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Würfel – Volumen und Oberfläche

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Team Digital
Würfel – Volumen und Oberfläche
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Würfel – Volumen und Oberfläche

Oberflächeninhalt Würfel

Ava möchte ein würfelförmiges Gewächshaus auf einem Planeten errichten. Für die Abschätzung des Baumaterials muss sie die Oberfläche eines Würfels berechnen. Um zu wissen, wie viel Luft in das Gewächshaus passt, berechnet sie das Volumen eines Würfels. Ein Würfel ist ein Körper, d.h. er ist dreidimensional. Der Würfel hat zwölf Kanten, die alle dieselbe Länge $a$ haben. Er wird von sechs quadratischen Flächen begrenzt. Die Oberfläche des Würfels umschließt den Würfel von allen Seiten. Der Rauminhalt, der in den Würfel hinein passt, heißt Volumen des Würfels.

Würfel Schrägbild

Oberfläche Würfel berechnen

Faltet man die Oberfläche eines Würfels auseinander, so erhält man das Körpernetz des Würfels. Es besteht aus sechs gleichen Quadraten der Kantenlänge $a$.

Würfel Körpernetz

Der Oberflächeninhalt eines Würfels ist die Summe der Flächeninhalte dieser Quadrate. Jedes einzelne Quadrat hat den Flächeninhalt $A_\Box = a \cdot a = a^2$. Die Würfeloberfläche besteht aus sechs dieser Quadrate, daher hat der Würfel $W$ den Oberflächeninhalt

$A_W = 6 \cdot A_\Box = 6 \cdot a^2$

Oberflächenberechnung Würfel

Avas Gewächshaus soll so groß sein, dass sie in jeder Richtung bequem darin stehen und liegen kann. Dazu muss die Kantenlänge $a=2~\text m$ sein. Den Oberflächeninhalt des Würfels mit der Kantenlänge $a=2~\text m$ erhält man durch Einsetzen:

$A_W = 6 \cdot (2\text m)^2 = 6 \cdot 2^2 \text m^2= 24 \text m^2$

Die Einheit $\text{m}^2 = \text m \cdot \text m$ des Flächeninhalts ist das Quadrat der Einheit $\text m$ und heißt daher Quadratmeter. Zum Bau ihres Gewächshauses braucht Ava nur die Mantel- und Deckfläche, nicht die Bodenfläche. Sie zieht daher den Flächeninhalt $A_\Box = 4~\text{m}^2$ der Bodenfläche wieder ab und kommt auf $20~\text{m}^2$ Flächenbedarf für den Bau ihres Gewächshauses.

Volumenformel Würfel

Um das Volumen ihres Gewächshauses zu bestimmen, verwendet Ava die Formel für das Volumen eines Würfels. Da der Würfel dreidimensional ist und alle Kanten dieselbe Länge haben, ist das Volumen:

$V= a \cdot a \cdot a = a^3$

Volumen berechnen Würfel

Das Volumen von Avas Gewächshaus lässt sich durch Einsetzen von $a=2~\text m$ in die Formel für das Würfelvolumen berechnen:

$A = (2~\text m)^3 = 2^3 \text m^3 = 8~\text m^3$

Die Einheit $\text{m}^3 = \text m \cdot \text m \cdot \text m$ des Volumens ist die dritte Potenz der Einheit $\text m$ und heißt daher Kubikmeter.

Dieses Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Volumen und die Oberfläche eines Würfels zu berechnen.

Zunächst lernst du die Definitionen der Begriffe Volumen und Oberfläche. Anschließend lernst du die Formeln für die Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Würfels kennen. Abschließend lernst du, was du bei der Berechnung bezüglich der Einheiten der einzelnen Größen beachten musst.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was die Eigenschaften eines Würfels sind und wie die Fläche eines Quadrates berechnet wird.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Berechnung von Volumen und Oberfläche weiterer geometrischer Körper zu lernen.

Transkript Würfel – Volumen und Oberfläche

Ava hatte mit ihrem Raumschiff eine Bruchlandung und sitzt nun auf diesem einsamen Planeten fest. Wie soll sie hier nur überleben? Ava hat nur noch eine einzige Karotte dabei. Vielleicht kann sie die ja irgendwo einpflanzen? Tatsächlich! Sie findet eine nahezu quadratische Erd-Fläche, aus der seltsame Luftströmungen entweichen! Ihr Analyse-Gerät stellt fest „Leben ist möglich“! Ava möchte die Luft einschließen - wie in einem Gewächshaus. Denn dann hat sie einen kleinen Lebensraum - für sich - und die Karottenpflanze. Das Gewächshaus soll so groß werden, dass sie darin liegen - und stehen kann. Hoffentlich reicht das Baumaterial des kaputten Raumschiffs! Und wie viel Luft hat sie darin zum Atmen? Wir helfen Ava bei ihren Überlegungen, indem wir die Oberfläche und das Volumen des Würfels berechnen! Okay, schauen wir uns so einen Würfel einmal genauer an! Ein Würfel ist ein Körper, das heißt, er ist dreidimensional. Die zwölf Kanten des Würfels haben alle dieselbe Länge. Wir bezeichnen die Kantenlänge hier mit klein a. Der Würfel wird von sechs quadratischen Flächen begrenzt. Die Oberfläche umschließt den Würfel - wie eine Hülle. Man kann außerdem bestimmen, wie viel in den Würfel hineinpasst. Diese Menge heißt Volumen des Würfels. Schau mal! In dieses Glas passt das Volumen von einem Liter Milch nicht hinein. In dieses Aquarium passen zwei Eimer Wasser locker rein, da ist sogar noch Volumen übrig. Und dieser Swimmingpool hat ein Volumen von genau 800 Litern. Zurück zu Avas Überlegungen. Fangen wir mit der Berechnung der Oberfläche des Würfels an! Wenn wir die Würfeloberfläche aufklappen, entsteht das Würfelnetz aus 6 Quadraten, jeweils mit der Seitenlänge a. Sehen wir uns zunächst einmal eines dieser Quadrate an. Für dessen Flächeninhalt rechnen wir a mal a. Das kannst du auch kurz als a hoch zwei, also a zum Quadrat schreiben. Weil der Würfel von sechs quadratischen Flächen begrenzt wird, nehmen wir für den Flächeninhalt der gesamten Würfeloberfläche: Sechs mal den Flächeninhalt eines Quadrats. Hierfür setzen wir a zum Quadrat ein und schon haben wir die Formel für die Oberfläche eines Würfels gefunden! Ava ist mit ihrem Raumanzug fast zwei Meter groß. Deshalb soll das Gewächshaus eine Kantenlänge von 2 Metern bekommen. Wir setzen also 2 Meter für a ein. Hieraus isolieren wir schon einmal 2 hoch 2. Aber Achtung: Wir rechnen hier mit Metern - also einer Einheit! Aus Meter hoch zwei wird eine neue Einheit, nämlich Quadratmeter. Das sind 6 mal 4 Quadratmeter, also ausgerechnet 24 Quadratmeter. Verdammt, das ist ganz schön viel! Moment mal, Ava braucht ja nur die vier Seitenflächen und die eine Deckenfläche für ihr Gewächshaus! Die Bodenfläche hingegen können wir uns in der Berechnung sparen! Wir waren bei 24 Quadratmetern für die gesamte Würfel-Oberfläche. Jetzt ziehen wir davon die Bodenfläche, also eine quadratische Fläche, ab. Denn so erhalten wir den gewünschten Flächeninhalt... ohne Bodenfläche. Eine quadratische Fläche beträgt a zum Quadrat. Weil a zwei Meter lang ist, erhalten wir hierfür 2 Meter hoch zwei, also 4 Quadratmeter. Und 24 minus 4 Quadratmeter ergibt 20 Quadratmeter. Ava ist erleichtert, denn sie hat genug Baumaterial dabei! Nun wollen wir das Volumen des Würfels zu berechnen. Weil das Volumen dreidimensional ist - rechnen wir dafür - a mal a mal a, zusammengefasst - a hoch 3! Mit dieser Formel können wir das Volumen von Avas Gewächshaus ausrechnen! - Ob die Bodenfläche dabei ist oder nicht, ist für das Volumen nämlich egal. Wieder setzen wir 2 Meter für a ein. Das Hoch-Drei bezieht sich auf die Zahl und auf die Einheit. Wir erhalten 8 Meter hoch 3 oder auch 8 Kubikmeter. Fassen wir nochmal zusammen: Ein Würfel wird von quadratischen Flächen begrenzt. Anhand eines Würfelnetzes erkennen wir besonders gut, dass die Oberfläche des Würfels aus 6 gleich großen Quadraten besteht. Daher berechnet sich der Flächeninhalt des Würfels durch den Ausdruck: 6 mal a zum Quadrat, wobei a die Kantenlänge des Würfels ist. Die Oberfläche umschließt das Volumen des Würfels. Du berechnest das Volumen mit dem Ausdruck a hoch 3. Geschafft! Ava und die Karotte fühlen sich pudel-wohl! Hey!! Eine Klappe? Scheinbar ist Ava genau auf der Raumkapsel vom verschollenen Professor Stanley Kubik bruchgelandet!

67 Kommentare

67 Kommentare
  1. gutes Video hat mir sehr geholfen

    Von Anina, vor etwa einem Monat
  2. ich fand das Video sehr hilfreich, danke dafür

    Von Lina, vor 2 Monaten
  3. Hausaufgaben Chat hat mich hier hergeführt, und es hat sich gelohnt. Vielen Dank. Super !

    Von Sharp_Bendix, vor 3 Monaten
  4. Aber wieder was dazugelernt, warum es hoch3 und hoch 2 heißt :-)

    Von Alexandra Abt, vor 4 Monaten
  5. Die Ausfühlichen wege sind manchmal für mich ein bisschen verwirrend. Dass was gezeigt wurde kann ich schon, aber ich habe es nicht gleich wieder erkannt.

    Von Alexandra Abt, vor 4 Monaten
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Würfel – Volumen und Oberfläche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Würfel – Volumen und Oberfläche kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die korrekten Aussagen zu Würfeln.

    Tipps

    Das Volumen eines Würfels erhältst du, indem du die Kantenlänge mit sich selbst und nochmal mit sich selbst multiplizierst. Wie oft taucht die Kantenlänge dann in deiner Rechnung auf?

    Kubikmeter kann auch als $m^3$ geschrieben werden. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Ein Würfel ist ein zweidimensionales Objekt.
    Ein Würfel ist ein Körper. Das ist ein dreidimensionales Objekt.

    • Das Volumen eines Würfels kann man mit der Formel $V=6a^3$ berechnen. Dabei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels.
    Das Volumen eines Würfels erhältst du, indem du die Kantenlänge mit sich selbst und nochmal mit sich selbst multiplizierst, also: $V=a^3$.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Das Volumen eines Würfels kann man zum Beispiel in der Einheit Kubikmeter angeben.
    Kubikmeter kann auch als $m^3$ geschrieben werden. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben. Also kannst du das Volumen eines Würfels in Kubikmetern angeben.

    • Die Oberfläche eines Würfels kann man mit der Formel $O=6a^2$ berechnen. Dabei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels.
    Ein Würfel setzt sich aus sechs Quadraten zusammen. Die Fläche eines Quadrates entspricht dem Quadrat seiner Kantenlängen, also $a^2$. Da die Oberfläche eines Würfels aus sechs solchen Quadraten besteht, berechnet man seine Oberfläche mit der Formel $O=6a^2$.

    • Ein Würfel hat $12$ Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.
    Das sind Eigenschaften eines Würfels.

  • Berechne die Oberfläche des Würfels.

    Tipps

    Um die Oberfläche zu berechnen, musst du die Kantenlänge in die jeweilige Formel einsetzen.

    Nach dem Einsetzen der Kantenlänge musst du diese quadrieren. Eine Länge quadrierst du, indem du jeweils die Zahl und die zugehörige Einheit quadrierst.

    Lösung

    Die Rechnung wird in dieser Reihenfolge durchgeführt:

    • Die Oberfläche eines Würfels berechnet sich durch: $O=6a^2$
    • Setzt sie die Kantenlänge $a=2~\text{m}$ ein, erhält sie: $O=6 \cdot (2~\text{m})^2$
    • Dann quadriert sie die Kantenlänge und die zugehörige Einheit: $O=6 \cdot 4 ~\text{m}^2$
    Wird eine Länge quadriert, musst du jeweils die Zahl und die Einheit quadrieren.

    • Zum Schluss berechnet sie die Oberfläche: $O=24~ \text{m}^2$
  • Bestimme die Volumina.

    Tipps

    Achtung: Eine Länge besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Setzt du das in eine Formel ein, musst du beide Komponenten beachten und verrechnen.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $(5\text{m})^3=5\text{m}\cdot 5\text{m}\cdot 5\text{m}=125\text{m}^3$

    Lösung

    Der Lückentext vervollständigt sich folgendermaßen:

    • Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $a$ berechnet sich mit der Formel $V=a^3$.
    • Um das Volumen des ersten Würfels zu bestimmen, setzt er die Kantenlänge $1~\text{cm}$ in die Formel ein. Er erhält: $V=(1~\text{cm})^3=1^3~\text{cm}^3=1~\text{cm}^3$
    Achtung: Eine Länge besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Setzt du das in eine Formel ein, musst du beide Komponenten beachten und verrechnen.

    • Als Nächstes setzt er die Kantenlänge $2~\text{cm}$ in die Formel ein und erhält: $V=(2~\text{cm})^3=2^3~\text{cm}^3=8~\text{cm}^3$
    • Die nächste Kantenlänge, die er probiert, beträgt $3~\text{cm}$: $V=(3~\text{cm})^3=3^3~\text{cm}^3=27~\text{cm}^3$
  • Bestimme die Oberflächen und Volumina der Würfel.

    Tipps

    Das Volumen eines Würfels berechnest du mit der Formel:

    $V=a^3$.

    Dabei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.

    Um die Oberfläche zu bestimmen, kannst du die Formel

    $O=6a^2$ verwenden.

    Lösung

    So kannst du die Einträge der Tabelle bestimmen:

    Um die Oberfläche zu bestimmen, kannst du die Formel

    $O=6a^2$ verwenden. Für $4~\text{cm}$ ergibt sich dann:

    $O=6\cdot (4~\text{cm})^2=6\cdot 16~\text{cm}^2=96~\text{cm}^2$

    Um die fehlenden Volumina zu bestimmen, kannst du die Formel

    $V=a^3$ verwenden:

    Für $10~\text{cm}$ ergibt sich dann:

    $V=(10~\text{cm})^3=1000~\text{cm}^3$

    Um die fehlende Kantenlänge zu bestimmen, überlegst du dir, welcher Würfel ein Volumen von $8~\text{cm}^3$ hat. Das Volumen berechnest du, indem du die Kantenlänge dreimal mit sich selbst multiplizierst. Die Zahl, die dabei $8$ ergibt, ist $2$, denn:

    $2^3=8$

  • Gib die Eigenschaften eines Würfels an.

    Tipps

    Eine Fläche ist immer zweidimensional.

    Ein Volumen ist der dreidimensionale Inhalt eines Körpers.

    Lösung

    Folgendes gehört zusammen:

    • Die Oberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Würfel umschließt. Sie berechnet sich mit der Formel $O=6a^2$ und kann in der Einheit $\text{m}^2$ angegeben werden.
    • Das Volumen ist das dreidimensionale Fassungsvermögen eines Würfels. Es berechnet sich mit der Formel $V=a^3$ und kann in der Einheit $\text{m}^2$ angegeben werden.
  • Bestimme die Oberfläche eines Würfels.

    Tipps

    Du kannst Formeln auch verwenden, um rückwärts zu rechnen. Das heißt, wenn das Volumen gegeben ist, kannst du die Formel zur Volumenberechnung verwenden, um die Kantenlänge zu berechnen.

    Du hast beispielsweise eine dritte Wurzel folgender Form gegeben:

    $a= \sqrt[3]{b}$

    Dann ist $b$ die Zahl, die zur dritten Potenz erhoben $a$ ergibt, also:

    $b^3=a$

    Lösung

    Den Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:

    • Um die Oberfläche zu berechnen, muss Martin zuerst die Kantenlänge $a$ seines Würfels bestimmen. Dazu erinnert er sich an die Formel der Volumenberechnung:
    • $V=a^3$
    Du kannst Formeln auch verwenden, um rückwärts zu rechnen. Das heißt, wenn das Volumen gegeben ist, kannst du die Formel zur Volumenberechnung verwenden, um die Kantenlänge zu berechnen.

    • Um die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, muss er sich überlegen, welche Länge dreimal mit sich selbst multipliziert $64~\text{m}^3$ ergibt. Das kann er mit der dritten Wurzel berechnen:
    Wenn du eine Gleichung der Form $a= \sqrt[3]{b}$ gegeben hast, dann ist $b$ die Zahl, die zur dritten Potenz erhoben, $a$ ergibt. Also gilt: $b^3=a$

    • Damit kann er endlich die Oberfläche des Würfels bestimmen: $O=6a^2=6( 4 ~\text{m})^2=96 ~\text{m}^2$
    • Die obere Seite des Würfels muss er natürlich nicht mit Folie bedecken. Deshalb zieht er von der Oberfläche des Würfels eine der sechs quadratischen Flächen mit $A=$ {$a^2$} ab.
    Eine der sechs Seitenflächen des Würfels ist $A=a^2$ groß.

    • $O_{Pool}=O-A=96 ~\text{m}^2-a^2=96 ~\text{m}^2-16 ~\text{m}^2=80 ~\text{m}^2$
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