Schrägbild des Kegels

Schrägbild des Kegels Übung

• Gib wieder, wie du das Schrägbild eines Kegels zeichnest.

  Tipps

  Der Durchmesser eines Kreises ist die längste Sehne eines Kreises und läuft immer durch den Mittelpunkt des Kreises.

  Eine Ellipse ist eine Art gestauchter Kreis.

  Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt, da sie nicht sichtbar ist.

  Lösung

  1. Ein Kegel hat in der Wirklichkeit einen Kreis als Grundfläche. Zeichne dessen Durchmesser als Strecke.
  2. Zeichne durch den Mittelpunkt der Strecke eine zweite, kürzere Linie im Winkel von $45^\circ$ so ein, dass sie sich jeweils mittig schneiden. Diese Linie stellt auch den Durchmesser dar, aber perspektivisch verkürzt.
  3. Verbinde die Anfangs- und Endpunkte der Strecken zu einer Ellipse. Eine Ellipse ist eine Art gestauchter Kreis. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt, da sie nicht sichtbar ist.
  4. Markiere direkt über dem Schnittpunkt der beiden Linien die Spitze des Kegels im Abstand der Kegelhöhe.
  5. Diese wird dann mit dem Anfangs- und Endpunkt der ersten Strecke verbunden.

• Zeige auf, welche Schrägbilder eines Kegels korrekt sind.

  Tipps

  Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, dieser wird im Schrägbild gestaucht.

  Nicht sichtbare Linien werden im Schrägbild gestrichelt.

  Lösung

  Die wichtigen Schritte beim Zeichnen eines Schrägbildes sind:

  1. Zeichne den Durchmesser der Grundfläche. Zeichne durch dessen Mittelpunkt eine zweite, kürzere Linie in einem Winkel von $45^\circ$. Diese schneiden sich jeweils mittig.
  2. Verbinde Anfangs- und Endpunkte der Durchmesser zu einer Ellipse. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt.
  3. Direkt über dem Schnittpunkt der beiden Durchmesser liegt im Abstand der Höhe die Spitze des Kegels.
  4. Die Spitze wird dann mit den Endpunkten des ersten Durchmessers verbunden.

  Damit gilt für die Bilder:

  1. Bild

  Dies erfüllt alle Anforderungen und stellt einen Kegel dar.

  2. Bild

  Dies erfüllt alle Anforderungen und stellt einen Kegel dar. Die Farbe hat keinen Einfluss auf das Schrägbild.

  3. Bild

  Dies stellt kein korrektes Schrägbild eines Kegels dar, denn die hintere Hälfte der Ellipse müsste gestrichelt sein.

  4. Bild

  Dies stellt kein korrektes Schrägbild eines Kegels dar, sondern einen Zylinder.

  5. Bild

  Dies erfüllt alle Anforderungen und stellt einen Kegel dar. Die Farbe hat keinen Einfluss auf das Schrägbild.

• Bestimme, ob bei den Schrägbildern eines geraden Kegels ein Fehler passiert ist.

  Tipps

  Hier siehst du ein korrektes Schrägbild eines geraden Kegels.

  Das Dach des Turms entspricht einem Kegel, der Turm als gesamtes aber nicht.

  Lösung

  Die folgenden Fehler sind hier passiert:

  1. Bild: kein Kegel

  Hier sehen wir einen zusammengesetzten Körper. Er besteht aus einem Kegel und einem Zylinder.

  2. Bild: kein Fehler

  Dieses Schrägbild ist korrekt.

  3. Bild: keine Ellipse

  Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Allerdings muss sie im Schrägbild gestaucht, also als Ellipse dargestellt sein.

  4. Bild: unsichtbare Linie

  Linien, die verdeckt sind, müssen gestrichelt gezeichnet werden. Hier betrifft das die hintere Hälfte der Ellipse

  5. Bild: schräge Höhe

  Senkrecht wird vom Mittelpunkt aus die Höhe abgetragen. Das Ende der Höhe heißt Spitze. Hier sieht man zwar das Schrägbild eines Kegels, dieser ist aber nicht gerade, sondern verschoben.

• Ermittle die passenden Schrägbilder.

  Tipps

  Miss den Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) in dem Schrägbild anhand der Kästchen aus.

  Direkt über dem Mittelpunkt liegt im Abstand der Höhe die Spitze des Kegels.

  Lösung

  Beim Zeichnen des Schrägbildes eines Kegels gehst du so vor:

  1. Zeichne den Durchmesser der Grundfläche. Zeichne durch dessen Mittelpunkt eine zweite, kürzere Linie in einem Winkel von $45^\circ$. Diese schneiden sich jeweils mittig.
  2. Verbinde Anfangs- und Endpunkte der Durchmesser zu einer Ellipse. Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt.
  3. Direkt über dem Schnittpunkt der beiden Durchmesser liegt im Abstand der Höhe die Spitze des Kegels.
  4. Die Spitze wird dann mit den Endpunkten des ersten Durchmessers verbunden.

  Dementsprechend musst du hier die Längen des Durchmessers $d$ und der Höhe $h$ überprüfen. Damit gilt:

  • 1. Bild: $d=6\text{ cm}$ und $h=4\text{ cm}$

  Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $6\text{ cm}$, also $12$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $4\text{ cm}$, also $8$ Kästchen lang ist.

  • 2. Bild: $d=3\text{ cm}$ und $h=2\text{ cm}$

  Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $3\text{ cm}$, also $6$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist.

  • 3. Bild: $d=2\text{ cm}$ und $h=2\text{ cm}$

  Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist.

  • 4. Bild: $d=4\text{ cm}$ und $h=2\text{ cm}$

  Hierzu passt der Kegel bei dem der Durchmesser (längste Sehne der Ellipse) $4\text{ cm}$, also $8$ Kästchen lang ist. Vom Mittelpunkt dieser Linie bis zur Spitze misst man die Höhe, die hier $2\text{ cm}$, also $4$ Kästchen lang ist.

  • Zu $d=2\text{ cm}$ und $h=3\text{ cm}$ passt kein Bild.

• Beschrifte das Schrägbildes des Kegel.

  Tipps

  Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, im Schrägbild wird dieser gestaucht.

  Das Ende der Höhe nennen wir Spitze.

  Lösung

  Die wichtigen Merkmale bei einem Schrägbild eines Kegels sind:

  • Grundfläche

  Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, im Schrägbild wird dieser gestaucht und ist daher eine Ellipse mit dem Durchmesser des Kreises an der breitesten Stelle.

  • Mittelpunkt

  Dort, wo sich die Strecke des Durchmessers und die des verkürzten Durchmesser in einem Winkel von $45^\circ$ schneiden, ist der Mittelpunkt.

  • Höhe und Spitze

  Senkrecht wird vom Mittelpunkt aus die Höhe abgetragen. Das Ende der Höhe heißt Spitze.

  • Unsichtbare Linie

  Die hintere Hälfte der Ellipse zeichnen wir gestrichelt, da sie nicht sichtbar ist.

• Bestimme das Volumen eines Kegels.

  Tipps

  Für die Fläche eines Kreises musst du den Radius quadrieren und das Quadrat mit $\pi$ multiplizieren.

  Die Werte für den Durchmesser $d$ und die Höhe $h$ kannst du in dem Schrägbild ablesen.

  Lösung

  Messen wir die Längen im Schrägbild, können wir auch andere Größen des Kegels bestimmen:

  Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:

  • $V=\frac13 \cdot G \cdot h$

  Dabei ist $G$ die kreisförmige Grundfläche und $h$ die Höhe. Die Grundfläche des Kegels ist in Wirklichkeit ein Kreis, auch wenn sie im Schrägbild wie eine Ellipse aussieht.

  Die Fläche eines Kreises berechnet man mit Hilfe des Radius $r$:

  $G=r^2\cdot \pi$

  Den Radius können wir einfach messen oder aus dem Durchmesser berechnen:

  • $r=\frac d 2$

  Nun bestimmen wir die Werte in unserem Bild und erhalten:

  • $d=6 \text{ cm}$ (längste Sehne der Ellipse)

  • $h=4 \text{ cm}$ (vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze)

  So gilt für den Radius: $r=\frac{6 \text{ cm}}2=3 \text{ cm}$

  Dann setzen wir die Werte in unsere Formel ein:

  $V=\frac13 \cdot G \cdot h=\frac13 \cdot r^2\cdot \pi \cdot h=\frac13 \cdot (3 \text{ cm})^2\cdot \pi \cdot 4 \text{ cm}= 12\pi\text{ cm}^3\approx 37,7\text{ cm}^3$