Kreisbogen – Einführung

Kreisbogen – Einführung Übung

• Bestimme zugehörige Winkel und Kreisbogen.

  Tipps

  Der Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ steht zum Gesamtwinkel $360^\circ$ im selben Verhältnis wie der Kreisbogen $b$ zum Umfang $U$.

  Die Formel für den Umfang lautet $U = 2\pi \cdot r$.

  Ist der Kreisbogen $\frac{1}{6}$ des Umfangs, so ist der Kreismittelpunktswinkel $\frac{1}{6}$ des Gesamtwinkels $360^\circ$.

  Lösung

  Die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius $r$ lautet:

  $U = 2\pi \cdot r$

  Gesucht ist die Formel für die Länge eines Kreisbogens $b$, der $\frac{1}{6}$ des Umfangs ausmacht.

  Folgende Formeln sind richtig:

  • $b=\frac{U}{6}$

  Der Kreisbogen soll $\frac{1}{6}$ des Umfangs ausmachen, seine Länge beträgt daher $\frac{U}{6}$.

  • $b = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \pi \cdot r$

  Diese Formel ergibt sich aus dem Anteil des Kreismittelpunktswinkels $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ am Gesamtwinkel und der Formel für den Umfang.

  Folgende Formeln sind falsch:

  • $b=\frac{U}{r}$

  Hier stimmen schon die Einheiten nicht: Die Einheiten im Zähler und Nenner kürzen sich raus, sodass eine Zahl übrig bleibt und keine Länge in $\text m$.

  • $b=\frac{2\pi}{U}$

  Wieder stimmen die Einheiten nicht: Der Zähler ist eine Zahl, der Nenner eine Länge. Die Einheit dieses Bruchs ist daher $\frac{1}{\text m}$. Das ist nicht die Einheit einer Länge.

  • $b=\frac{360^\circ}{60^\circ} \cdot 2\pi \cdot r$

  Bei dieser Formel stimmen zwar die Einheiten, aber nicht die Verhältnisse: Einer Bogenlänge von $\frac{1}{6}$ des Umfangs entspricht $\frac{1}{6}$ des Gesamtwinkels $360^\circ$. Die Formel hier gibt die Länge von $6$ Umläufen um den Kreis an, nicht von $\frac{1}{6}$.

• Bestimme die Länge des Kreisbogens.

  Tipps

  Der Kreismittelpunktswinkel steht zum Gesamtwinkel im selben Verhältnis wie der Kreisbogen zum Umfang.

  Die Länge eines Kreisbogens berechnest du aus dem Umfang und dem Kreismittelpunktswinkel.

  Umfasst der Kreisbogen $\frac{1}{6}$ des Kreisrandes, so beträgt seine Länge $\frac{1}{6}$ des Umfangs.

  Lösung

  Die Größe des Kreismittelpunktswinkels und die Länge des zugehörigen Kreisbogens sind proportional zueinander. Vervielfacht man den Winkel, so vervielfacht sich die Länge des Kreisbogens im gleichen Verhältnis.

  Herr Müller bestimmt zuerst den Kreismittelpunktswinkel $\alpha$. Da die Müllers $\frac{1}{6}$ des Poolrandes reservieren wollen, erhalten wir den zugehörigen Kreismittelpunktswinkel wie folgt:

  $\alpha =\frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60 ^\circ$

  Der Radius des Hotelpools ist mit $r=5~\text{m}$ angegeben. Daraus berechnet Herr Müller den Umfang $U$ des gesamten Pools mit folgender Formel:

  $ U = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot 5~\text{m} = 10 \cdot \pi~\text{m} \approx 31,\!41~\text{m} $

  Um $\frac{1}{6}$ des Poolrandes mit Handtüchern zu reservieren, benötigen die Müllers $\frac{1}{6}$ des Poolumfangs in Handtüchern. Bei einem Umfang von etwa $31,\!41$ $\text{m}$ sind das:

  $31,\!41~\text m:6 \approx 5,\!24~\text{m}$

• Erschließe die Winkel und Kreisbogen.

  Tipps

  Der Umfang eines Kreises mit dem Radius $6,\!6~\text{m}$ beträgt ungefähr $2 \pi \cdot 6,\!6~\text{m} = 40~\text{m}$.

  Um $\frac{1}{6}$ des Poolrandes lückenlos abzudecken, benötigen die Müllers Handtücher der Gesamtlänge $\frac{1}{6} U'$, wobei $U'$ der Umfang des Kreises mit Radius $5,\!5~\text{m}$ ist.

  Der maximal abdeckbare Winkel steht zu $360^\circ$ im selben Verhältnis wie die verfügbare Länge zum Umfang $U'$.

  Lösung

  Herr Müller berechnet Umfang und Bogenlänge für einen Kreis mit Radius vom Kreismittelpunkt bis zur äußeren Handtuchkante. Der Radius des Pools zuzüglich der Handtuchbreite beträgt $5,\!5~\text{m}$. Ein Kreis mit diesem Radius hat folgenden Umfang:

  $U=2\pi \cdot 5,\!5~\text{m} \approx 34,\!56~\text{m}$

  Der Kreisbogen von $\frac{1}{6}$ dieses neuen Umfangs beträgt dann:

  $34,\!56~\text m:6 \approx 5,\!76~\text{m}$

  Legen die Müllers alle verfügbaren Handtücher nebeneinander, kommen sie auf $\frac{1}{7}$ des Poolrandes. Der zugehörige Winkel beträgt $\frac{1}{7}$ des Gesamtwinkels, also:

  $\frac{360^\circ}{7} \approx 52^\circ$

• Charakterisiere, wie der Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ mit der Länge des entsprechenden Kreisbogens zusammenhängt.

  Tipps

  Benutze die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r$, um die Länge des Kreisbogens aus dem Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ zu berechnen.

  Ist der Radius eines Kreises festgelegt, so sind die Länge $b$ eines Kreisbogens und der zugehörige Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ voneinander abhängig bestimmt.

  Lösung

  Die Größe des Kreismittelpunktswinkels $\alpha$ und die Länge des zugehörigen Kreisbogens $b$ sind proportional zueinander. Aus dem Winkel $\alpha$ erhält man den Kreisbogen $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Einer Verdoppelung des Winkels entspricht eine Halbierung des Kreisbogens.

  Da Winkel und Kreisbogen proportional sind, entspricht einer Verdoppelung des Winkels auch eine Verdoppelung des Kreisbogens.

  • Die Länge des Kreisbogens mit dem Winkel $\alpha$ hängt nicht vom Radius des Kreises ab.

  Für die Länge des Kreisbogens gilt die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$. Die Länge des Kreisbogens hängt also direkt vom Radius ab.

  • Der Kreisbogen eines Winkels von $60^\circ$ ist mehr als doppelt so lang wie der Radius.

  Für $\alpha = 60^\circ = \frac{1}{6} \cdot 360^\circ$ ergibt sich der Kreisbogen $b = \frac{1}{6}\cdot U = \frac{1}{6}\cdot 2\pi r = \frac{\pi}{3}\cdot r \approx 1,\!05 \cdot r$. Bei $60^\circ$ ist der Kreisbogen also ungefähr so lang wie der Radius.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Winkel und Kreisbogen verändern sich proportional zueinander.

  Für die Umrechnung gilt die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.

  • Das Verhältnis zwischen der Größe des Winkels in $^\circ$ und der Länge des Kreisbogens in $\text cm$ hängt vom Radius des Kreises ab.

  Für das Verhältnis erhalten wir $\frac{\alpha}{b} = \frac{360}{U} = \frac{360}{2\pi r}$.

  • Der Anteil eines Kreisbogens am Umfang des Kreises ist derselbe wie der Anteil des zugehörigen Winkels am Gesamtwinkel $360^\circ$.

  Durch Umstellen der Formel für die Bogenlänge erhalten wir $\frac{b}{U} = \frac{\alpha}{360^\circ}$.

  • Verdoppelt man den Radius eines Kreises, so verdoppelt sich auch der Umfang des Kreises und die Länge eines jeden Kreisbogens.

  Die Formel für die Länge des Kreisbogens lautet $\frac{\alpha}{b} = \frac{360}{U} = \frac{360}{2\pi r}$. Verdoppelt man den Radius $r$, verdoppelt sich der Umfang $U= 2\pi r$ und die Länge eines jeden Kreisbogens.

• Berechne den Winkel und Kreisbogen.

  Tipps

  Teilt man einen Kreis in vier gleiche Teile, wird auch der Gesamtwinkel von $360^\circ$ in vier gleiche Teile geteilt.

  Halbiert man den Winkel, halbiert sich auch die Länge des Kreisbogens.

  Den Umfang eines Kreises berechnet man durch Multiplikation des Radius mit $2\pi$.

  Lösung

  Die Müllers wollen $\frac{1}{6}$ des Poolrandes mit Handtüchern reservieren. Dazu berechnet Herr Müller den Kreismittelpunktswinkel:

  $ \alpha = \frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ $

  Nun rechnet Herr Müller die Länge des Kreisbogens aus. Der Kreisbogen soll $\frac{1}{6}$ des Umfanges betragen. Für den Umfang $U$ eines Kreises mit Radius $r$ gilt die Formel:

  $U=2\pi r$

  Der gesuchte Kreisbogen soll $\frac{1}{6}$ des Umfanges betragen. Für seine Länge rechnet Herr Müller:

  $ b = \frac{U}{6} = \frac{2\pi \cdot 5}{6}~\text{m} = \frac{5\pi}{3}~\text{m} \approx 5,\!24~\text{m} $

  Statt $\frac{1}{6}$ des Umfanges direkt zu berechnen, hätte Herr Müller auch den Kreismittelpunktswinkel $\alpha = 60^\circ$ verwenden können. Diese Rechnung sieht dann so aus:

  $b =\frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r = \frac{1}{6} \cdot 2 \pi \cdot 5~\text m \approx 5,\!24~\text m$

• Erschließe Winkel, Bogenlänge und Radius aus dem Kontext.

  Tipps

  Zur Berechnung der Bogenlänge $b$ aus dem Kreismittelpunktswinkel $\alpha$ gilt die Formel $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi\cdot r$.

  Die Formel kann man auch zur Berechnung des Winkels bei bekanntem Kreisbogen nutzen.

  Lösung

  • Aus dem Radius $\frac{3}{\pi}~\text{m}$ erhalten wir den Umfang $U= 2\pi r = 6~\text{m}$ des Kreises, den die äußeren Kanten des Radars beschreiben. Ein Umlauf dauert zwei Sekunden, in einer halben Sekunde dreht sich das Radar daher um einen Viertelkreis. Der Weg des Punktes, an dem die Möwe sitzt, beträgt daher $\frac{1}{4}$ des Umfangs, also $1,\!5~\text{m}$. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem zurückgelegten Weg, dividiert durch die verstrichene Zeit. Für einen Umlauf ergibt sich die Geschwindigkeit $\frac{6~\text{m}}{2~\text{s}} = 3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Rechnet man stattdessen mit dem während einer halben Sekunde zurückgelegten Viertelkreis, so ergibt sich wegen der Proportionalität von Winkel und Kreisbogen derselbe Wert für die Geschwindigkeit.

  • Der Hotelkonditor teilt den Umfang der Torte bzw. den Winkel in gleichgroße Stücke. Da Bogenlänge und Winkel proportional sind, muss nur die Ganzzahligkeit der Winkel und Bogenlängen für die einzelnen Stücke berücksichtigt werden. Der Konditor zerlegt den Umfang und den Gesamtwinkel in Primfaktoren und erhält $54 = 6 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ bzw. $360 = 10 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\cdot 5$. Der größte gemeinsame Teiler ist demnach $18$. Der Konditor schneidet also die Torte in $18$ Stücke. Der Winkel eines jeden Stückes beträgt $\frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$. Die Bogenlänge misst $\frac{54~\text{cm}}{18} = 3~\text{cm}$.

  • Der Umfang des Ponykreises ergibt sich aus den $150$ $\text m$, die Herr Müller nach zweieinhalb Runden zurückgelegt hat: $150~\text{m} : 2,\!5 = 60~\text{m}$. Der Radius beträgt dann $60~\text{m} : (2\pi) = 9,\!55~\text{m}$. Es sind also etwas weniger als $10~\text{m}$ zu laufen für die Enkelin.

  • Herrn Müllers Schrebergartenbeet hat die Form eines Sektors. Der Radius ist durch die beiden Zäune festgelegt und beträgt $r=3~\text{m}$. Die Länge des Kreisbogens ist durch den verfügbaren Maschendraht auf höchstens $b= 1,\!2 \cdot \pi~\text{m}$ beschränkt. Der maximal mögliche Winkel $\alpha$ ergibt sich aus der maximal möglichen Bogenlänge. Der Umfang eines Kreises mit Radius $r= 3~\text{m}$ beträgt $U = 6\pi~\text{m}$. Davon ist $1,\!2 \pi~\text{m}$ genau $\frac{1}{5}$. Der maximale Winkel beträgt demnach $\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$.