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Körpernetze zuordnen 05:08 min

Textversion des Videos

Transkript Körpernetze zuordnen

Walter, der kleine Kranich-Falter, ist fasziniert von den Origami-Künsten seines Vaters. Er möchte unbedingt genauso gut werden. Er kann es kaum erwarten, selbst loszulegen. Bevor er allerdings in die höchsten Falt-Sphären aufsteigen kann, muss er zuerst geometrische Grundkörper falten können. Damit er weiß, wie diese aufgebaut sind, muss er den Körpern ihre Körpernetze zuordnen. Um dem kleinen Walter bei der Zuordnung der Körpernetze helfen zu können, schauen wir uns die geometrischen Grundkörper noch einmal an. Die geometrischen Grundkörper sind der Würfel, der Quader, die Pyramide, das Prisma, der Zylinder, der Kegel und die Kugel. Doch wie sehen nun die Körpernetze zu diesen Körpern aus und was ist überhaupt ein Körpernetz? Schauen wir uns dazu den Würfel einmal genauer an. Das Körpernetz ist die Auffaltung eines geometrischen Körpers. Dazu wird der Körper entlang mindestens einer Kante und manchmal auch an Flächen aufgeschnitten und aufgefaltet. Wie wir sehen, besteht das Körpernetz des Würfels aus insgesamt 6 Quadraten. Für ein Körpernetz ist es wichtig, dass alle Flächen weiterhin miteinander verbunden bleiben. Mit Hilfe des Körpernetzes kann so ein dreidimensionaler Körper in einer zweidimensionalen Ebene dargestellt werden. Auch den Quader können wir entlang seiner Kanten aufschneiden und erhalten somit das Körpernetz. Wie wir hier sehen, besteht das Körpernetz des Quaders aus insgesamt sechs Rechtecken. Auch sie sind miteinander verbunden. Schauen wir uns als nächstes dieses Prisma mit dreieckiger Grundfläche an. Schneiden wir das Prisma entlang seiner Kanten auf und falten es auseinander, ergibt sich dieses Körpernetz. Wir sehen: Das Körpernetz dieses Prismas besteht aus drei Rechtecken und zwei Dreiecken. Und wie sieht es bei der quadratischen Pyramide aus? Diese hat als Grundfläche ein Quadrat. Daran grenzen vier Dreiecke an, die das Körpernetz vervollständigen. Auch den Zylinder können wir entlang seiner Kanten und in diesem Fall entlang einer Fläche aufschneiden, sodass wir das dazugehörige Körpernetz erhalten. Wie wir hier sehen, besteht das Körpernetz des Zylinders aus zwei Kreisen und einem Rechteck. Doch aus welchen Flächen besteht der Kegel? Dazu schauen wir uns sein Körpernetz an. Es besteht aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt. Ein Kreisausschnitt ist lediglich ein Teil des Kreises. Und wie sieht das Körpernetz der Kugel dann aus? Wir erinnern uns: Für das Körpernetz schneidet man den Körper entlang mindestens einer Kante auf. Doch Moment mal! Die Kugel hat ja gar keine Kanten! Somit gibt es für die Kugel auch kein Körpernetz. Es gibt auch verschiedene Möglichkeiten das Körpernetz eines Körpers darzustellen. Je nachdem, wie wir einen Körper entlang der Kanten aufschneiden und auffalten, entstehen unterschiedliche Körpernetze. Worum handelt es sich denn bei diesem Körpernetz? Um Körpernetze zuordnen zu können, schauen wir uns am besten die einzelnen Flächen des Netztes genauer an. Wie wir hier sehen, besteht das Körpernetz aus drei Rechtecken und zwei Dreiecken. Somit passt dieses Körpernetz zum Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Und zu welchem Körper können wir dieses Körpernetz zuordnen? Es besteht aus insgesamt sechs Rechtecken. Somit muss es doch ein Quader sein. Nein, denn neben der Anzahl der Flächen ist auch deren Anordnung von Bedeutung. Falten wir dieses Körpernetz zusammen, entsteht kein vollständiger Quader. Wir müssen also auch immer darauf achten, ob es mit der Zusammensetzung der Flächen überhaupt möglich ist, den Körper wieder zu bilden. Fassen wir das noch einmal alles zusammen. Ein Körpernetz ist die Auffaltung eines geometrischen Körpers. Der Körper wird dabei entlang bestimmter Kanten aufgeschnitten. Wichtig ist dabei, dass die Flächen weiterhin alle zusammenhängend bleiben. Somit ist ein Körpernetz also eine zweidimensionale Darstellung eines Körpers in der Ebene. Viele Jahre hat Walter der Falter nun geübt, um eine echter Origami-Meister zu werden. Über die Jahrzehnte hinweg hat sich sein ganzes Talent entfaltet. Das Falten ist ihm in Leib und Seele übergegangen. Da wurde er selbst ganz faltig.

Körpernetze zuordnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Körpernetze zuordnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Körpernetze.

    Tipps

    Körpernetze sind keine unverbundenen Figuren.

    Das Körpernetz eines Körpers kannst du in die Ebene legen, den Körper selbst nicht.

    Aus einem Papierkörper kannst du das Körpernetz gewinnen, indem du den Körper aufschneidest. Die Schnitte verlaufen in Ebenen oder Kanten des Körpers.

    Lösung

    Ein Körpernetz ist die Auffaltung eines geometrischen Körpers. Du kannst dir den Körper z.B. als Papier-Modell vorstellen. Um das Körpernetz zu gewinnen, wird der Körper entlang mindestens einer Kante aufgeschnitten, manchmal auch an einer Fläche. Als nächstes wird der Körper entlang der Schnitte aufgefaltet.

    In einem Körpernetz sind alle Flächen miteinander verbunden. Das Körpernetz des Würfels z.B. besteht aus $6$ Quadraten. Mit Hilfe seines Körpernetzes kannst du den $3$-dimensionalen Würfel in der $2$-dimensionalen Ebene darstellen.

    Das Körpernetz des Kegels besteht aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt. Das ist nur ein Teil des Vollkreises. Der Kreis und der Kreisausschnitt sind nur an einem Punkt verbunden. Die Kugel dagegen hat kein Körpernetz. Denn sie hat keine Kante, entlang derer man sie aufschneiden kann.

  • Benenne die Körper.

    Tipps

    Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten.

    Ein Prisma hat auch parallele Kanten außerhalb der Grundfläche, eine Pyramide nicht.

    Ein Rechteck ist kein Körper.

    Lösung

    Die geometrischen Grundkörper sind der Würfel, der Quader, das Prisma, die Pyramide, der Zylinder, der Kegel und die Kugel.

    Der Kreis, das Rechteck und das Dreieck sind keine Körper, sondern Flächen.

    Im Bild siehst du die richtige Zuordnung der Namen.

  • Gib die Körpernetze an.

    Tipps

    Das Körpernetz des Würfels und des Quaders unterscheiden sich durch die entstehenden Flächen.

    Dreieckige Flächen in einem Körpernetz entsprechen dreieckigen Seiten des Körpers.

    Das Körpernetz der Pyramide besteht aus einem Quadrat und vier Dreiecken.

    Lösung

    Für die Zuordnung der Körper und ihrer Körpernetze kannst du die Anzahl und die geometrische Gestalt der Seitenflächen der Körper betrachten.

    • Ein Würfel z.B. hat sechs Seitenflächen. Jede dieser Flächen ist ein Quadrat.
    • Dagegen hat der Quader auch sechs Seitenflächen, aber diese sind Rechtecke. Die sich jeweils gegenüberliegenden Flächen sind kongruent zueinander. Das Körpernetz des Quaders besteht demnach aus drei unterschiedlichen Flächen, wobei diese dann jeweils doppelt bestehen.
    • Die Pyramide hat fünf Seitenflächen: vier Dreiecke und ein Quadrat.
    • Das Prisma hat ebenfalls fünf Seitenflächen: drei Rechtecke und zwei Dreiecke.
    • Der Zylinder hat zwei Seitenflächen, die Kreise sind, und eine Mantelfläche, die nicht wirklich flach ist. Im Körpernetz erscheint diese Fläche als Rechteck.
    • Der Kegel hat eine Kreisfläche und eine Mantelfläche. Im Körpernetz wird die Mantelfläche als Kreisausschnitt dargestellt.
  • Analysiere die Aussagen über Körpernetze.

    Tipps

    Überlege, wie ein Körper aussehen könnte oder müsste, für den diese Fläche ein Körpernetz wäre.

    Mit dieser Fläche kann kein geschlossener Körper zusammengefaltet werden, weshalb sie kein Körpernetz darstellt.

    Lösung

    Die meisten Aussagen kannst du überprüfen, indem du dir konkrete Beispiele überlegst, die dazu passen. Aber Vorsicht: Nicht jede Aussage, die für ein Beispiel passt, gilt auch für alle anderen Beispiele!

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Es gibt kein Körpernetz, welches ausschließlich aus drei Vierecken besteht.“ Körper, deren Körpernetze nur aus Vierecken bestehen, sind der Würfel (hierbei sind die Vierecke sogar Quadrate) und der Quader. Beide solche Körpernetze bestehen aus sechs Vierecken.
    • „Es gibt einen Körper, dessen Körpernetz aus Fünfecken besteht.“ Das regelmäßige Dodekaeder hat $12$ fünfeckige Seiten. Jedes Körpernetz des Dodekaeders besteht daher aus $12$ regelmäßigen Fünfecken.
    • „Es gibt keinen Körper, dessen Körpenetz aus fünf in einer Reihe nebeneinander liegenden Rechtecken besteht.“ Ein solches Körpernetz ergäbe beim Zusammensetzen nur einen Ring, keinen geschlossenen Körper. Um ein Prisma zu bilden, fehlen die beiden Grundflächen.
    • „Zu jedem Körpernetz gibt es genau einen passenden Körper.“ Ein Körpernetz entsteht durch Aufschneiden und Auffalten eines Körpers und lässt sich daher immer zu einem Körper wieder zusammen setzen. Diese Zusammensetzung ist eindeutig, obwohl die Auffaltung eines Körpers zu einem Körpernetz nicht eindeutig ist. Anderseits lässt sich aber nicht jede beliebige Auswahl verbundener Flächen zu einem Körper zusammen setzen. Eine solche Auswahl ist dann kein Körpernetz.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Zu jedem geometrischen Körper gibt es ein Körpernetz.“ Die Kugel hat kein Körpernetz, da sie keine Kanten und Fläche besitzt, längs derer sie aufgeschnitten werden könnte.
    • „Jedes Körpernetz entsteht aus dem Körper durch Aufschneiden längs einer Kante und anschließendem Auffalten.“ Im Allgemeinen reicht ein Schnitt nicht aus, um einen Körper in ein Körpernetz aufzufalten.
    • „Es gibt kein Körpernetz, welches ausschließlich aus vier Dreiecken besteht.“ Das Körpernetz des regelmäßigen Tetraders besteht aus vier Dreiecken. Ebenso jedes Körpernetz einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
    • „Wenn ein Körper ein Körpernetz besitzt, so gibt es kein anderes Körpernetz desselben Körpers.“ Das Körpernetz eines Körpers ist nicht eindeutig. Es gibt immer verschiedene Möglichkeiten, den Körper längs der Kanten und ggf. Flächen aufzuschneiden und aufzufalten. Diese verschiedenen Möglichkeiten führen zu verschiedenen Körpernetzen.
  • Erschließe die Körper.

    Tipps

    Vergleiche die Seitenflächen der Körper und die Flächen der Körpernetze.

    Stelle dir vor, wie aus dem Körpernetz ein Körper gefaltet wird.

    Zähle die Seitenflächen des Körpers und die eingezeichneten Teilflächen der Körpernetze. Nur wenn die Anzahlen übereinstimmen, können Körper und Körpernetz zusammen gehören.

    Lösung

    Das Körpernetz eines Körpers stellt seine Seitenflächen und ggf. Mantelflächen in der Ebene dar. Die Anzahl der Seiten- und Mantelflächen entspricht der Anzahl der Teilflächen des Körpernetzes. Für die Seitenflächen gilt auch: Die geometrische Gestalt einer Seitenfläche entspricht der geometrischen Gestalt einer Teilfläche des Körpernetzes. Die geometrische Gestalt der Mantelflächen ist weniger leicht im Körpernetz erkennbar.

    Aus dieser Überlegung erhältst du die Zuordnung in dem Bild.

  • Analysiere die Körpernetze.

    Tipps

    Zwei verschiedene Körpernetze desselben Körpers bestehen aus denselben Teilflächen.

    Jede Fläche eines Körpers ist eine Teilfläche seines Körpernetzes.

    Lösung

    Um ein Körpernetz eines Körpers zu konstruieren, schneidest du den Körper längs einiger seiner Kanten auf und faltest ihn auseinander. Das Körpernetz hängt davon ab, welche Kanten du zum Aufschneiden wählst. Die Seitenflächen eines Körpers sind die Teilflächen seines Körpernetzes. Daher besteht jedes Körpernetz desselben Körpers immer aus denselben Teiflächen. Sie unterscheiden sich aber ggf. in der Anordnung der Teilflächen.

    Die hier gezeigten Körper sind zwei Prismen und eine Pyramide. Die Grundfläche des einen Prismas ist ein Trapez, die des anderen ein Fünfeck, die der Pyramide ebenfalls ein Fünfeck.

    • Die Körpernetze des Prismas mit trapezförmiger Grundfläche bestehen jeweils aus zwei Trapezen und vier Rechtecken.
    • Die Körpernetze des Prismas mit fünfeckiger Grundfläche bestehen jeweils aus zwei Fünfecken und fünf Rechtecken.
    • Die Körpernetze der Pyramide bestehen jeweils aus einem Fünfeck und fünf Dreiecken.