Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Binomialkoeffizient

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bereit für eine echte Prüfung?

Das Binomialkoeffizient Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten
Bewertung

Ø 4.6 / 8 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Binomialkoeffizient
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Binomialkoeffizient

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Binomialkoeffizienten mithilfe von Fakultäten zu berechnen.

Zunächst lernst du, dass der Binomialkoeffizient zum Einsatz kommt, wenn wir den Fall “ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge” betrachten. Anschließend lernst du die Formel für den Binomialkoeffizienten kennen. Abschließend erfährst du, wie du den Binomialkoeffizienten möglichst geschickt berechnen kannst.

Binomialkoeffizient

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Binomialkoeffizient, Fakultät und “Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge”.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits mehrstufige Zufallsexperimente kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Binomialverteilung kennenzulernen.

Transkript Binomialkoeffizient

Zeit für eine Runde Streetball! Ihr seid zu fünft, aber es können nur drei in die Startaufstellung! Wie viele verschiedene Startformationen gibt es dann eigentlich? Das verrät uns der "Binomialkoeffizient". Zunächst machen wir uns ein paar grundlegende Gedanken: Wir wählen aus einer Grundmenge von FÜNF Spielerinnen aus. Die kennzeichnen wir am Besten mal mit Buchstaben. Aus dieser Grundmenge werden dann DREI Spielerinnen für die Startformation ausgewählt. Wir können die Situation als Zufallsexperiment "ohne Zurücklegen" und "ohne Betrachtung der Reihenfolge" auffassen. Zuerst schauen wir uns mal an, wie viele Möglichkeiten wir haben, aus fünf Spielerinnen drei auszuwählen. Für die erste Auswahl kommen alle fünf Spielerinnen in Frage. Wenn eine Spielerin schon feststeht, bleiben noch vier für den zweiten Platz in der Startformation übrig. Und für den letzten Platz sind es schließlich drei. Wir haben also FÜNF mal VIER mal DREI - sprich SECHZIG Möglichkeiten, für die Wahl "drei aus fünf". Wir multiplizieren die Zahlen, weil alle Spielerinnen mit allen anderen kombiniert werden können. Leider haben wir so aber noch nicht die endgültige Antwort auf unsere Frage nach der Anzahl der möglichen Startformationen gefunden. Unter diesen sechzig Möglichkeiten sind nämlich einige dabei, die zur selben Startaufstellung führen, da die Reihenfolge der Spielerinnen für uns ja keine Rolle spielt. Wir können zum Beispiel die Ergebnisse betrachten, die zu einer Startformation mit den Spielerinnen A, B und C führen. Wenn wir die drei Positionen in der Startaufstellung mit Reihenfolge betrachten würden, hätten wir für die erste Position drei Möglichkeiten diese zu besetzen, für die zweite zwei und für die dritte schließlich nur noch eine. Es gibt also insgesamt drei mal zwei mal eins, sprich sechs Ergebnisse, die wir in dem Ereignis "Spielerinnen A, B und C werden für die Startaufstellung gewählt" zusammenfassen. Weil das nicht nur für diese Dreiergruppe, sondern auch für jede weitere gilt, können wir die insgesamt sechzig Möglichkeiten durch sechs teilen und erhalten so die tatsächliche Zahl an möglichen Startformationen: zehn! Wir haben die Antwort auf unsere Frage gefunden, der Weg dorthin war allerdings ziemlich umständlich. Aber zum Glück gibt es eine Abkürzung – den BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Wir betrachten hierzu nochmal den Bruch, mit dem wir auf unsere Lösung gestoßen sind. Auf diesen waren wir ja gekommen, indem wir einmal "fünf mal vier mal drei" und einmal "drei mal zwei mal eins" gerechnet hatten. Jetzt können wir einen kleinen Trick anwenden und den Bruch mit "zwei mal eins" erweitern, ohne seinen Wert damit zu ändern. Warum wir den Quatsch machen, wird gleich klar. Keine Sorge! Jetzt haben wir einen ziemlich großen Bruch, bei dem wir aber eine schöne Struktur erkennen können. Sowohl im Zähler als auch im Nenner haben wir Produkte, bei denen die Faktoren von Schritt zu Schritt um eins kleiner werden, bis wir bei eins angekommen sind. Dabei handelt es sich um FAKULTÄTEN! Eine Fakultät schreiben wir in Kurzform mit einem Ausrufezeichen. Das steht dann für das Produkt aus allen natürlichen Zahlen von der Zahl n bis zur eins. In unserem Bruch haben wir also FÜNF Fakultät DREI Fakultät und ZWEI Fakultät. Diesen Bruch können wir uns jetzt nochmal genauer anschauen. Unsere Grundmenge umfasst FÜNF Spielerinnen. Diese Zahl finden wir im Zähler wieder. Von ihnen haben wir DREI ausgewählt. Auch DIE Zahl ist in unserem Bruch enthalten. Bleibt nur noch die Frage, wo die Zwei herkommt: Zwei können wir allerdings auch umschreiben als "fünf minus drei". Jetzt haben wir so lange an dem Bruch rumgebastelt, bis wir ihn nur noch mit den beiden gegebenen Zahlen Fünf und Drei ausdrücken können. Praktisch oder? Der Term, den wir jetzt vor uns haben, ist nichts anderes als der Binomialkoeffizient "fünf über drei". Ganz ALLGEMEIN schreiben wir den Binomialkoeffizient als "n über k". N ist dabei die Anzahl der Elemente in der Grundmenge und k die Anzahl der AUSGEWÄHLTEN Elemente. Der Binomialkoeffizient berechnet sich über den Bruch "n-Fakultät" durch "k-Fakultät" mal "n-minus-k-Fakultät". Das schauen wir uns am besten nochmal an einem Beispiel an. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Grundmenge von zehn Elementen vier auszuwählen? Wir betrachten weiterhin den Fall "ohne Zurücklegen" und "ohne Reihenfolge". Um die Frage zu beantworten, stellen wir den Binomialkoeffizienten "zehn über vier" auf. Das entspricht dann "Zehn-Fakultät" durch "Vier-Fakultät" mal "Zehn Minus Vier"- also "Sechs-Fakultät". Wenn wir das ausschreiben, sehen wir, dass wir erstmal ganz viel kürzen können. "Sechs-Fakultät" ist zum Beispiel komplett in "Zehn-Fakultät" enthalten und kann in einem Schwung entsorgt werden. Und auch bei den verbliebenen Produkten können wir noch fleißig weiter kürzen, bis wir das Ganze auf eine recht simple Rechnung reduziert haben: Das Ergebnis ist zweihundertzehn. Sprich: Es gibt zweihundertzehn Möglichkeiten, vier Elemente aus insgesamt zehn Elementen auszuwählen. Ein kleiner Tipp noch für die Rechenfaulen unter uns: Den Binomialkoeffizienten können wir auch ganz bequem von unserem Taschenrechner berechnen lassen. Der Befehl dafür lautet "n-C-r". Wir fassen noch einmal zusammen. Der Binomialkoeffizient kommt zum Einsatz, wenn wir eine Auswahl aus einer Grundmenge treffen und dabei den Fall "ohne Zurücklegen und ohne Betrachtung der Reihenfolge" betrachten. "n über k" ist die Anzahl an Möglichkeiten aus einer Menge mit n Elementen k Elemente auszuwählen. Die Anzahl an Möglichkeiten können wir dann mit diesem Bruch berechnen. Um das bei einem konkreten Beispiel – sagen wir mal "acht über drei" – durchzuführen, können wir entweder den Taschenrechner verwenden oder wir rechnen einfach im Kopf. Wenn wir geschickt rechnen, geht das auch ganz schnell! Der Binomialkoeffizient ist in der Mathematik super wichtig und unter anderem auch Grundlage für die BinomialVERTEILUNG. Bevor wir uns das genauer anschauen, haben wir uns vielleicht aber erstmal etwas Freizeit und Bewegung verdient.

Binomialkoeffizient Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialkoeffizient kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Herleitung des Binomialkoeffizienten.

    Tipps

    Zufallsexperiment ohne Zurücklegen: Wir ziehen aus einer Urne mit $n$ Kugeln nacheinander mehrere Kugeln, ohne diese nach dem Zug zurück in die Urne zu legen. Dadurch ist nach jedem Zug eine Kugel weniger in der Urne.

    Zufallsexperiment mit Zurücklegen: Wir ziehen aus einer Urne mit $n$ Kugeln nacheinander mehrere Kugeln, und legen die gezogene Kugel nach jedem Zug zurück in die Urne. Dadurch sind bei jedem Zug gleich viele Kugeln in der Urne.

    Beispiel:

    Aus einer Urne mit $10$ Kugeln, die mit $1$ bis $10$ beschriftet sind, sollen $4$ Kugeln ohne Betrachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden. Es gibt insgesamt

    $\displaystyle \binom{10}{4} = \dfrac{10!}{4!\cdot (10-4)!} = \dfrac{10!}{4!\cdot 6!} = 210$

    Möglichkeiten, diese Kugeln zu ziehen.

    Lösung

    Aus $5$ Spielerinnen soll ein Team aus $3$ Spielerinnen zusammengestellt werden. Wir wollen untersuchen, wie viele mögliche Teams wir bilden können.

    Wir können uns die Auswahl der $3$ Spielerinnen des Teams als Zufallsexperiment ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge vorstellen.

    Wir betrachten zunächst die Anzahl der Möglichkeiten aus $5$ Spielerinnen $3$ auszuwählen:

    • Für die erste Spielerin haben wir $5$ Möglichkeiten.
    • Für die zweite Spielerin haben wir dann noch $4$ Möglichkeiten.
    • Für die dritte Spielerin gibt es noch $3$ Möglichkeiten.

    Insgesamt gibt es also $5 \cdot 4 \cdot 3$ Möglichkeiten, da die Spielerinnen jeweils beliebig miteinander kombiniert werden können.

    Für die Aufstellung des Teams gibt es jedoch weniger Möglichkeiten, da hier die Reihenfolge nicht relevant ist. Wir können aus den drei ausgewählten Spielerinnen jeweils $3 \cdot 2 \cdot 1$ mögliche Kombinationen zusammenfassen, da für die erste Position $3$ Spielerinnen in Frage kommen, für die zweite Position $2$ Spielerinnen und für die letzte Position nur noch $1$ Spielerin.

    Für die Auswahl des Dreierteams gibt es daher $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{60}{6} = 10$ Möglichkeiten.

    Den Ausdruck $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} $ können wir auch mit Fakultäten darstellen:

    $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{5! }{3! \cdot 2!}$

    Dabei gilt:

    • $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
    • $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1$
    • $2! = 2 \cdot 1$
    Wir nennen diesen Ausdruck den Binomialkoeffizienten und schreiben auch:

    $\displaystyle \binom{5}{3} = \dfrac{5! }{3! \cdot (5-3)!}$

  • Vervollständige die Binomialkoeffizienten.

    Tipps

    Beispiel:

    $\displaystyle \binom{8}{4} = \dfrac{8! }{4! \cdot (8-4)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 4!} = 70$

    In den Zähler musst du die obere Zahl aus dem Binomialkoeffizienten übernehmen.

    Lösung

    Die Formel für den Binomialkoeffizienten lautet:

    $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

    Wir können die gegebenen Beispiele in die Formel einsetzen und erhalten:

    $\quad\displaystyle \binom{5}{3} = \dfrac{5! }{3! \cdot (5-3)!} = \dfrac{5! }{3! \cdot 2!} = 10$

    $\quad\displaystyle \binom{10}{4} = \dfrac{10! }{4! \cdot (10-4)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 6!} = 210$

    $\quad\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{3! \cdot (8-3)!} = \dfrac{8! }{3! \cdot 5!} = 56$

  • Stelle den passenden Binomialkoeffizienten auf.

    Tipps

    Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen ohne Wiederholung an.

    Der Binomialkoeffizient lautet allgemein:

    $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

    Lösung

    Wir verwenden den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen zu bestimmen. Dabei betrachten wir den Fall ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Der Binomialkoeffizient lautet allgemein:

    $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

    In unseren Beispielen müssen wir also jeweils die Anzahl in der Gesamtmenge $n$ und die Anzahl in der Auswahl

    $k$ bestimmen:

    • Es werden $2$ Eissorten aus $8$ Eissorten ausgewählt:
    Es gilt: $n=8$ und $k=2$
    $\displaystyle \binom{8}{2} = \dfrac{8! }{2! \cdot (8-2)!} = \dfrac{8! }{2! \cdot 6!} = 28$

    • Aus $8$ Kindern wird ein $5$-er Team zusammengestellt:
    Es gilt: $n=8$ und $k=5$
    $\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{5! \cdot (8-5)!} = \dfrac{8! }{5! \cdot 3!} = 56$

    • Aus $6$ Gerichten werden $3$ Gerichte gewählt:
    Es gilt: $n=6$ und $k=3$
    $\displaystyle \binom{6}{3} = \dfrac{6! }{3! \cdot (6-3)!} = \dfrac{6! }{3! \cdot 3!} = 20$

    • Aus $5$ Tänzern wird ein Paar gewählt:
    Es gilt: $n=5$ und $k=2$
    $\displaystyle \binom{5}{2} = \dfrac{5! }{2! \cdot (5-2)!} = \dfrac{5! }{2! \cdot 3!} = 10$

    • Es werden $2$ Tage aus $3$ Tagen bestimmt:
    Es gilt: $n=3$ und $k=2$
    $\displaystyle \binom{3}{2} = \dfrac{3! }{2! \cdot (3-2)!} = \dfrac{3! }{2! \cdot 1!} = 3$

  • Überprüfe die Berechnung des Binomialkoeffizienten.

    Tipps

    Beispiel:

    $\displaystyle \binom{13}{11} = \dfrac{13! }{11! \cdot (13-11)!} = \dfrac{13! }{11! \cdot 2!} = 78$

    Du kannst den Wert des Binomialkoeffizienten auch mit dem Taschenrechner bestimmen. Dazu verwendest du die Funktion: $\text{nCr}$.

    Lösung

    Die Formel für den Binomialkoeffizienten lautet:

    $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

    Sie gibt die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen an. Dabei betrachten wir den Fall ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

    Die Schreibweise Fakultät: $n!$, ist eine Abkürzung dafür, dass von $n$ absteigend alle natürlichen Zahlen bis zur $1$ multipliziert werden, also zum Beispiel:

    $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

    Damit können wir die gegebenen Rechnungen überprüfen:

    Richtige Rechnungen:

    $\displaystyle \binom{12}{4} = \dfrac{12! }{4! \cdot (12-4)!} = \dfrac{12! }{4! \cdot 8!} = 495$

    $\displaystyle \binom{7}{3} = \dfrac{7! }{3! \cdot (7-3)!} = \dfrac{7! }{3! \cdot 4!} = 35$

    $\displaystyle \binom{11}{2} = \dfrac{11! }{2! \cdot (11-2)!} = \dfrac{11! }{2! \cdot 9!} = 55$


    Falsche Rechnungen:

    $\displaystyle \binom{8}{4} = \dfrac{8! }{4! \cdot 8-4!}\quad$ Hier fehlen die Klammern um die Differenz $8-4$ im Nenner.
    Richtig lautet die Rechnung: $\displaystyle \binom{8}{4} = \dfrac{8! }{4! \cdot (8-4)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 4!} = 70$

    $\displaystyle \binom{14}{9} = 944\quad$ Das Ergebnis ist falsch.
    Die korrekte Rechnung lautet: $\displaystyle \binom{14}{9} = \dfrac{14! }{9! \cdot (14-9)!} = \dfrac{14! }{9! \cdot 5!} = 2002$

    $\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{3!}\quad$ Hier fehlt der Faktor $(n-k)! = (8-3)! = 5!$ im Nenner.
    Richtig lautet die Rechnung: $\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{3! \cdot (8-3)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 5!} = 56$

  • Benenne den abgebildeten Term mathematisch.

    Tipps

    Es sind keine Brüche dargestellt!

    Die Abkürzung ! wurde erstmals von Christian Kramp verwendet, der auch die Bezeichnung faculté einführte, was Fähigkeit bedeutet.

    Lösung

    Wir verwenden die obigen Schreibweisen im Zusammenhang mit dem Binomialkoeffizienten. Dieser gibt die Anzahl der möglichen Kombination bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen an. Dabei betrachten wir den Fall ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

    Der Binomialkoeffizient wird allgemein wie folgt geschrieben:

    $\displaystyle \binom{n}{k}$

    Wir sagen: n über k

    Die Definition des Binomialkoeffizient lautet allgemein:

    $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

    Darin enthalten ist die Schreibweise

    $n!$

    Wir sagen: n Fakultät

    Unsere Beispiele lesen wir also wie folgt:

    $\quad\displaystyle \binom{7}{2} \quad$ Sieben über zwei

    $\quad\displaystyle \binom{8}{3} \quad$ Acht über drei

    $\quad~~\,5! \quad~~$ Fünf Fakultät

    $\quad~~\,3! \quad~~$ Drei Fakultät

  • Leite allgemeine Zusammenhänge zum Binomialkoeffizienten her.

    Tipps

    Es gilt: $0!=1$

    Setze in die allgemeine Formel des Binomialkoeffizienten ein und vereinfache diese so weit wie möglich. Versuche auch geschickt zu kürzen!

    Lösung

    Anhand der Definition des Binomialkoeffizienten können wir allgemeine Zusammenhänge aufzeigen. Der Binomialkoeffizient lautet:

    $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

    Wir betrachten die gegebenen Binomialkoeffizienten, setzen in die Formel ein und vereinfachen.

    Dabei erhalten wir in folgenden Fällen einen Wert von $1$:

    $\displaystyle \binom{n}{n} = \dfrac{n! }{n! \cdot (n-n)!} = \dfrac{n! }{n! \cdot (0)!} = \dfrac{n! }{n! \cdot 1} = \dfrac{n! }{ n!} = 1 $

    $\displaystyle \binom{n}{0} = \dfrac{n! }{0! \cdot (n-0)!} = \dfrac{n! }{0! \cdot n!} = \dfrac{n! }{1 \cdot n!} = \dfrac{n! }{ n!} = 1 $

    $\displaystyle \binom{k}{k} = \dfrac{k! }{k! \cdot (k-k)!} = \dfrac{k! }{k! \cdot (0)!} = \dfrac{k! }{k! \cdot 1} = \dfrac{k! }{ k!} = 1 $

    Wir nutzen, dass gilt: $0! = 1$, und können zuletzt kürzen.


    In folgenden Fällen erhalten wir den Wert $n$:

    $\displaystyle \binom{n}{1} = \dfrac{n! }{1! \cdot (n-1)!} = \dfrac{n! }{1 \cdot (n-1)!} = \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \dots \, \cdot 1 }{(n-1)!} = \dfrac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = n$

    $\displaystyle \binom{n}{n-1} = \dfrac{n! }{(n-1)! \cdot (n-(n-1))!} = \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \dots \, \cdot 1 }{(n-1)! \cdot 1!} = \dfrac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}= n$

    Wir erkennen durch Ausschreiben der Fakultäten, dass wir mit $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \dots \, \cdot 1$ als $n \cdot (n-1)!$ schreiben können.


    Der folgende Binomialkoeffizient ist identisch zu $\displaystyle \binom{n}{k}$:

    $\displaystyle \binom{n}{n-k} = \dfrac{n! }{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!} = \dfrac{n! }{(n-k)! \cdot k!} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} = \binom{n}{k} $

    Wir können in die Formel einsetzen, vereinfachen und erkennen, dass der allgemeine Binomialkoeffizient herauskommt. Diese Eigenschaft nennt man die Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Wir erkennen sie auch in den anderen betrachteten Fällen:

    $\displaystyle \binom{n}{n} = 1 = \binom{n}{n - n} = \binom{n}{0}$

    $\displaystyle \binom{n}{1} = n = \binom{n}{n - 1}$


    Der folgende Binomialkoeffizient hat den Wert $0$:

    $\displaystyle \binom{k}{n} = 0$

    Da $n \gt k$ gilt: $k -n \lt 0$.
    Die Fakultät ist nur für natürliche Zahlen definiert und kann daher für den Term $(k-n)$ nicht gebildet werden.

    Es ist anschaulich unmöglich, aus beispielsweise $3$ Spielern ein Team aus $5$ Spielern zusammenzustellen. Es gibt also keine passende Kombination.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.397

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.948

Lernvideos

37.089

Übungen

34.333

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden