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Binomische Formeln – Überblick 05:53 min

Textversion des Videos

Transkript Binomische Formeln – Überblick

AQuadrat und Cyberfüchsin sind Hacker. Sie versuchen bei jeder Gelegenheit, sich gegenseitig zu überbieten. Heute wollen sie sich in das Sicherheitssystem eines Unternehmens hacken. Wer zuerst in das System knackt, dem ist ewig währender Ruhm sicher. AQuadrat steht vor der ersten Sicherheitsschranke. Um sie zu überwinden, muss er folgenden Ausdruck vereinfachen: a + b in Klammern zum Quadrat. Also: a + b in Klammern mal a+ b in Klammern. AQuadrat weiß, wie er das Produkt dieser beiden Binome berechnen kann. Dafür nimmt er eine Fläche zu Hilfe. Und zwar ein Quadrat, das er in zwei Zeilen und zwei Spalten unterteilt. Jedes Teilstück markiert er mit einem Term aus den zwei Binomen. Dann berechnet er die Fläche von jedem Teilstück und schreibt die Formel dafür in das passende Teilstück. a mal a ist gleich a Quadrat, a mal b ist gleich ab. b mal a ist ebenfalls gleich ab. b mal b ist gleich b Quadrat. Er addiert die Terme, fasst gleichartige Terme zusammen und schreibt den Ausdruck in der Normalform: a² + 2ab + b². Ja, jetzt hat er es! Er gibt das Passwort ein. Verflixt! Cyberfüchsin war schneller. Wie kann das denn sein? Kennt sie etwa einen schnelleren Weg, um das Produkt von zwei Binomen zu berechnen? Und ob sie den kennt! Die schlaue Füchsin hat in dem Ausdruck sofort ein Muster erkannt. Sie kennt nämlich die 1. binomische Formel: a+b in Klammern zum Quadrat = a² + 2ab + b². AQuadrat kommt zur zweiten Sicherheitsschranke. Dieses Mal will er schneller sein und probiert eine andere Methode. Um Klammer auf a minus b Klammer zu mal Klammer auf a minus b Klammer zu auszurechnen, nutzt er das Distributivgesetz. Dabei multipliziert er jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Los, wir müssen uns ranhalten! Zuerst die beiden vorderen Terme: a mal a ist gleich a². Jetzt die beiden äußeren Terme: a mal -b ist gleich -ab. Nun die inneren Terme: -b mal a ist gleich -ab. Und zuletzt die beiden hinteren Terme: -b mal -b ist gleich b². Gleichartige Terme werden zusammengefasst und wir erhalten: a² - 2ab + b². Schnell das Passwort eingeben und. Verflixt! Er hat zwar flink gerechnet, aber Cyberfüchsin hat ihn trotzdem ausgestochen. Wie das denn? Sie hat wieder das Muster erkannt. Dieses Mal nämlich das der 2. binomischen Formel: a - b in Klammern zum Quadrat ist gleich a² - 2ab + b². Ah, die letzte Sicherheitsschranke. Dieses Mal muss ein Produkt gelöst werden: 42 mal 38. Kein Problem, AQuadrat kann multiplizieren wie kein Zweiter. Soll das ein Witz sein?! Cyberfüchsin ist wirklich ausgefuchst. Sie hat die Differenz von zwei Quadratzahlen genutzt, um die Rechnung zu lösen. Du hast den Ausdruck: In Klammern a + b mal in Klammern a – b. Schau, was beim Ausmultiplizieren passiert. Diese Produkte heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt die Differenz von zwei Quadratzahlen, a Quadrat minus b Quadrat. Clevere Cyberfüchsin. Sie hat die Zahlen 42 und 38 umgeschrieben zu 40 plus 2 und 40 minus 2 und so die Differenz von zwei Quadratzahlen erhalten. Die Potenzen hat sie dann ausgerechnet und ratzfatz die Differenz erhalten: 1.596. Sie hat die 3. binomische Formel erkannt. Pass gut auf, dann wirst du diese Muster auch erkennen, genau wie Cyberfüchsin. Mit dieser Zusammenfassung hier kannst du dir die binomischen Formeln leicht merken. Dann bist du auch so schnell wie Cyberfüchsin. Und die hat ganz klar gewonnen. Aber was ist das? Sieht so aus, als ob die beiden Hacker gehackt werden. Von ihrer Mutter?! Zeit fürs Abendessen!

23 Kommentare
  1. Super erklärt!👍🏼

    Von Alex Matze, vor 8 Tagen
  2. Einfach und verständlich erklärt
    sehr gut!

    Von Olga Fritz, vor etwa 2 Monaten
  3. wie spricht sie hACKER AUS

    Von Von Coelln, vor etwa 2 Monaten
  4. lachflash

    Von Yiren Y., vor etwa 2 Monaten
  5. wie lol

    Von Yiren Y., vor etwa 2 Monaten
  1. Hallo Kim, versuch es noch mal, bei mir hat es eben gut funktioniert. Falls du dazu noch Fragen hast, kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor 2 Monaten
  2. Bei der letzten Übungsaufgabe wird mehrmals die „3. bin. Formel“ zur Auswahl angeboten, aber wo die dritte gesucht wird, funktioniert nicht jede und wird als Fehler markiert ...

    Von Kim Koernich, vor 2 Monaten
  3. Im Video war alles gut erklärt, nur die Aufgaben (z.B. Aufgabe 3) hätte man mit Variabeln besser verständlich machen können. So hätte ich persönlich dies besser verstanden. :)

    Von Magnus B., vor 3 Monaten
  4. perfekt

    Von Fynn Mueller06 11, vor 3 Monaten
  5. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 4 Monaten
  6. Super Video!!!

    Von Joachim Allgeier, vor 4 Monaten
  7. Super toll 👍

    Von Tina P., vor 4 Monaten
  8. toll erklärt habe es direkt verstanden

    Von Daniela Schleef, vor 10 Monaten
  9. MEGA würde mich freuen wenn ihr noch solche Zeichentrickfilme macht das ist lustig und man lernt es besser ;-)

    Von Ben H., vor 12 Monaten
  10. Sehr Schön
    Toll
    Mega gut

    Von Shayan G., vor etwa einem Jahr
  11. #tolljetzthabichesverstanden

    Von Tom Umgelder, vor etwa einem Jahr
  12. Hallo ilaria n.,
    wie ich sehe, hast du das richtige Video mittlerweile gefunden. Ich wünsche dir noch viel Erfolg beim Lernen!
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  13. ich verstehe jetzt nicht wo die 2. und 3. binonomische Formel erklärt worden ist. denn mir wird scheinbar die ganze Zeit dass falsche Video angezeigt in dem es nur darum geht wieso es die gibt...

    Von ilaria n., vor etwa einem Jahr
  14. Hallo J Goldis,
    welche Aufgabe meinst du denn genau? Ich würde dir sehr gerne helfen!
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  15. Gut verständliches viedeo leider habe ich die Aufgaben nich verstehen können

    Von J Goldis, vor etwa einem Jahr
  16. Haha 😂 cool

    Von Marc Luca S., vor etwa einem Jahr
  17. Gutes Video, sehr gut veranschaulicht !

    Von Torstenforsch, vor mehr als einem Jahr
  18. Sehr cooles viedeo

    Von Marisa M., vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Binomische Formeln – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Terme mithilfe der binomischen Formeln.

    Tipps

    Du kannst eine Potenz auch so aufschreiben:

    $a^2=a\cdot a$.

    Beide Schreibweisen haben die gleiche Bedeutung.

    Du kannst zum Ausmultiplizieren der Klammern auch das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet:

    $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

    Du darfst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren. Schau dir folgendes Beispiel an:

    $x+y+3y+xy+yx=x+4y+2xy$.

    Es gilt nämlich: $~ xy=yx$.

    Lösung

    Folgende Terme sind uns gegeben:

    • $(a+b)^2$,
    • $(a-b)^2$,
    • $(a+b)(a-b)$ und
    • $(40+2)(40-2)$.
    Diese Terme können wir entweder direkt über die jeweilige binomische Formel oder mithilfe des Distributivgesetzes berechnen. Im Folgenden werden diese Terme ausführlich unter Anwendung des Distributivgesetzes berechnet und somit alle drei binomischen Formeln hergeleitet.

    1. binomische Formel: $~(a+b)^2$

    • $~(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$
    2. binomische Formel: $~(a-b)^2$
    • $~(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$
    3. binomische Formel: $~(a+b)(a-b)$
    • $~(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$
    Für das Zahlenbeispiel können wir nun die dritte binomische Formel anwenden:

    • $(40+2)(40-2)=40^2-2^2=1600-4=1596$.
  • Beschreibe, wie du die Multiplikation $42\cdot 38$ mithilfe der dritten binomischen Formel lösen kannst.

    Tipps

    Eine Multiplikation der Form $(a+b)\cdot (c+d)$ kannst du ebenfalls durch Anwendung des Distributivgesetzes lösen. Hierzu gilt:

    $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.

    Die binomischen Formeln stellen eine Sonderform beim Auflösen zweier Klammerterme dar.

    Die dritte binomische Formel lautet:

    $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$.

    Lösung

    Die Multiplikationsaufgabe $42\cdot 38$ können wir sowohl mittels schriftlicher Multiplikation als auch durch geschickte Anwendung der dritten binomischen Formel lösen.

    Das Vorgehen bei der schriftlichen Multiplikation kannst du der hier dargestellten Abbildung entnehmen.

    Deutlich schneller kannst du diese Aufgabe durch Anwendung der dritten binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ rechnen. Dazu schreiben wir die Aufgabe zunächst so um, dass wir zwei Klammerterme erhalten. Wir rechnen wie folgt:

    $42\cdot 38=(40+2)\cdot (40-2)=40^2-2^2=1600-4=1596$.

  • Ermittle mithilfe der binomischen Formeln die Lösungen der Terme.

    Tipps

    Die erste und zweite binomische Formel lauten:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und// $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Du quadrierst eine Zahl, indem du sie einmal mit sich selbst multiplizierst:

    $6^2=6\cdot 6=36$.

    Lösung

    Unter Anwendung der binomischen Formeln möchten wir im Folgenden die gegebenen Beispiele lösen. Die drei binomischen Formeln lauten wie folgt:

    1. Binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,

    2. Binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,

    3. Binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Mit diesen Formeln können wir nun die gegebenen Klammerterme berechnen. Hier siehst du die Rechenwege:

    • $(11+3)^2=121+66+9=196$,
    • $(12-5)^2=144-120+25=49$,
    • $(5+3)\cdot (5-3)=25-9=16$,
    • $(13-4)^2=169-104+16=81$.
  • Bestimme den Term für die markierten Flächen.

    Tipps

    Die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ entspricht $a^2$.

    Die erste binomische Formel lautet: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Hier siehst du die dritte binomische Formel:

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Lösung

    Wir betrachten hier zwei Flächen, welche je durch eine der binomischen Formeln beschrieben wird. Die binomischen Formeln kann man sich nämlich jeweils als Fläche vorstellen.

    Gegeben sind dabei ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ sowie ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $b$, das in dem großen Quadrat liegt. Die Fläche eines Quadrates entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Somit hat das große Quadrat eine Fläche von $a^2$ und das kleine Quadrat eine Fläche von $b^2$.

    Rote Fläche

    Zunächst schauen wir uns die rote Fläche an. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge $a-b$ und somit die Fläche $(a-b)^2$. Sie entspricht also der Quadratfläche, welche durch die zweite binomische Formel beschrieben wird.

    Diese lautet: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Da die linke Seite dieser Gleichung die rote Fläche beschreibt, muss diese auch durch die rechte Seite beschrieben werden. Das bedeutet, dass wir von dem großen Quadrat zunächst zweimal die Fläche $a\cdot b$ abziehen. Anschließend addieren wir die Fläche $b^2$, da wir dieses Stück zweimal abgezogen haben.

    Grüne Fläche

    Nun betrachten wir die grüne Fläche. Diese Fläche erhalten wir, wenn wir von dem großen Quadrat das kleine Quadrat abziehen. Der Flächeninhalt des großen Quadrats beträgt $a^2$ und der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt $b^2$. Der Flächeninhalt der grünen Fläche wird also durch den Term $a^2-b^2$ beschrieben. Du kannst dies auch auf dem Bild erkennen. Dieser Term ist gegeben durch die dritte binomische Formel.

    Diese lautet: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Ebenso wird die grüne Fläche auch durch die linke Seite der Gleichung beschrieben.

  • Gib an, mit welcher binomischen Formel das jeweilige Beispiel gelöst werden kann.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Die zweite binomische Formel lautet:

    $(a-b)\cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$.

    Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$.

    Lösung

    Es sind die folgenden Beispiele gegeben:

    • $(4+2)\cdot (4-2)$,
    • $(5-3)^2$,
    • $(x-y)\cdot (x+y)$ und
    • $(4+5)\cdot (4+5)$.
    Gesucht ist jeweils die binomische Formel, welche man zum Auflösen der Klammerterme anwenden muss. Die drei binomischen Formeln lauten wie folgt:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ und
    • $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.
    Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$. Dann erhalten wir die folgende Lösung:

    • $(4+2)\cdot (4-2) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
    • $(5-3)^2 ~\rightarrow ~$ 2. binomische Formel
    • $(x-y)\cdot (x+y) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
    • $(4+5)\cdot (4+5)=(4+5)^2 ~\rightarrow ~$ 1. binomische Formel
  • Ermittle das zugehörige Produkt von Klammertermen.

    Tipps

    Die dritte binomische Formel lautet: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $(x+y)\cdot (-x-y)=-1\cdot (x+y)\cdot (x+y)=-1\cdot (x+y)^2$.

    Lösung

    Bevor wir uns die Beispiele anschauen, notieren wir uns zunächst die drei binomischen Formeln:

    • 1. Binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
    • 2. Binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,
    • 3. Binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.
    Nun können wir uns die Beispiele anschauen.

    Beispiel 1: $~ 9-6x+x^2$

    Diesen Term schreiben wir zunächst um zu: $~ 3^2-2\cdot 3\cdot x+x^2$.

    In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt. Somit erhalten wir: $~ (3-x)^2$.

    Beispiel 2: $~ 9-x^2$

    Diesen Term können wir auch so schreiben: $~ 3^2-x^2$.

    Durch diese Schreibweise können wir wieder die Klammerterme ablesen. Da wir die Subtraktion zweier Quadratzahlen haben und kein nichtquadratisches Glied enthalten ist, handelt es sich hierbei um die dritte binomische Formel. Somit erhalten wir: $~ (3+x)\cdot (3-x)$.

    Beispiel 3: $~ -9-6x-x^2$

    Dieser Term erscheint zunächst anders, aber wir können ihn umformen zu: $~ -1\cdot (9+6x+x^2)=-1\cdot (3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2)$.

    In dieser Schreibweise erkennen wir nun sowohl die Klammerterme als auch die erste binomische Formel in der Klammer. Somit erhalten wir: $~ -1\cdot (3+x)^2=-1\cdot (3+x)\cdot (3+x)=(3+x)(-3-x)$.

    Beispiel 4: $~ 9+6x+x^2$

    Der letzte Term kann umgeformt werden zu: $~ 3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2$.

    In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die erste binomische Formel handelt. Somit erhalten wir: $~ (3+x)^2$.

    Die restlichen Multiplikationsaufgaben

    Die Lösung für die übrigen Klammerausdrücke erhältst du durch Anwendung der ersten und dritten binomischen Formel. Es folgt dann:

    $(9+x)^2=81+18x+x^2$,

    $(9+x)\cdot (9-x)=81-x^2$.