Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen Übung

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Ein gerades Prisma ist z. B. ein Quader.

  Die Grund- und Deckfläche eines Prisma kannst du durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen.

  Die seitlichen Flächen eines Prisma bilden zusammen seine Mantelfläche.

  Lösung

  Ein Prisma ist ein Körper mit zwei zueinander parallelen, kongruenten Flächen, die Grundfläche und Deckfläche genannt werden. Bei einem geraden Prisma stehen die seitlichen Kanten senkrecht auf der Grund- und Deckfläche, bei einem schiefen Prisma nicht. Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche sowie der Grundfläche und der Deckfläche zusammen. Die seitlichen Flächen eines Prismas sind Rechtecke. Im Körpernetz lassen sich diese verschiedenen Rechtecke zu einem Rechteck zusammensetzen.

  So erhältst du folgende vollständigen Sätze:

  • Die Grund- und Deckfläche eines Prismas ... sind zueinander kongruente Vielecke.
  • Die seitlichen Kanten eines schiefen Prismas ... stehen nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.
  • Die Oberfläche eines Prismas ... besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche.
  • Die Rechtecke der Mantelfläche eines Prismas ... lassen sich im Körpernetz zu einem Rechteck zusammenfassen.

• Bestimme die Flächen.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.

  Die Oberfläche $O$ eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche $M$ und der Grund- und Deckfläche zusammen.

  Die Formel für die Mantelfläche eines Prismas enthält die Höhe des Prismas als Faktor.

  Lösung

  Die Oberfläche eines geraden Prismas besteht aus der Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist das Produkt der Höhe mit dem Umfang der Grundfläche. Den Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche musst du jeweils einzeln berechnen. Hier findest du folgende Formeln:

  Quader:

  • Die Mantelfläche ist $h \cdot (2a+2b)$, denn der Umfang der rechteckigen Grundfläche beträgt $2a+2b$.

  Dreiseitiges Prisma:

  • Die Grundfläche hat die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ und den Umfang $(a+b+c)$.
  • Die Mantelfläche hat daher den Flächeninhalt $(a+b+c) \cdot h_{\text{Prisma}}$.
  • Die Grundfläche des dreiseitigen Prismas hat den Flächeninhalt $G = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$.

  Pyramide mit quadratischer Grundfläche:

  • Eine Pyramide ist kein Prisma.
  • Der Flächeninhalt der Oberfläche kann also nicht mit $O = 2 \cdot G + M$ berechnet werden.

• Beschreibe die Berechnung der Oberfläche.

  Tipps

  Die Seiten eines Prismas sind rechteckig und bilden seine Mantelfläche.

  Der Flächeninhalt der Mantelfläche eines Prismas ist das Produkt der Höhe des Prismas mit dem Umfang der Grundfläche.

  Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang.

  Lösung

  Die Seitenflächen eines Prismas bilden zusammen die Mantelfläche. Die Anzahl der Seitenflächen werden zur Bezeichnung verwendet. Ein Prisma heißt fünfseitig, wenn seine Grund- und Deckfläche jeweils fünf Ecken haben. Die Oberfläche eines geraden fünfseitigen Prismas besteht aus fünf Rechtecken als Mantelfläche und zwei Fünfecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen des Prismas kann man in einem geeigneten Körpernetz zu einem Rechteck zusammenfassen. Um ein solches Körpernetz zu erhalten, musst du das Prisma längs einiger Kanten aufschneiden. Die Kantenlängen des Mantelflächen-Rechtecks im Körpernetz sind die Höhe des Prismas sowie der Umfang des Fünfecks.

  Die Grundfläche des Prismas im zweiten Bild ist ein unregelmäßiges Fünfeck. Es lässt sich in ein Quadrat und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen. Die Mantelfläche des Prismas ist das Doppelte der Fläche des Dreiecks sowie des Quadrates zuzüglich dem Produkt aus der Höhe $h$ des Prismas und dem Umfang $(2b+3a)$ des Fünfecks, also:

  $M =h \cdot (3 \cdot a + 2 \cdot b)$

  Die Grundfläche hat den Flächeninhalt:

  $G =a^2 + \frac{1}{2} \cdot b^2$

• Erschließe die Formel für die Oberfläche.

  Tipps

  Einen Quader mit quadratischer Grund- und Deckfläche und rechteckigen Seitenflächen kannst du zu einem Quader mit zwei quadratischen Seitenflächen drehen, ohne die Oberfläche zu verändern.

  Der Satz des Pythagoras impliziert: Das Quadrat der Diagonalen eines Quadrates ist doppelt so groß wie das Quadrat einer Seite des Quadrates.

  Lösung

  Die Oberfläche jedes geraden Prismas lässt sich in die Mantelfläche und die Grund- und Deckfläche zerlegen. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist der eines Rechtecks in einem geeigneten Körpernetz. Die eine Seite des Rechtecks ist die Höhe des Prismas, die andere Seite ist der Umfang der Grundfläche. Hier sind die einzelnen Prismen:

  fünfeckige Grundfläche:

  • Grund - und Deckfläche lassen sich jeweils in ein Quadrat mit der Kantenlänge $a$ und ein diagonal halbiertes Quadrat mit Kantenlänge $b$ zerlegen.
  • Der Flächeninhalt der Grundfläche ist $a^2 + \frac{1}{2}b^2$, der Umfang ist $3a+2b$.
  • Zusammen ist die Oberfläche $O = 2 \cdot (a^2 \frac{1}{2}b^2)+ h \cdot (3a+2b) = 2a^2+b^2+ (3a+2b) \cdot h$.

  Quader mit quadratischer Grundfläche:

  • Grund- und Deckfläche haben jeweils den Flächeninhalt $a^2$.
  • Der Umfang des Quadrates ist $4a$, die Mantelfläche ist $4ab$.
  • Somit ist $O = 2a^2+4ab$.

  Quader mit rechteckiger, nicht quadratischer Grundfläche:

  • Grund- und Deckfläche haben jeweils den Flächeninhalt $ab$.
  • Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt $2ab + 2b^2$.
  • Zusammen ist $O = 2ab + 2ab + 2b^2 = 4ab+b^2$.

  Prisma mit dreieckiger Grundfläche:

  • Grundfläche ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, also ein diagonal halbiertes Quadrat der Seitenlänge $a$.
  • Der Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche ist daher $\frac{1}{2} a^2$.
  • Die Hypotenuse des Dreiecks hat die Länge $b$. Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt daher $2ah+bh=h(2a+b)$.

• Beschrifte die Bilder mit der zutreffenden speziellsten Bezeichnung.

  Tipps

  Die Grund- und Deckfläche eines Prismas werden nicht zu den Seiten gezählt.

  Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche parallel und kongruent.

  Du kannst einen Körper wie Quader, Prisma oder Würfel zu einem Körpernetz auseinander falten.

  Lösung

  Ein Prisma ist ein Körper mit zwei parallelen Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Kanten eines geraden Prismas stehen senkrecht auf der Grund- bzw. Deckfläche, die eines schiefen Prisma nicht. Ein Prisma heißt dreiseitig, wenn seine Grund- und Deckfläche ein Dreieck ist. Ein gerades Prisma mit quadratischer Grundfläche, dessen Seiten alle gleich lang sind, heißt Würfel. Ist die Grundfläche oder eine der anderen Seiten kein Quadrat, so heißt das Prisma Quader. Die Oberfläche eines Tetraeders besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Ein Tetraeder sieht aus wie eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und ist kein Prisma. Ein regelmäßiger Körper, dessen Seiten Fünfecke sind, heißt Dodekaeder und ist kein Prisma. Die Oberfläche eines Prismas kannst du zu einem Körpernetz auseinanderfalten.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, einen gegebenen Körper in ein Körpernetz zu zerlegen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Mantelfläche sowie Grund- und Deckfläche.“ Ein Zylinder ist zwar kein Prisma, da seine Grund- und Deckfläche keine Vielecke sind, aber den Oberflächeninhalt kannst du wie bei einem Prisma aus der Mantelfläche sowie Deck- und Grundfläche berechnen.

  • „Halbierst du die Höhe eines Prismas und lässt seine Grundfläche unverändert, so ist die Oberfläche des niedrigeren Prismas mehr als die Hälfte der Oberfläche des ursprünglichen Prismas.“ Die Oberfläche $O$ des Prismas besteht aus der Mantelfläche $M$ und der Grund- und Deckfläche $G$, daher ist $O = M + 2G$. Halbierst du die Höhe des Prismas, so halbierst du auch die Mantelfläche $M$, die Grund- und Bodenfläche bleiben unverändert. Das halbierte Prisma hat dann die Oberfläche $O' = \frac{1}{2} M + 2G$. Dies ist mehr als die Hälfte von $O = M + 2G$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Zwei Prismen mit derselben Grundfläche haben dieselbe Oberfläche.“ Für die Oberfläche der Prismen ist auch die Höhe entscheidend, denn die Höhe kommt in der Formel für die Mantelfläche vor.

  • „In jedem Körpernetz eines Prismas entspricht die Mantelfläche des Prismas einem Rechteck.“ Du musst das Prisma längs genau einer Seite aufschneiden, um ein Körpernetz zu erhalten, in dem die Mantelfläche einem Rechteck entspricht.

  • „Verdoppelst du die Höhe eines Prismas und lässt seine Grundfläche gleich, so verdoppelt sich auch die Oberfläche.“ Da die Grund- und Deckfläche unverändert bleiben, verdoppelt sich auch ihr Flächeninhalt nicht. Der Inhalt der Mantelfläche wird bei der Verdoppelung der Höhe ebenfalls verdoppelt. Somit ist der Flächeninhalt des in der Höhe verdoppelten Prismas kleiner als das Doppelte des ursprünglichen Flächeninhalts.

  • „Die Mantelfläche eines Prismas ist größer als die Hälfte des Flächeninhalts seines Körpernetzes.“ Der Flächeninhalt des Körpernetzes entspricht der Oberfläche des Prismas. Wie groß die Mantelfläche und die Oberfläche eines Prismas relativ zueinander sind, hängt von der Höhe des Prismas ab.