Quader – Begriffe und Eigenschaften

Quader – Begriffe und Eigenschaften Übung

• Bestimme, bei welchen Körpern es sich um einen Quader handelt.

  Tipps

  Ein Quader hat immer Ecken und Kanten.

  Ein Quader besitzt 6 Begrenzungsflächen.

  Lösung

  Auf dem zweiten Bild siehst du eine Kugel. Sie besitzt keine Ecken und Kanten und besteht aus einer einzigen Fläche.

  Auf dem vierten Bild ist eine Dose zu sehen. Sie hat die Form eines Zylinders. Sie hat zwar eine Grund- und eine Deckfläche, aber keine sechs Begrenzungsflächen.

  Auf dem letzten Bild kannst du einen Kegel erkennen. Der besitzt nur zwei Begrenzungsflächen. Die Grundfläche besteht aus einem Kreis.

  Nur der Würfel und die Streichholzschachtel sind Quader. Der Würfel ist ein spezieller Quader. Beide haben sechs Begrenzungsflächen, von denen jeweils zwei parallel zueinander sind. Außerdem haben sie beide jeweils acht Ecken und alle Winkel in den beiden Körpern sind 90° groß.

• Benenne die Begrenzungsflächen des Quadernetzes.

  Tipps

  Denke bei der Beschriftung daran, auf welcher Seite sich welche Fläche befindet.

  Stell dir vor, du sitzt vor dem zusammengeklappten Quader. Welche Seite ist vorne, hinten, links oder rechts von dir?

  Lösung

  Ein Quader wird immer von sechs Rechtecken begrenzt. Diese nennt man auch Begrenzungsflächen.

  Stelle dir nun vor, den Quader mit diesem Netz wieder zusammenzubauen.

  Die mit G markierte Fläche ist die Grundfläche, auf ihr steht der Quader später.

  Klappst du nun die Flächen H, V und R nach oben, werden sie zu der hinteren, der vorderen und der rechten Fläche des Quaders.

  Klappst du jetzt die Flächen mit D und L nach oben, so hast du schon einmal die linke Fläche an ihrem Platz.

  Jetzt noch einmal die Fläche mit dem D umklappen, dann schließt sie den Quader wie ein Deckel. Deshalb heißt sie auch Deckfläche des Quaders.

• Bilde wahre Aussagen über die beiden Quadermodelle.

  Tipps

  Überlege, woher die Modelle ihre Namen haben.

  Lösung

  Beide Modelle haben ihre Vorteile.

  So kann man am Flächenmodell wichtige Eigenschaften des Quaders erkennen.

  Das Kantenmodell zeigt die Eigenschaften der Kanten und sogar die der Winkel.

  Allerdings lassen sich so keine Aussagen über die Ecken treffen.

  Bei einem Quader sind die jeweils gegenüberliegenden Flächen gleich groß. Bei einem Würfel sind sogar alle sechs Flächen gleich groß.

  Dabei müssen, wie du im Bild siehst, immer vier Kanten parallel zueinander sein. Es sind jeweils die Kanten der Länge, Breite und Höhe. Sind acht Kanten gleich lang, hat der Quader zwei quadratische, parallele Flächen und wenn alle Kanten gleich lang sind, ist es ein Würfel.

  Es müssen auch immer alle Winkel 90° groß sein. Ist das nicht so, dann handelt es sich um keinen Quader und auch um keinen Würfel, da hierzu alle Flächen Rechtecke, also alle Winkel rechtwinklig sein müssen.

• Bestimme den Namen der jeweiligen Begrenzungsfläche des Würfels.

  Tipps

  Die Grundfläche ist hier dein Startpunkt. Wir schauen sozusagen von oben auf den Würfel hinunter. Von dort aus baust du den Würfel Stück für Stück zusammen.

  Die Flächen werden in der Reihenfolge umgeklappt, in der sie nummeriert sind. Die blaue Kante ist die vordere Kante der Grundfläche. Also schaust hier von vorne auf den Würfel.

  Die linke Fläche ist nicht die Nummer 3 oder 4.

  Lösung

  Beginnst du bei der Grundfläche als Startpunkt, klappst du zuerst die Fläche mit der Nummer 1 um. Sie ist dann die linke Fläche des Würfels.

  Danach klappst du die Nummer 2 hinten herum, somit bildet sie die hintere Fläche.

  Nummer 3 wird die Deckfläche, wenn du sie von der nun stehenden, hinteren Fläche nach unten umklappst.

  Von ihr aus geht es weiter mit Nummer 4. Aus ihr wird die rechte Fläche deines Würfels.

  Zum Schluss bleibt nur die vordere Fläche, sie hat die Nummer 5 und wird von rechts nach vorne herum geklappt.

  Um so etwas zu üben, kannst du dir ein entsprechendes Würfelnetz selbst basteln. Zeichne es auf ein Stück Papier, schneide es aus und versuche selbst, wie man den Würfel zusammenbauen kann.

• Ergänze die Beschreibung der Länge, Breite und Höhe eines Quaders.

  Tipps

  In dem Schrägbild oben kannst du die Anzahl der Flächen zählen.

  Hier siehst du das Netz eines Quaders. Auf wie viele verschiedene Weisen kannst du den Quader zusammensetzen? Was ist die Länge, die Breite und die Höhe?

  Lösung

  Ein Quader besteht aus genau sechs Flächen. Eine dieser Flächen ist die Grundfläche. Du kannst auch „Boden“ sagen, wenn du den Körper hinlegst.

  Als Länge wird gewöhnlich die längste Kante der Grundfläche eines Quaders genannt. Die kürzere Kante der Grundfläche wird gewöhnlich als Breite bezeichnet. Die Höhe nennt man die Kante, die die Grundfläche mit der Deckfläche verbindet.

  Man darf die Begriffe Länge, Breite und Höhe miteinander vertauschen. Das bedeutet, wenn du einen Quader mit der Länge $21~cm$, Breite $13~cm$ und Höhe $10~cm$ betrachtest, dann kannst du den Quader auch einfach auf die Seite stellen. Dann erhältst du einen Quader mit der Länge $13~cm$, der Breite $10~cm$ und der Höhe $21~cm$. Es kommt also auf die Betrachtungsweise des Körpers an.

  Sind all diese Kanten gleich lang, erhältst du einen Würfel. In dem Bild kannst du das Schrägbild eines Würfels erkennen. Die Kanten sind gleich lang und die Flächen sind sechs gleich große Quadrate. In dem Bild ist das nicht so leicht zu erkennen, da es sich um ein Schrägbild handelt. Bei dem Schrägbild versucht man durch eine Verzerrung den 3-D-Effekt zu verstärken.

• Erschließe, welche Aussagen über den Würfel stimmen.

  Tipps

  Betrachte das Kantenmodell. Wie stehen die Kanten zueinander und wie lang sind sie bei einem Würfel?

  Erinnere dich an das Quadernetz. Wie sieht das Netz aus, wenn die Flächeninhalte aller Flächen gleich groß sind?

  Hier kannst du das Schrägbild eines Quaders erkennen. Vergleiche die Aussagen von oben mit diesem Bild.

  Lösung

  Egal ob bei einem Würfel oder einem gewöhnlichen Quader: Es müssen immer jeweils vier Kanten parallel zueinander sein. Deswegen ist das keine Eigenschaft des Würfels allein.

  Die Diagonalen eines Würfels sind immer gleich lang, da alle gegenüberliegenden Ecken gleich weit voneinander entfernt sind. Sie schneiden sich dabei in einem Winkel von 90°. Man sagt dann auch, dass sie einen rechten Winkel einschließen.

  Da alle Kanten bei einem Würfel gleich lang sind, ist die Breite nicht länger als die Höhe.

  Das Netz eines Quaders besteht aus 6 Rechtecken von denen jeweils zwei immer gleich groß sind. Es kann auch sein, dass vier Rechtecke gleich groß sind. Dann sind zwei Kanten gleich lang. Wenn alle Kanten gleich lang sind, dann erhalten wir sechs Quadrate. Das ist das Netz eines Würfels. Die Begrenzungsflächen sind Quadrate. Dementsprechend ist auch der Flächeninhalt der Deckfläche genau so groß wie der Flächeninhalt der hinteren, vorderen, linken, rechten Fläche und der Grundfläche.

  Wenn man einen Würfel genau in der Mitte in zwei Körper teilt, entstehen zwei Quader und nicht zwei Würfel, da vier Kanten halbiert wurden und dann die Kanten nicht mehr alle gleich lang sind.