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Oberfläche und Volumen von Kegelstümpfen – Herleitung

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Die Autor/-innen
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Jonathan Wolff
Oberfläche und Volumen von Kegelstümpfen – Herleitung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Oberfläche und Volumen von Kegelstümpfen – Herleitung

Hallo und herzlich willkommen! Wenn du wissen möchtest, wie die Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen eines Kegelstumpfes zu Stande kommen, solltest du dieses Video nicht verpassen! Wir schauen uns zuerst gemeinsam an, was ein Kegelstumpf ist. Ich werde dann ein paar Vorbetrachtungen machen, damit wir wissen, wie wir bei der Herleitung vorgehen müssen. Anschließend leite ich mit dir zuerst die Formel für den Oberflächeninhalt und danach die Formel für das Volumen her. Viel Spaß beim Schauen!

Oberfläche und Volumen von Kegelstümpfen – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberfläche und Volumen von Kegelstümpfen – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die entsprechenden Seitenverhältnisse wieder.

    Tipps

    Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

    Hier siehst du ein großes Dreieck und ein kleines, dass sich in dem schwarzen Dreieck befindet. Beide Dreiecke sind zueinander ähnlich, da die Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

    Es gilt: $\large{\frac{x}{12+4} = \frac{3}{4}}$

    Lösung

    Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

    Das Verhältnis der Seiten $H$ und $R$ ist das gleiche, wie das der Seiten $h$ und $R-r$. Das kannst du zum Beispiel dadurch überprüfen, indem du Zahlen für die Variablen einsetzt. Es gelten folgende Seitenverhältnisse.

    $\frac{H}{R} = \frac{h}{ R-r}$

    $\frac{n}{m} = \frac{r}{R-r}$

    $\frac{m}{R-r} = \frac{n}{r}$

    $\frac{H}{h} = \frac{R}{R-r}$

  • Leite die Formel für den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfes her.

    Tipps

    Ein Kegelstumpf ist ein Kegel minus einen kleineren Kegel. Genauso ist es mit der Mantelfläche. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ergibt sich aus der Mantelfläche eines großen Kegels minus der Mantelfläche eines kleinen Kegels.

    Gehe so vor:

    1. Klammere $\pi$ aus.
    2. Multipliziere $(m+n)$ aus.
    3. Klammere $n$ aus.
    4. Ersetze $n$ gegen die Formel oben.
    5. Kürze geschickt.
    6. Klammere $m$ aus.

    Lösung

    Hier siehst du einen großen Kegel und einen kleinen Kegel. Wenn du von dem großen Kegel den kleinen abziehst, bleibt ein Kegelstumpf übrig. Es ist ein Kegelstumpf gegeben. Es sind $R$ der Radius und $H$ die Höhe des großen Kegels. Weiter sind $m$ die Mantellinie des Kegelstumpfes und $n$ die des kleinen Kegels. $r$ ist der Radius des kleinen Kegels.

    Um den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfes herzuleiten, geht man so vor.

    $\begin{align} A_M &= A_{\text{groß}} - A_{\text{klein}} \\ &= \pi \cdot R \cdot (m + n) - \pi \cdot r \cdot n &&|\pi ~\text{ausklammern} \\ &= \pi \cdot ( R \cdot (m + n) - r \cdot n) &&|(m+n)~\text{ausmultiplizieren} \\ & = \pi \cdot ( R \cdot m + R \cdot n - r \cdot n) &&|n~\text{ausklammern} \\ & = \pi \cdot ( R \cdot m + n \cdot ( R - r )) &&|n~\text{einsetzen} \\ & = \pi \cdot ( R \cdot m + \frac{r \cdot m}{R - r} \cdot ( R - r )) && \\ & = \pi \cdot ( R \cdot m + r \cdot m) &&|m~\text{ausklammern} \\ & = \pi \cdot m \cdot ( R + r ) \end{align}$

  • Erläutere, wie man die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfes herleitet.

    Tipps

    Wenn in allen drei Termen die gleiche Variable vorkommt, kann man diese ausklammern. Hier kannst du ein Beispiel erkennen.

    Der Flächeninhalt der Deckfläche wird mit $A_D$ und der der Grundfläche $A_G$ genannt.

    Der Flächeninhalt eines Kreises berechnet man mit der Formel $A= \pi \cdot $ Radius².

    Lösung

    Die Oberfläche eines Kegelstumpfes setzt sich aus der Deckfläche, Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Grund- und Deckfläche haben beide die Form eines Kreises und die Flächeninhalte sind unterschiedlich groß. Daher haben sie auch unterschiedliche Radien. Den Radius der Deckfläche bezeichnet man mit $r$ und den Radius für die Grundfläche mit $R$.

    Es gilt also:

    $A_O = A_D + A_G + A_M$

    Die einzelnen Flächen können wir wieder durch Formeln ersetzen. Daraus folgt:

    $\begin{align} A_O &= A_D + A_G + A_M \\ & = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot R^2 + \pi \cdot m \cdot (R + r) \end{align}$

    Da in allen drei Terminen $\pi$ vorkommt, können wir ausklammern. Es gilt:

    $A_O = \pi (r^2+ R^2+ m \cdot (R + r))$

    Somit haben wir auch schon unsere Formel um den Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfes zu bestimmen.

  • Leite die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes her.

    Tipps

    Das Volumen eines Kegelstumpfes berechnet man mit der Formel $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)$.

    Für $H$ kann man auch $H = \frac{R \cdot h}{R - r}$ schreiben.

    Man sollte die dritte binomische Formel anwenden.

    $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - a \cdot b + a \cdot b -b^2 = a^2 - b^2$

    Gehe so vor.

    1. $\frac{\pi}{3}$ ausklammern
    2. $(H-h)$ ausmultiplizieren
    3. $H$ ausklammern
    4. dritte binomische Formel anwenden
    5. $H$ ersetzen
    6. Kürzen
    7. $h$ ausklammern

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Volumens beim Kegelstumpf leitet man wie folgt her.

    $\begin{align} V & = V_{groß} - V_{klein} \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot H \cdot R^2- \frac{\pi}{3} \cdot (H - h) \cdot r^2 \end{align}$

    Wir klammern $\frac{π}{3}$ aus.

    $\begin{align} V &= \frac{\pi}{3} \cdot (H \cdot R^2- (H - h) \cdot r^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot (H \cdot R^2- H \cdot r^2 + h \cdot r^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot (H \cdot (R^2- r^2) + h \cdot r^2) \end{align}$

    Bei $(R^2- r^2)$ wenden wir die dritte binomische Formel an. Wir ersetzen also $(R^2- r^2)$ durch $(R + r) \cdot (R - r)$.

    $V= \frac{\pi}{3} \cdot (H \cdot (R - r) \cdot (R + r) + h \cdot r^2)$

    Wir wissen,dass $H = \frac{R \cdot h}{R - r}$ gilt und ersetzen dementsprechend $H$.

    $V = \frac{\pi}{3} \cdot (\frac{R \cdot h}{R - r} \cdot (R - r) \cdot (R + r) + h \cdot r^2)$

    Wir kürzen $R - r$.

    $V = \frac{\pi}{3} \cdot (R \cdot h \cdot (R + r) + h \cdot r^2)$

    Wir klammern das $h$ aus.

    $\begin{align} V &= \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot (R \cdot (R + r) + r^2 \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot (R^2+ R \cdot r + r^2) \end{align}$

  • Beschrifte die Skizze des Kegelstumpfes mit den richtigen Variablen.

    Tipps

    Hier siehst du einen Kreis, in dessen Mitte eine blaue Linie beginnt und bis zum Rand des Kreises geht. Diese blaue Linie ist genauso lang wie der Radius des Kreises. Von dem Mittelpunkt kann man ganz viele Linien in alle Richtungen bis zum Rand des Kreises ziehen und alle Linien sind gleich lang.

    Lösung

    Hier siehst du einen Kegelstumpf mit vielen bunten Linien.

    Alle blauen Linien auf der Deckfläche gehen vom Mittelpunkt der Deckfläche zum Rand des Kreises und sind alle gleich lang. Das heißt, dass sie alle so lang wie der Radius des kleinen Kreises $r$ sind. Für dich sieht die eine blaue Linie länger bzw. kürzer als eine andere Linie aus. Das kommt daher, dass du den Kegelstumpf von der Seite betrachtest und nicht von oben.

    Das Gleiche gilt für $R$. Auch diese Linien gehen alle vom Mittelpunkt der Grundfläche aus und gehen bis zum Rand des Kreises. Alle gelben Linien sind gleich lang.

    Die Höhe $h$ ist hier rot markiert.

    Die Mantellinie $m$ ist grün markiert. Die Mantellinie ist rund um den Kegel überall gleich lang.

    Die braune Linie ist genauso lang, wie eine gelbe Linie $R$ minus einer blauen Linie $r$. Daher wird die braune Linie als $R-r$ bezeichnet.

    Zur besseren Übersicht wurden nicht alle blauen, roten, gelben, braunen und grünen Linien eingezeichnet. Es gibt also noch viel mehr.

  • Ermittle den Oberflächeninhalt und das Volumen des Fressnapfes.

    Tipps

    Die Höhe des Kegelstumpfes ist mit $h=5~cm$ gegeben.

    Die Oberfläche des Fressnapfes besteht aus der Grundfläche und der Mantelfläche. Die Deckfläche gehört nicht dazu, da ja hier das Futter hinein muss.

    Bei einem Kegelstumpf gilt

    • Mantelflächeninhalt $A_M=\pi \cdot m \cdot (R+r)$
    • Flächeninhalt der Grundfläche (großer Kreis) $A_G=\pi \cdot R^2$
    • Volumen $V=\frac{\pi}{3} \cdot h \cdot (R^2+R\cdot r +r^2)$

    Hier kannst du deine Zwischenergebnisse überprüfen.

    • $A_G=\pi \cdot 225~cm^2$
    • $A_M= \pi \cdot 1060~cm^2$
    • $V=\frac{\pi}{3} \cdot 5~cm \cdot ((15~cm)^2+15~cm \cdot 10~cm + (10~cm)^2)$

    Lösung

    Der Futternapf hat die Form eines Kegelstumpfes. Um zu berechnen, aus wie viel Metall der Futternapf besteht müssen wir seine Oberfläche berechnen. Diese setzt sich aus der Grundfläche, Deckfläche und der Mantelfläche des Kegelstumpfes zusammen. Allerdings hat der Futternapf nicht wie ein gewöhnlicher Kegelstumpf eine Deckfläche. Sonst könnte Peters Hund nicht aus dem Napf essen. Wir kennen die Größen des Fressnapfes bzw. Kegelstumpfes.

    $R=15~cm$, $r=10~cm$, $h=5~cm$ und $m=7~cm$

    Die Oberfläche des Napfes setzt sich nur aus der Grundfläche $A_G$ und der Mantelfläche $A_M$ zusammen.

    $A_G= \pi \cdot R^2=\pi \cdot 225~cm^2$

    $A_M=\pi \cdot m \cdot (R+r)= \pi \cdot 7~cm \cdot (15~cm +10~cm)=\pi \cdot 1050~cm^2$

    $O_{\text{Fressnapf}}= A_G +A_M=\pi \cdot (225~cm^2+1050~cm^2)=\pi \cdot 1275~cm^2 \approx 4006~cm^2$

    Jetzt berechnen wir das Volumen des Fressnapfes. Hier müssen wir nicht beachten. Die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes lautet:

    $V = \frac{ \pi}{3} \cdot h \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)$

    Wir setzen die bekannten Werte ein und runden am Ende auf die Einer.

    $\begin{align} V_{\text{Fressnapf}}& = \frac{ \pi}{3} \cdot 5~cm \cdot ((15~cm)^2 + 15~cm \cdot 10~cm + (10~cm)^2) \\ &=\frac{ \pi}{3} \cdot 5~cm \cdot 475~cm^2 \\ &=\pi \cdot 791\frac23 ~cm^3 \\ & \approx 2487~cm^3 \end{align}$

    Der Fressnapf hat also einen Oberflächeninhalt von ungefähr $4006~cm^2$ und ein Volumen von ungefähr $2487~cm^3$.

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