$ die Senkrechte in $\text{B}$ schneidet.
Ebenso markieren wir $\text{D}$ dort, wo ein Kreisbogen um $\text{B}$ mit Radius $10~\text{cm}$ die Senkrechte in $\text{A}$ schneidet.- Ein Quadrat mit der Diagonalen $d = 5~\text{cm}$ können wir ebenfalls konstruieren.
- Mit der Angabe der Diagonalen $d = 8~\text{cm}$ allein können wie ein Rechteck nicht eindeutig konstruieren.
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Gib wichtige Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken an.
TippsÜberlege, welche Eigenschaften für die jeweilige Figur erfüllt sein müssen.
LösungSowohl Quadrate als auch Rechtecke haben vier Eckpunkte und vier rechte Winkel. Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang, ein Rechteck kann hingegen zwei unterschiedliche Seitenlängen haben.
Demnach sind die folgenden Aussagen richtig:
- Jedes Quadrat hat vier gleich lange Seiten.
- Ein Rechteck hat vier Ecken und vier rechte Winkel.
- Bei einem Rechteck haben zwei Seiten, die einander gegenüberliegen, jeweils die gleiche Länge.
- Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.
Die folgenden Aussagen sind falsch:
- Jedes Rechteck hat drei gleich lange Seiten.
- Ein Quadrat hat vier Ecken und beliebig große Winkel.
- Jedes Rechteck ist auch ein Quadrat.
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Bestimme, welche Konstruktionsschritte zu welchem Rechteck passen.
TippsDie Kreisradien bei der Konstruktion entsprechen den Seitenlängen des Rechtecks.
Überlege, welche Abstände die verschiedenen Eckpunkte voneinander haben.
LösungWir nutzen bei der Konstruktion von Rechtecken Kreise, damit die Eckpunkte die richtigen Abstände zueinander haben.
Aus den Konstruktionsschritten können wir die folgenden Rückschlüsse auf das Rechteck ziehen:
- $C$ auf Kreis mit Radius $3$ cm um $B$
- $D$ auf Kreis mit Radius $9$ cm um $C$
- $C$ auf Kreis mit Radius $9$ cm um $B$
- $A$ auf Kreis mit Radius $9$ cm um $D$
- $C$ auf Kreis mit Radius $2$ cm um $D$
- $D$ auf Kreis mit Radius $2$ cm um $A$
- $C$ auf Kreis mit Radius $2$ cm um $B$
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ist cool
vidio super!:D
Bin schon in der 7.Klasse und so was wusste ich noch nicht
super erklärt
Ich finde das Video super 👍