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Einführung Prisma 04:15 min

Textversion des Videos

Transkript Einführung Prisma

Der Juwelier Gustav Glänz wollte schon lange so eine prachtvolle Kette für seine hochkarätigen Kunden austellen und nun hat er sie endlich gefunden. Betrachtet man diese Kette genauer, so sieht man, dass alle Kristalle eine ganz besondere Form besitzen. Die Form eines Prismas. In diesem Video lernen wir, was ein Prisma ist und welche Eigenschaften es besitzt. Wir gehen von zweidimensionalen Formen mit geraden Kanten aus. Ein Beispiel dafür ist dieses Dreieck. Dieses Dreieck dient nun als Grundfläche. Verschieben wir es senkrecht zur Grundfläche und verbinden diese zwei Dreiecke mit Kanten, so erhalten wir einen dreidimensionalen Körper. Wie wir sehen, haben wir nun zwei kongruente Dreiecke, die durch diese drei rechteckigen Flächen miteinander verbunden sind. Den so entstandenen Körper nennen wir Prisma. In diesem Fall handelt es sich um ein gerades Prisma, da die Verschiebung des Dreiecks senkrecht zur Grundfläche durchgeführt wurde. Wir wissen, dass dieses Dreieck die Grundfläche ist. Die verschobene Fläche, also das kongruente Dreieck, nennen wir Deckfläche. Die Kanten, die die Höhe der Verschiebung angeben, heißen Seitenkanten und die Flächen, die dadurch entstanden sind, heißen Seitenflächen. Weil wir genau drei Seitenflächen haben, nennen wir dies auch ein dreiseitiges Prisma. Klappen wir das Prisma auf, so erhalten wir das Körpernetz des Prismas. Das setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Zusammen bilden die Flächen die Oberfläche des Prismas. Schauen wir uns doch einmal die verschiedenen Kristalle der Kette an, um zu überprüfen, ob es sich wirklich um Prismen handelt. Diese Fläche ist auf jeden Fall nicht kongruent zu einer gegenüberliegenden Fläche, da sich dort eine Kante befindet. Können wir zwei andere Flächen finden, die kongruent zueinander sind? Genau! Wir haben hier ein Fünfeck, und auch hier. Diese sind die zwei zueinander kongruente Flächen nach denen wir gesucht haben. Das Fünfeck ist daher die Grundfläche. Weil wir fünf Seitenflächen haben, ist dies ein fünfseitiges Prisma. Die Verschiebung der Grundfläche kann allerdings auch nicht senkrecht zur Grundfläche durchgeführt werden. In diesen Fällen sprechen wir von einem schiefen Prisma. Die Grund- und Deckfläche sind weiterhin kongruent und parallel zueinander. Die Seitenflächen sind in diesem Fall Parallelogramme und keine Rechtecke. Betrachten wir einmal den nächsten Kristall. Können wir an diesem Kristall zueinander kongruente Flächen erkennen? Hier haben wir sogar mehr als zwei: diese beiden, diese und diese sind kongruent zueinander. Die Kanten zwischen ihnen liegen senkrecht zu diesen Flächen. Es handelt sich also in allen drei Fällen um eine parallele Verschiebung der verschiedenen Grundflächen. Dies ist ein ganz besonderes Prisma: der Quader. Sind zusätzlich noch alle Kantenlängen gleich, ist es ein Würfel. Dieser ist also auch ein Prisma. Während Gustav Glänz den perfekten Ausstellungsort für die Kette vorbereitet, fassen wir zusammen. Ein gerades Prisma ist ein Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Das heißt, dass auch der Quader und der Würfel Prismen sind. Verläuft die Verschiebung nicht senkrecht, so sprechen wir von einem schiefen Prisma. Hier sind die Seitenflächen Parallelogramme. Gustav Glänz hat den perfekten Ort gefunden, um die Kette auszustellen und für alle Kunden sichtbar zu machen. Doch. Oh nein! Räuber! Oh, da sind sie wohl in das falsche Video eingebrochen.

5 Kommentare
  1. Hallo ich fande das Video richtig gut die Story war gut. Das Video hat mir auch sehr geholfen

    Von Renatadula, vor 3 Monaten
  2. Hallo Lukasb,
    Vielen Dank für das positive Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 3 Monaten
  3. Hallo ich finde das Viedieo richtig Hilfreich und ihr habt es mega cool Digital präsentiert

    Von Luksab, vor 3 Monaten
  4. Hallo! Vielen Dank für das positive Feedback. Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 3 Monaten
  5. Ich bin Lehrerin und finde die Lernvideos von euch echt klasse. Es wäre toll, wenn ihr die Videos mit Untertiteln anbieten könnt. Ich habe auch gehörlose Schüler und kann deshalb die Videos oft nicht verwenden...

    Von Frau K., vor 4 Monaten

Einführung Prisma Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Einführung Prisma kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften von Prismen an.

    Tipps

    Betrachte ein Dreieck, das als Grundfläche dient.

    Verschiebe das gleiche Dreieck nun senkrecht zur Grundfläche und verbinde diese zwei Dreiecke mit Kanten, so erhältst du ein Prisma.

    Erfolgt die Verschiebung nicht senkrecht, so erhältst du ein schiefes Prisma. Andernfalls ist das Prisma gerade.

    Lösung

    Wir betrachten nun ein Vieleck, das als Grundfläche dient. Das gleiche Vieleck verschieben wir senkrecht zur Grundfläche und verbinden diese zwei Vielecke mit Kanten. Durch die senkrechte Verschiebung entsteht ein gerades Prisma mit folgenden Eigenschaften:

    • Es besitzt mindestens zwei zueinander parallele, kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche.
    • Seine Seitenflächen sind Rechtecke.
    • Seine Seitenkanten sind parallel zueinander.
    Wenn zwischen der Grund- und Deckfläche eine nicht senkrechte Verschiebung vorliegt, so handelt es sich um ein schiefes Prisma.

    • Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme.
    • Die Seitenkanten sind weiterhin parallel zueinander.
  • Beschrifte das gegebene Prisma.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus seiner Mantel-, Deck- und Grundfläche zusammen.

    Die Mantelfläche setzt sich aus allen Seitenflächen zusammen.

    Lösung

    Bei dem hier betrachteten Prisma haben wir zwei kongruente Dreiecke, die durch drei rechteckige Flächen miteinander verbunden sind. Ein solches Prisma nennen wir dreiseitiges Prisma.

    • Das untere Dreieck ist die Grundfläche des Prismas.
    • Das obere kongruente Dreieck ist die Deckfläche.
    • Die Kanten, die die Deckfläche mit der Grundfläche verbinden, heißen Seitenkanten.
    • Die Flächen zwischen Deck- und Grundfläche heißen Seitenflächen.
    Klappen wir das Prisma auf, so erhalten wir das Körpernetz des Prismas. Das setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche setzt sich wiederum aus den drei Seitenflächen zusammen. Die Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche bilden zusammen die Oberfläche des Prismas.

  • Benenne die jeweiligen Prismen.

    Tipps

    Jedes Prisma besitzt jeweils mindestens eine Grund- und kongruente Deckfläche, die zueinander parallel sind.

    Hier siehst du einen Kegel und eine Pyramide.

    Lösung

    Ein gerades Prisma besitzt folgende Eigenschaften:

    • Es hat mindestens zwei zueinander parallele, kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche.
    • Seine Seitenflächen sind Rechtecke.
    • Seine Seitenkanten sind parallel zueinander.
    Die hier betrachteten Prismen haben folgende Bezeichnungen:

    • Fünfseitiges Prisma: Es handelt sich hierbei um ein Prisma mit einem Fünfeck als Deck- und Grundfläche. Daher besitzt dieses Prisma fünf Seitenflächen.
    • Dreiseitiges Prisma: Hierbei handelt es sich um ein Prisma mit einer dreieckigen Deck- und Grundfläche. Dieses Prisma besitzt drei Seitenflächen.
    • Quader: Dieser ist ein spezielles Prisma. Es hat eine viereckige Deck- und Grundfläche. Alle zueinander parallelen Flächen können Deck- und Grundflächen sein, da diese jeweils zueinander parallel und kongruent sind. Ein Quader besitzt vier Kanten, die parallel zueinander und gleich lang sind.
    • Würfel: Auch der Würfel ist ein spezielles Prisma. Es handelt sich hierbei um einen Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind. Somit ist es egal, auf welcher Fläche der Würfel steht, der resultierende Körper sieht immer gleich aus.
  • Arbeite die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen der jeweiligen Prismen heraus.

    Tipps

    Grenzen zwei Flächen eines Prismas aneinander, so ist dort eine Kante. Überall dort, wo drei Kanten eines Prismas aufeinandertreffen, liegt eine Ecke vor.

    Lösung

    Grenzen zwei Flächen eines Prismas aneinander, so ist dort eine Kante. Überall dort, wo drei Kanten eines Prismas aufeinandertreffen, liegt eine Ecke vor. Demnach können wir folgende Eigenschaften festhalten:

    $\begin{array}{c|ccc} \text{Prisma} & \text{Ecken} & \text{Kanten} & \text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{chen} \\ \hline \text{a} & 6 & 9 & 5 \\ \text{b} & 12 & 18 & 8 \\ \text{c} & 10 & 15 & 7 \\ \text{d} & 8 & 12 & 6 \\ \text{e} & 14 & 21 & 9 \end{array}$

    Generell kann man festhalten, dass es doppelt so viele Ecken gibt, wie es Seiten gibt. Beispielsweise hat ein dreiseitiges Prisma demnach sechs Ecken.

    Es gibt dreimal so viele Kanten, wie es Seiten gibt. Ein dreiseitiges Prisma hat also $3 \cdot 3 = 9$ Kanten.

    Die Anzahl der Flächen ergibt sich aus der Seitenanzahl plus der Grund- und Deckfläche. Das dreiseitige Prisma hat also $3+2=5$ Flächen.

    Mit diesen Zusammenhängen lassen sich die Eigenschaften zu allen Prismen ermitteln.

  • Entscheide, bei welchen der jeweiligen Körper es sich um ein Prisma handelt.

    Tipps

    Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang.

    Deck- und Grundfläche von Prismen sind parallel zueinander und kongruent.

    Ein Kreis ist kein Vieleck.

    Lösung

    Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Daraus ergibt sich, dass Grund- und Deckfläche von Prismen identisch sind.

    Mit dieser Definition können wir nun entscheiden, welche der abgebildeten geometrischen Körper ein Prisma darstellen. Wir beginnen mit den geometrischen Körpern in der ersten Reihe und gehen von links aus:

    Erste Reihe

    • Bild 1 stellt eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche dar. Bei einer Pyramide laufen alle Seitenkanten aufeinander zu und treffen sich an der Pyramidenspitze. Da bei einem Prisma allerdings alle Seitenkanten parallel zueinander und gleich lang sind, stellen wir fest, dass eine Pyramide kein Prisma ist.
    • Bild 2 stellt ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche dar. Einen solchen geometrischen Körper nennt man auch Quader. Ein Quader ist also ein Spezialfall eines Prismas.
    • Bild 3 stellt ein Prisma dar, dessen Grundfläche einem symmetrischen, also gleichschenkligen Trapez entspricht.
    Zweite Reihe

    • Bild 1 stellt ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche dar.
    • Bild 2 stellt einen Kegel dar. Hier haben wir weder eine vieleckige Grundfläche noch Seitenkanten, die parallel zueinander und gleich lang sind. Also ist auch ein Kegel kein Prisma.
    • Bild 3 stellt einen allgemeinen Zylinder dar. Dieser Zylinder besitzt einen Kreis als Grundfläche. Ein Kreis ist kein Vieleck und daher ist dieser Zylinder auch kein Prisma.
    • Bild 4 stellt ein Prisma mit sechseckiger Grundfläche dar.
  • Ermittle die Körpernetze der jeweiligen Prismen.

    Tipps

    Achte ganz genau auf die Deck- und Grundflächen.

    Lösung

    Um die Körpernetze der jeweiligen Prismen zu bestimmen, betrachten wir deren Deck- und Grundfläche und die aus deren Form resultierende Mantelfläche. Je nachdem wie viele Ecken die Deck- und Grundfläche besitzen, setzt sich die Mantelfläche aus genauso vielen Seitenflächen zusammen. So erhalten wir folgende Körpernetze:

    Fünfseitiges Prisma

    Das Körpernetz eines fünfseitigen Prismas setzt sich aus zwei Fünfecken und einer Mantelfläche aus fünf Rechtecken zusammen.

    Dreiseitiges Prisma

    • Das dreiseitige Prisma besitzt ein Körpernetz mit zwei Dreiecken und drei Rechtecken. Wichtig ist hierbei, dass die längere Seite an den Dreiecken anliegt, da wir zwei verschiedene Körpernetze für Prismen haben.
    Sechsseitiges Prisma
    • Das Körpernetz eines sechsseitigen Prismas besteht aus zwei Fünfecken und fünf Rechtecken.
    Würfel
    • Der Würfel hat ein Körpernetz, das sich aus sechs Quadraten zusammensetzt. Zwei dieser Quadrate sind jeweils Deck- und Grundfläche. Die anderen vier ergeben die Mantelfläche.
    übrige Körpernetze
    • Das Körpernetz bestehend aus zwei Dreiecken und zwei Rechtecken, deren kurze Seite an den Dreiecken anliegt, beschreibt zwar auch ein Prisma, aber nicht das gewünschte. Dieses Prisma wäre deutlich höher und hat eine verhältnismäßig kleine Grundfläche.
    • Das Körpernetz bestehend aus zwei Trapezen und vier Rechtecken gehört zu einem Prisma. Dieses hat gleichschenklige Trapeze als Deck- und Grundfläche.