Schrägbild der Pyramide

Schrägbild der Pyramide Übung

• Gib wieder, wie man das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnet.

  Tipps

  Beginne mit der Grundfläche der Pyramide. Beachte dabei, dass nach hinten laufende Kanten verkürzt gezeichnet werden.

  Den Mittelpunkt eines Parallelogramms kannst du bestimmen, indem du die gegenüberliegenden Eckpunkte miteinander verbindest und den Schnittpunkt markierst.

  Hast du deine Pyramide fertig konstruiert, musst du schauen, welche Kanten im Vordergrund sind und welche möglicherweise durch andere Flächen verdeckt sind. Letztere werden nämlich für den räumlichen Effekt gestrichelt gezeichnet.

  Lösung

  1. Zeichne ein Parallelogramm. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ und verkürzt gezeichnet.
  2. Bestimme den Mittelpunkt des Parallelogramms. Dieser ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Parallelogramms, die die gegenüberliegenden Eckpunkte verbinden.
  3. Zeichne die Spitze der Pyramide senkrecht über den Mittelpunkt im Abstand der Höhe. Dabei kannst du dich zum Beispiel gut an den Kästchen deines Matheheftes orientieren.
  4. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten des Parallelogramms.
  5. Zum Schluss strichelst du alle nicht sichtbaren Kanten. Das sind die linke und die hintere Seite des Parallelogramms und die Kante, die von der Spitze zum linken hinteren Eckpunkt des Parallelogramms führt.

• Beschrifte die wichtigen Merkmale des Schrägbildes einer Pyramide.

  Tipps

  Die Grundfläche entspricht hier einem Parallelogramm.

  Die Spitze wird senkrecht über den Mittelpunkt der Grundfläche im Abstand der Höhe eingezeichnet.

  Im letzten Schritt werden alle Kanten, die bei der schrägen Ansicht von anderen Flächen verdeckt werden, gestrichelt gezeichnet.

  Lösung

  Die wichtigsten Merkmale des Schrägbildes einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche sind:

  • Grundfläche

  Sie entspricht einem Parallelogramm, da die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verkürzt gezeichnet werden.

  • Diagonalen und Mittelpunkt des Parallelogramms

  Nach der Zeichnung des Parallelogramms wird der Mittelpunkt bestimmt. Dazu verbindet man die gegenüberliegenden Eckpunkte zu den Diagonalen des Parallelogramms. Der Schnittpunkt dieser Diagonalen ist der Mittelpunkt.

  • Spitze

  Die Spitze wird senkrecht über den Mittelpunkt im Abstand der Höhe eingezeichnet.

  • Unsichtbare Kanten

  Im letzten Schritt werden alle Kanten, die bei der schrägen Ansicht von anderen Flächen verdeckt werden, gestrichelt gezeichnet.

• Zeige auf, welche Schrägbilder zu einer quadratischen Pyramide passen.

  Tipps

  Bedenke, dass du zuerst die quadratische Grundfläche zeichnen musst. Im Schrägbild entspricht diese einem Parallelogramm.

  Ein wichtiger Schritt bei der Zeichnung des Schrägbildes einer Pyramide ist die Spitze, die senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt.

  Lösung

  Die wichtigsten Schritte beim Zeichnen des Schrägbildes einer quadratischen Pyramide sind folgende:

  1. Zeichne ein Parallelogramm als Grundfläche, bei dem die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verlaufen.
  2. Bestimme den Mittelpunkt des Parallelogramms. Dieser ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
  3. Zeichne die Spitze senkrecht über den Mittelpunkt im Abstand der Höhe.
  4. Verbinde die Spitze mit den vier Eckpunkten.
  5. Zum Schluss strichelst du alle nicht sichtbaren Kanten.

  Deshalb gilt für die Schrägbilder:

  1. Bild

  Das ist kein Schrägbild einer vierseitigen Pyramide: Da die Grundfläche ein Dreieck ist, spricht man von einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.

  2. Bild

  Das ist ein Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Hier wurden alle Punkte beachtet.

  3. Bild

  Das ist kein Schrägbild einer quadratischen Pyramide: Die Grundfläche ist zwar ein Parallelogramm, jedoch wurde hier keine Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt markiert, sondern es wurden zwei Spitzen oberhalb der Mittelpunkte der Seiten gezeichnet und diese verbunden. Stellt man es auf, erhält man ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche.

  4. Bild

  Das ist ein Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Hier wurden alle Punkte beachtet.

  5. Bild

  Das ist kein Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Die Grundfläche ist zwar ein Parallelogramm, jedoch sieht man hier einen Quader.

• Ermittle die passenden Schrägbilder zu den Maßen.

  Tipps

  Zeichne zuerst ein Parallelogramm. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verkürzt gezeichnet. Also entspricht ein Zentimeter einer Kästchendiagonale.

  Die Spitze ist senkrecht über dem Mittelpunkt des Parallelogramms im Abstand der Höhe.

  Lösung

  Du kannst wie folgt zuordnen:

  • $a=4 \text{ cm}$ und $h=4 \text{ cm}$

  Die Pyramide ist $8$ Kästchen breit und die nach hinten laufenden Kanten sind $4$ Kästchendiagonalen lang. Die Höhe beträgt $4 \text{ cm}$, also zählen wir $8$ Kästchen vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze.

  • $a=2 \text{ cm}$ und $h=2 \text{ cm}$

  Die Pyramide ist $4$ Kästchen breit und die nach hinten laufenden Kanten sind $2$ Kästchendiagonalen lang. Die Höhe beträgt $2 \text{ cm}$, also $4$ Kästchen vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze.

  • $a=2 \text{ cm}$ und $h=3 \text{ cm}$

  Die Pyramide ist $4$ Kästchen breit und die nach hinten laufenden Kanten sind $2$ Kästchendiagonalen lang. Die Höhe beträgt $3 \text{ cm}$, also $6$ Kästchen vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze.

  • $a=3 \text{ cm}$ und $h=2 \text{ cm}$

  Die Pyramide ist $6$ Kästchen breit und die nach hinten laufenden Kanten sind $3$ Kästchendiagonalen lang. Die Höhe beträgt $2 \text{ cm}$, also $4$ Kästchen vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze.

  • $a=3 \text{ cm}$ und $h=3 \text{ cm}$

  Hierzu existiert kein entsprechendes Schrägbild.

• Bestimme die richtige Reihenfolge für das Erstellen eines Schrägbildes.

  Tipps

  Das Schrägbild beginnt immer mit der Grundfläche.

  Zeichne zunächst die sichtbaren und dann die unsichtbaren Kanten.

  Lösung

  1. Zeichne ein Parallelogramm. Dabei werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von $45^\circ$ verkürzt gezeichnet. Hier sind schon die beiden später nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet.
  2. Bestimme den Mittelpunkt des Parallelogramms. Dieser ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen, die die gegenüberliegenden Eckpunkte des Parallelogramms verbinden.
  3. Zeichne die Spitze senkrecht über den Mittelpunkt des Parallelogramms im Abstand der Höhe.
  4. Verbinde die Spitze mit den drei Eckpunkten, die du direkt sehen kannst.
  5. Zum Schluss zeichnest du die nicht sichtbare Kante zum verbliebenen Eckpunkt gestrichelt.

• Gib an, wie du das Schrägbild einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche zeichnen kannst.

  Tipps

  Das Schrägbild einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist sehr ähnlich zu dem der Pyramide mit der quadratischen Grundfläche. Auch hier werden verdeckte Kanten gestrichelt dargestellt.

  Hier siehst du die drei Höhen eines Dreiecks. Sie schneiden sich zwar in einem Punkt, dieser liegt aber nicht in der Mitte des Dreiecks.

  Hier siehst du ein Dreieck und seine drei Winkelhalbierenden.

  Lösung

  Das Schrägbild einer dreieckigen Pyramide ist dem der Pyramide mit der quadratischen Grundfläche sehr ähnlich. Es wird wie folgt angefertigt:

  1. Zunächst zeichnest du die dreieckige Grundfläche. Die nach hinten laufenden Kanten werden verkürzt dargestellt. Den Winkel, um den die Kanten verschoben werden, nennt man Verzerrwinkel und den Faktor, um den sie verkürzt werden, Verzerrfaktor.
  2. Danach bestimmen wir den Mittelpunkt des Dreiecks. Dazu zeichnen wir alle $3$ Winkelhalbierenden ein. Der Mittelpunkt der Grundfläche entspricht dann deren Schnittpunkt. Beachte, dass du nur im Falle eines gleichseitigen Dreiecks die Mittelsenkrechten nehmen kannst, da diese dann den Winkelhalbierenden entsprechen.
  3. Senkrecht zur Grundfläche wird nun die Höhe abgetragen. Sie wird nicht verkürzt oder anderweitig verändert. Am Ende der Höhe markieren wir die Spitze.
  4. Anschließend verbinden wir die Spitze mit den $3$ Eckpunkten der Grundfläche und erhalten die Pyramide.
  5. Zuletzt werden die $3$ nicht sichtbaren Kanten gestrichelt dargestellt, da sie von der Vorderseite verdeckt werden.