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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

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Team Digital
Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen
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Grundlagen zum Thema Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Inhalt

Oberfläche eines Prismas – Definition

Ein gerades Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten Vielecken in parallelen Ebenen und Rechtecken begrenzt wird. Die beiden Vielecke nennt man Bodenfläche und Deckfläche und sie liegen bei einem geraden Prisma genau übereinander. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, die alle zwei Seitenlängen gemeinsam haben. Diese Länge ist die Höhe des Prismas. Die Oberfläche des Prismas besteht aus allen Flächen, die das Prisma begrenzen – also aus den Seitenflächen sowie der Deck- und der Bodenfläche.

In diesem Video erklären wir dir, wie du den Flächeninhalt der Oberfläche berechnen kannst. Diesen Flächeninhalt nennt man auch den Oberflächeninhalt oder kurz die Oberfläche des Prismas.

Liegen die kongruenten Deck- und Bodenflächen eines Prismas in zueinander parallelen Ebenen, aber nicht genau übereinander, so handelt es sich um ein schiefes Prisma. Wenn du die Höhe des Prismas richtig berechnest, kannst du die Formel für den Oberflächeninhalt von Prismen auch für schiefe Prismen verwenden.

Oberfläche eines Prismas berechnen

Um den Flächeninhalt der Oberfläche zu berechnen, benutzen wir ein Körpernetz des Prismas. Das Körpernetz erhältst du, wenn du das Prisma längs einiger Kanten aufschneidest und zu einer ebenen Figur auseinanderfaltest. An dem Körpernetz erkennst du genau, aus welchen Flächen die Oberfläche des Prismas zusammengesetzt ist.


Oberfläche eines Quaders – Herleitung

Der Quader ist ein spezielles Prisma, nämlich eines mit rechteckiger Grund- und Deckfläche. Falten wir den Quader auf, so können wir an dem Körpernetz erkennen, aus welchen Flächen die Oberfläche des Quaders zusammengesetzt ist.

Quader: Körper und Körpernetz

Die beiden pinkfarbenen Flächen sind kongruent zueinander. Es handelt sich um die Deck- und Bodenfläche des Quaders mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Die vier orangfarbenen Flächen bilden die Mantelfläche des Quaders. Diese vier Flächen bilden zusammen ein Rechteck mit den Seitenflächen $c$ in der vertikalen Richtung sowie $b+a+b+a$ in der horizontalen. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist die Mantelfläche $M$ des Quaders.

Für die Oberfläche $O$ eines Prismas finden wir die Formel:

$O=2G+M$

Hier ist $G$ die Grundfläche und $O$ die Oberfläche des Prismas. Wir setzen die Seitenlängen ein, fassen die Terme zusammen und erhalten die Formel für den Oberflächeninhalt des Quaders:

$O = 2 \cdot (a \cdot b) + (2a+2b) \cdot c$


Oberfläche eines Quaders – Anwendung

Wir berechnen den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Seitenlängen $a=20~\text{cm}$, $b=15~\text{cm}$ und $c=30~\text{cm}$. Wir setzen also die Werte für $a$, $b$ und $c$ in die Formel ein und erhalten:

$O=2 \cdot 20~\text{cm} \cdot 15~\text{cm} + (2\cdot 20~\text{cm} + 2\cdot 15~\text{cm}) \cdot 30~\text{cm} \newline ~=600~\text{cm}^2 + 2.100~\text{cm}^2 \newline ~=2.700~\text{cm}^2$

Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Herleitung

Ein dreiseitiges Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck. Das Körpernetz des dreiseitigen Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken:

Körpernetz dreiseitiges Prisma

Die drei Rechtecke fügen sich zu einem Rechteck zusammen, dessen Flächeninhalt die Mantelfläche des Prismas ist. Die eine Seitenlänge dieses Rechtecks ist der Umfang $(a+b+c)$ der dreieckigen Grundfläche, die andere Seite ist die Höhe $h_{\text{Prisma}}$ des Prismas. Der Flächeninhalt der Dreiecke kann mithilfe einer Seite $c$ und der dazugehörigen Höhe $h_c$ berechnet werden. Die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche sieht dann insgesamt so aus:

$O = 2G +M = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c + (a+b+c) \cdot h_{\text{Prisma}}$

Mit dieser Formel kannst du die Oberfläche jedes geraden dreiseitigen Prismas berechnen, wenn du die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ sowie die Höhen $h_c$ und $h_{\text{Prisma}}$ kennst.


Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Anwendung

Wir berechnen die Oberfläche eines Prismas mit den Seitenlängen $a=b=c=25~\text{cm}$ und den Höhen $h_{\text{Prisma}} = 35~\text{cm}$ sowie $h_c=21,7~\text{cm}$. Dazu setzen wir die Werte in die Formel ein:

$O=25~\text{cm} \cdot 21,7~\text{cm} + (25~\text{cm} +25~\text{cm} +25~\text{cm}) \cdot 35~\text{cm} \newline = 542,5~\text{cm} + 75~\text{cm} \cdot 35~\text{cm} \newline = 3.167,5~\text{cm}^2$

Oberflächeninhalt eines Prismas – Zusammenfassung

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie du die Oberfläche gerader Prismen berechnen kannst. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen sofort ausprobieren kannst!

Transkript Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Willkommen zurück bei DIY Debbie! Wollt ihr Geschenke einpacken und nie wieder zu viel Geschenkpapier verwenden? Euch nervt die Verschwendung genauso wie mich? Dann seid ihr hier genau richtig! Heute zeige ich euch, wie ihr am besten Geschenke einpackt! Und ich verspreche, meine Methode ist idiotensicher! Dazu müsst ihr einfach den Oberflächeninhalt von Prismen berechnen. Wiederholen wir dazu zunächst was ein gerades Prisma überhaupt ist. Dabei handelt es sich um einen Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Das heißt, dass auch der Quader und der Würfel Prismen sind. Verläuft die Verschiebung nicht senkrecht, so sprechen wir von einem schiefen Prisma. Damit beschäftigen wir uns in diesem Video aber nicht. Betrachten wir zunächst diesen Quader. Die Oberfläche eines Prismas ist dann genau die Fläche, die den Körper umgibt. Klappen wir ihn auf, so sehen wir das Körpernetz des Quaders und können erkennen, aus welchen Flächen die Oberfläche zusammengesetzt ist. Wir haben hier die zwei kongruenten Grundflächen. Diese vier Flächen ergeben zusammen die Mantelfläche in der Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen b + a + b + a und c, also genau den Umfang der Grundfläche. Das hier können wir zusammenfassen zu 2a + 2b. Die Oberfläche eines Prismas ergibt sich dann durch 2 mal G plus M. G steht hier für Grundfläche und M für Mantelfläche. Für diesen Quader haben wir also 2 mal (a mal b) + (2a + 2b) mal c. Betrachten wir unser erstes Geschenk, diese beiden Debbie DIY Bücher, müssen wir hier nur noch die Seitenlängen einsetzen. Das Geschenk hat also eine Oberfläche von 2 mal 20 mal 15 plus in Klammern (2 mal 20 + 2 mal 15) mal 30 also 2700 Quadratzentimetern. Guckt! Das war doch total einfach. Auf zum nächsten Geschenk. Dieses ist in der Form eines dreiseitigen Prismas. Hier ist die Grundfläche also ein Dreieck. Klappen wir das Prisma auf, so sehen wir, dass die Oberfläche aus den zwei Grundflächen und 3 Seitenflächen besteht. Die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist der Umfang des Dreiecks. Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen wir mit ein Halb mal c mal h_c also berechnen wir die Oberfläche mit ein Halb mal 2 mal c mal h_c plus (a+b+c) mal h_Prisma. Das hier können wir zu c mal h_c zusammenfassen. Bei der Berechnung der Oberfläche eines geraden Prismas musst du also IMMER die beiden Grundflächen bestimmen. Außerdem musst du erkennen, wie sich die Seitenlängen der rechteckigen Mantelfläche zusammensetzen. Betrachten wir unser zweites Geschenk, diese Lampe, müssen wir hier also nur noch die Seitenlängen einsetzen. Das Geschenk hat also eine Oberfläche von 25cm mal 21,7cm plus in Klammern (25cm plus 25cm plus 25cm) mal 35cm also 3167,5 Quadratzentimetern. Und während ich die restlichen Geschenke einpacke, fassen wir noch schnell zusammen. Möchtest du die Oberfläche eines Prismas bestimmen, so musst du wissen wie dieses aufgebaut ist. Dazu hilft dir das Körpernetz des Prismas. Das Prisma besteht aus zwei deckungsgleichen Flächen und der Mantelfläche. Du bestimmst die Oberfläche also mit 2 mal G plus M. Bei einem geraden Prisma ist die Mantelfläche ein Rechteck und die Seitenlängen ergeben sich aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe des Prismas. Fertig! Und wenn ihr euch an meine Tipps und Tricks haltet, könnt ihr Geschenke einpacken und benutzt nie mehr zu viel Geschenkpapier! Aber fehlt da nicht noch was?! Genau! Und wie ich das am besten zusammenklebe, zeige ich euch im nächsten Video. Bis dahin: Was sind eure DIY Geschenkpapier Lifehacks? Schreibt es in die Kommentare! Und vergesst nicht zu abonnieren.

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. is lustig :)

    Von Leni, vor 29 Tagen
  2. Das finde ich auch ♟♟♟♟♟♟♟♟♟♟♟♟♟🦆🦆🦆🦆🦆🦆🦆🦆🦆🦆🦆🗄🗄😺😺😺😺😺😺😺😺😺😺

    Von Honoka , vor 4 Monaten
  3. Finde_ich_auch!

    Von Zeyu, vor 6 Monaten
  4. @DIY Debbie Ich würde das Geschenkpapier nicht auf die Geschenke kleben sondern nur das Geschenk mit dem Geschenkpapier umwickeln.

    Von Bianca Blankschein, vor 6 Monaten
  5. Finde ich gut erklärt

    Von Leon, vor 7 Monaten
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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Ein gerades Prisma ist z. B. ein Quader.

    Die Grund- und Deckfläche eines Prisma kannst du durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen.

    Die seitlichen Flächen eines Prisma bilden zusammen seine Mantelfläche.

    Lösung

    Ein Prisma ist ein Körper mit zwei zueinander parallelen, kongruenten Flächen, die Grundfläche und Deckfläche genannt werden. Bei einem geraden Prisma stehen die seitlichen Kanten senkrecht auf der Grund- und Deckfläche, bei einem schiefen Prisma nicht. Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche sowie der Grundfläche und der Deckfläche zusammen. Die seitlichen Flächen eines Prismas sind Rechtecke. Im Körpernetz lassen sich diese verschiedenen Rechtecke zu einem Rechteck zusammensetzen.

    So erhältst du folgende vollständigen Sätze:

    • Die Grund- und Deckfläche eines Prismas ... sind zueinander kongruente Vielecke.
    • Die seitlichen Kanten eines schiefen Prismas ... stehen nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.
    • Die Oberfläche eines Prismas ... besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche.
    • Die Rechtecke der Mantelfläche eines Prismas ... lassen sich im Körpernetz zu einem Rechteck zusammenfassen.
  • Bestimme die Flächen.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.

    Die Oberfläche $O$ eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche $M$ und der Grund- und Deckfläche zusammen.

    Die Formel für die Mantelfläche eines Prismas enthält die Höhe des Prismas als Faktor.

    Lösung

    Die Oberfläche eines geraden Prismas besteht aus der Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist das Produkt der Höhe mit dem Umfang der Grundfläche. Den Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche musst du jeweils einzeln berechnen. Hier findest du folgende Formeln:

    Quader:

    • Die Mantelfläche ist $h \cdot (2a+2b)$, denn der Umfang der rechteckigen Grundfläche beträgt $2a+2b$.
    Dreiseitiges Prisma:
    • Die Grundfläche hat die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ und den Umfang $(a+b+c)$.
    • Die Mantelfläche hat daher den Flächeninhalt $(a+b+c) \cdot h_{\text{Prisma}}$.
    • Die Grundfläche des dreiseitigen Prismas hat den Flächeninhalt $G = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$.
    Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
    • Eine Pyramide ist kein Prisma.
    • Der Flächeninhalt der Oberfläche kann also nicht mit $O = 2 \cdot G + M$ berechnet werden.

  • Beschreibe die Berechnung der Oberfläche.

    Tipps

    Die Seiten eines Prismas sind rechteckig und bilden seine Mantelfläche.

    Der Flächeninhalt der Mantelfläche eines Prismas ist das Produkt der Höhe des Prismas mit dem Umfang der Grundfläche.

    Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang.

    Lösung

    Die Seitenflächen eines Prismas bilden zusammen die Mantelfläche. Die Anzahl der Seitenflächen werden zur Bezeichnung verwendet. Ein Prisma heißt fünfseitig, wenn seine Grund- und Deckfläche jeweils fünf Ecken haben. Die Oberfläche eines geraden fünfseitigen Prismas besteht aus fünf Rechtecken als Mantelfläche und zwei Fünfecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen des Prismas kann man in einem geeigneten Körpernetz zu einem Rechteck zusammenfassen. Um ein solches Körpernetz zu erhalten, musst du das Prisma längs einiger Kanten aufschneiden. Die Kantenlängen des Mantelflächen-Rechtecks im Körpernetz sind die Höhe des Prismas sowie der Umfang des Fünfecks.

    Die Grundfläche des Prismas im zweiten Bild ist ein unregelmäßiges Fünfeck. Es lässt sich in ein Quadrat und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen. Die Mantelfläche des Prismas ist das Doppelte der Fläche des Dreiecks sowie des Quadrates zuzüglich dem Produkt aus der Höhe $h$ des Prisma und dem Umfang $(2b+3a)$ des Fünfecks, also:

    $M =h \cdot (3 \cdot a + 2 \cdot b)$

    Die Grundfläche hat den Flächeninhalt:

    $G =a^2 + \frac{1}{2} \cdot b^2$

  • Erschließe die Formel für die Oberfläche.

    Tipps

    Einen Quader mit quadratischer Grund- und Deckfläche und rechteckigen Seitenflächen kannst du zu einem Quader mit zwei quadratischen Seitenflächen drehen, ohne die Oberfläche zu verändern.

    Der Satz des Pythagoras impliziert: Das Quadrat der Diagonalen eines Quadrates ist doppelt so groß wie das Quadrat einer Seite des Quadrates.

    Lösung

    Die Oberfläche jedes geraden Prismas lässt sich in die Mantelfläche und die Grund- und Deckfläche zerlegen. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist der eines Rechtecks in einem geeigneten Körpernetz. Die eine Seite des Rechtecks ist die Höhe des Prismas, die andere Seite ist der Umfang der Grundfläche. Hier sind die einzelnen Prismen:

    fünfeckige Grundfläche:

    • Grund - und Deckfläche lassen sich jeweils in ein Quadrat mit der Kantenlänge $a$ und ein diagonal halbiertes Quadrat mit Kantenlänge $b$ zerlegen.
    • Der Flächeninhalt der Grundfläche ist $a^2 + \frac{1}{2}b^2$, der Umfang ist $3a+2b$.
    • Zusammen ist die Oberfläche $O = 2 \cdot (a^2 \frac{1}{2}b^2)+ h \cdot (3a+2b) = 2a^2+b^2+ (3a+2b) \cdot h$.
    Quader mit quadratischer Grundfläche:
    • Grund- und Deckfläche haben jeweils den Flächeninhalt $a^2$.
    • Der Umfang des Quadrates ist $4a$, die Mantelfläche ist $4ab$.
    • Somit ist $O = 2a^2+4ab$.
    Quader mit rechteckiger, nicht quadratischer Grundfläche:
    • Grund- und Deckfläche haben jeweils den Flächeninhalt $ab$.
    • Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt $2ab + 2b^2$.
    • Zusammen ist $O = 2ab + 2ab + 2b^2 = 4ab+b^2$.
    Prisma mit dreieckiger Grundfläche:
    • Grundfläche ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, also ein diagonal halbiertes Quadrat der Seitenlänge $a$.
    • Der Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche ist daher $\frac{1}{2} a^2$.
    • Die Hypotenuse des Dreiecks hat die Länge $b$. Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt daher $2ah+bh=h(2a+b)$.

  • Beschrifte die Bilder mit der zutreffenden speziellsten Bezeichnung.

    Tipps

    Die Grund- und Deckfläche eines Prismas werden nicht zu den Seiten gezählt.

    Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche parallel und kongruent.

    Du kannst einen Körper wie Quader, Prisma oder Würfel zu einem Körpernetz auseinander falten.

    Lösung

    Ein Prisma ist ein Körper mit zwei parallelen Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Kanten eines geraden Prismas stehen senkrecht auf der Grund- bzw. Deckfläche, die eines schiefen Prisma nicht. Ein Prisma heißt dreiseitig, wenn seine Grund- und Deckfläche ein Dreieck ist. Ein gerades Prisma mit quadratischer Grundfläche, dessen Seiten alle gleich lang sind, heißt Würfel. Ist die Grundfläche oder eine der anderen Seiten kein Quadrat, so heißt das Prisma Quader. Die Oberfläche eines Tetraeders besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Ein Tetraeder sieht aus wie eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und ist kein Prisma. Ein regelmäßiger Körper, dessen Seiten Fünfecke sind, heißt Dodekaeder und ist kein Prisma. Die Oberfläche eines Prismas kannst du zu einem Körpernetz auseinanderfalten.

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, einen gegebenen Körper in ein Körpernetz zu zerlegen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Mantelfläche sowie Grund- und Deckfläche.“ Ein Zylinder ist zwar kein Prisma, da seine Grund- und Deckfläche keine Vielecke sind, aber den Oberflächeninhalt kannst du wie bei einem Prisma aus der Mantelfläche sowie Deck- und Grundfläche berechnen.
    • „Halbierst du die Höhe eines Prismas und lässt seine Grundfläche unverändert, so ist die Oberfläche des niedrigeren Prismas mehr als die Hälfte der Oberfläche des ursprünglichen Prismas.“ Die Oberfläche $O$ des Prismas besteht aus der Mantelfläche $M$ und der Grund- und Deckfläche $G$, daher ist $O = M + 2G$. Halbierst du die Höhe des Prismas, so halbierst du auch die Mantelfläche $M$, die Grund- und Bodenfläche bleiben unverändert. Das halbierte Prisma hat dann die Oberfläche $O' = \frac{1}{2} M + 2G$. Dies ist mehr als die Hälfte von $O = M + 2G$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Zwei Prismen mit derselben Grundfläche haben dieselbe Oberfläche.“ Für die Oberfläche der Prismen ist auch die Höhe entscheidend, denn die Höhe kommt in der Formel für die Mantelfläche vor.
    • „In jedem Körpernetz eines Prismas entspricht die Mantelfläche des Prismas einem Rechteck.“ Du musst das Prisma längs genau einer Seite aufschneiden, um ein Körpernetz zu erhalten, in dem die Mantelfläche einem Rechteck entspricht.
    • „Verdoppelst du die Höhe eines Prismas und lässt seine Grundfläche gleich, so verdoppelt sich auch die Oberfläche.“ Da sich die Grund- und Deckfläche unverändert bleiben, verdoppelt sich auch ihr Flächeninhalt nicht. Der Inhalt der Mantelfläche wird bei der Verdoppelung der Höhe ebenfalls verdoppelt. Somit ist der Flächeninhalt des in der Höhe verdoppelten Prismas kleiner als das Doppelte des ursprünglichen Flächeninhalts.
    • „Die Mantelfläche eines Prismas ist größer als die Hälfte des Flächeninhalts seines Körpernetzes.“Der Flächeninhalt des Körpernetzes entspricht der Oberfläche des Prismas. Wie groß die Mantelfläche und die Oberfläche eines Prismas relativ zueinander sind, hängt von der Höhe des Prismas ab.
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