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Oberfläche und Mantelfläche von Kegeln 10:34 min

Textversion des Videos

Transkript Oberfläche und Mantelfläche von Kegeln

Hallo und herzlich willkommen. Mein Name ist Jonathan und ich nehme dich heute mit in die wunderbare Welt der Mathematik. In diesem Video möchte ich dir zeigen, wie man die Oberfläche eines Kegels berechnet. Was wird dich in diesem Video alles erwarten? Als erstes wiederhole ich kurz, was den Kegel charakterisiert. Anschließend leite ich dir die Formeln zur Berechnung der Oberfläche her. In diesem Abschnitt zeige ich dir auch, wie du die Länge der Mantellinie ausrechnest, wenn du nur die Höhe und den Radius des Kegels kennst. Außerdem rechne ich dir an einem Beispiel vor, wie du die Formeln anwendest. Es wird dir leichter fallen dieses Video zu verstehen, wenn du weißt, wie man den Flächeninhalt eines Kreises berechnet und was ein Kreissektor ist. Außerdem solltest du den Satz des Pythagoras kennen. Fangen wir also mit einer kurzen Wiederholung des Kegels an: Den Kegel erkennst du an seiner Spitze und der kreisförmigen Grundfläche mit dem Radius r. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche. Die Mantelfläche ist ein Kreissektor, also der Ausschnitt von einem vollen Kreis. Die Verbindungsstrecke von der Spitze zu irgendeinem Punkt auf dem Umfang der Grundfläche heißt Mantellinie s. Jetzt können wir anfangen, die Formel für die Oberfläche des Kegels herzuleiten. Die ganze Oberfläche setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Als Formel ausgedrückt: AO=AG+AM. Die Größe der Grundfläche können wir schon jetzt hinschreiben. Sie hat die Form eines Kreises mit dem Radius r. Die Formel lautet also: AG=π * r². Wir müssen also noch herausfinden, wie die Formel für die Mantelfläche lautet. Dazu schauen wir uns die Mantelfläche noch einmal an. Wie du weißt, hat sie die Form eines Kreissektors. Diesen Winkel hier nenne ich α. Diese Seite nenne ich klein s. Sie entspricht ja der Mantellinie des Kegels. Die allgemeine Formel für die Fläche eines Kreissektors lautet: A = α/360° * π * s². Der hintere Teil, also π * s², ist die Fläche von einem Kreis mit dem Radius s. Unser Kreissektor ist ein Teil von einem solchen Kreis, deswegen steht hier vorne α/360°. Dies gibt an, wie groß der Anteil des Kreissektors am vollen Kreis ist. Ist α zum Beispiel 90° groß, so ist der Kreissektor ein Viertelkreis. Die Fläche des Kreissektors ist dann natürlich auch ein Viertel von einem Vollkreis mit demselben Radius. Damit wissen wir jetzt, wie man die Fläche eines Kreissektors ausrechnet. Wenn du von einem Kegel die Oberfläche ausrechnen sollst, weißt du jedoch nicht wie groß dieser Winkel α ist. Wir möchte die Formel also so verändern, dass α verschwindet. Dies geht so: Wir können eine Verhältnisgleichung aufstellen. Der α verhält sich zu 360° wie die Länge des Kreisbogens zu dem Umfang des Kreises mit dem Radius s. Also: α/360° =. Die Länge des Kreisbogens entspricht genau dem Umfang der Grundfläche des Kegels, also 2 * π * r. Unter dem Bruchstrich steht der Umfang des Vollkreises, also 2 * π * s. Wie du siehst, kann ich die zwei und das π wegkürzen. Übrig bleibt also der Ausdruck α/360° = r/s. Wir können also in unserer Formel für den Kreissektor den Teil α/360° ersetzen durch r/s. Somit ergibt sich für die Mantelfläche AM=r/s * π * s². Wenn ich dieses s unter dem Bruchstrich gegen ein s aus dem s² kürze und alles ein wenig umsortiere, ergibt sich die Formel für die Mantelfläche. π * r * s. Nun können wir die komplette Formel für die Oberfläche hinschreiben. AO ist gleich die Grundfläche, also π * r² plus die Mantelfläche, also π * r * s. AO = π * r² + π * r * s. Wie du siehst, kommt in beiden Teilen der Formel π * r vor. Wir können dies also ausklammern. Im linken Teil bleibt dann einmal r übrig und im rechten einmal s. Die Formel lautet dann: AO=π * r * (r+s). Beide Formeln bedeuten das gleiche. Du kannst also beide verwenden. Bevor wir die Formel nun anwenden, möchte ich dir noch kurz zeigen, wie du die Länge der Mantellinie berechnen kannst. Wenn du die Oberfläche eines Kegels berechnen sollst, hast du meistens nur den Radius und die Höhe gegeben. Die Länge der Mantellinie kennst du jedoch nicht. Schauen wir uns das Dreieck, das diese drei Strecken bilden, einmal genauer an. Fällt dir etwas auf? Genau, es ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe und der Radius sind die Katheten. Und die Mantellinie ist die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt also: s² = r² + h². Nun müssen wir noch die Wurzel ziehen und das ergibt s = √(r² + h²). So kannst du mithilfe der Höhe und des Radius die Länge der Mantellinie ausrechnen. Jetzt können wir zum Beispiel die Oberfläche dieses Kegels hier ausrechnen. Ich habe vorher schon einmal gemessen, deswegen weiß ich, dass die Höhe acht Zentimeter beträgt und die Grundfläche eines Radius von sechs Zentimeter hat. Also, gegeben sind: r = 6cm und h = 8cm. Gesucht ist AO, die Oberfläche des Kegels, in Quadratzentimetern. Die Formel lautet: AO=π * r * (r+s). Bevor wir diese Formel benutzen können, müssen wir die Länge der Mantellinie s ausrechnen. s=√(r² + h²). Setzen wir die gegebenen Werte ein, so ergibt sich: s = √(6²+8²). 6² = 36 und 8² = 64. Also ist s=√(36+64). 36+64=100. Die Wurzel aus einhundert ist zehn. Also ist die Mantellinie zehn Zentimeter lang. Jetzt haben wir alles, um die Oberfläche auszurechnen. Setzen wir r und s in die Formel ein, so ergibt sich: AO=π * 6cm * (6cm+10cm) = π * 6cm * 16cm. Das kannst du in den Taschenrechner eingeben und das ergibt gerundet 301,6cm². Ich fasse noch einmal zusammen: Die Oberfläche des Kegels setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Letztere ist ein Kreissektor. Die Formel für die Oberfläche lautet: AO=π * r² + π * r * s. Oder: AO=π * r * (r+s). Die Länge der Mantellinie kannst du mithilfe des Radius, der Höhe und des Satz des Pythagoras ausrechnen. s=√(r²+h²). Damit sind wir am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat dir weitergeholfen und du kannst jetzt die Oberfläche eines Kegels berechnen. Mein Name ist Jonathan, hoffentlich sehen wir uns bald wieder. Bis dahin wünsche ich dir viel Freude an der Mathematik!

3 Kommentare
  1. Sehr gutes Video, hat mir sehr geholfen. Aber bei einer Sache kann ich dir nicht zustimmen. Die Welt der Mathematik ist nicht wunderbar!!

    Von Jonathanhirsch03, vor 4 Monaten
  2. Richtig gut!

    Von Niklas Bauer, vor mehr als einem Jahr
  3. Super mit Beispiel

    Von F Bag, vor mehr als 2 Jahren

Oberfläche und Mantelfläche von Kegeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberfläche und Mantelfläche von Kegeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Oberfläche des Kegels, der einen Radius von 6 cm und eine Höhe von 8 cm besitzt.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel (hier c) zum Quadrat die Summe der beiden anderen Seiten zum Quadrat ist. In einer Formel ausgedrückt heißt dies: $c^2 = a^2 + b^2$

    Die Seite $c$ berechnet man, indem man die Wurzel zieht. Es folgt: $ c = \sqrt{a^2 + b^2}$

    Den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen wir mit der Formel $ A_O = \pi \cdot r ( r + s)$.

    Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $s$ die Länge der Mantellinie.

    Lösung

    Den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen wir mit der Formel $ A_O = \pi \cdot r \cdot ( r + s)$.

    Wir wissen, dass $r = 6~cm$ ist. Allerdings kennen wir die Länge der Mantellinie $s$ nicht. Allerdings kennen wir noch die Höhe $h$ des Kegels und können mit dem Radius und der Höhe die Mantellinie berechnen. Die Formel zur Berechnung der Mantellinie lautet $ s^2 = r^2 + h^2$.

    Wenn wir diese Formel nach $s$ umstellen, erhalten wir $s =\sqrt{r^2 + h^2}$

    Nun setzen wir unsere Werte für $r$ und $h$ ein und erhalten

    $s = \sqrt{6~cm^2 + 8~cm^2} = \sqrt{36~cm + 64~cm} = \sqrt{100~cm} = 10~cm$.

    Wir wissen also, dass die Mantellinie $ s= 10~cm$ lang ist.

    Diesen Wert können wir nun in die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einsetzen und erhalten

    $A_O = \pi \cdot 6~cm \cdot( 6~cm + 10~cm) = \pi \cdot 6~cm \cdot 16~cm \approx 301,6~cm$.

  • Fasse die Formeln zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels zusammen.

    Tipps

    Hier siehst du ein mögliches Netz eines Kegels. Es zeigt, dass ein Kegel aus einer Grundfläche und einer Mantelfläche besteht.

    Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnet man mit der Formel $A_G = \pi \cdot r^2$.

    Den Flächeninhalt der Mantelfläche berechnet man mit der Formel $A_M = \pi \cdot r \cdot s$.

    Lösung

    Die Grundfläche und Mantelfläche ergeben zusammen die Oberfläche eines Kegels. Dabei hat die Grundfläche die Form eines Kreises, während die Mantelfläche die Form eines Kreissektors hat. Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts lautet:

    $A_O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$

    Da man das $\pi$ und $r$ ausklammern kann, kann man die Formel auch so schreiben:

    $A_O = \pi \cdot r \cdot ( r + s)$

  • Leite die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Kegels her.

    Tipps

    Bei diesem Term wurde das $x$ und $y$ ausgeklammert.

    Beim ersten Bruch kann man die $3$ das $z$ kürzen.

    Lösung
    1. Die Grundfläche und Mantelfläche eines Kegels ergeben zusammen die Oberfläche des Kegels. Wir müssen den Flächeninhalt der Grundfläche und Mantelfläche einzeln berechnen und addieren. In einer Formel ausgedrückt sieht dies so aus: $A_O = A_G + A_M$
    2. Die Grundfläche des Kegels hat die Form von einem Kreis. Den Flächeninhalt von einem Kreis bestimmt man mit der Formel $ A_G = \pi \cdot r^2$.
    3. Die Mantelfläche $A_M$ hat die Form eines Kreissektors. Um seine Fläche zu berechnen, nutzen wir die Formel: $ A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot s^2$. Der Winkel ist hierbei meist unbekannt und lässt sich bei dem Körper schwer messen.
    4. Daher wird eine Verhältnisgleichung aufgestellt, sodass $\alpha$ nicht mehr in der Gleichung auftaucht. Das Verhältnis von $\alpha$ zu $360^\circ$, ist wie das Verhältnis der Bogenlänge des Kreissektors zu dem Umfang des Vollkreises mit dem Radius $s$. Die Länge des Kreisbogens entspricht dabei dem Umfang der Grundfläche. Die entsprechende Formel dazu lautet: $\frac{\alpha}{360°} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{2 \cdot \pi \cdot s}$. Wenn man nun die $2$ und das $\pi$ kürzt, folgt daraus: $\frac{\alpha}{360°} = \frac {r}{s}$.
    5. Setzen wir dies nun in $ A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot s^2$ ein, erhalten wir $ A = \frac{r}{s} \cdot \pi \cdot s^2$. Wenn man nun das $s$ im Nenner mit einem $s$ von $s^2$ kürzt, erhält man $ A = r \cdot \pi \cdot s$. Sortiert man diese Formel noch ein bisschen um, ergibt sich $A_M = \pi \cdot r \cdot s$.
    6. Da sich die Oberfläche des Kegels aus der Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, kann man die entsprechenden Terme in die Formel $ A_O = A_G + A_M$ einsetzen. Daraus folgt $ A_O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$.
    7. Klammert man das $\pi$ und $r$ aus der Formel $ A_O = π \cdot r^2 + π \cdot r \cdot s$ heraus, erhält man $ A_O = \pi \cdot r \cdot ( r + s)$.
  • Bestimme die Oberflächeninhalte der Kegel.

    Tipps

    Es gilt der Satz des Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$

    Wenn ich die Länge der Seite $a$ berechnen will, stelle ich die Gleichung nach $a$ um, also:

    $\begin{align} c^2 &= a^2 + b^2 && | - b^2 \\ a^2 &= c^2 - b^2 && | \sqrt{~} \\ a &= \sqrt{c^2 - b^2} \end{align}$

    Wenn eine Schokoladentafel $12~cm$ lang ist und du möchtest nur $\frac{1}{3}$ der Schokolade haben, rechnest du$ \frac{1}{3} \cdot 12~cm = \frac{12}{3} = 4~cm$. Du weißt also, dass du nur $4~cm$ Schokolade nehmen möchtest.

    Der Oberflächeninhalt eines Kegels berechnet sich aus der Formel $A_O = \pi \cdot r (r +s)$. Berechne jeweils nur den Vorfaktor von $\pi$.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels lautet $A_O = \pi \cdot r \cdot (r +s)$. Es genügt hierbei, die Vorfaktoren von $\pi$ zu berechnen.

    Wir sortieren die Kegel nach ihrem Oberflächeninhalt und beginnen mit dem Kleinsten.

    1. $r = 5~cm$, $ s=10~cm$: Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir $A_O = \pi \cdot 5~cm (5~cm + 10~cm) = \pi \cdot 75~ cm^2$.

    2. $ s=24~cm$, $r$ ist $\frac{1}{6}$ von $s$: Hier müssen wir zunächst berechnen, wie groß $r$ ist. Wir rechnen $r = \frac{1}{6} \cdot 24~cm = \frac{24~cm}{6} = 4~cm$. Nun wissen wir, dass $r = 4~cm$. Wir setzen dies wieder in unsere Formel ein und erhalten:

    $A_O = \pi \cdot 4~cm (4~cm + 24~cm) = \pi \cdot 112~cm^2$

    3. $h = 20~cm$, $r$ ist nur halb so lang wie $h$: Hier müssen wir zunächst $r$ und dann $s$ ausrechnen. Da $r$ nur die Hälfte von $20cm$ ist, muss $ r= 10~cm$ gelten.

    Weiter können wir $s$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Bezogen auf unseren Kegel lautet die Formel zum Satz des Pythagoras $s^2 = r^2 + h^2$. Da wir nur $s$ berechnen wollen, müssen wir die Wurzel ziehen. Es gilt $ s = \sqrt{r^2 +h^2}$. Nun können wir $r$ und $h$ in die Formel für den Satz des Pythagoras einsetzen. Es folgt:

    $ s = \sqrt{10^2~cm +20^2~cm} = \sqrt{100~cm + 400~cm} = \sqrt{500~cm} \approx 22,36~cm$.

    Wir setzen diese Werte wieder in unsere Formel ein und erhalten:

    $A_O =\approx \pi \cdot 10~cm (10~cm + 22,36~cm) \approx \pi \cdot 323,6~cm^2$

    4. $s = 15~cm$, $h=7~cm$: Hier müssen wir wieder $r$ berechnen, was wir mit dem Satz des Pythagoras tun können. Die Formel dazu lautet wie bei (3) $s^2 = r^2 + h^2$. Da wir nun $r$ berechnen wollen, müssen wir die Formel nach $r$ umstellen. Es gilt:

    $\begin{align} s^2 & = r^2 + h^2 &&| - h^2 \\ r^2 & = s^2 - h^2 &&| \sqrt{~} \\ r & = \sqrt{s^2 - h^2} \\ r & = \sqrt{15^2cm - 7^2~cm} \\ r & = \sqrt{225~cm - 49~cm} \\ r & = \sqrt{176~cm} \\ r & \approx 13,27~cm \end{align}$

    Wir setzen dies wieder in unsere Formel ein und erhalten:

    $A_O = \pi \cdot 13,27~cm (13,27~cm + 15~cm) \approx \pi \cdot 424,05~cm^2$

  • Bestimme die Höhe oder den Radius des Kegels.

    Tipps

    Es gilt der Satz des Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$

    Wenn ich die Länge der Seite $a$ berechnen will, stelle ich die Gleichung nach $a$ um, also:

    $\begin{align} c^2 &= a^2 + b^2 &|& - b^2 \\ a^2 &= c^2 - b^2 &|& \sqrt{~} \\ a &= \sqrt{c^2 - b^2} \end{align}$

    Verwende die Formel für die Mantellinie $s^2=r^2+h^2$ und den eben genannten Satz des Pythagoras.

    Lösung

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $r$ und $h$ und der Hypothenuse $s$ die Formel :

    $ s^2 = r^2 + h^2$

    Wenn wir nun $r$ berechnen, können wir die Formel nach $r$ umstellen.

    $\begin{align} s^2 &= r^2 + h^2 &|& -h^2 \\ r^2 &= s^2 - h^2 &|& \sqrt{~} \\ r &= \sqrt{ s^2 -h ^2} \end{align}$

    Wollen wir $h$ berechnen, stellen wir die Formel ähnlich um. Es gilt:

    $r = \sqrt{ s^2 -r ^2}$

    Nutzen wir diese beiden Formeln nun um $r$ und $h$ zu errechnen, ergibt sich daraus:

    1. $ h = \sqrt{ 8^2~cm - 2 ^2~cm} = \sqrt{ 64~cm - 4~cm} = \sqrt{ 60~cm} \approx 7,75~cm$
    2. $ r = \sqrt{ 12^2~cm - 3^2~cm} = \sqrt{ 144~cm -94~cm} = \sqrt{ 135~cm} \approx 11,62~cm$
    3. $ h = \sqrt{ 9^2~cm - 5 ^2~cm} = \sqrt{ 81~cm - 25~cm} = \sqrt{ 56~cm} \approx 7,48~cm$
    4. $ r = \sqrt{ 14^2~cm - 6^2~cm} = \sqrt{ 196~cm - 36~cm} = \sqrt{ 160~cm} \approx 12,65~cm$
  • Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels.

    Tipps

    Die Zahlen sind alle ganzzahlig. Verwende π mit dem vorgegebenem Taschenrechner.

    Um die Mantellinie zu berechnen, nutzen wir die Formel $s = \sqrt{r^2 + h^2}$

    Um den Oberflächeninhalt eines Kegels zu berechnen, nutzen wir die Formel $A_O = \pi \cdot r \cdot( r + s)$.

    Lösung

    Den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnet man mit der Formel $A_O = \pi \cdot r \cdot ( r + s)$.

    Da wir $s$ noch nicht kennen, können wir $s$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Mit dem Satz des Pythagoras gilt $s^2 = r^2 + h^2$. Durch das Ziehen der Wurzel erhalten wir die Größe für $s$: $ s = \sqrt{r^2 + h^2}$. Wir setzen die bekannten Größen ein und rechnen.

    $\begin{align} s& = \sqrt{(3~cm)^2 + (4~cm)^2} \\ &= \sqrt{9~cm^2 + 16~cm^2} \\ &= \sqrt{25~cm^2} \\ &= 5~cm \end{align}$

    Nun haben wir alle Werte die wir brauchen, um den Oberflächeninhalt zu berechnen.

    $\begin{align} A_O &= \pi \cdot r \cdot ( r + s) \\ & = \pi \cdot 3~cm \cdot ( 3~cm + 5~cm) \\ & = \pi \cdot 3~cm \cdot 8~cm \\ & = \pi \cdot 24~cm^2 \\ & \approx 75,39~cm^2 \end{align}$

    Der Oberflächeninhalt des Kegels beträgt genau $\pi \cdot 24~cm^2$ und ungefähr $75,39~cm^2$.