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Kreisausschnitt – Einführung 06:34 min

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Transkript Kreisausschnitt – Einführung

Wie jeder weiß, hat das Zusammenleben so seine Tücken. Kiran's Nachbar Finbar singt und tanzt ohne Unterlass. Jetzt hat's Finbar übertrieben! Um zu berechnen, wie viel Platz er noch hat, befassen wir uns mit Kreisausschnitten. Zu jedem Kreis gehört ein Mittelpunkt und eine Kreislinie. Deren Abstand voneinander heißt Radius r. Diese Länge ist der Durchmesser d. Er ist doppelt so lang wie der Radius. Mit dem Radius kannst du außerdem den Flächeninhalt A des Kreises berechnen. Dafür multiplizierst du die Kreiszahl Pi mit dem Radius zum Quadrat. So kannst du also die Fläche des gesamten Kreises berechnen. Wenn wir aber nur einen Anteil des Inhalts der Kreisfläche betrachten, nennen wir die Fläche Kreissektor oder Kreisausschnitt. Er wird von zwei Radien und einem Anteil der Kreislinie begrenzt und sieht tatsächlich wie eine ausgeschnittene Fläche eines Kreises aus. Um die Größe des Kreisausschnitts zu berechnen, hilft dir der Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts - wir nennen ihn hier Alpha. Ist der Winkel Alpha Null Grad groß, beträgt die Fläche des Kreisausschnitts Null Flächeneinheiten. Ist der Winkel 360 Grad groß, so nimmt die Fläche des Kreisausschnitts den ganzen Kreis ein. Der Winkel Alpha und der Kreisausschnitt gehören also fest zusammen! Dabei beträgt der Mittelpunktswinkel in einem Kreis immer etwas zwischen Null und 360 Grad. Und die Größe eines Kreisausschnitts liegt immer zwischen Null Flächeneinheiten und dem Flächeninhalt des gesamten Kreises. Schauen wir uns einmal einzeln Fläche und Winkel eines Kreisausschnitts an. Hier ist das Verhältnis vom Kreisausschnitt zum gesamten Flächeninhalt des Kreises zu sehen und hier das Verhältnis vom Winkel Alpha zu einer vollen Kreisumdrehung. Dann sehen wir, dass sich für jeden Winkel und jeden Kreisausschnitt die beiden Verhältnisse entsprechen! Lass uns die gleichen Verhältnisse als Bruchgleichung darstellen: Der Anteil des Kreisausschnitts von der gesamten Kreisfläche ist genauso groß wie der Anteil des Winkels von den gesamten 360 Grad. Aus dieser Gleichung können wir den Kreisausschnitt isolieren, indem wir mit diesem Nenner, also der gesamten Kreisfläche, multiplizieren. Den Ausdruck für den Flächeninhalt des gesamten Kreises mithilfe des Radius kennen wir schon und setzen ihn in unsere Formel ein. Fertig ist die Formel für den Kreisausschnitt! Lass uns damit den die Größe von Finbars geschrumpfter Fläche berechnen! Der Mittelpunktswinkel misst in Finbars Fall 60 Grad und der Radius beträgt acht Meter. Zuerst setzen wir die Größen in unsere Formel für Alpha und r ein. Dadurch entsteht hier eine Klammer, da sich das Quadrat nicht nur auf die Zahl Acht, sondern auch auf die zugehörige Einheit bezieht. Um die Klammer aufzulösen, müssen wir das Quadrat also an die Zahl und an die Einheit schreiben! Dabei erhalten wir 64 Quadratmeter. Im Bruch können wir mit der Einheit Grad kürzen, mit dem Faktor 10 und mit dem Faktor 6. Die 64 ziehen wir noch in den Bruch. Nun können wir den Bruch noch mit dem Faktor Zwei kürzen und erhalten einen Ausdruck, den wir nur noch mit dem Taschenrechner vereinfachen können. Demnach beträgt die Größe von Finbar's Kreisausschnitt circa 33 Komma 5 Quadratmeter. Aber Finbar will ja entspannt tanzen können! Er will die Mauer verschieben, um wieder so viel Platz wie vorher zu haben! Jetzt hat Kiran aber genug! Die Mauer bleibt, wo sie ist. Finbar muss sich etwas anderes ausdenken. Was würde eigentlich passieren, wenn er anbauen würde? Er könnte den Radius seines Kreisauschnitts verdoppeln! Er hätte weiterhin einen Winkel Alpha von 60 Grad, aber einen Radius von 16 Metern. Wir verwenden wieder unsere Formel für den Kreisausschnitt und setzen die gegebenen Größen in die Formel ein. Wie vorhin bezieht sich das Quadrat vom Radius sowohl auf die Zahl und auf die Einheit. So erhalten wir 256 Quadratmeter. Den Bruch hatten wir schon in der vorherigen Rechnung, daher wissen wir, dass er sich zu einem Sechstel kürzen lässt. Wir ziehen die 256 in den Zähler, und kürzen hier noch mit Zwei. Mithilfe des Taschenrechners erhalten wir einen erweiterten Kreisausschnitt von circa 134 Quadratmetern. Damit wird Finbar hoffentlich zufrieden sein und WIR fassen einmal kurz zusammen. Ein Kreisausschnitt (oder auch Kreissektor) ist ein Anteil der Fläche eines vollen Kreises, der von zwei Radien begrenzt wird. Seine Größe im Verhältnis zum Flächeninhalt des vollen Kreises entspricht der Größe des Mittelpunktwinkels im Verhältnis zu einer vollen Kreisumdrehung von 360 Grad. Mithilfe dieser Bruchgleichung können wir die Formel für den Flächeninhalt von Kreisausschnitten ermitteln. Der zugehörige Mittelpunktswinkel Alpha ist stets mindestens Null Grad groß, aber maximal 360 Grad - also eine volle Kreisumdrehung. Jeder Kreisausschnitt wiederum ist stets mindestens Null Flächeneinheiten groß, aber maximal so groß wie die Fläche des vollen Kreises. Armer Kiran - Finbar feiert die Brillianz seiner. AAAAAH! Zusammen feiert sich's noch besser als getrennt.

3 Kommentare
  1. Ihr seit meiner Meinung nach, das beste Tutoren-Team in Mathe.

    Von Yiren Y., vor 6 Monaten
  2. Ihr seit meiner Meinung nach, das beste Tutoren-Team in Mathe.

    Von J.Kamali, vor 8 Monaten
  3. danke danke

    Von Bitawahedi 1, vor 9 Monaten

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Kreisausschnitt – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreisausschnitt – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts.

    Tipps

    Der Anteil des Mittelpunktswinkels $\alpha$ eines Kreissektors am Gesamtinnenwinkel des Kreises ($360^°$) ist genauso groß wie der Anteil der Fläche des Kreissektors an der gesamten Kreisfläche.
    Diese Verhältnisgleichheit kannst du als Gleichung ausdrücken, und diese Gleichung kannst du nach der gesuchten Größe umstellen.

    Beachte beim Quadrieren einer Zahl mit Einheit, dass du sowohl Zahl als auch Einheit quadrierst. Schreibe deshalb immer eine Klammer um die Zahl mit Einheit. Ein Beispiel:

    $(5\,\text{m})^2=5^2\,\text{m}^2=25\,\text{m}^2$.

    Möchtest du eine Gleichung, in der auf einer Seite nur ein Bruch steht, nach dessen Zähler umstellen, multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner dieses Bruches:

    $ \begin{array}{lll} \frac{a}{b}&=&\frac{n}{m}&\vert~\cdot b\\ a&=&\frac{n}{m}\cdot b&\\ \end{array} $

    Lösung

    Um die Größe seines Kreissektors zu berechnen, unternimmt Finbar die folgenden Schritte:

    Finbar beginnt, indem er die Verhältnisgleichung aufstellt:

    $\frac{A_S }{A_{\circ}}= \frac{\alpha}{360^°} .$

    • Das Verhältnis des Mittelpunktswinkels $\alpha$ des Kreissektors zum gesamten Innenwinkel $360^°$ ist genauso groß wie das der Fläche des Kreissektors $A_S$ zur gesamten Kreisfläche $A_\circ$. Diese Verhältnisgleichheit ist der Ausgangspunkt zur Berechnung der Fläche des Kreissektors.
    Diese Gleichung kann er nach dem Flächeninhalt des Kreissektors umformen:

    $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot A_{\circ}$.

    • Um den Flächeninhalt des Kreissektors $A_S$ auf der linken Seite der Gleichung zu isolieren, multipliziert Finbar hier beide Seiten der Gleichung mit $A_\circ$.
    Jetzt ersetzt er den Flächeninhalt des gesamten Kreises durch die ihm bekannte Formel:

    $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot \pi \cdot r^2$

    • Die Gleichung für den Flächeninhalt eines Kreises lautet $A_\circ=\pi \cdot r^2$.
    Schließlich kann er die gegebenen Größen einsetzen:

    $A_S= \frac{60^°}{360^°} \cdot \pi \cdot (8~\text{m})^2$.

    • Wir müssen die Werte für $\alpha$ und $r$ kennen. Ist uns nur einer oder keiner dieser Werte gegeben, können wir keinen Zahlenwert für den Flächeninhalt des Kreissektors ausrechnen.
    Vereinfachen:

    $A_S= \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 64~\text{m}^2$.

    • Beachte beim Quadrieren die Klammern um Zahl und Einheit. Diese sorgen dafür, dass sowohl die Zahl als auch die Einheit quadriert wird.
    Und Ausrechnen:

    $A_S \approx 33,5~\text{m}^2$.

    • Nachdem wir den Bruch $\frac{64}{6}$ noch mit $2$ gekürzt haben, sind wir mit dem Umformen fertig. Jetzt hilft nur noch der Taschenrechner!
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Kreisausschnitten.

    Tipps

    Der Flächeninhalt des Kreissektors $A_S$ ist ein Anteil am Flächeninhalt des gesamten Kreises.

    Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ liegt zwischen den begrenzenden Radien des Kreissektors.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ kann beliebig große Werte annehmen.“

    • Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ kann nur Werte zwischen $0$ und $360^°$ annehmen (mathematisch ausgedrückt: $0\leq \alpha \leq 360^°$).
    „Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Kreisausschnitts lautet:

    $A_S=\pi \cdot r^2$.“

    • Das ist die Formel für die Berechnung des Gesamtflächeninhalts. Die Formel für den Flächeninhalt des Kreissektors lautet: $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot \pi r^2$.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Der Radius $r$ eines Kreises ist halb so lang wie sein Durchmesser.“

    • Der Durchmesser ist definiert als die Länge einer Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Das ist dasselbe, als würde man den Radius des Kreises zu zwei Punkten einzeichnen, die sich auf dem Kreis genau gegenüberliegen. Dementsprechend ist der Durchmesser genau doppelt so lang wie der Radius, der Radius also halb so lang wie der Durchmesser.
    „In einem Kreis entspricht der Anteil des Mittelpunktswinkels $\alpha$ am Gesamtinnenwinkel von $360^°$ immer dem Anteil des Flächeninhalts $A_S$ des Kreissektors mit diesem Mittelpunktswinkel am Gesamtflächeninhalt $A_{\circ}$.“

    • Diesen Zusammenhang kannst du auch durch die Formel $\frac{A_S }{A_{\circ}}= \frac{\alpha}{360^°} $ ausdrücken.

    „Der Flächeninhalt des Kreissektors $A_S$ kann nie größer als der Flächeninhalt des gesamten Kreises werden.“

    • Der Flächeninhalt des Kreissektors $A_S$ ist per Definition ein Anteil des Flächeninhalts des gesamten Kreises. Damit ist der Flächeninhalt des gesamten Kreises immer die obere Grenze des Flächeninhalts des Kreissektors.
  • Bestimme den Flächeninhalt des Kreisausschnitts mit verdoppeltem Radius.

    Tipps

    Die Gleichung für den Flächeninhalt eines Kreises lautet: $A=\pi r^2$.

    Steht eine Einheit im Nenner und Zähler eines Bruchs, kannst du sie wie einen Faktor herauskürzen. Zum Beispiel:

    $\dfrac{30^°}{50^°}=\dfrac{30}{50}=\dfrac{3}{5}$.

    Lösung

    Finbar berechnet die Größe des neuen Kreissektors folgendermaßen:

    Der verdoppelte Radius hat eine Länge von $r=16~\text{m}$. Die Gleichung für den Flächeninhalt des Kreissektors lautet:

    $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot A_{\circ}=\frac{\alpha}{360^°} \cdot \pi r^2$.

    • Die Gleichung für den Flächeninhalt des kompletten Kreises lautet $A_\circ=\pi r^2$.
    Er setzt seine gegebenen Größen ein:

    $A_S=\frac{60^°}{360^°}\cdot\pi (16~\text{m})^2$.

    $\frac{60^°}{360^°}$ vereinfacht sich zu $\frac{1}{6}$.

    • Steht eine Einheit (hier Grad) im Nenner und Zähler eines Bruchs, kannst du sie herauskürzen.
    Und außerdem gilt: $(16~\text{m})^2=256~\text{m}^2$.

    • Beachte die Klammern um die Zahl und die Einheit. Sie sorgen dafür, dass sowohl die Zahl $16$ als auch die Einheit $\text{m}$ quadriert wird.
    Damit kann er die die Fläche des Kreissektors bestimmen:

    $A_S=\frac{1}{6} \cdot \pi~ 256~\text{m}^2 \approx134 ~\text{m}^2$.

  • Erarbeite die Bestimmung der Längen von Kreisliniensegmenten.

    Tipps

    Die Berechnung von Anteilen des Kreisumfangs verläuft analog zur Berechnung von Anteilen der Kreisfläche.

    Lösung

    In einem Kreis entspricht der Anteil der Länge eines Kreisbogens $l$ am kompletten Kreisumfang $u$ dem Anteil des Mittelpunktswinkels $\alpha$ am Gesamtinnenwinkel von $360^°$. Das kann John auch als Formel ausdrücken:

    $\frac{\alpha}{360^°}=\frac{l}{u}$.

    • Den Anteil eines Kreisbogens am Kreisumfang können wir also prinzipiell genauso berechnen wie den Anteil einer Kreissektorfläche an der gesamten Kreisfläche.
    Das stellt er nach der Länge des Kreisbogens um:

    $l=\frac{\alpha}{360^°}\cdot u$.

    Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

    $u=2 \pi r$.

    • Diese Formel solltest du nicht mit der Formel für die Kreisfläche verwechseln. Hier kann dir eine Einheitenbetrachtung helfen: Der Kreisumfang ist eine Länge, muss also die Einheit $\text{m}$ (bzw. $\text{cm}$,$\,\text{mm}$,$\,\text{km}$,...) haben. Deshalb kann der Radius in dieser Formel nur linear (also mit der Potenz $1$) vorkommen, denn sonst würde sich die Einheit $\text{m}^2$ ergeben!
    Eingesetzt in die Formel für die Kreisbogenlänge erhält er:

    $l=\frac{\alpha}{360^°} \cdot 2 \pi r$.

    Jetzt kann John endlich die Länge seines Kreisbogensegments berechnen:

    $l=\frac{100^°}{360^°}\cdot 2 \pi \cdot 12~\text{m} = 20,94~\text{m}$.

    • Die Rechnung verläuft also völlig analog zur Berechnung der Fläche eines Kreissektors. Oben haben wir nach der Länge des Kreisbogens umgestellt, dann die entsprechende Formel benutzt (hier die für den Kreisumfang, vorher die für die Kreisfläche) und schließlich die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt.
    Der Kreissektor wird außerdem von zwei Radien begrenzt. Johns Zaun wird also

    $l+2r=20,94~\text{m}+2\cdot 12~\text{m}=44,94~\text{m}$

    lang werden.

    • Das Grundstück wird nicht nur durch den Kreisbogen begrenzt, sondern auch durch zwei Radien an den Seiten. Deren Länge addieren wir also zur Länge des Kreisbogens, um die Gesamtlänge der Grundstücksumrandung - also die, die der Zaun haben wird - zu erhalten.
  • Berechne die Flächen der Kreissektoren.

    Tipps

    Die Flächeninhalte der Kreissektoren kannst du mit der folgenden Formel bestimmen:

    $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot \pi r^2$.

    Lösung

    Die Flächeninhalte der Kreissektoren kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot \pi r^2$.

    Wenn du jeweils die gegebenen Werte für $\alpha$ und $r$ einsetzt, ergeben sich nach dem immer gleichen Schema die folgenden Flächeninhalte:

    • Für $r=2~\text{m}$ und $\alpha=90^°$: $A_S= \frac{90^°}{360^°} \cdot \pi (2~\text{m})^2\approx3,14~\text{m}^2$.
    • Für $r=4~\text{m}$ und $\alpha=90^°$: $A_S= \frac{90^°}{360^°} \cdot \pi (4~\text{m})^2\approx12,57~\text{m}^2$.
    • Für $r=6~\text{m}$ und $\alpha=75^°$: $A_S= \frac{75^°}{360^°} \cdot \pi (6~\text{m})^2\approx23,56~\text{m}^2$.
    • Für $r=12~\text{m}$ und $\alpha=75^°$: $A_S= \frac{75^°}{360^°} \cdot \pi (12~\text{m})^2\approx94,25~\text{m}^2$.
  • Bestimme die Flächeninhalte der Kreissektoren.

    Tipps

    Aus den Bildern kannst du den Mittelpunktswinkel $\alpha$ und den Radius $r$ des Kreisausschnitts ablesen.

    Lösung

    Aus den Bildern kannst du den Mittelpunktswinkel $\alpha$ und den Radius $r$ des Kreisausschnitts ablesen. Mit der Formel

    $A_S= \frac{\alpha}{360^°} \cdot \pi r^2$

    kannst du schließlich den Flächeninhalt der Kreissektoren bestimmen und diese der Größe nach sortieren. Damit erhältst du:

    • $A_S= \frac{30^°}{360^°} \cdot \pi (0,9~\text{m})^2=0,21~\text{m}^2 $,
    • $A_S= \frac{270^°}{360^°} \cdot \pi (0,6~\text{m})^2=0,85~\text{m}^2 $,
    • $A_S= \frac{135^°}{360^°} \cdot \pi (1,15~\text{m})^2=1,56~\text{m}^2 $,
    • $A_S= \frac{90^°}{360^°} \cdot \pi (5~\text{m})^2=19,63~\text{m}^2 $,
    • $A_S= \frac{270^°}{360^°} \cdot \pi (3,5~\text{m})^2=28,86~\text{m}^2 $.