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Kegel: Volumen und Oberfläche 05:00 min

Textversion des Videos

Transkript Kegel: Volumen und Oberfläche

König Kegulus ist ein riesen Drachenfan und möchte sein Schloss erweitern, damit er ein Zimmer für seinen ganz besonderen Gast hat. Der Turm ist schon fast fertig, doch eine Sache fehlt ihm noch die Spitze. Und diese soll in der Form eines Kegels gebaut werden. In diesem Video werden wir die Oberfläche und das Volumen eines Kegels berechnen. Betrachten wir doch zunächst einmal einige besondere Eigenschaften des Körpers. Der Kegel hat eine kreisrunde Grundfläche und oben eine Spitze. Den Radius der Grundfläche nennen wir 'r' und den Umfang 'U'. Die Seitenlänge der Außenseiten bezeichnen wir mit 's' und die Höhe, welche vom Mittelpunkt des Kreises zur Spitze verläuft, mit 'h'. Die Oberfläche des Kegels ist dann die Fläche, welche den Kegel umschließt. Klappen wir den Kegel auf, sehen wir, dass die Oberfläche 'O' aus der Grundfläche 'G' und diesem Kreisausschnitt besteht. Den Kreisausschnitt nennen wir Mantelfläche 'M'. Wollen wir den Oberflächeninhalt des Kegels berechnen, addieren wir also G und M. Schauen wir uns zuerst die Grundfläche an. Diese ist ein Kreis und daher berechnen wir den Flächeninhalt mit pi mal r quadrat. Nun benötigen wir noch den Flächeninhalt der Mantelfläche. Da die Mantelfläche ein Kreisausschnitt ist können wir uns die Formel zu Berechnung des Flächeninhalts von Kreisausschnitten zur Hilfe nehmen: Bogenlänge b mal dem Radius des Kreisausschnitts geteilt durch 2. b entspricht dabei dieser Bogenlänge. b hat die Länge des Umfangs der Grundfläche, da sie diesen umschließt. Wir können also 2 mal r mal pi einsetzen, da dies die Formel für den Umfang des Kreises ist. Da die Seitenlänge s dasselbe ist wie der Radius dieses Kreisausschnittes, können wir s für den Radius einsetzen. Wir erhalten für die Mantelfläche also 2 mal r mal pi mal s geteilt durch 2 und das sind gekürzt r mal pi mal s. Für den Oberflächeninhalt addieren wir nun diese beiden Formeln. Wir erhalten pi mal r quadrat plus r mal pi mal s. Die Grundfläche der Turmspitze hat einen Radius von 3 Metern. Die Seitenlänge s der Außenseite ist 5 Meter lang. Setzen wir die Werte in die Formel ein, so haben wir ein Oberflächeninhalt von ca. 75,4 Quadratmetern. Nun möchte der König aber noch wissen, wie viel Platz in der Turmspitze überhaupt ist. Dazu muss er das Volumen des Kegels berechnen. Wie bei der Pyramide berechnet sich das Volumen durch ein Drittel mal dem Flächeninhalt der Grundfläche mal der Höhe. Das sind also ein Drittel mal in Klammern pi mal r quadrat mal h. Haben wir also einen Radius von 3 Metern und eine Höhe von 4 Metern, können wir das Volumen berechnen, indem wir die Werte in die Formel einsetzen. Zunächst berechnen wir die Klammern und erhalten ein Drittel mal 28,27 Quadratmeter mal 4 Meter. Rechnen wir dies nun weiter aus, so erhalten wir am Ende ein Volumen von ca. 37,7 Kubikmetern. Während der König das Zimmer für seinen Gast einräumt, fassen wir zusammen. Die Oberfläche eines Kegels berechnet sich durch die Summe der Grundfläche und der Mantelfläche. Somit ergibt sich die Formel O gleich in Klammern pi mal r quadrat plus in Klammern r mal pi mal s. r ist dabei der Radius der Grundfläche und s ist die Länge der Seitenkante. Die Oberfläche umschließt das Volumen des Kegels. Dieses berechnen wir mit der Formel V gleich ein Drittel mal in Klammern pi mal r quadrat mal h. h ist dabei die Höhe, welche von dem Mittelpunkt des Kreises zur Spitze geht und r ist der Radius der Grundfläche. Ist denn der neue Gast des Königs schon in sein Turmzimmer eingezogen? Oh! Da ist er wohl noch nicht ganz stubenrein.

Kegel: Volumen und Oberfläche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kegel: Volumen und Oberfläche kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu dem Volumen und der Oberfläche von Kegeln.

    Tipps

    So sieht ein Kegel aus.

    Die Oberfläche eines Kegels besteht aus zwei Teilen.

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    „Kegel können auch eine dreieckige Grundfläche haben.“

    • Ein Kegel hat immer eine kreisförmige Grundfläche. Eine solche Figur mit dreieckiger Grundfläche ist eine Pyramide.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Bei einem Kegel wird normalerweise der Radius der Grundseite mit $r$, die Höhe mit $h$ und die Seitenlänge der Außenseite mit $s$ bezeichnet.“

    • So werden üblicherweise die Längen in einem Kegel bezeichnet.
    „Die Fläche, die den Kegel umschließt, wird Oberfläche genannt. Sie besteht aus der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$.“

    • Die Oberfläche eines Körpers ist die Fläche, die den Körper umschließt. Hier besteht diese Fläche aus den genannten Teilen.
    „Die Mantelfläche kannst du mit der Formel für Kreisausschnitte berechnen.“

    • Da die Mantelfläche aufgeklappt ein Kreisausschnitt ist, kannst du hier diese Formel anwenden.
    „Die Höhe eines Kegels wird von der Mitte der kreisförmigen Grundseite bis zur Spitze des Kegels gemessen.“

  • Beschreibe, wie man das Volumen eines Kegels berechnet.

    Tipps

    Beachte, dass die Grundfläche kreisförmig ist.

    Du kannst hier also die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises einsetzen:

    $G= \pi r^2$

    Setze am Schluss die gegebenen Größen in die Formel ein und rechne aus.

    Lösung

    So sieht die vollständige Rechnung aus. Beachte, dass die Grundfläche kreisförmig ist. Deshalb kannst du hier die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises einsetzen:

    $G= \pi r^2$

    Anschließend setzt du die gegebenen Größen in die Formel ein und rechnest aus.

  • Beschreibe, wie man die Oberfläche eines Kegels berechnet.

    Tipps

    Um die gesamte Oberfläche des Körpers zu bestimmen, addieren wir seine Teilflächen.

    Achtung! Der Radius $r$ in der Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts

    $A=\dfrac{b \cdot r}{2}$

    ist bei uns der Radius der Mantelfläche. Dieser ist gleich der Seitenlänge $s$ des Kegels.

    Um die Oberfläche des Kegels zu bestimmen, setzen wir die gegebenen Längen ein und rechnen aus.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Oberfläche $O$ eines Kegels besteht aus zwei Teilen, nämlich der kreisförmigen Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$. Es gilt also:

    $O=G+M$“

    • Um die gesamte Oberfläche des Körpers zu bestimmen, addieren wir die Teilflächen.
    „Zunächst bestimmen wir die Fläche der kreisförmigen Grundseite. Dafür verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Fläche eines Kreises. Also:

    $G=\pi r^2$“

    • Da die Grundfläche ein Kreis ist, können wir hier die Formel für die Fläche eines Kreises einsetzen.
    „Für Mantelfläche des Kegels verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts:

    $A=\dfrac{b \cdot r}{2}$

    Hier bezeichnet $b$ die Bogenlänge des Kreisausschnitts. Da diese so groß ist wie der Umfang der Grundfläche $G$, können wir
    $b=2 \pi r$ setzen. Der Radius des Kreisausschnitts $r_K$ ist gleich der Seitenlänge $s$ des Kegels ($r_K = s$).

    • Achtung! Der Radius $r$ in der Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist bei uns der Radius der Mantelfläche. Dieser ist gleich der Seitenlänge $s$ des Kegels. Die Bogenlänge $b$ ist gleich dem Umfang der Grundfläche.
    „Damit erhalten wir für die Formel der Mantelfläche:

    $A=\dfrac{2 \pi r \cdot s}{2}=\pi \cdot r \cdot s$“

    • Hier wurde die Formel für die Bogenlänge $b=2 \pi \cdot r$ und der Radius des Kreisausschnitts eingesetzt: $r=s$. Beachte, dass $r$ in der ersten und zweiten Formel nicht das Gleiche ist.
    „Zuletzt fügen wir alles zu einer Formel zusammen:

    $O=\pi r^2 +\pi \cdot r \cdot s$

    Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:

    $O= \pi \cdot (3~\text{m})^2+\pi \cdot 3~\text{m} \cdot 5~\text{m} \approx 75,4~\text{m}^2$“

    • Um die Oberfläche des Kegels zu bestimmen, setzen wir die gegebenen Längen ein und rechnen aus.
  • Ermittle das Volumen und die Mantelfläche des Kegels.

    Tipps

    Die Länge der Seitenkante kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Denn die Längen $r$, $h$ und $s$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

    Es gilt:

    $r^2+h^2=s^2 ~\Leftrightarrow s= \sqrt{r^2+h^2} $

    Lösung

    Die Länge der Seitenkante kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Denn die Längen $r$, $h$ und $s$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Hierbei sind $r$ und $h$ Katheten und $s$ die Hypotenuse. Also gilt:

    $r^2+h^2=s^2 ~\Leftrightarrow s= \sqrt{r^2+h^2} $

    Eingesetzt erhalten wir:

    • $s=\sqrt{(9~\text{m})^2+(3~\text{m})^2} \approx 9,49~\text{m}$
    Die Mantelfläche können wir mit der bekannten Formel $M=r \cdot \pi \cdot s$ berechnen und erhalten mit $s \approx9,49~\text{m}$:

    • $M=9~\text{m}\cdot \pi\cdot 9,49~\text{m}\approx 268,32 ~\text{m}^2$
    Mit $V=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h$ erhalten wir für das Volumen:

    • $V=\frac{1}{3} \pi (9~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 254,47 ~\text{m}^3$
  • Ermittle das Volumen der Kegel.

    Tipps

    Du kannst die Volumen der Kegel zuordnen, indem du die Formel für das Volumen eines Kegels herleitest.

    Wie bei einer Pyramide beträgt das Volumen:

    $V=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

    Hier ist die Grundseite kreisförmig. Also gilt:

    $V=\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$

    Lösung

    Du kannst die Volumen der Kegel zuordnen, indem du die Formel für das Volumen eines Kegels herleitest. Wie bei einer Pyramide beträgt das Volumen:

    $V=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

    Hier ist die Grundseite kreisförmig. Also gilt:

    $V=\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$

    Jetzt kannst du die gegebenen Größen in die Formel einsetzen und die Volumen berechnen. So erhältst du:

    • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (2~\text{cm})^2 \cdot 4~\text{cm} \approx 16,76 ~\text{cm}^2$
    • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (3~\text{cm})^2 \cdot 3~\text{cm} \approx 28,27 ~\text{cm}^2$
    • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (4~\text{cm})^2 \cdot 2~\text{cm} \approx 33,51 ~\text{cm}^2$
    • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (3~\text{cm})^2 \cdot 2~\text{cm} \approx 18,85 ~\text{cm}^2$
  • Bestimme die Oberfläche der Kegel.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Kegels besteht aus der kreisförmigen Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$.

    $O=G+M$

    Für die Mantelfläche erhältst du folgende Formel:

    $M=r \cdot \pi \cdot s$

    Lösung

    Die Oberfläche eines Kegels besteht aus der kreisförmigen Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$. Es gilt also:

    • $O=G+M$
    Da die Grundfläche kreisförmig ist, können wir diese Fläche wie folgt berechnen:
    • $G=\pi \cdot r^2$
    Die Mantelfläche $M$ ist ein Kreisausschnitt mit Radius $s$ und Bogenlänge $b=2 \pi r$. Damit erhalten wir:
    • $M=r \cdot \pi \cdot s$
    Zusammen erhalten wir folgende Formel:
    • $O=\pi \cdot r^2 +\pi \cdot r \cdot s$
    Damit können wir die Oberflächen der Kegel bestimmen, indem wir die Werte aus den Zeichnungen ablesen und in die Formel einsetzen. So erhalten wir:

    • $O=\pi \cdot (2~\text{m})^2 +\pi \cdot 2~\text{m} \cdot 4~\text{m} \approx 37,70~\text{m}^2$
    • $O=\pi \cdot (3~\text{m})^2 +\pi \cdot 3~\text{m} \cdot 6~\text{m} \approx 84,82~\text{m}^2$
    • $O=\pi \cdot (1~\text{m})^2 +\pi \cdot 1~\text{m} \cdot 3~\text{m} \approx 12,57~\text{m}^2$
    • $O=\pi \cdot (5~\text{m})^2 +\pi \cdot 5~\text{m} \cdot 5~\text{m} \approx 157,08~\text{m}^2$