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Binomische Formeln – Überblick

Erkunde die Welt der binomischen Formeln und lerne, wie du spezielle Klammerausdrücke blitzschnell berechnen kannst. Wir zeigen dir die Tricks der ersten, zweiten und dritten binomischen Formel und wie du diese rückwärts anwendest. Interessiert? Tauche tiefer ein und werde zum Experten mit unseren Beispielen und Übungen!

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Binomische Formeln – Überblick
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Binomische Formeln – Überblick

Binomische Formeln – Definition

Die binomischen Formeln sind ein Hilfsmittel, mit dem du spezielle Fälle von Produkten mit Klammern schnell berechnen kannst.
Allgemein müssen wir beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern nach folgendem Schema vorgehen:
$(a+b) \cdot (c+d)=a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d$.

Ein Term der Form $a \pm b$ wird als Binom bezeichnet.
Ein Binom ist die Summe oder Differenz aus zwei (lat. bi) Termen, die nur aus einer Zahl oder Variable, oder aus einem Produkt von Zahlen und Variablen bestehen.
Der Name binomische Formeln kommt daher, dass mit ihnen das Produkt von Binomen berechnet wird.

Es gibt drei binomische Formeln:

1. binomische Formel: $~(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$
2. binomische Formel: $~(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$
3. binomische Formel: $~(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Erste binomische Formel

Die erste binomische Formel behandelt das Produkt von zwei Summen der Form $a + b$. Daher wird sie auch Plus-Formel genannt.

1.$~$binomische Formel: $~(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$

Zweite binomische Formel

Die zweite binomische Formel behandelt das Produkt von zwei Differenzen der Form $a - b$. Daher wird sie auch Minus-Formel genannt.

2.$~$binomische Formel: $~(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$

Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel behandelt das Produkt aus einer Summe und einer Differenz der Form $a + b$ und $a - b$. Daher wird sie auch Plus-Minus-Formel genannt.

3.$~$binomische Formel: $~(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Binomische Formeln rückwärts anwenden

Die beiden Seiten der binomischen Formeln sind durch ein Gleichheitszeichen ($=$) verbunden. Beide Terme haben also den gleichen Wert, wir können auch sagen die Terme sind äquivalent.
Aus diesem Grund können wir die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden. Das bedeutet, einen Term, der die Form der rechten Seite der Formel hat, in die Form der linken Seite bringen. Dabei gilt:

  • $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2~$ (1. binomische Formel)
  • $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2~$ (2. binomische Formel)
  • $a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)~$ (3. binomische Formel)

Durch Umformung in diese Richtung können wir eine Summe (oder Differenz) als Produkt von Binomen schreiben. Termumformungen wie diese, deren Ergebnis ein Produkt ist, bezeichnet man in der Mathematik mit dem Begriff faktorisieren.

Binomische Formeln rückwärts anwenden – Beispiele

Um eine der binomischen Formeln rückwärts anzuwenden, musst du zunächst erkennen, dass ein gegebener Term die Form der rechten Seite einer Formel hat. Da jede der Formeln in ausmultiplizierter Form zwei quadratische Terme $(a^2$ und $b^2)$ enthält, solltest du diese zuerst identifizieren. Danach prüfst du die Vorzeichen und für die erste und zweite binomische Formel das gemischte Glied $(\pm 2ab)$.

Beispiel 1: Differenz zweier Quadrate

Wir betrachten den Term $25x^2 - 16z^2$.
Es handelt sich um eine Differenz, bei der wir Minuend und Subtrahend als Quadrate schreiben können:

  • $25x^2 = (5x)^2$
  • $16z^2 = (4z)^2$

Der Term hat also die Form $a^2 - b^2$ mit $a = 5x$ und $b = 4z$.
Wir formen nach der dritten binomischen Formel um:

$\begin{array}{ccccccc} a^2 &-& b^2 &=& (a + b) &\cdot& (a - b) \\ \\ (5x)^2 &-& (4z)^2 &=& (5x + 4z) &\cdot& (5x - 4z) \end{array}$

Beispiel 2: Summe mit drei Summanden

Wir betrachten den Term $9x^2 + 6x + 1$.
Zwei der drei Summanden können wir als Quadrate schreiben:

  • $9x^2 = (3x)^2$
  • $1 = 1^2$

Wir können daher vermuten, dass es sich um die rechte Seite der ersten binomischen Formel ${(a^2 + 2ab + b^2)}$ mit $a = 3x$ und $b = 1$ handelt.
Wir überprüfen den dritten Summanden:
$2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x \quad$ ✔

Wir formen der Term entsprechend der ersten binomischen Formel um:

$\begin{array}{cccccccc} a^2 &+& 2ab &+& b^2 &=& (a + b)^2 \\ \\ (3x)^2 &+& 2 \cdot 3x \cdot 1 &+& (1)^2 &=& (3x + 1)^2 \end{array}$

Binomische Formeln hoch drei

Wenn es im Matheunterricht um die binomischen Formeln geht, dann sind in den meisten Fällen die drei oben aufgeführten Formeln mit dem Exponent $2$ gemeint. Wir wollen uns hier einmal anschauen, wie das Ergebnis für ein Binom mit Exponent $3$ aussieht.

  • $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
  • $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Dass diese Formel gelten, kannst du selbst überprüfen, indem du das Produkt schrittweise ausmultiplizierst und gleiche Terme zusammenfasst.

Binomische Formeln – höhere Exponenten

Tatsächlich gibt es eine paar allgemeine Regeln, nach denen du ein Binom der Form $a + b$ mit einer beliebigen natürlichen Zahl $n$ als Exponent direkt berechnen kannst:

  • Das Ergebnis von $(a + b)^n$ ist eine Summe mit $n + 1$ Summanden.
  • Der erste Summand ist $a^n$, der letzte $b^n$.
  • Die weiteren Summanden werden gebildet, indem von links nach recht der Exponent von $a$ um eins verringert und der von $b$ um eins erhöht wird.
  • Die ganzzahligen Koeffizient der Summanden entsprechen dem Binomialkoeffizienten $\binom{x~-~y}{y}$, wobei $x$ der Exponent von $a$ und $y$ der Exponent von $b$ ist.
    Sie können auch der $(n + 1)$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks entnommen werden.

Wir bilden nach diesen Regeln das Ergebnis von $(a + b)^5$:

$\quad a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

Pascalsches Dreieck für Binom mit Exponent 5

Binomische Formeln – Aufgaben

Mithilfe der binomischen Formeln können auch Rechnungen vereinfacht werden:
Es soll das Produkt $42\cdot 38$ berechnet werden. Hierfür kannst du schriftlich multiplizieren oder aber die 3. binomische Formel nutzen.

$42\cdot 38=(40+2)\cdot(40-2)$

Nun kann die Differenz zweier Quadratzahlen berechnet werden:

$\begin{array}{rcc} (40+2)\cdot(40-2)&=&40^2-2^2 \\ &=&1600-4 \\ &=&1596 \end{array}$

Also ist $42\cdot 38=1596$.

Rechnen mit binomischen Formeln

Wir wollen ein paar Beispiele betrachten, wie du mit den binomischen Formeln rechnest.

Ausmultiplizieren mit binomischen Formeln

Fehleralarm
Ein häufiger Fehler bei der Anwendung der binomischen Formeln ist das Überspringen des mittleren Terms. Achte darauf, dass es bei der ersten und zweiten binomischen Formel einen mittleren Term gibt und $(a+b)^2 \neq a^2 +b^2$ ist.

1. Beispiel: $(x+2)^2$

Um dieses Quadrat aufzulösen, kann eine binomische Formel verwendet werden. Welche binomische Formel liegt vor? Hier wird eine Summe quadriert: Dies ist die erste binomische Formel. Auf der rechten Seite wird $a$ durch $x$ und $b$ durch $2$ ersetzt:

$(x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2=x^2+4x+4$

2. Beispiel: $(2y-3)^2$

Das Quadrat einer Differenz zeigt an, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt mit $a=2y$ und $b=3$. Das Rechenzeichen $-$ kommt in der binomischen Formel auf der rechten Seite vor:

$(2y-3)^2=(2y)^2-2\cdot (2y)\cdot 3+3^2=4y^2-12y+9$

3. Beispiel: $(4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Abschließend noch ein Beispiel zur dritten binomischen Formel:

$(4x+2y)\cdot (4x-2y)=(4x)^2-(2y)^2=16x^2-4y^2$

Umkehrung der Binomischen Formeln (Faktorisieren)

1. Beispiel: $9a^2-18a+9$

Es liegen drei Terme vor. Das Minus zeigt an, dass die zweite binomische Formel vorliegt.
Wir schreiben den Term so um, dass die einzelnen Teile der Formel genau zu erkennen sind:
$9a^2-18a+9=(3a)^2-2\cdot (3a)\cdot 3+3^2$

Hier hat also $3a$ die Rolle von $a$ und $3$ die Rolle von $b$ in der binomischen Formel. Damit gilt:
$9a^2-18a+9=(3a-3)^2$

2. Beispiel: $25x^2-4$

Es liegen zwei Terme vor. Diese sind jeweils Quadrate und werden subtrahiert:
$25x^2-4=(5x)^2-2^2$

So ist die rechte Seite der dritten binomischen Formel genau erkennbar. Wir wenden diese an und erhalten:
$25x^2-4=(5x+2)\cdot (5x-2)$

3. Beispiel: $\dfrac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}$

Wir wollen den Bruch mit Hilfe der binomischen Formeln kürzen.

Im Folgenden darf $x$ weder $0$ noch $-\frac13$ sein, da ansonsten der Nennerterm $x(3x-1)$ den Wert $0$ annehmen würde. Du weißt ja, dass die Division durch $0$ nicht erlaubt ist.

  • Forme den Zählerterm um: $9x^2+6x+1=(3x+1)^2$ (erste bin. Formel)
  • Damit können wir den Bruch schreiben als: $\dfrac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}=\dfrac{(3x+1)^2}{x(3x+1)}$
  • Nun siehst du, dass das Binom $3x+1$ sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm als Faktor auftaucht. Das bedeutet, dass du dies kürzen kannst:
    $\dfrac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}=\dfrac{\color{green}{(3x+1)}^2}{x\color{green}{(3x+1)}}=\dfrac{3x+1}x$

Binomische Formeln – Übungen

Mit den Aufgaben zu binomischen Formeln kannst du selbst prüfen, wie gut du das Thema schon verstanden hast.

Terme ausmultiplizieren

Berechne: $(2x+3y)^2$
Berechne: $(x-3)^2$
Berechne: $(4x+5z)\cdot (4x-5z)$

Terme faktorisieren

Faktorisiere den Term: $9x^2+6x+1$
Faktorisiere den Term: $25x^2-30x+9$
Faktorisiere den Term: $25x^2-16a^2$

Quadratzahlen bestimmen

Berechne die Quadratzahl $102^2$ mit der 1. binomischen Formel.
Berechne die Quadratzahl $999^2$ mit der 2. binomischen Formel.
Bilde das Produkt der Zahlen $18$ und $20$ mit der 3. binomischen Formel.
Bilde das Produkt der Zahlen $53$ und $47$.

Weitere Aufgaben

Das Quadrat der Summe einer Zahl und $2$ ist gleich der Summe aus dem Quadrat der Zahl und $8$. Finde die Zahl.
Durch Verlängerung der Seitenlänge eines Quadrats um $\pu{3 m}$ vergrößert sich der Flächeninhalt um $\pu{24 m2}$. Bestimme die Seitenlänge des ursprünglichen und die des neuen Quadrats.

Ausblick – das lernst du nach Binomische Formeln – Überblick

Vertiefe dein Verständnis in den Binomischen Formeln mit Quadratischen Gleichungen. Die Themen Quadratische Funktionen und Quadratische Ergänzung stehen als nächstes auf deinem Lernprogramm.

Binomische Formeln – Zusammenfassung

  • Die binomischen Formeln sind ein Spezialfall der Regeln zur Multiplikation von Klammern.
  • Es werden Binome der Form $a \pm b$ miteinander multipliziert, daher auch der Name binomische Formeln.
  • In eine Richtung angewendet, dienen die Formeln zum schnellen Ausmultiplizieren. Dabei wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt.
  • Wendet man die binomischen Formeln in umgekehrter Richtung an, so wird aus einer Summe ein Produkt. Der Term wird also faktorisiert.
Bezeichnung Term
Erste binomische Formel $(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$
Zweite binomische Formel $(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$
Dritte binomische Formel $(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Häufig gestellte Fragen zum Thema binomische Formeln

Was sind die binomischen Formeln?
Welche sind die binomischen Formeln?
Wie werden die binomischen Formeln hergeleitet?
Wo werden binomische Formeln angewendet?
Was berechnet man mit der binomischen Formel?
Was ist ein Binom?
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Vorschaubild einer Übung

Transkript Binomische Formeln – Überblick

AQuadrat und Cyberfüchsin sind Hacker. Sie versuchen bei jeder Gelegenheit, sich gegenseitig zu überbieten. Heute wollen sie sich in das Sicherheitssystem eines Unternehmens hacken. Wer zuerst in das System knackt, dem ist ewig währender Ruhm sicher. AQuadrat steht vor der ersten Sicherheitsschranke. Um sie zu überwinden, muss er folgenden Ausdruck vereinfachen: a + b in Klammern zum Quadrat. Also: a + b in Klammern mal a+ b in Klammern. AQuadrat weiß, wie er das Produkt dieser beiden Binome berechnen kann. Dafür nimmt er eine Fläche zu Hilfe. Und zwar ein Quadrat, das er in zwei Zeilen und zwei Spalten unterteilt. Jedes Teilstück markiert er mit einem Term aus den zwei Binomen. Dann berechnet er die Fläche von jedem Teilstück und schreibt die Formel dafür in das passende Teilstück. a mal a ist gleich a Quadrat, a mal b ist gleich ab. b mal a ist ebenfalls gleich ab. b mal b ist gleich b Quadrat. Er addiert die Terme, fasst gleichartige Terme zusammen und schreibt den Ausdruck in der Normalform: a² + 2ab + b². Ja, jetzt hat er es! Er gibt das Passwort ein. Verflixt! Cyberfüchsin war schneller. Wie kann das denn sein? Kennt sie etwa einen schnelleren Weg, um das Produkt von zwei Binomen zu berechnen? Und ob sie den kennt! Die schlaue Füchsin hat in dem Ausdruck sofort ein Muster erkannt. Sie kennt nämlich die 1. binomische Formel: a+b in Klammern zum Quadrat = a² + 2ab + b². AQuadrat kommt zur zweiten Sicherheitsschranke. Dieses Mal will er schneller sein und probiert eine andere Methode. Um Klammer auf a minus b Klammer zu mal Klammer auf a minus b Klammer zu auszurechnen, nutzt er das Distributivgesetz. Dabei multipliziert er jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Los, wir müssen uns ranhalten! Zuerst die beiden vorderen Terme: a mal a ist gleich a². Jetzt die beiden äußeren Terme: a mal -b ist gleich -ab. Nun die inneren Terme: -b mal a ist gleich -ab. Und zuletzt die beiden hinteren Terme: -b mal -b ist gleich b². Gleichartige Terme werden zusammengefasst und wir erhalten: a² - 2ab + b². Schnell das Passwort eingeben und. Verflixt! Er hat zwar flink gerechnet, aber Cyberfüchsin hat ihn trotzdem ausgestochen. Wie das denn? Sie hat wieder das Muster erkannt. Dieses Mal nämlich das der 2. binomischen Formel: a - b in Klammern zum Quadrat ist gleich a² - 2ab + b². Ah, die letzte Sicherheitsschranke. Dieses Mal muss ein Produkt gelöst werden: 42 mal 38. Kein Problem, AQuadrat kann multiplizieren wie kein Zweiter. Soll das ein Witz sein?! Cyberfüchsin ist wirklich ausgefuchst. Sie hat die Differenz von zwei Quadratzahlen genutzt, um die Rechnung zu lösen. Du hast den Ausdruck: In Klammern a + b mal in Klammern a – b. Schau, was beim Ausmultiplizieren passiert. Diese Produkte heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt die Differenz von zwei Quadratzahlen, a Quadrat minus b Quadrat. Clevere Cyberfüchsin. Sie hat die Zahlen 42 und 38 umgeschrieben zu 40 plus 2 und 40 minus 2 und so die Differenz von zwei Quadratzahlen erhalten. Die Potenzen hat sie dann ausgerechnet und ratzfatz die Differenz erhalten: 1.596. Sie hat die 3. binomische Formel erkannt. Pass gut auf, dann wirst du diese Muster auch erkennen, genau wie Cyberfüchsin. Mit dieser Zusammenfassung hier kannst du dir die binomischen Formeln leicht merken. Dann bist du auch so schnell wie Cyberfüchsin. Und die hat ganz klar gewonnen. Aber was ist das? Sieht so aus, als ob die beiden Hacker gehackt werden. Von ihrer Mutter?! Zeit fürs Abendessen!

64 Kommentare
  1. Ich finde die Übungen nicht so gut, da man auf dem laptop kein hoch 2 machen kann

    Von Romy, vor 10 Tagen
  2. Das Video hat mir sehr geholfen und ist auch super zu verstehen. Vielen Dank!

    Von Finja, vor etwa einem Jahr
  3. Beim 2. Mal dann doch verstanden, danke fürs Video.

    Von Arthur, vor etwa einem Jahr
  4. Das Video ist sehr schön erklärt

    Von Milena Michelle Ballau, vor etwa einem Jahr
  5. Bei Aufgabe 4 habe ich einen Fehler entdekt. Bei einem Kärtchen steht, das man bei einem Rechteck die 1 Binomische Formel anwenden kann. Dannach steht dort (a-b)2.
    Das wiederum entspricht wieder der 2 Binomischen Formel. Bitte korrigieren

    Von Mark, vor fast 2 Jahren
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Binomische Formeln – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Terme mithilfe der binomischen Formeln.

    Tipps

    Du kannst eine Potenz auch so aufschreiben:

    $a^2=a\cdot a$

    Beide Schreibweisen haben die gleiche Bedeutung.

    Du kannst zum Ausmultiplizieren der Klammern auch das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet:

    $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

    Du darfst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $x+y+3y+xy+yx=x+4y+2xy$

    Es gilt nämlich $~ xy=yx$.

    Lösung

    Folgende Terme sind uns gegeben:

    • $(a+b)^2$
    • $(a-b)^2$
    • $(a+b)(a-b)$
    • $42 /cdot 38$
    Diese Terme können wir entweder direkt über die jeweilige binomische Formel oder mithilfe des Distributivgesetzes berechnen. Im Folgenden werden diese Terme ausführlich unter Anwendung des Distributivgesetzes berechnet und somit alle drei binomischen Formeln hergeleitet.

    1. binomische Formel: $~(a+b)^2$

    $~(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$

    2. binomische Formel: $~(a-b)^2$

    $~(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$

    3. binomische Formel: $~(a+b)(a-b)$

    $~(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

    Für das Zahlenbeispiel können wir nun die dritte binomische Formel anwenden:

    $42 /cdot 38 = (40+2)(40-2)=40^2-2^2=1\,600-4=1\,596$

  • Beschreibe, wie du die Multiplikation $42\cdot 38$ mithilfe der dritten binomischen Formel lösen kannst.

    Tipps

    Eine Multiplikation der Form $(a+b)\cdot (c+d)$ kannst du ebenfalls durch Anwendung des Distributivgesetzes lösen. Hierzu gilt:

    $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$

    Die binomischen Formeln stellen eine Sonderform beim Auflösen zweier Klammerterme dar.

    Die dritte binomische Formel lautet:

    $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

    Lösung

    Die Multiplikationsaufgabe $42\cdot 38$ können wir sowohl mittels schriftlicher Multiplikation als auch durch geschickte Anwendung der dritten binomischen Formel lösen.

    Das Vorgehen bei der schriftlichen Multiplikation kannst du der hier dargestellten Abbildung entnehmen.

    Deutlich schneller kannst du diese Aufgabe durch Anwendung der dritten binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ rechnen. Dazu schreiben wir die Aufgabe zunächst so um, dass wir zwei Klammerterme erhalten. Wir rechnen wie folgt:

    $42\cdot 38=(40+2)\cdot (40-2)=40^2-2^2=1 600-4=1 596$

  • Ermittle mithilfe der binomischen Formeln die Lösungen der Terme.

    Tipps

    Die erste und zweite binomische Formel lauten:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    Du quadrierst eine Zahl, indem du sie einmal mit sich selbst multiplizierst:

    $6^2=6\cdot 6=36$

    Lösung

    Unter Anwendung der binomischen Formeln möchten wir im Folgenden die gegebenen Beispiele lösen. Die drei binomischen Formeln lauten:

    Erste binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    Zweite binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    Dritte binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Mit diesen Formeln können wir nun die gegebenen Klammerterme berechnen. Hier siehst du die Rechenwege:

    • $(11+3)^2=121+66+9=196$
    • $(12-5)^2=144-120+25=49$
    • $(5+3)\cdot (5-3)=25-9=16$
    • $(13-4)^2=169-104+16=81$
  • Bestimme den Term für die markierten Flächen.

    Tipps

    Die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ entspricht $a^2$.

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    Hier siehst du die dritte binomische Formel:

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Lösung

    Wir betrachten hier zwei Flächen, welche je durch eine der binomischen Formeln beschrieben werden. Die binomischen Formeln kann man sich nämlich jeweils als Fläche vorstellen.

    Gegeben sind dabei ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $b$, das in dem großen Quadrat liegt. Die Fläche eines Quadrats entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Somit hat das große Quadrat eine Fläche von $a^2$ und das kleine Quadrat eine Fläche von $b^2$.

    Rote Fläche

    Zunächst schauen wir uns die rote Fläche an. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge $a-b$ und somit die Fläche $(a-b)^2$. Sie entspricht also der Quadratfläche, welche durch die zweite binomische Formel beschrieben wird.

    Diese lautet:

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    Da die linke Seite dieser Gleichung die rote Fläche beschreibt, muss diese auch durch die rechte Seite beschrieben werden. Das bedeutet, dass wir von dem großen Quadrat zunächst zweimal die Fläche $a\cdot b$ abziehen. Anschließend addieren wir die Fläche $b^2$, da wir dieses Stück zweimal abgezogen haben.

    Grüne Fläche

    Nun betrachten wir die grüne Fläche. Diese Fläche erhalten wir, wenn wir von dem großen Quadrat das kleine Quadrat abziehen. Der Flächeninhalt des großen Quadrats beträgt $a^2$ und der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt $b^2$. Der Flächeninhalt der grünen Fläche wird also durch den Term $a^2-b^2$ beschrieben. Du kannst dies auch auf dem Bild erkennen. Dieser Term ist gegeben durch die dritte binomische Formel.

    Diese lautet:

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Die grüne Fläche wird ebenfalls durch die linke Seite der Gleichung beschrieben.

  • Gib an, mit welcher binomischen Formel das jeweilige Beispiel gelöst werden kann.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    Die zweite binomische Formel lautet:

    $(a-b)\cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$

    Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$.

    Lösung

    Es sind die folgenden Beispiele gegeben:

    • $(4+2)\cdot (4-2)$
    • $(5-3)^2$
    • $(x-y)\cdot (x+y)$
    • $(4+5)\cdot (4+5)$
    Gesucht ist jeweils die binomische Formel, welche man zum Auflösen der Klammerterme anwenden muss. Die drei binomischen Formeln lauten wie folgt:
    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    • $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
    Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$. Dann erhalten wir folgende Lösung:
    • $(4+2)\cdot (4-2) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
    • $(5-3)^2 ~\rightarrow ~$ 2. binomische Formel
    • $(x-y)\cdot (x+y) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
    • $(4+5)\cdot (4+5)=(4+5)^2 ~\rightarrow ~$ 1. binomische Formel

  • Ermittle das zugehörige Produkt von Klammertermen.

    Tipps

    Die dritte binomische Formel lautet:

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $(x+y)\cdot (-x-y)=-1\cdot (x+y)\cdot (x+y)=-1\cdot (x+y)^2$

    Lösung

    Bevor wir uns die Beispiele anschauen, notieren wir uns zunächst die drei binomischen Formeln:

    • 1. binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • 2. binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    • 3. binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Nun können wir uns die Beispiele anschauen:

    Beispiel 1: $~ 9-6x+x^2$

    Diesen Term schreiben wir zunächst um zu:

    $~ 3^2-2\cdot 3\cdot x+x^2$

    In dieser Schreibweise können wir die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:

    $~ (3-x)^2$

    Beispiel 2: $~ 9-x^2$

    Diesen Term können wir auch so schreiben:

    $~ 3^2-x^2$

    Durch diese Schreibweise können wir wieder die Klammerterme ablesen. Da wir die Subtraktion zweier Quadratzahlen haben und kein nichtquadratisches Glied enthalten ist, handelt es sich hierbei um die dritte binomische Formel. Somit erhalten wir:

    $~ (3+x)\cdot (3-x)$

    Beispiel 3: $~ -9-6x-x^2$

    Dieser Term erscheint zunächst anders, aber wir können ihn umformen zu:

    $~ -1\cdot (9+6x+x^2)=-1\cdot (3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2)$

    In dieser Schreibweise erkennen wir jetzt sowohl die Klammerterme als auch die erste binomische Formel in der Klammer. Somit erhalten wir:

    $~ -1\cdot (3+x)^2=-1\cdot (3+x)\cdot (3+x)=(3+x)(-3-x)$

    Beispiel 4: $~ 9+6x+x^2$

    Der letzte Term kann umgeformt werden zu:

    $~ 3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2$

    In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die erste binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:

    $~ (3+x)^2$

    Die restlichen Multiplikationsaufgaben

    Die Lösung für die übrigen Klammerausdrücke erhältst du durch Anwendung der ersten und dritten binomischen Formel. Es folgt dann:

    $(9+x)^2=81+18x+x^2$

    $(9+x)\cdot (9-x)=81-x^2$

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