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Kantenlänge eines Quaders bestimmen

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André Otto
Kantenlänge eines Quaders bestimmen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Kantenlänge eines Quaders bestimmen

Die Kantenlänge eines Quaders bestimmen

Fidibus möchte sich ein Aquarium bauen und hat genau $4,80~\text{m}$ Winkeleisen zur Verfügung. Das Winkeleisen muss alle Kanten des Aquariums abdecken – also muss Fidibus wissen, wie man die Kantenlängen eines Quaders bestimmen kann.

Kantenlänge Quader – Definition

Wir müssen uns zunächst daran erinnern, was ein Quader ist. Ein Quader ist eine geometrische Figur mit sechs rechteckigen Seitenflächen, die im rechten Winkel aufeinanderstehen. Die Ecken des Quaders sind rechtwinklig und er hat insgesamt zwölf Kanten.

Kantenlängen eines Quaders bestimmen

Von den zwölf Kanten des Quaders haben immer vier die gleiche Länge. Es gibt die Länge $a$ des Quaders – sie tauchte viermal auf. Außerdem gibt es die Breite $b$ des Quaders – auch sie taucht viermal auf. Und es gibt die Höhe $c$ des Quaders, die auch viermal auftaucht. Es gibt also $4a$, $4b$ und $4c$.

Wenn du die gesamte Kantenlänge des Quaders berechnen willst, musst du alle Kanten addieren. Wenn wir die gesamte Kantenlänge mit $l$ bezeichnen, erhalten wir folgende Formel:

$l = 4a + 4b + 4c$

Wir können auch noch die $4$ ausklammern. Dann sieht die Formel so aus:

$l = 4(a+b+c)$

Kantenlänge Quader – Beispiele

Beispiel 1 – Aquarium

Kommen wir zurück zu Fidibus’ Problem. Fidibus muss das Winkeleisen in die richtigen Längen schneiden. Insgesamt ist es $4,80~\text{m}$ oder $480~\text{cm}$ lang. Um die Kantenlänge des Quaders zu berechnen, haben wir folgende Formel aufgestellt:

$l = 4(a+b+c)$

Wir setzen jetzt die gesamte Länge des Winkeleisens für $l$ ein:

$480~\text{cm} = 4(a+b+c)$

Jetzt teilen wir durch $4$. Dann können wir die $4$ auf der rechten Seite wegstreichen:

$480~\text{cm}:4 = 120~\text{cm} = a+b+c$

Jetzt kann Fidibus sich überlegen, wie er das Aquarium gestalten will. Soll es lieber lang und breit werden? Oder lieber sehr hoch? Er kann immer zwei Seiten frei wählen und dann die dritte berechnen. Wenn das Aquarium zum Beispiel $55~\text{cm}$ lang und $35~\text{cm}$ breit werden soll, muss er die Kantenlänge $c$ bestimmen:

$a=55~\text{cm}$

$b=35~\text{cm}$

Wir können die Länge $c$ zuerst ohne Maßeinheiten berechnen:

$c = 120-a-b = 120 -55 -35 = 30$

Die Länge $c$ beträgt also:

$c = 30~\text{cm}$

Das Aquarium wird dann $30~\text{cm}$ hoch!

Beispiel 2 – Kantenmodell eines Würfels

Wir schauen uns noch einen Spezialfall an. Fidibus will einen Würfel aus Draht bauen. Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Also $a=b=c$. Damit vereinfacht sich unsere Formel für die Gesamtlänge der Kanten:

$l = 4(a+b+c) = 4(a+a+a) = 4(3\cdot a) = 12 \cdot a$

Fidibus hat $120~\text{cm}$ Draht. Wenn er alles verbrauchen will, können wir nun die Kantenlänge $a$ des Würfels berechnen:

$120 = 12 \cdot a \Rightarrow a = 10~\text{cm}$

Dieses Video

In diesem Video lernst du, wie man die Kantenlängen eines Quaders bestimmen kann. Neben Text und Video findest du Aufgaben, mit denen du gleich üben kannst.

Transkript Kantenlänge eines Quaders bestimmen

Hallo! Herzlich willkommen! Dieses Video heißt "Kantenlängen von Quadern bestimmen". Ihr wisst schon, was Kanten, Flächen und die Oberfläche von Quadern sind. Nachher könnt ihr berechnen, wie lang, wie breit und wie hoch man einen Quader oder Würfel aus Kantenmaterial bauen kann. Das Video besteht aus fünf Abschnitten. Erstens: das Aquarium. Zweitens: Formeln für Quader und Würfel. Drittens: Winkeleisen für das Aquarium. Viertens: ein Würfel aus Draht. Und fünftens: der Pappwürfel. Erstens: das Aquarium. Fidibus baut ein Aquarium. Für den Rahmen hat er 4,80 Meter Winkeleisen. Hilf ihm beim Zuschneiden. Um Fidibus helfen zu können, benötigen wir die richtigen Formeln. Zweitens: Formeln für Quader und Würfel. Ein Aquarium hat die Form eines Quaders. Bei der Aufgabe des Aquariums geht es um Kanten. Daher ist es sinnvoll, anstelle dieses Modells ein Kantenmodell zu verwenden. Jeder Quader hat eine bestimmte Länge, eine bestimmte Breite und eine bestimmte Höhe. Wir verwenden dafür die gebräuchlichen Symbole a, b und c. a, b, und c sind auch gleichzeitig die Längen der Kanten des Quaders. In einem Quader treffen wir viermal a an. Wir treffen viermal b an. Und wir treffen viermal c an. Also 4a, 4b und 4c. Wir addieren diese Ausdrücke. 4a + 4b + 4c. Das Ergebnis bezeichnen wir als L. Also L = 4a + 4b + 4c. L ist die Gesamtkantenlänge, also die Summe aller Kanten des Quaders. Somit haben wir unsere Formel für den Quader. Wenn wir auf der rechten Seite der Gleichung die Vier ausklammern, so erhalten wir: L = 4 ⋅ (a + b + c). Beim Würfel vereinfacht sich die Situation, weil alle Kanten gleich sind. a = b = c. Wir setzen nun in die untere Quadergleichung anstelle von b und c a ein und erhalten: L = 4 ⋅ (a + a + a) = 4 ⋅ 3a. Und schließlich L = 12a. Diese Formeln werden uns gute Dienste leisten. Drittens: Winkeleisen für das Aquarium. L, die Gesamtkantenlänge der Aufgabe ist 4,80 Meter. Oder 480 Zentimeter. Wir erinnern uns: L = 4 ⋅ (a+b+c). Also ohne Einheiten: 480 = 4 ⋅ (a + b + c) in Klammern. Damit die Gleichung erfüllt ist, muss gelten: 120 cm = a + b +c. Die Summe von a, b und c muss 120 Zentimeter betragen. Mögliche Lösungen für a, b und c sind: 55 Zentimeter, 35 Zentimeter und 30 Zentimeter. Oder 50 Zentimeter, 30 Zentimeter und 40 Zentimeter. Oder 45 Zentimeter, 40 Zentimeter und 35 Zentimeter. Das sind drei Vorschläge für die Maße des Aquariums, das Fidibus bauen möchte. Viertens: ein Würfel aus Draht. Fidibus hat 120 Zentimeter Kupferdraht. Er baut daraus ein Kantenmodell von einem Würfel. Berechne die Kantenlänge, wenn der gesamte Draht verbraucht wird. Die Gesamtkantenlänge L beträgt 120 Zentimeter, die Formel für den Würfel lautet: L = 12a. Also 120 = 12a. Oder 10 = a. Die Kantenlänge a beträgt 10 Zentimeter. Fünftens: der Pappwürfel. Fidibus hat 216 Quadratzentimeter Pappe. Er bastelt daraus einen Würfel. Wie lang kann die Würfelkante höchstens sein? Die rechteckige Pappe muss sich in sechs kongruente Quadrate zerlegen lassen. Diese Quadrate bilden die Oberfläche des Würfels. Diese Fläche soll nach Aufgabenstellung 216 Quadratzentimeter betragen. Eines der Quadrate hat einen Flächeninhalt von A = 216 ÷ 6. A = 36 cm². Die Formel für den Flächeninhalt des Quadrates lautet: A = a². Wir können schreiben: a2= 36. Diese Gleichung ist nur richtig, wenn a = 6 ist, also a = 6 cm. Und so sieht der fertige Würfel dann aus. Na ja, ein bisschen mehr Material für Klebefalze brauchen wir natürlich noch. Die Kantenlänge beträgt sechs Zentimeter. Ich hoffe, ihr hattet ein wenig Spaß. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg, tschüs!

11 Kommentare

11 Kommentare
  1. Sehr gut

    Von Armin Ollig, vor 7 Monaten
  2. gut

    Von Ashaar, vor mehr als einem Jahr
  3. Gut erklärt, aber bitte mehr sachen in Französisch.

    Von Bruno C., vor fast 3 Jahren
  4. Cool

    Von Leon S., vor etwa 3 Jahren
  5. Fragen? Ruf uns einfach an!
    030 - 515 88 22 20
    Täglich 10-18 Uhr zum Festnetzpreis

    Von André Otto, vor mehr als 4 Jahren
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Kantenlänge eines Quaders bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kantenlänge eines Quaders bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die passende Kantenlänge des Würfels an.

    Tipps

    Ein Würfel hat genau zwölf gleich lange Kanten.

    Die Formel für die Gesamtkantenlänge $l$ eines Würfels lautet $l=12a$.

    Setze die Gesamtkantenlänge $l=120~cm$ in die Gleichung ein und löse sie nach $a$ auf.

    Lösung

    Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet $l=4\cdot(a+b+c)$. Nun brauchen wir die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Würfels.

    Er unterscheidet sich vom Quader, da er nicht jeweils vier, sondern genau zwölf gleich lange Kanten hat. Deshalb sieht die Formel für die Gesamtkantenlänge so aus:

    $l=12a$

    Die Länge des Drahtes ist bereits angegeben, wir können sie in die Formel einsetzen:

    $120~cm=12a$

    Wenn wir zum Schluss noch durch zwölf teilen, erhalten wir die gesuchte Kantenlänge $a$:

    $a=120~cm : 12 = 10~cm$

    Die Kantenlänge des gesuchten Würfels beträgt also $10~cm$.

  • Ergänze die Kantenlängen des Aquariums.

    Tipps

    Bedenke, dass jede Kante viermal vorkommt.

    Die Formel für die Gesamtkantenlänge $l$ für einen Quader lautet $l=4\cdot(a+b+c)$.

    $a$, $b$ und $c$ müssen zusammen $120~cm$ ergeben.

    Lösung

    In diesem Beispiel beträgt die Gesamtkantenlänge $4,80~m$ bzw. $480~cm$.

    Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet:

    $l = 4(a + b + c)$

    Da wir die Gesamtkantenlänge $l=480~cm$ bereits kennen, können wir diese schon in die Formel einsetzen.

    $480~cm = 4(a + b+ c)$

    Wenn wir nun durch vier teilen, erhalten wir:

    $120 ~cm= a + b + c$

    Jetzt wissen wir, dass die Summe von $a$, $b$ und $c$ $120~cm$ betragen muss. Jetzt musst du nur noch die jeweils fehlende Länge ergänzen. Für unsere drei Beispiele bedeutet das:

    $a=120~cm-40~cm-35~cm=45~cm$

    $b=120~cm-50~cm-40~cm=30~cm$

    $c=120~cm-55~cm-35~cm=30~cm$

  • Berechne die Kantenlänge des Würfels.

    Tipps

    Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Würfel? Wie nennt man diese Flächen?

    Wie groß ist der Flächeninhalt einer Begrenzungsfläche?

    Lösung

    Zunächst müssen wir herausfinden, wie groß eine einzelne Begrenzungsfläche des Würfels ist. Der Würfel besteht aus Quadraten.

    Die Oberfläche eines Würfels besteht aus sechs Quadraten. Deswegen teilen wir den Oberflächeninhalt des Würfels durch sechs und erhalten so den Flächeninhalt einer Begrenzungsfläche:

    $486 : 6=81~cm^2$

    Das ist also der Flächeninhalt eines Quadrats. Da alle Würfelflächen Quadrate sind, erhalten wir eine Quadratseite und somit die Kantenlänge des Würfels durch Ziehen der Wurzel:

    $a=\sqrt{81~cm^2}=9~cm$

    Die Kantenlänge des Würfels beträgt also $9~cm$.

  • Bestimme die fehlende Kantenlänge des Aquariums.

    Tipps

    Du musst dich bei der Rechnung für eine Maßeinheit entscheiden. Also schreibe erst alle Angaben in der gleichen Einheit auf.

    Überlege dir, wie viel Material Fidibus schon verplant hat und wie viel ihm danach noch übrig bleibt.

    Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet $l=4\cdot (a+b+c)$.

    Lösung

    Zuerst ist es wichtig, dass wir uns für eine Maßeinheit entscheiden, in der wir rechnen möchten. Da das Ergebnis in $cm$ angegeben werden soll, nehmen wir diese Einheit.

    Wir rechnen um:

    Länge: $a=8~dm=80~cm$

    Breite: $b=200~mm=20~cm$

    Insgesamt stehen ihm $l=5,60~m = 560~cm$ Material für den Rahmen, also die Gesamtkantenlänge des Quaders, zur Verfügung. Gesucht ist die Höhe $c$ des Quaders bzw. des Aquariums. Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet $l=4\cdot (a+b+c)$.

    Wir setzen die bekannten Größen ein und erhalten:

    $560~cm=4\cdot(80 ~cm+20~cm+c)$

    Wir teilen durch vier und rechnen die Länge und Breite zusammen und erhalten:

    $140~cm=100~cm+c$

    Wir ziehen $100~cm$ auf beiden Seiten ab und erhalten das Ergebnis:

    $c=40~cm$.

    Die Höhe des Aquariums beträgt also $40~cm$.

  • Ordne die Formeln dem richtigen Körper zu.

    Tipps

    Denk an das Kantenmodell eines Quaders. Es gibt immer eine Länge, eine Breite und eine Höhe.

    Bei einem Quader kommen alle drei Kantenlängen viermal vor. Was ist das Spezielle bei einem Würfel?

    Lösung

    Jeder Quader besitzt 12 Kanten. Vier Kanten entsprechen der Länge, vier Kanten der Breite und vier Kanten der Höhe.

    Da man sie mit a, b und c bezeichnet und jede dieser Längen viermal vorkommt, ergibt sich die Formel für die Gesamtkantenlänge $l$ eines Quaders:

    $l = 4a + 4b +4c$

    Wenn du die 4 ausklammerst, ergibt sich diese Formel:

    $l = 4(a + b + c)$

    Da bei einem Würfel alle Kanten gleich lang sind, also $a = b = c$ gilt, kommt diese eine Kantenlänge insgesamt zwölfmal vor. Also erhalten wir die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Würfels:

    $l = 4(a + a + a) = 4 \cdot 3a = 12a$

  • Ermittle die gesuchten Kantenlängen der Würfel.

    Tipps

    Aus wie vielen Flächen besteht ein Würfel?

    Teile den Oberflächeninhalt auf alle Flächen des Würfels auf. Dann musst du nur noch überlegen, welche Kantenlänge zu dem berechneten Flächeninhalt einer Würfelfläche gehört.

    Die Formel für den Oberflächeninhalt lautet: $O=6 \cdot a^2$

    Lösung

    Beginnen wir mit dem einfachsten dieser vier Würfel, um das Prinzip zu verstehen.

    Ein Würfel soll den Oberflächeninhalt $6~cm^2$ besitzen.

    Jeder Würfel besteht aus sechs gleich großen Quadraten. Das heißt, eine dieser Flächen hat dann einen Flächeninhalt von $1~cm^2$. Nun hast du also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $1~cm^2$.

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats lautet:

    $A=a\cdot a=a^2$

    Wenn wir sie ein bisschen umstellen und die gegebene Zahl einsetzen erhalten wir:

    $a^2=1~cm^2$ also ist $a=1~cm$ – Wir ziehen hier die Wurzel, beziehungsweise überlegen, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den angegebenen Flächeninhalt ergibt.

    Nun die übrigen Würfel:

    $54~cm^2 : 6=9~cm^2$, also $a^2=9~cm^2$ bzw. $a=3~cm$

    $150~cm^2 : 6=25~cm^2$, also $a^2=25~cm^2$ bzw. $a=5~cm$

    $24~cm^2 : 6=4~cm^2$, also $a^2=4~cm^2$ bzw. $a=2~cm$

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