Schrägbild der Pyramide
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Grundlagen zum Thema Schrägbild der Pyramide
Ein Planet mit Pyramiden
Aus einem Raumschiff heraus entdeckst du einen fremden Planeten, auf dem sich ganz viele Berge in Form von Pyramiden befinden. Um diese nachzuzeichnen, nutzen wir das Schrägbild einer Pyramide. Wie man das Schrägbild einer Pyramide in der Mathematik erstellt, schauen wir uns im Folgenden an.
Was ist ein Schrägbild bei der Pyramide?
Um die Eigenschaften des Schrägbilds einer Pyramide zu erkennen, betrachten wir zunächst verschiedene Ansichten einer Pyramide:
- Aus der Vorderansicht sieht sie aus wie ein Dreieck.
- Aus der Seitenansicht sieht sie aus wie ein Dreieck.
- Aus der Draufsicht sieht sie aus wie ein Rechteck mit eingezeichneten Diagonalen.
- Aus der Ansicht von unten sehen wir ein Rechteck.
Nur bei der schrägen Ansicht, also beim Schrägbild der Pyramide, können wir diese räumlich wahrnehmen.
Das Schrägbild einer Pyramide konstruieren
Wir können das Schrägbild einer liegenden oder stehenden Pyramide zeichnen. Hier betrachten wir das Schrägbild einer stehenden Pyramide.
Wir konstruieren als Beispiel das Schrägbild einer Pyramide mit der Höhe $h = 4~\text{cm}$ und einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge $a = 4~\text{cm}$.
Um das Schrägbild einer Pyramide zu zeichnen, verwenden wir kariertes Papier. Die Grundfläche der Pyramide wird als Parallelogramm gezeichnet. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im $45^\circ$-Winkel gezeichnet und perspektivisch verkürzt: Pro Zentimeter verwenden wir eine Kästchendiagonale. Die schräg nach hinten laufenden Kanten sind also $4$ Kästchendiagonalen lang. Die hinteren Kanten zeichnen wir gestrichelt, da sie in der Realität von den Seitenflächen der Pyramide verdeckt sind. Wir zeichnen nun die beiden Diagonalen ein, um ihren Schnittpunkt zu finden. Von diesem Schnittpunkt aus zeichnen wir eine Linie nach oben, die der Höhe der Pyramide entspricht, also $4~\text{cm}$ lang ist.
Zum Schluss verbinden wir die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche. Dabei zeichnen wir wieder die nicht sichtbare Linie gestrichelt. Damit ist die Konstruktion des Schrägbilds einer Pyramide abgeschlossen.
In diesem Video über das Schrägbild der Pyramide ...
... wird das Zeichnen des Schrägbilds einer Pyramide einfach erklärt. Anhand eines Beispiels erhältst du eine Anleitung zum Zeichnen des Schrägbilds einer Pyramide. Du findest auf dieser Seite noch weitere Übungen zum Konstruieren von Schrägbildern von Pyramiden. Auch wenn du ein Arbeitsblatt zum Schrägbild der Pyramide suchst, wirst du auf dieser Seite fündig.
Transkript Schrägbild der Pyramide
Wir befinden uns in einem Raumschiff, das fremde Planeten erforscht weit, weit in den Tiefen des Universums. Oh! Ein Planet! Und auf diesem Planeten befinden sich ganz viele Berge. Diese haben alle die Form einer Pyramide. Um diese zu zeichnen, müssen wir ein Schrägbild der Pyramide erstellen. Die Pyramide hat verschiedene Ansichten: Die Vorderansicht, die Seitenansicht, die Draufsicht und die Ansicht von Unten. Hierbei siehst du immer nur einen Teil der Pyramide. Nur aus der schrägen Perspektive nimmst du die Pyramide auf der ebenen Fläche deines Bildschirms räumlich wahr. Eine solche Ansicht bezeichnet man als „Schrägbild“. Und genau so ein Schrägbild werden wir jetzt konstruieren. Wir nehmen uns dazu kariertes Papier zur Hilfe. Wir wollen eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge von 4 cm und einer Höhe von 4 cm zeichnen. Die quadratische Grundfläche der Pyramide wird als Parallelogramm gezeichnet. Dabei werden die nach hinten verlaufenden Kanten im Winkel von 45° gezeichnet. Sie werden verkürzt. Dabei nehmen wir statt einem Zentimeter eine Kästchendiagonale. Das Parallelogramm stellt also die perspektivisch verkürzte Grundfläche der Pyramide dar. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms. Um diesen zu finden, zeichnen wir diese beiden Diagonalen. Der Schnittpunkt ist genau der Punkt, in dem sie sich schneiden. Die Spitze liegt dann genau senkrecht zu diesem Punkt. Sie wird mit den Eckpunkten der Grundfläche verbunden. Nicht sichtbare Linien werden gestrichelt gezeichnet. Fassen wir das noch einmal zusammen. Zunächst zeichnet man die Grundfläche der Pyramide als Parallelogramm. Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des Parallelogramms. Verbindet man die Eckpunkte mit der Spitze, ist das Schrägbild fertig. Hier gibt es nichts mehr zu entdecken. Auf zum nächsten Planeten!
Schrägbild der Pyramide Übung
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Gib wieder, wie man das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnet.
TippsBeginne mit der Grundfläche der Pyramide. Beachte dabei, dass nach hinten laufende Kanten verkürzt gezeichnet werden.
Den Mittelpunkt eines Parallelogramms kannst du bestimmen, indem du die gegenüberliegenden Eckpunkte miteinander verbindest und den Schnittpunkt markierst.
Hast du deine Pyramide fertig konstruiert, musst du schauen, welche Kanten im Vordergrund sind und welche möglicherweise durch andere Flächen verdeckt sind. Letztere werden nämlich für den räumlichen Effekt gestrichelt gezeichnet.
Lösung- Zeichne ein Parallelogramm. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ und verkürzt gezeichnet.
- Bestimme den Mittelpunkt des Parallelogramms. Dieser ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Parallelogramms, die die gegenüberliegenden Eckpunkte verbinden.
- Zeichne die Spitze der Pyramide senkrecht über den Mittelpunkt im Abstand der Höhe. Dabei kannst du dich zum Beispiel gut an den Kästchen deines Matheheftes orientieren.
- Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten des Parallelogramms.
- Zum Schluss strichelst du alle nicht sichtbaren Kanten. Das sind die linke und die hintere Seite des Parallelogramms und die Kante, die von der Spitze zum linken hinteren Eckpunkt des Parallelogramms führt.
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Beschrifte die wichtigen Merkmale des Schrägbildes einer Pyramide.
TippsDie Grundfläche entspricht hier einem Parallelogramm.
Die Spitze wird senkrecht über den Mittelpunkt der Grundfläche im Abstand der Höhe eingezeichnet.
Im letzten Schritt werden alle Kanten, die bei der schrägen Ansicht von anderen Flächen verdeckt werden, gestrichelt gezeichnet.
LösungDie wichtigsten Merkmale des Schrägbildes einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche sind:
- Grundfläche
- Diagonalen und Mittelpunkt des Parallelogramms
- Spitze
- Unsichtbare Kanten
-
Zeige auf, welche Schrägbilder zu einer quadratischen Pyramide passen.
TippsBedenke, dass du zuerst die quadratische Grundfläche zeichnen musst. Im Schrägbild entspricht diese einem Parallelogramm.
Ein wichtiger Schritt bei der Zeichnung des Schrägbildes einer Pyramide ist die Spitze, die senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt.
LösungDie wichtigsten Schritte beim Zeichnen des Schrägbildes einer quadratischen Pyramide sind folgende:
- Zeichne ein Parallelogramm als Grundfläche, bei dem die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verlaufen.
- Bestimme den Mittelpunkt des Parallelogramms. Dieser ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
- Zeichne die Spitze senkrecht über den Mittelpunkt im Abstand der Höhe.
- Verbinde die Spitze mit den vier Eckpunkten.
- Zum Schluss strichelst du alle nicht sichtbaren Kanten.
Deshalb gilt für die Schrägbilder:
1. Bild
Das ist kein Schrägbild einer vierseitigen Pyramide: Da die Grundfläche ein Dreieck ist, spricht man von einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
2. Bild
Das ist ein Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Hier wurden alle Punkte beachtet.
3. Bild
Das ist kein Schrägbild einer quadratischen Pyramide: Die Grundfläche ist zwar ein Parallelogramm, jedoch wurde hier keine Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt markiert, sondern es wurden zwei Spitzen oberhalb der Mittelpunkte der Seiten gezeichnet und diese verbunden. Stellt man es auf, erhält man ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche.
4. Bild
Das ist ein Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Hier wurden alle Punkte beachtet.
5. Bild
Das ist kein Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Die Grundfläche ist zwar ein Parallelogramm, jedoch sieht man hier einen Quader.
-
Ermittle die passenden Schrägbilder zu den Maßen.
TippsZeichne zuerst ein Parallelogramm. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verkürzt gezeichnet. Also entspricht ein Zentimeter einer Kästchendiagonale.
Die Spitze ist senkrecht über dem Mittelpunkt des Parallelogramms im Abstand der Höhe.
LösungDu kannst wie folgt zuordnen:
- $a=4 \text{ cm}$ und $h=4 \text{ cm}$
- $a=2 \text{ cm}$ und $h=2 \text{ cm}$
- $a=2 \text{ cm}$ und $h=3 \text{ cm}$
- $a=3 \text{ cm}$ und $h=2 \text{ cm}$
- $a=3 \text{ cm}$ und $h=3 \text{ cm}$
-
Bestimme die richtige Reihenfolge für das Erstellen eines Schrägbildes.
TippsDas Schrägbild beginnt immer mit der Grundfläche.
Zeichne zunächst die sichtbaren und dann die unsichtbaren Kanten.
Lösung- Zeichne ein Parallelogramm. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verkürzt gezeichnet. Hier sind schon die beiden später nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet.
- Bestimme den Mittelpunkt des Parallelogramms. Dieser ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen, die die gegenüberliegenden Eckpunkte des Parallelogramms verbinden.
- Zeichne die Spitze senkrecht über den Mittelpunkt des Parallelogramms im Abstand der Höhe.
- Verbinde die Spitze mit den drei Eckpunkten, die du direkt sehen kannst.
- Zum Schluss zeichnest du die nicht sichtbare Kante zum verbliebenen Eckpunkt gestrichelt.
-
Gib an, wie du das Schrägbild einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche zeichnen kannst.
TippsDas Schrägbild einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist sehr ähnlich zu dem der Pyramide mit der quadratischen Grundfläche. Auch hier werden verdeckte Kanten gestrichelt dargestellt.
Hier siehst du die drei Höhen eines Dreiecks. Sie schneiden sich zwar in einem Punkt, dieser liegt aber nicht in der Mitte des Dreiecks.
Hier siehst du ein Dreieck und seine drei Winkelhalbierenden.
LösungDas Schrägbild einer dreieckigen Pyramide ist dem der Pyramide mit der quadratischen Grundfläche sehr ähnlich. Es wird wie folgt angefertigt:
- Zunächst zeichnest du die dreieckige Grundfläche. Die nach hinten laufenden Kanten werden verkürzt dargestellt. Den Winkel, um den die Kanten verschoben werden, nennt man Verzerrwinkel und den Faktor, um den sie verkürzt werden, Verzerrfaktor.
- Danach bestimmen wir den Mittelpunkt des Dreiecks. Dazu zeichnen wir alle $3$ Winkelhalbierenden ein. Der Mittelpunkt der Grundfläche entspricht dann deren Schnittpunkt. Beachte, dass du nur im Falle eines gleichseitigen Dreiecks die Mittelsenkrechten nehmen kannst, da diese dann den Winkelhalbierenden entsprechen.
- Senkrecht zur Grundfläche wird nun die Höhe abgetragen. Sie wird nicht verkürzt oder anderweitig verändert. Am Ende der Höhe markieren wir die Spitze.
- Anschließend verbinden wir die Spitze mit den $3$ Eckpunkten der Grundfläche und erhalten die Pyramide.
- Zuletzt werden die $3$ nicht sichtbaren Kanten gestrichelt dargestellt, da sie von der Vorderseite verdeckt werden.
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Leider mathematisch nicht korrekt. Kanten, die nach hinten verlaufen, werden zwar im 45° Winkel eingezeichnet, jedoch muss die reale Länge exakt halbiert werden. Man kann sich also nicht an der Länge der Kästchendiagonalen orientieren.
Man muss schon exakt arbeiten...
Im Schrägbild werden die senkrecht nach "hinten" verlaufenden Kanten von der Länge her halbiert, also wird aus 1cm im Bild 0,5cm (die Kästchendiagonale ist > 0,5cm!