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Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren

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Team Digital
Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren zu berechnen.

Zunächst lernst du, wie man eine Fläche in kleinere Teilflächen unterteilen kann. Anschließend kannst du den Flächeninhalt dieser Teilflächen einzeln berechnen. Abschließend lernst du, wie du den Flächeninhalt der Gesamtfläche berechnest.

Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie zusammengesetzte Figur, Rechteck, Seitenlänge, Längeneinheit und Flächeninhalt.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen wie man den Flächeninhalt von aus unterschiedlichen geometrischen Formen zusammengesetzten Figuren berechnet.

Transkript Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren

Die Vorbereitungen für die Robben-Olympiade sind in vollem Gange. Damit die Sieger gebührend gefeiert werden können, muss das Siegertreppchen aber noch mal auf Vordermann gebracht werden. Wie viel Farbe wohl für einen neuen Anstrich gebraucht wird? Um das herauszufinden, müssen wir den „Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren“ berechnen können. Bei einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b berechnen wir den Flächeninhalt, indem wir die Seitenlängen miteinander multiplizieren. Der Flächeninhalt groß A ist also gleich a mal b. Wie wir den Flächeninhalt von einem Rechteck berechnen können, wissen wir also. Wie können wir dieses Wissen jetzt nutzen, um die Fläche der Vorderseite unseres Podestes zu berechnen? Schauen wir diese mal genauer an: Das Siegertreppchen ist insgesamt zwei Komma fünf Meter breit. Das Podest auf der rechten Seite ist fünfundzwanzig Zentimeter hoch das linke fünfzig Zentimeter und das mittlere Podest für den Gewinner ist nochmal dreißig Zentimeter höher. Außerdem ist das mittlere Podest einen Meter und das rechte Podest fünfundsiebzig Zentimeter breit. Bei den Längenangaben müssen wir stets auf die Einheiten achten und manchmal auch zwischen diesen umrechnen. Wie können wir jetzt den Flächeninhalt von dieser Figur bestimmen? Wie du bestimmt schon bemerkt hast, können wir das Siegertreppchen in mehrere Rechtecke unterteilen. Wir können zum Beispiel diese Unterteilung vornehmen. Sie wird durch die eingezeichneten Strecken verdeutlicht. Häufig gibt es mehrere sinnvolle Möglichkeiten, eine Gesamtfläche in Teilflächen zu unterteilen. Wir könnten unsere Fläche alternativ auch so unterteilen. Hier bietet sich allerdings die erste Variante an, um anschließend möglichst einfach rechnen zu können. Wir erkennen, dass sich die Figur aus insgesamt drei Rechtecken zusammensetzt. Um den Überblick zu behalten, geben wir diesen Teilflächen jeweils einen Namen. A eins für den Flächeninhalt des rechten Rechtecks, A zwei für den Flächeninhalt des großen Rechtecks in der Mitte, und A drei für den Flächeninhalt des linken Rechtecks. Diese Flächeninhalte können wir jetzt zunächst einzeln berechnen. Zusammen ergeben sie dann den gesuchten Flächeninhalt unserer Gesamtfläche. Beginnen wir mit A eins. Hier haben wir die Seitenlängen a und b bereits gegeben. Wir setzen also für a fünfundsiebzig Zentimeter und für b fünfundzwanzig Zentimeter ein. Wir erhalten eintausendachthundertfünfundsiebzig Quadratzentimeter. Der Flächeninhalt unseres ersten Rechtecks ist berechnet. Um den Flächeninhalt A zwei zu berechnen, müssen wir zunächst noch Seitenlänge d bestimmen. Diese ist zwar nicht gegeben, wir können sie aber berechnen, indem wir die gegebenen Seitenlängen fünfzig Zentimeter und dreißig Zentimeter addieren. Dann haben wir beide Seitenlängen, die wir für die Berechnung von A zwei benötigen: Seite d ist achtzig Zentimeter und Seite c ist ein Meter also hundert Zentimeter lang. Wir multiplizieren erneut und erhalten den Flächeninhalt: Achttausend Quadratzentimeter. Somit ist auch der Flächeninhalt des zweiten Rechtecks berechnet. Jetzt fehlt nur noch ein Rechteck. Auch hier müssen wir zunächst noch die Seitenlänge e bestimmen. Wir wissen, dass das gesamte Siegertreppchen zwei Komma fünf Meter breit ist. Um die Breite von A drei zu bestimmen, müssen wir die Breiten von A eins und A zwei abziehen. Dafür rechnen wir zunächst die Gesamtbreite in Zentimeter um. Das ergibt für unser drittes Rechteck eine Breite von fünfundsiebzig Zentimetern. Jetzt haben wir wieder beide Seitenlängen und können diese in unsere Formel einsetzen. Somit ergibt sich für A drei ein Flächeninhalt von dreitausendsiebenhundertfünfzig Quadratzentimetern. Jetzt kennen wir den Flächeninhalt von allen drei Teilflächen. Wir müssen die drei berechneten Flächeninhalte nur noch addieren, um den Flächeninhalt der Gesamtfläche zu bestimmen. Insgesamt ist die Vorderseite des Siegertreppchens also dreizehntausendsechshundertfünfundzwanzig Quadratzentimeter groß. Das entspricht eins Komma drei sechs zwei fünf Quadratmetern. Alles klar - während dem Siegerpodest ein neuer Anstrich verpasst wird, fassen wir nochmal kurz zusammen. Den Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren können wir Schritt für Schritt berechnen. Zunächst müssen wir erkennen, wie wir die Gesamtfläche in kleinere Rechtecke unterteilen beziehungsweise zerlegen können. Anschließend berechnen wir die Flächeninhalte der jeweiligen Rechtecke nacheinander. Dabei müssen wir manchmal unbekannte Seitenlängen erst selbst ermitteln und immer auf die Längeneinheiten achten! In einem letzten Schritt können wir dann die berechneten Teilflächen addieren und erhalten so den Flächeninhalt der Gesamtfläche. Die Vorbereitungen sind abgeschlossen, das Podest strahlt in neuem Glanz. Die Olympiade ist beendet und die Sieger-Robben stehen fest! Die Trophäen werden überreicht und Hoppsala! Da hätte man lieber mal in die Standfestigkeit investieren sollen.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Danke🌻👍

    Von Ida, vor etwa einem Monat
  2. so sus die Robben.

    Von Jo-Jo, vor 5 Monaten
  3. Planet der Robben

    Von Team Digital, vor 5 Monaten
  4. JAJ

    Von Team Digital, vor 5 Monaten
  5. ja

    Von Martin, vor 7 Monaten
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Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du den Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren berechnest.

    Tipps

    Bei der Berechnung von Flächeninhalten musst du immer die Einheiten der Längen beachten.

    Lösung

    Den Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren können wir Schritt für Schritt berechnen.

    • Zunächst müssen wir erkennen, wie wir die Gesamtfläche in kleinere Rechtecke zerlegen können. Dabei sind meistens verschiedene Zerlegungen möglich.
    • Anschließend müssen wir manchmal unbekannte Seitenlängen erst selbst ermitteln und immer auf die Längeneinheiten achten!
    • Wenn wir alle Seitenlängen kennen, berechnen wir die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke nacheinander mit der Formel $A = a \cdot b$.
    • In einem letzten Schritt können wir dann die berechneten Teilflächen addieren und erhalten so den Flächeninhalt der Gesamtfläche.
  • Gib die Rechnungen zur Bestimmung der jeweiligen Flächen an.

    Tipps

    Berechne zunächst die fehlenden Seitenlängen der Teilflächen $A_2$ und $A_3$.

    Zum Beispiel hat $A_2$ die Länge $1~\text{m} = 100~\text{cm}$ und die Breite $50~\text{cm} + 30~\text{cm}$.

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen wir, indem wir die Seitenlängen miteinander multiplizieren.

    Hier können wir die Seitenlängen von $A_1$ direkt ablesen. Für $A_2$ und $A_3$ müssen wir jeweils noch eine Seitenlänge bestimmen.

    Es ergibt sich:

    • $A_1 = 75~\text{cm} \cdot 25~\text{cm}$.
    • $A_2$ hat die Länge $1~\text{m} = 100~\text{cm}$ und die Breite $50~\text{cm} + 30~\text{cm} = 80~\text{cm}$. Daher ist $A_2 = 100~\text{cm} \cdot 80~\text{cm}$.
    • $A_3$ hat die Länge $2,5~\text{cm} - 1~\text{m} - 75~\text{cm} = 250~\text{cm} - 100~\text{cm} - 75~\text{cm} = 75~\text{cm}$ und die Breite $50~\text{cm}$. Daher ist $A_3 = 75~\text{cm} \cdot 50~\text{cm}$.
    Die Gesamtfläche $A_{ges}$ erhalten wir, wenn wir die drei Teilflächen addieren, also: $A_{ges} = A_1 + A_2 + A_3$.

  • Entscheide, welche Aussagen zur abgebildeten Figur richtig sind.

    Tipps

    Der Flächeninhalt muss größer sein als jede einzelne Teilfläche und kleiner als ein Rechteck, das die ganze Figur umgibt.

    Für die Einheit bei der Rechnung ist es meistens sinnvoll eine der Einheiten aus der Angabe zu wählen.

    Lösung

    Korrekte Aussagen:

    • Es ist sinnvoll, den Flächeninhalt in der Einheit $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$ zu berechnen. Für die Einheit bei der Rechnung ist es sinnvoll, alle Seitenlängen in dieselbe Einheit umzurechnen; hier also $\text{cm}$ oder $\text{m}$.
    • Der Flächeninhalt ist größer als $1~\text{m}^2$. Eine mögliche Teilfläche ist ein Rechteck unten links mit den Seitenlängen $1,2~\text{m}$ und $1,1~\text{m}$. Dieses Rechteck hat bereits eine Fläche größer als $1~\text{m}^2$, daher muss die Gesamtfläche ebenfalls größer sein.
    • Der Flächeninhalt ist kleiner als $6~\text{m}^2$. Die gesamte Figur hat eine Länge von $1,2~\text{m} + 1,8~\text{m} = 3~\text{m}$ und eine Breite von $1,1~\text{m} + 30~\text{cm} = 1,4~\text{m}$. Die Fläche eines Rechtecks, das die ganze Figur umgibt, wäre also $3~\text{m} \cdot 1,4~\text{m}$ und somit kleiner als $6~\text{m}^2$. Daher muss auch der Flächeninhalt der Figur unter diesem Wert liegen.

    Falsche Aussagen:

    • Es gibt genau eine mögliche Zerlegung der Fläche in drei kleinere Rechtecke. Es gibt meistens mehrere Möglichkeiten, die Figur zu unterteilen, hier zum Beispiel entlang der waagrechten oder entlang der senkrechten Linien.
    • Die Fläche kann in drei Quadrate unterteilt werden. Bei einer Unterteilung in drei Flächen ergeben sich hier keine drei Quadrate.
    • Der Flächeninhalt ist kleiner als $1~\text{m}^2$. Eine mögliche Teilfläche ist ein Rechteck unten links mit den Seitenlängen $1,2~\text{m}$ und $1,1~\text{m}$. Dieses Rechteck hat alleine schon eine Fläche größer $1~\text{m}^2$, daher muss die Gesamtfläche ebenfalls größer sein.

  • Berechne den Flächeninhalt mit der gegebenen Unterteilung.

    Tipps

    Beachte die Einheiten bei der Rechnung.

    Die fehlenden Seitenlängen kannst du durch Addition und Subtraktion der gegeben Längen berechnen.

    Lösung

    Der Flächeninhalt ergibt sich, indem wir die Figur in Rechtecke zerlegen und den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke bestimmen. Daraus können wir dann die Gesamtfläche $A_{ges}$ berechnen.

    $A_1 = 1,2~\text{m} \cdot 1,1~\text{m} = 120~\text{cm} \cdot 110~\text{cm} = 13~200~\text{cm}^2$
    $A_2 = 1~\text{m} \cdot (60~\text{cm}+30~\text{cm}) = 100~\text{cm} \cdot 90~\text{cm} = 9~000~\text{cm}^2$
    $A_3 = (1,8~\text{m} - 1~\text{m}) \cdot 30~\text{cm} = 80~\text{cm} \cdot 30~\text{cm} = 2~400~\text{cm}^2$

    $A_{ges} = A_1 + A_2 + A_3 = 13~200~\text{cm}^2 + 9~000~\text{cm}^2 + 2~400~\text{cm}^2 = 24~600~\text{cm}^2 = 2,46~\text{m}^2$

  • Gib an, wie du den Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Flächen berechnen kannst.

    Tipps

    Eine zusammengesetzte Fläche kannst du zunächst in Teilflächen aufteilen und zum Schluss wieder zusammenrechnen.

    Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, musst du die Seitenlängen des Rechtecks kennen.

    Lösung

    Den Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren können wir Schritt für Schritt berechnen.

    • Zunächst müssen wir erkennen, wie wir die Gesamtfläche in kleinere Rechtecke zerlegen können. Dabei gibt es meistens mehrere mögliche Zerlegungen. Wir versuchen eine Aufteilung zu wählen, bei der die Berechnung der Teilflächen möglichst einfach ist.
    • Anschließend müssen wir manchmal unbekannte Seitenlängen durch Addieren und Subtrahieren ermitteln. Außerdem müssen wir immer auf die Längeneinheiten achten und sie eventuell umrechnen.
    • Wenn wir alle Seitenlängen kennen, berechnen wir die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke nacheinander. Dabei multiplizieren wir jeweils die beiden Seitenlängen, um den Flächeninhalt der rechteckigen Teilflächen zu bestimmen. Dies drückt die Formel $A = a \cdot b$ aus.
    • In einem letzten Schritt können wir dann die berechneten Teilflächen addieren und erhalten so den Flächeninhalt der Gesamtfläche.
  • Ermittle den Flächeninhalt der dargestellten Figur.

    Tipps

    Beachte die Einheiten.

    Du kannst die Fläche hier auch mit einem kleinen Rechteck zu einem großen Rechteck ergänzen. Die Gesamtfläche ergibt sich dann, indem du vom Flächeninhalt des großen Rechtecks den des kleinen Rechtecks subtrahierst.

    Finde zunächst eine sinnvolle Zerlegung in kleinere Rechtecke.

    Lösung

    Der Flächeninhalt ergibt sich, indem wir die Figur in Rechtecke zerlegen und den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke bestimmen. Daraus können wir denn die Gesamtfläche $A_{ges}$ berechnen.
    Wir betrachten zwei Varianten für die Lösung der Aufgabe. Da die Lösung in $\text{cm}^2$ angegeben werden soll, rechnen wir in $\text{cm}$.

    Variante 1:
    $A_1$ hat die Seitenlängen $2~\text{m} = 200~\text{cm}$ und $1,5~\text{m} = 150~\text{cm}$, also ist
    $A_1 = 200~\text{cm} \cdot 150~\text{cm} = 30~000~\text{cm}^2$.
    $A_2$ hat die Seitenlängen $1,4~\text{m} = 140~\text{cm}$ und $80~\text{cm}$, also ist
    $A_2 = 140~\text{cm} \cdot 80~\text{cm} = 11~200~\text{cm}^2$.
    Hier erhalten wir die gesuchte Fläche $A_{ges}$, indem wir $A_2$ von $A_1$ subtrahieren:
    $A_{ges} = A_1 - A_2 = 30~000~\text{cm}^2 - 11~200~\text{cm}^2 = 18~800~\text{cm}^2$


    Variante 2:
    Eine alterative Zerlegung in drei Teilflächen kann folgendermaßen aussehen:
    Ein Rechteck $A_3$ links, das sich über die Höhe der ganzen Figur erstreckt und rechts bis zum Einschnitt von $A_2$ aus Variante 1 reicht. Die beiden weiteren Rechtecke $A_4$ und $A_5$ entsprechen den beiden Teilflächen über und unter $A_2$ aus Variante 1.
    Der Flächeninhalt ergibt sich dann wie folgt:

    $A_3$ hat die Seitenlängen $2~\text{m} - 1,4~\text{m} = 0,6~\text{m} = 60~\text{cm}$ und $1,5~\text{m} = 150~\text{cm}$, also ist
    $A_3 = 60~\text{cm} \cdot 150~\text{cm} = 9~000~\text{cm}^2$.
    $A_4$ hat die Seitenlängen $1,4~\text{m} = 140~\text{cm}$ und $15~\text{cm}$, also ist
    $A_4 = 140~\text{cm} \cdot 15~\text{cm} = 2~100~\text{cm}^2$.
    $A_5$ hat die Seitenlängen $1,4~\text{m} = 140~\text{cm}$ und $1,5~\text{m} - 15~\text{cm} - 80~\text{cm} = 150~\text{cm} - 15~\text{cm} - 80~\text{cm} = 55~\text{cm}$, also ist
    $A_5 = 140~\text{cm} \cdot 55~\text{cm} = 7~700~\text{cm}^2$.
    Hier erhalten wir die gesuchte Fläche $A_{ges}$, indem wir die drei Teilflächen $A_3$, $A_4$ und $A_5$ addieren:
    $A_{ges} = A_3 + A_4 + A_5 = 9~000~\text{cm}^2 + 2~100~\text{cm}^2 + 7~700~\text{cm}^2 = 18~800~\text{cm}^2$

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