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Kreisbogen – Einführung 06:11 min

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Transkript Kreisbogen – Einführung

Kurz nach dem Sonnenaufgang im Hotel Ibiza geht Herr Müller seine Tagesplanung durch. Seine Teuerste wünscht am Pool in der ersten Reihe zu sitzen! Ein Sechstel des Pools dürfte für die beiden wohl genügen. Müller grübelt aber noch, wie viele Handtücher er wohl braucht, um alles zu reservieren. Dafür berechnet er die Länge eines Kreisbogens. Beginnen wir erstmal mit den Grundbegriffen rund um den Kreis. eder Kreis hat einen Mittelpunkt u eine Kreislinie. Der Abstand dazwischen heißt Radius r, und dies ist der Durchmesser d. Er ist genau zweimal so lang wie der Radius. Mit dem Radius kannst du außerdem den Umfang U eines Kreises berechnen. Er gibt die Länge der Kreislinie an, und du rechnest dafür '2 mal die Kreiszahl Pi mal den Radius'. Während der Umfang den ganzen Kreis umfasst ist der Kreisbogen b nur ein Anteil davon. Er gibt die Länge dieses Bogens hier an und erinnert tatsächlich ein bisschen an Pfeil und Bogen. Schauen wir uns mal den entsprechnenden Kreismittelpunktswinkel Alpha an. Der Winkel Alpha kann dabei von Null bis zu 360 Grad erreichen. Also liegt Alpha immer zwischen Null und 360 Grad. Die Kreisbogenlänge reicht ihrerseits von Null bis zur vollen Länge des Umfangs, liegt also zwischen Null und der Umfanglänge. Fällt dir etwas auf? - Die Größen von Kreisbogen und Mittelpunktswinkel gehören fest zusammen. Denn der Kreisbogen verhält sich zum Kreisumfang genau so wie der Mittelpunktswinkel zu den vollen 360 Grad. Jetzt haben wir schon eine erste Formel! Um die Bogenlänge b berechnen zu können, multiplizieren wir noch auf beiden Seiten mit dem Umfang, damit die Bogenlänge isoliert vorliegt. Erinnerst du dich noch an den Ausdruck für den Umfang? Den können wir jetzt in unsere Formel einsetzen. Jetzt hast du die fertige Formel für die Bogenlänge. Zum Verwenden der Formel benötigst du den Kreismittelpunktswinkel Alpha und den Radius des Kreises. Zurück zu den Müllers: Der Radius ihres Hotel-Pools wurde ihnen mit fünf Metern angepriesen. Und der Kreismittelpunktswinkel Alpha? Ein Sechstel des Pools führt zu einem Sechstel von 360 Grad und das sind gekürzt 60 Grad. Winkel und Radius haben wir! Nun nehmen wir die Formel für die Bogenlänge eines Kreises und setzen die Werte für den Winkel und den Radius ein. Als allererstes kürzen wir den Bruch erstmal mit Zehn; dabei fällt jeweils eine Null hinten weg. 6 durch 36 kürzen wir noch mit 6! Aber jetzt stört immer noch die Grad-Einheit. Daher kürzen wir auch die, denn Kürzen geht auch mit Einheiten! Diese Faktoren können wir in den Zähler des Bruchs ziehen, den Faktor Eins müssen wir dabei nicht hinschreiben - also lassen wir ihn weg. Nun kürzen wir noch die Zwei mit der Sechs und erhalten eine Meterlänge von 5 Pi Dritteln. Wie lang der Kreisbogen des Pools also gerundet ist, verrät der Taschenrechner: Das sind Fünf Komma Zwei Vier Meter. Da braucht Herr Müller zum Reservieren auf jeden Fall mehrere Handtücher! Übrigens hätten wir die Rechnung vorhin auch ordentlich "abkürzen" können! Lass uns zum Verständnis dafür zurückspulen. Bevor wir gekürzt und alles zu einem Bruch zusammengefasst haben, stand da "ein Sechstel mal dieser Ausdruck". Dieses "ein Sechstel" ist ursprünglich "Alpha durch 360 Grad" gewesen - wir haben da nur Alpha eingesetzt und gekürzt. Die fünf Meter sind dabei einfach der gegebene Radius. Dies hier ist genau der Ausdruck für den Umfang. Also haben wir eigentlich nur "ein Sechstel... vom Umfang" berechnet! Das ist genau das ursprüngliche "ein Sechstel" vom Poolrand! Wenn du also statt Alpha direkt schon einen Bruch gegeben bekommst ... kannst du so abkürzen! Fassen wir das Gelernte zum Abschluss zusammen! Abhängig vom Kreismittelpunktswinkel Alpha kannst du die Kreisbogenlänge mit dieser Formel berechnen. Für den kleinstmöglich Winkel von Alpha, nämllich Null Grad, ist die zugehörige Kreisbogenlänge enstprechend Null. Für den größtmöglichen Winkel im Kreis von 360 Grad hat der zugehörige Kreisbogen eine Länge von zwei Pi mal dem Radius, was der Länge des vollen Umfangs des Kreises entspricht. Wernn dir aber die Größe eines Anteils des Kreises direkt als Bruch gegeben wird, kannst du auch den Anteil mit zwei Pi mal den Radius multiplizieren, also schnell Anteil mal Umfang rechnen und du erhältst ebenfalls den Kreisbogen! Die Müllers genießen mittlerweile ihren Tag am Pool - in der ersten Reihe! Aber war ist denn jetzt los?! Das geht ja gar nicht! Da sind die Müllers wohl in ein ganz besonderes Festival geraten! Ob es sie tröstet, dass sie wenigstens genug Handtücher haben?

2 Kommentare
  1. Das beste Tutoren-Team!!!!!!!!!!!!

    Von J.Kamali, vor 8 Monaten
  2. danke war hilfreich

    Von Bitawahedi 1, vor 9 Monaten

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Kreisbogen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreisbogen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme zugehörige Winkel und Kreisbögen.

    Tipps

    Der Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ steht zum Gesamtwinkel $360^\circ$ im selben Verhältnis wie der Kreisbogen $b$ zum Umfang $U$.

    Die Formel für den Umfang lautet $U = 2\pi \cdot r$.

    Ist der Kreisbogen $\frac{1}{6}$ des Umfanges, so ist der Kreismittelpunktswinkel $\frac{1}{6}$ des Gesamtwinkels $360^\circ$.

    Lösung

    Die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius $r$ lautet:

    $U = 2\pi \cdot r$

    Gesucht ist die Formel für die Länge eines Kreisbogens $b$, der $\frac{1}{6}$ des Umfangs ausmacht.

    Richtig sind folgende Formeln:

    • „$b=\frac{U}{6}$.“ Der Kreisbogen soll $\frac{1}{6}$ des Umfangs ausmachen, seine Länge beträgt daher $\frac{U}{6}$.
    • „$b = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \pi \cdot r$.“ Diese Formel ergibt sich aus dem Anteil des Kreismittelpunktswinkels $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ am Gesamtwinkel und der Formel für den Umfang.
    Falsch sind folgende Formeln:

    • „$b=\frac{U}{r}$.“ Hier stimmen schon die Einheiten nicht: die Einheiten im Zähler und Nenner kürzen sich raus, sodass eine Zahl übrig bleibt und keine Länge in $\text m$.
    • „$b=\frac{2\pi}{U}$.“ Wieder stimmen die Einheiten nicht: der Zähler ist eine Zahl, der Nenner eine Länge. Die Einheit dieses Bruchs ist daher $\frac{1}{\text m}$, das ist nicht die Einheit einer Länge.
    • „$b=\frac{360^\circ}{60^\circ} \cdot 2\pi \cdot r$.“ Bei dieser Formel stimmen zwar die Einheiten, aber nicht die Verhältnisse: einer Bogenlänge von $\frac{1}{6}$ des Umfangs entspricht $\frac{1}{6}$ des Gesamtwinkels $360^\circ$. Die Formel hier gibt die Länge von $6$ Umläufen um den Kreis an, nicht von $\frac{1}{6}$.
  • Berechne den Winkel und Kreisbogen.

    Tipps

    Teilt man einen Kreis in vier gleiche Teile, so wird auch der Gesamtwinkel von $360^\circ$ in vier gleiche Teile geteilt.

    Halbiert man den Winkel, so halbiert sich auch die Länge des Kreisbogens.

    Den Umfang eines Kreises berechnet man durch Multiplikation des Radius mit $2\pi$.

    Lösung

    Die Müllers wollen $\frac{1}{6}$ des Poolrandes mit Handtüchern reservieren. Dazu berechnet Herr Müller den Kreismittelpunktswinkel:

    $ \alpha = \frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ $

    Nun rechnet Herr Müller die Länge des Kreisbogens aus. Der Kreisbogen soll $\frac{1}{6}$ des Umfanges betragen. Für den Umfang $U$ eines Kreises mit Radius $r$ gilt die Formel:

    $U=2\pi r$

    Der gesuchte Kreisbogen soll $\frac{1}{6}$ des Umfanges betragen. Für seine Länge rechnet Herr Müller:

    $ b = \frac{U}{6} = \frac{2\pi \cdot 5}{6}~\text{m} = \frac{5\pi}{3}~\text{m} \approx 5,24~\text{m} $

    Statt $\frac{1}{6}$ des Umfanges direkt zu berechnen, hätte Herr Müller auch den Kreismittelpunktswinkel $\alpha = 60^\circ$ verwenden können. Diese Rechnung sieht dann so aus:

    $b =\frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r = \frac{1}{6} \cdot 2 \pi \cdot 5~\text m \approx 5,24~\text m$

  • Bestimme die Länge des Kreisbogens.

    Tipps

    Der Kreismittelpunktswinkel steht zum Gesamtwinkel im selben Verhältnis wie der Kreisbogen zum Umfang.

    Die Länge eines Kreisbogens berechnest du aus dem Umfang und dem Kreismittelpunktswinkel.

    Umfasst der Kreisbogen $\frac{1}{6}$ des Kreisrandes, so beträgt seine Länge $\frac{1}{6}$ des Umfangs.

    Lösung

    Die Größe des Kreismittelpunktswinkels und die Länge des zugehörigen Kreisbogens sind proportional zueinander. Vervielfacht man den Winkel, so vervielfacht sich die Länge des Kreisbogens im gleichen Verhältnis.

    Herr Müller bestimmt zuerst den Kreismittelpunktswinkel $\alpha$. Da die Müllers $\frac{1}{6}$ des Poolrandes reservieren wollen, erhalten wir den zugehörigen Kreismittelpunktswinkel wie folgt:

    $\alpha =\frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60 ^\circ$

    Der Radius des Hotelpools ist mit $r=5$ $\text{m}$ angegeben. Daraus berechnet Herr Müller den Umfang $U$ des gesamten Pools mit folgender Formel:

    $ U = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot 5 \; \text{m} = 10 \cdot \pi \; \text{m} \approx 31,41~\text{m} $

    Um $\frac{1}{6}$ des Poolrandes mit Handtüchern zu reservieren, benötigen die Müllers $\frac{1}{6}$ des Poolumfangs in Handtüchern. Bei einem Umfang von etwa $31,41$ $\text{m}$ sind das:

    $31,41~\text m:6 \approx 5,24~\text{m}$

  • Erschließe Winkel, Bogenlänge bzw. Radius aus dem Kontext.

    Tipps

    Zur Berechnung der Bogenlänge $b$ aus dem Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ gilt die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi\cdot r$.

    Die Formel kann man auch zur Berechnung des Winkels bei bekanntem Kreisbogen nutzen.

    Lösung
    • Aus dem Radius $\frac{3}{\pi}~\text{m}$ erhalten wir den Umfang $U= 2\pi r = 6~\text{m}$ des Kreises, den die äußeren Kanten des Radars beschreiben. Ein Umlauf dauert $2$ Sekunden, in einer halben Sekunde dreht sich das Radar daher um einen Viertelkreis. Der Weg Punktes, an dem die Möwe sitzt, beträgt daher $\frac{1}{4}$ des Umfangs, also $1,5~\text{m}$. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem zurückgelegten Weg, dividiert durch die verstrichene Zeit. Für einen Umlauf ergibt sich die Geschwindigkeit $\frac{6~\text{m}}{2~\text{s}} = 3~\text{m/s}$. Rechnet man stattdessen mit dem während einer halben Sekunde zurückgelegten Viertelkreis, so ergibt sich wegen der Proportionalität von Winkel und Kreisbogen derselbe Wert für die Geschwindigkeit.
    • Der Hotelkonditor teilt den Umfang der Torte bzw. den Winkel in gleichgroße Stücke. Da Bogenlänge und Winkel proportional sind, muss nur die Ganzzahligkeit der Winkel und Bogenlängen für die einzelnen Stücke berücksichtigt werden. Der Konditor zerlegt den Umfang und den Gesamtwinkel in Primfaktoren und erhält $54 = 6 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ bzw. $360 = 10 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\cdot 5$. Der größte gemeinsame Teiler ist demnach $18$. Der Konditor schneidet also die Torte in $18$ Stücke. Der Winkel eines jeden Stückes beträgt $\frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$. Die Bogenlänge misst $\frac{54~\text{cm}}{18} = 3~\text{cm}$.
    • Der Umfang des Ponykreises ergibt sich aus den $150$ $\text m$, die Herr Müller nach zweieinhalb Runden zurückgelegt hat: $150~\text{m} : 2,5 = 60~\text{m}$. Der Radius beträgt dann $60~\text{m} : (2\pi) = 9,55~\text{m}$. Es sind also etwas weniger als $10~\text{m}$ zu laufen für die Enkelin.
    • Herrn Müllers Schrebergartenbeet hat die Form eines Sektors. Der Radius ist durch die beiden Zäune festgelegt und beträgt $r=3~\text{m}$. Die Länge des Kreisbogens ist durch den verfügbaren Maschendraht auf höchstens $b= 1,2 \cdot \pi~\text{m}$ beschränkt. Der maximal mögliche Winkel $\alpha$ ergibt sich aus der maximal möglichen Bogenlänge. Der Umfang eines Kreises mit Radius $r= 3~\text{m}$ beträgt $U = 6\pi~\text{m}$. Davon ist $1,2 \pi~\text{m}$ genau $\frac{1}{5}$. Der maximale Winkel beträgt demnach $\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$.
  • Erschließe die Winkel und Kreisbögen.

    Tipps

    Der Umfang eines Kreises mit Radius $6,6~\text m$ beträgt ungefähr $2 \pi \cdot 6,6 = 40\text m$.

    Um $\frac{1}{6}$ des Poolrandes lückenlos abzudecken, benötigen die Müllers Handtücher die Gesamtlänge $\frac{1}{6} U'$, wobei $U'$ der Umfang des Kreises mit Radius $5,5\text m$ ist.

    Der maximal abdeckbare Winkel steht zu $360^\circ$ im selben Verhältnis wie die verfügbare Länge zum Umfang $U'$.

    Lösung

    Herr Müller berechnet Umfang und Bogenlänge für einen Kreis mit Radius vom Kreismittelpunkt bis zur äußeren Handtuchkante. Der Radius des Pools zuzüglich der Handtuchbreite beträgt $5,5$ $\text m$. Ein Kreis mit diesem Radius hat folgenden Umfang:

    $U=2\pi \cdot 5,5~\text{m} \approx 34,56~\text m$

    Der Kreisbogen von $\frac{1}{6}$ dieses neuen Umfangs beträgt dann:

    $34,56~\text m:6 \approx 5,76~\text m$

    Legen die Müllers alle verfügbaren Handtücher nebeneinander, so kommen sie auf $\frac{1}{7}$ des Poolrandes. Der zugehörige Winkel beträgt $\frac{1}{7}$ des Gesamtwinkels, also:

    $\frac{360^\circ}{7} \approx 52^\circ$

  • Charakterisiere, wie der Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ mit der Länge des entsprechenden Kreisbogens zusammenhängt.

    Tipps

    Benutze die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r$, um die Länge des Kreisbogens aus dem Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ zu berechnen.

    Ist der Radius eines Kreises festgelegt, so sind die Länge $b$ eines Kreisbogens und der zugehörige Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ voneinander abhängig bestimmt.

    Lösung

    Die Größe des Kreismittelpunktswinkels $\alpha$ und die Länge des zugehörigen Kreisbogens $b$ sind proportional zueinander. Aus dem Winkel $\alpha$ erhält man den Kreisbogen $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.

    Wir gehen die Sätze im Einzelnen durch:

    Falsch sind folgende Aussagen:

    • „Einer Verdoppelung des Winkels entspricht eine Halbierung des Kreisbogens.“ Da Winkel und Kreisbogen proportional sind, entspricht einer Verdoppelung des Winkels auch eine Verdoppelung des Kreisbogens.
    • „Die Länge des Kreisbogens mit dem Winkel $\alpha$ hängt nicht vom Radius des Kreises ab.“ Für die Länge des Kreisbogens gilt die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$. Die Länge des Kreisbogens hängt also direkt vom Radius ab.
    • „Der Kreisbogen eines Winkels von $60^\circ$ ist mehr als doppelt so lang wie der Radius.“ Für $\alpha = 60^\circ = \frac{1}{6} \cdot 360^\circ$ ergibt sich der Kreisbogen $b = \frac{1}{6}\cdot U = \frac{1}{6}\cdot 2\pi r = \frac{\pi}{3}\cdot r \approx 1,05 \cdot r$. Bei $60^\circ$ ist der Kreisbogen also ungefähr so lang wie der Radius.
    Richtig sind dagegen folgende Aussagen:

    • „Winkel und Kreisbogen verändern sich proportional zueinander.“ Für die Umrechnung gilt die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.
    • „Das Verhältnis zwischen der Größe des Winkels in $^\circ$ und der Länge des Kreisbogens in $\text{cm}$ hängt vom Radius des Kreises ab.“ Für das Verhältnis erhalten wir $\frac{\alpha}{b} = \frac{360}{U} = \frac{360}{2\pi r}$.
    • „Der Anteil eines Kreisbogens am Umfang des Kreises ist derselbe wie der Anteil des zugehörigen Winkels am Gesamtwinkel $360^°$.“ Durch Umstellen der Formel für die Bogenlänge erhalten wir $\frac{b}{U} = \frac{\alpha}{360^\circ}$.
    • „Verdoppelt man den Radius eines Kreises, so verdoppelt sich auch der Umfang des Kreises und die Länge eines jeden Kreisbogens.“ Die Formel für die Länge des Kreisbogens lautet: $\frac{\alpha}{b} = \frac{360}{U} = \frac{360}{2\pi r}$. Verdoppelt man den Radius $r$, so verdoppelt sich der Umfang $U= 2\pi r$ und die Länge eines jeden Kreisbogens.