Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen 05:30 min
Transkript Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen
Willkommen zurück bei DIY Debbie! Wollt ihr Geschenke einpacken und nie wieder zu viel Geschenkpapier verwenden? Euch nervt die Verschwendung genauso wie mich? Dann seid ihr hier genau richtig! Heute zeige ich euch, wie ihr am besten Geschenke einpackt! Und ich verspreche, meine Methode ist idiotensicher! Dazu müsst ihr einfach den Oberflächeninhalt von Prismen berechnen. Wiederholen wir dazu zunächst was ein gerades Prisma überhaupt ist. Dabei handelt es sich um einen Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Das heißt, dass auch der Quader und der Würfel Prismen sind. Verläuft die Verschiebung nicht senkrecht, so sprechen wir von einem schiefen Prisma. Damit beschäftigen wir uns in diesem Video aber nicht. Betrachten wir zunächst diesen Quader. Die Oberfläche eines Prismas ist dann genau die Fläche, die den Körper umgibt. Klappen wir ihn auf, so sehen wir das Körpernetz des Quaders und können erkennen, aus welchen Flächen die Oberfläche zusammengesetzt ist. Wir haben hier die zwei kongruenten Grundflächen. Diese vier Flächen ergeben zusammen die Mantelfläche in der Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen b + a + b + a und c, also genau den Umfang der Grundfläche. Das hier können wir zusammenfassen zu 2a + 2b. Die Oberfläche eines Prismas ergibt sich dann durch 2 mal G plus M. G steht hier für Grundfläche und M für Mantelfläche. Für diesen Quader haben wir also 2 mal (a mal b) + (2a + 2b) mal c. Betrachten wir unser erstes Geschenk, diese beiden Debbie DIY Bücher, müssen wir hier nur noch die Seitenlängen einsetzen. Das Geschenk hat also eine Oberfläche von 2 mal 20 mal 15 plus in Klammern (2 mal 20 + 2 mal 15) mal 30 also 2700 Quadratzentimetern. Guckt! Das war doch total einfach. Auf zum nächsten Geschenk. Dieses ist in der Form eines dreiseitigen Prismas. Hier ist die Grundfläche also ein Dreieck. Klappen wir das Prisma auf, so sehen wir, dass die Oberfläche aus den zwei Grundflächen und 3 Seitenflächen besteht. Die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist der Umfang des Dreiecks. Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen wir mit ein Halb mal c mal h_c also berechnen wir die Oberfläche mit ein Halb mal 2 mal c mal h_c plus (a+b+c) mal h_Prisma. Das hier können wir zu c mal h_c zusammenfassen. Bei der Berechnung der Oberfläche eines geraden Prismas musst du also IMMER die beiden Grundflächen bestimmen. Außerdem musst du erkennen, wie sich die Seitenlängen der rechteckigen Mantelfläche zusammensetzen. Betrachten wir unser zweites Geschenk, diese Lampe, müssen wir hier also nur noch die Seitenlängen einsetzen. Das Geschenk hat also eine Oberfläche von 25cm mal 21,7cm plus in Klammern (25cm plus 25cm plus 25cm) mal 35cm also 3167,5 Quadratzentimetern. Und während ich die restlichen Geschenke einpacke, fassen wir noch schnell zusammen. Möchtest du die Oberfläche eines Prismas bestimmen, so musst du wissen wie dieses aufgebaut ist. Dazu hilft dir das Körpernetz des Prismas. Das Prisma besteht aus zwei deckungsgleichen Flächen und der Mantelfläche. Du bestimmst die Oberfläche also mit 2 mal G plus M. Bei einem geraden Prisma ist die Mantelfläche ein Rechteck und die Seitenlängen ergeben sich aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe des Prismas. Fertig! Und wenn ihr euch an meine Tipps und Tricks haltet, könnt ihr Geschenke einpacken und benutzt nie mehr zu viel Geschenkpapier! Aber fehlt da nicht noch was?! Genau! Und wie ich das am besten zusammenklebe, zeige ich euch im nächsten Video. Bis dahin: Was sind eure DIY Geschenkpapier Lifehacks? Schreibt es in die Kommentare! Und vergesst nicht zu abonnieren.
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Oberflächeninhalt verschiedener Prismen zu bestimmen.
Zunächst lernst du, aus welchen Flächen der Oberflächeninhalt eines Prismas sich zusammensetzt. Anschließend lernst du, wie du die Seitenlängen der Mantelfläche herausfinden kannst. Abschließend siehst du noch ein weiteres Beispiel zur Berechnung des Oberflächeninhalts von Prismen.
Lerne etwas über den Oberflächeninhalt von Prismen, während du von DIY Debbie lernst, wie man Geschenke am besten einpackt.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Prisma, gerade Prisma, ungerades Prisma, Oberflächeninhalt, Mantelfläche und Grundfläche.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Prisma ist.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Berechnung des Volumens eines Prismas zu lernen.
Die Tutoren:
Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen
Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst du es wiederholen und üben.
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Vervollständige die Sätze.
Tipps
Ein gerades Prisma ist z. B. ein Quader.
Die Grund- und Deckfläche eines Prisma kannst du durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen.
Die seitlichen Flächen eines Prisma bilden zusammen seine Mantelfläche.
Lösung
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei zueinander parallelen, kongruenten Flächen, die Grundfläche und Deckfläche genannt werden. Bei einem geraden Prisma stehen die seitlichen Kanten senkrecht auf der Grund- und Deckfläche, bei einem schiefen Prisma nicht. Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche sowie der Grundfläche und der Deckfläche zusammen. Die seitlichen Flächen eines Prismas sind Rechtecke. Im Körpernetz lassen sich diese verschiedenen Rechtecke zu einem Rechteck zusammensetzen.
So erhältst du folgende vollständigen Sätze:
- Die Grund- und Deckfläche eines Prismas ... sind zueinander kongruente Vielecke.
- Die seitlichen Kanten eines schiefen Prismas ... stehen nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.
- Die Oberfläche eines Prismas ... besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche.
- Die Rechtecke der Mantelfläche eines Prismas ... lassen sich im Körpernetz zu einem Rechteck zusammenfassen.
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Bestimme die Flächen.
Tipps
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.
Die Oberfläche $O$ eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche $M$ und der Grund- und Deckfläche zusammen.
Die Formel für die Mantelfläche eines Prismas enthält die Höhe des Prismas als Faktor.
Lösung
Die Oberfläche eines geraden Prismas besteht aus der Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist das Produkt der Höhe mit dem Umfang der Grundfläche. Den Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche musst du jeweils einzeln berechnen. Hier findest du folgende Formeln:
Quader:
- Die Mantelfläche ist $h \cdot (2a+2b)$, denn der Umfang der rechteckigen Grundfläche beträgt $2a+2b$.
- Die Grundfläche hat die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ und den Umfang $(a+b+c)$.
- Die Mantelfläche hat daher den Flächeninhalt $(a+b+c) \cdot h_{\text{Prisma}}$.
- Die Grundfläche des dreiseitigen Prismas hat den Flächeninhalt $G = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$.
- Eine Pyramide ist kein Prisma.
- Der Flächeninhalt der Oberfläche kann also nicht mit $O = 2 \cdot G + M$ berechnet werden.
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Beschreibe die Berechnung der Oberfläche.
Tipps
Die Seiten eines Prismas sind rechteckig und bilden seine Mantelfläche.
Der Flächeninhalt der Mantelfläche eines Prismas ist das Produkt der Höhe des Prismas mit dem Umfang der Grundfläche.
Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang.
Lösung
Die Seitenflächen eines Prismas bilden zusammen die Mantelfläche. Die Anzahl der Seitenflächen werden zur Bezeichnung verwendet. Ein Prisma heißt fünfseitig, wenn seine Grund- und Deckfläche jeweils fünf Ecken haben. Die Oberfläche eines geraden fünfseitigen Prismas besteht aus fünf Rechtecken als Mantelfläche und zwei Fünfecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen des Prismas kann man in einem geeigneten Körpernetz zu einem Rechteck zusammenfassen. Um ein solches Körpernetz zu erhalten, musst du das Prisma längs einiger Kanten aufschneiden. Die Kantenlängen des Mantelflächen-Rechtecks im Körpernetz sind die Höhe des Prismas sowie der Umfang des Fünfecks.
Die Grundfläche des Prismas im zweiten Bild ist ein unregelmäßiges Fünfeck. Es lässt sich in ein Quadrat und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen. Die Mantelfläche des Prismas ist das Doppelte der Fläche des Dreiecks sowie des Quadrates zuzüglich dem Produkt aus der Höhe $h$ des Prisma und dem Umfang $(2b+3a)$ des Fünfecks, also:
$M =h \cdot (3 \cdot a + 2 \cdot b)$
Die Grundfläche hat den Flächeninhalt:
$G =a^2 + \frac{1}{2} \cdot b^2$
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Erschließe die Formel für die Oberfläche.
Tipps
Einen Quader mit quadratischer Grund- und Deckfläche und rechteckigen Seitenflächen kannst du zu einem Quader mit zwei quadratischen Seitenflächen drehen, ohne die Oberfläche zu verändern.
Der Satz des Pythagoras impliziert: Das Quadrat der Diagonalen eines Quadrates ist doppelt so groß wie das Quadrat einer Seite des Quadrates.
Lösung
Die Oberfläche jedes geraden Prismas lässt sich in die Mantelfläche und die Grund- und Deckfläche zerlegen. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist der eines Rechtecks in einem geeigneten Körpernetz. Die eine Seite des Rechtecks ist die Höhe des Prismas, die andere Seite ist der Umfang der Grundfläche. Hier sind die einzelnen Prismen:
fünfeckige Grundfläche:
- Grund - und Deckfläche lassen sich jeweils in ein Quadrat mit der Kantenlänge $a$ und ein diagonal halbiertes Quadrat mit Kantenlänge $b$ zerlegen.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche ist $a^2 + \frac{1}{2}b^2$, der Umfang ist $3a+2b$.
- Zusammen ist die Oberfläche $O = 2 \cdot (a^2 \frac{1}{2}b^2)+ h \cdot (3a+2b) = 2a^2+b^2+ (3a+2b) \cdot h$.
- Grund- und Deckfläche haben jeweils den Flächeninhalt $a^2$.
- Der Umfang des Quadrates ist $4a$, die Mantelfläche ist $4ab$.
- Somit ist $O = 2a^2+4ab$.
- Grund- und Deckfläche haben jeweils den Flächeninhalt $ab$.
- Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt $2ab + 2b^2$.
- Zusammen ist $O = 2ab + 2ab + 2b^2 = 4ab+b^2$.
- Grundfläche ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, also ein diagonal halbiertes Quadrat der Seitenlänge $a$.
- Der Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche ist daher $\frac{1}{2} a^2$.
- Die Hypotenuse des Dreiecks hat die Länge $b$. Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt daher $2ah+bh=h(2a+b)$.
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Beschrifte die Bilder mit der zutreffenden speziellsten Bezeichnung.
Tipps
Die Grund- und Deckfläche eines Prismas werden nicht zu den Seiten gezählt.
Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche parallel und kongruent.
Du kannst einen Körper wie Quader, Prisma oder Würfel zu einem Körpernetz auseinander falten.
Lösung
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei parallelen Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Kanten eines geraden Prismas stehen senkrecht auf der Grund- bzw. Deckfläche, die eines schiefen Prisma nicht. Ein Prisma heißt dreiseitig, wenn seine Grund- und Deckfläche ein Dreieck ist. Ein gerades Prisma mit quadratischer Grundfläche, dessen Seiten alle gleich lang sind, heißt Würfel. Ist die Grundfläche oder eine der anderen Seiten kein Quadrat, so heißt das Prisma Quader. Die Oberfläche eines Tetraeders besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Ein Tetraeder sieht aus wie eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und ist kein Prisma. Ein regelmäßiger Körper, dessen Seiten Fünfecke sind, heißt Dodekaeder und ist kein Prisma. Die Oberfläche eines Prismas kannst du zu einem Körpernetz auseinanderfalten.
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Analysiere die Aussagen.
Tipps
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, einen gegebenen Körper in ein Körpernetz zu zerlegen.
Lösung
Folgende Aussagen sind richtig:
- „Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Mantelfläche sowie Grund- und Deckfläche.“ Ein Zylinder ist zwar kein Prisma, da seine Grund- und Deckfläche keine Vielecke sind, aber den Oberflächeninhalt kannst du wie bei einem Prisma aus der Mantelfläche sowie Deck- und Grundfläche berechnen.
- „Halbierst du die Höhe eines Prismas und lässt seine Grundfläche unverändert, so ist die Oberfläche des niedrigeren Prismas mehr als die Hälfte der Oberfläche des ursprünglichen Prismas.“ Die Oberfläche $O$ des Prismas besteht aus der Mantelfläche $M$ und der Grund- und Deckfläche $G$, daher ist $O = M + 2G$. Halbierst du die Höhe des Prismas, so halbierst du auch die Mantelfläche $M$, die Grund- und Bodenfläche bleiben unverändert. Das halbierte Prisma hat dann die Oberfläche $O' = \frac{1}{2} M + 2G$. Dies ist mehr als die Hälfte von $O = M + 2G$.
- „Zwei Prismen mit derselben Grundfläche haben dieselbe Oberfläche.“ Für die Oberfläche der Prismen ist auch die Höhe entscheidend, denn die Höhe kommt in der Formel für die Mantelfläche vor.
- „In jedem Körpernetz eines Prismas entspricht die Mantelfläche des Prismas einem Rechteck.“ Du musst das Prisma längs genau einer Seite aufschneiden, um ein Körpernetz zu erhalten, in dem die Mantelfläche einem Rechteck entspricht.
- „Verdoppelst du die Höhe eines Prismas und lässt seine Grundfläche gleich, so verdoppelt sich auch die Oberfläche.“ Da sich die Grund- und Deckfläche unverändert bleiben, verdoppelt sich auch ihr Flächeninhalt nicht. Der Inhalt der Mantelfläche wird bei der Verdoppelung der Höhe ebenfalls verdoppelt. Somit ist der Flächeninhalt des in der Höhe verdoppelten Prismas kleiner als das Doppelte des ursprünglichen Flächeninhalts.
- „Die Mantelfläche eines Prismas ist größer als die Hälfte des Flächeninhalts seines Körpernetzes.“Der Flächeninhalt des Körpernetzes entspricht der Oberfläche des Prismas. Wie groß die Mantelfläche und die Oberfläche eines Prismas relativ zueinander sind, hängt von der Höhe des Prismas ab.
5 Kommentare
Sehr gut gemacht. Habe es gleich besser verstanden!
Hallo Kajal10,
du kannst die Geschwindigkeit unserer Videos selbst anpassen. Dafür klickst du einfach auf das kleine Tacho-Symbol unten rechts im Videofenster.
Liebe Grüße aus der Redaktion.
Ein bisschen zu schnell und zu viele Formeln hintereinander
@Klaus Hoffmann
Die Größe h_Prisma, also die Höhe des Prismas, war in diesem Video vorgegeben. Es ging darum, dass wenn wir alle Seitenlängen haben, wie wir noch auf Oberfläche und Volumen des Prismas kommen.
h_Prisma wird dir hier also schon bereitgestellt, und muss nicht noch berechnet werden.
LG L. Henke
Gutes Video, das einzige, was ich jetzt nicht verstanden habe, ist, wie man jetzt auf Hprisma gekommen ist.