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Team Digital
Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung zu berechnen.

Zunächst lernst du, was kumulierte Wahrscheinlichkeiten sind. Anschließend erfährst du, wie du diese mit dem Taschenrechner berechnen kannst. Abschließend erfährst du, zwischen welchen Fällen du bei kumulierten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden musst.

Binomialverteilung kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Binomialverteilung, Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette, Bernoulli-Formel, Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, kumulierte Wahrscheinlichkeit und kumulative Verteilungsfunktion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Binomialverteilung kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man bei der Binomialverteilung die Parameter n, p und k bestimmen kann.

Transkript Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Achtzig Prozent aller Personen können mit "kumulierten Wahrscheinlichkeiten" absolut nichts anfangen. So wie der Kollege hier. Wie wahrscheinlich es ist, dass trotzdem mindestens zwei von zehn zufällig ausgewählten Zuschauern dieses Video mit Interesse verfolgen, rechnen wir einfach mal nach. Und zwar mit "kumulierten Wahrscheinlichkeiten" bei der Binomialverteilung! Wenn du dieses Video hier schaust, solltest du schon wissen, wovon die Rede ist, wenn der Begriff "Binomialverteilung" fällt. Wenn das nicht der Fall ist, hol es am besten schnell nach! Denn dann ist auch klar, dass es sich bei der eingangs erwähnten Situation um eine "binomialverteilte Zufallsgröße" handelt. Aufgrund einer aufschlussreichen Statistik wissen wir, dass acht von zehn Personen sich nicht für kumulierte Wahrscheinlichkeiten interessieren. Das heißt, unsere Trefferwahrscheinlichkeit für einen Interessenten liegt bei zwei Zehnteln, sprich 0,2. Wir betrachten zehn zufällig ausgewählte Personen. N ist also gleich zehn. Mit Hilfe der Bernoulli-Formel können wir jetzt die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Trefferanzahlen berechnen und die Binomialverteilung dann mit einem Histogramm darstellen. An den einzelnen Säulen des Histogramms können wir dann ungefähr ablesen, wie wahrscheinlich die jeweilige Trefferanzahl k ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine der zehn Personen sich für unser Thema interessiert, liegt so zum Beispiel bei circa elf Prozent, für EINEN Interessierten bei circa siebenundzwanzig Prozent, für ZWEI bei dreißig Prozent und so weiter. Das sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten für GENAU k Treffer. Jetzt können wir aber auch einen Schritt weitergehen und uns fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass HÖCHSTENS k Treffer gelandet werden. Diese Wahrscheinlichkeit schreiben wir so auf. Uns könnte zum Beispiel interessieren, wie wahrscheinlich es ist, dass wir höchstens zwei Treffer landen. Die Anzahl der Treffer soll also "kleiner gleich" zwei sein. Das ist dann eine KUMULIERTE Wahrscheinlichkeit. "Kumulieren" bedeutet so viel wie "anhäufen" beziehungsweise "ansammeln". Und genau das müssen wir auch tun, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Denn um die Wahrscheinlichkeit dafür zu erhalten, dass wir höchstens zwei Treffer landen, können wir ganz einfach die Wahrscheinlichkeiten für genau null, genau einen und genau zwei Treffer addieren. Wir erhalten ungefähr achtundsechzig Prozent. In einem gegebenen Sachkontext interessiert uns häufig, ob wir "höchstens oder mindestens k Treffer" erzielen. Dafür dann jedes mal alle Einzelwahrscheinlichkeiten zu summieren, ist aber ziemlich aufwendig. Stell dir vor, wir betrachten EINHUNDERT Personen und möchten wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwanzig Treffer ist. Um das zu berechnen, müssten wir jetzt alle Wahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen null bis zwanzig addieren! Da hat wirklich niemand Bock drauf! Gut, dass es hier ein paar kluge Menschen gab, die wertvolle Vorarbeit geleistet haben und uns das Leben einfacher machen! Und zwar mit der sogenannten Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten! Die wird mit einem großen F geschrieben, ist wie die bereits bekannte Funktion der Binomialverteilung von den Parametern n und p abhängig und gibt dann für einen betrachteten Wert k die Wahrscheinlichkeit für "höchstens k" Treffer an. Sie summiert also alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen null bis k. Genauer gesagt kann das dann unser Taschenrechner für uns übernehmen! Hier können wir einfach anstatt des Befehls "binomPdf", den wir für die Wahrscheinlichkeit von GENAU k Treffern nutzen, den Befehl "binomCdf" verwenden. Wir müssen wie gewohnt die Werte für n , p und k eingeben und kriegen dann die Wahrscheinlichkeit von HÖCHSTENS k Treffern ausgespuckt. Wir können das ja mal spaßeshalber bei unserem Beispiel mit "n gleich einhundert" für zwanzig Treffer ausprobieren. Die Wahrscheinlichkeit für GENAU zwanzig Treffer beträgt dann ungefähr 0,0993. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS zwanzig Treffer können wir dann prinzipiell genauso berechnen. Wir müssen nur auf den richtigen Befehl achten! Sie beträgt ungefähr 0,5595. Das läuft schon mal! Genauso wie die klassische Binomialverteilung können wir auch die kumulierte Binomialverteilung als Histogramm darstellen. Hier sehen wir zunächst nochmal das Histogramm der Binomialverteilung mit "p gleich 0,2" und "n gleich zehn", so wie wir es bereits kennen. Für das Histogramm der kumulierten Wahrscheinlichkeiten, setzen wir jetzt sozusagen "immer einen drauf". Die Säule für "höchstens einen Treffer" setzt sich aus den Säulen für keinen und für einen Treffer zusammen, die Säule für "höchsten zwei Treffer" setzt sich aus den ersten DREI Säulen des oberen Histogramms zusammen und so weiter! So erhalten wir ein Histogramm, dessen Säulen immer höher werden und die bei "k gleich n" die eins, also eine Wahrscheinlichkeit von einhundert Prozent erreichen. Großartig, dann wissen wir jetzt auch, wie die Verteilungsfunktion als Histogramm aussieht! Einen wichtige Vorgehensweise zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten solltest du dir aber auf jeden Fall noch merken! Oft wird nicht nach "höchstens k Treffern" gefragt, sondern nach "MINDESTENS k Treffern"! In unserem Fall könnte solch eine Aufgabe zum Beispiel lauten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit interessieren sich mindestens zwei von zehn Personen für unser Videothema? Wir betrachten jetzt also nicht die kumulierte Wahrscheinlichkeit von null bis zwei, sondern die kumulierte Wahrscheinlichkeit von zwei bis zehn! Unsere Verteilungsfunktion ist aber so definiert, dass sie bei Null beginnt und bis zu einem gegebenen Wert k summiert. Das ist ein Problem! Aber auch dafür haben wir natürlich eine Lösung: Wir betrachten das GEGENEREIGNIS zu "mindestens zwei Treffer" und das ist das Ereignis "höchstens ein Treffer"! "P von x größer gleich zwei" ist also gleich "eins minus P von x kleiner gleich eins". Und DIESE Wahrscheinlichkeit können wir jetzt wieder ganz einfach mit Hilfe der Verteilungsfunktion und unserem Taschenrechner ausrechnen! Als Ergebnis für die tatsächlich gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir circa 0,6242! Ebenfalls für Fortgeschrittene ist eine Aufgabenstellung wie die folgende: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Personen höchstens sechs, aber mindestens vier Personen kumulierte Wahrscheinlichkeiten feiern? Diese Wahrscheinlichkeit können wir SO notieren. Auch diese Variante sollten wir uns am besten nochmal am Schaubild anschauen. Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit für mindestens vier und höchstens sechs Treffer, also die Wahrscheinlichkeit in DIESEM Intervall. Hast du eine Idee, wie wir sie berechnen können? Wir müssen einfach die Wahrscheinlichkeit für "höchstens sechs Treffer" berechnen und die Wahrscheinlichkeit für "höchstens drei Treffer" wieder abziehen, da diese nicht zu dem betrachteten Intervall gehört. Die entsprechende Rechnung sieht dann also SO aus und kann, wenn sie einmal aufgestellt ist, mit dem Taschenrechner schnell gelöst werden. Höchste Zeit für eine Zusammenfassung! Kumulierte Wahrscheinlichkeiten können wir bei der Binomialverteilung berechnen, indem wir die Taschenrechnerfunktion "binomCdf" nutzen. Das Ergebnis ist dann die Wahrscheinlichkeit für "höchstens k Treffer", also gleich den summierten Einzelwahrscheinlichkeiten, der Trefferzahlen null bis k. Wichtig ist hierbei, dass wir mit der sogenannten Verteilungsfunktion der Binomialverteilung nur die Wahrscheinlichkeiten für "HÖCHSTENS k Treffer" berechnen können. Oft sind die Aufgaben aber auch anders gestellt. Das heißt allerdings nicht, dass wir unseren Taschenrechner in die Tonne kloppen müssen. Wir müssen nur zunächst etwas Vorarbeit leisten und die gesuchte Wahrscheinlichkeit so umschreiben, dass wir sie in Form von "höchstens k Treffer"-Wahrscheinlichkeiten ausdrücken können. Hier siehst du, wie das für "weniger als k Treffer", "mindestens k Treffer" und "mindestens k aber höchstens m Treffer" funktioniert. Alles klar soweit? Na, dann können wir DICH ja jetzt auch zum Fan von kumulierten Wahrscheinlichkeiten erklären! Oder etwa nicht?

Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilung – kumulierte Wahrscheinlichkeiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Angaben zum Berechnen der kumulierten Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Lies den Text genau und setze ein:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Wenn wir bestimmen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass höchstens zwei Personen am Thema interessiert sind, dann würden wir folgende Rechnung nutzen:

    $P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

    Überlege, welche Wahrscheinlichkeiten wir bei höchstens zwanzig interessierten Personen addieren müssen.

    Lösung

    In dieser Aufgabe vervollständigen wir die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$, $p$ und $k$ zu bestimmen:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Wir befragen $100$ Personen:

    $\color{#99CC00}{n = 100}$

    Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $0,\!2$:

    $\color{#99CC00}{p = 0,\!2}$

    Es ist gefragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens $20$ Personen an unserem Thema interessiert sind. Die Anzahl der Treffer soll also kleiner gleich $20$ sein:

    $k \leq 20$

    Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass wir höchstens $20$ Treffer landen, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten, die $k \leq 20$ beinhalten, addieren. Hieraus ergibt sich folgende Rechnung:

    $P(X \leq 20) = P (X=0) + ... + P (X=20)$

    Da es sehr aufwändig ist, alle Wahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $20$ zu addieren, nutzen wir die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

    Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

    binomCdf($n,p,k$)

    Für unsere Aufgabe setzen wir $n$, $p$ und $k$ an der richtigen Stelle ein und erhalten hierdurch:

    $\color{#99CC00}{F_{100;~0,2} (20) = P(X \leq 20) = P (X=0) + ... + P (X=20) \approx 0,\!56}$

    (Taschenrechner: binomCdf($100,0.2,20$) $\approx 0,\!56$)

    Unsere Verteilungsfunktion ist immer so definiert, dass sie bei $0$ beginnt und bis zu einem gegebenen Wert $k$ summiert. Wollen wir andere kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen, ist es deshalb nötig, die Rechnung so umzuformen, dass wir die Verteilungsfunktion in dieser Form nutzen.

  • Gib den Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an.

    Tipps

    „Kumulieren“ bedeutet „etwas anhäufen“ oder „etwas ansammeln“.

    Schaue dir die Formeln genau an: Schließe die Formel aus, die keine Wahrscheinlichkeiten summiert.

    Setze für $k$ einen bestimmten Wert ein, um dir die Bedeutung besser vorstellen zu können.

    $P(X \leq 3)$ umfasst zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $3$ Treffer erzielt werden.

    Hierfür müsste berechnet werden:

    $P(X \leq 3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)$

    Wie müsste die Rechnung verändert werden, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für weniger als $3$ Treffer $P(X < 3)$ ermitteln wollen?

    Lösung

    In dieser Aufgabe definieren wir die Rechnungen verschiedener kumulierter Wahrscheinlichkeiten:

    Um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Trefferanzahl zu ermitteln, nutzen wir die Bernoulli-Formel:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

    Sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer ist.



    Um zu berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für höchstes $k$ Treffer $P(X \leq k)$ ist, addieren wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten, die hiermit gemeint sind:

    $P(X \leq k) = P (X=0) + P (X=1) + ... + P (X=k)$

    Wollen wir beispielsweise ermitteln, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für höchstens $3$ Treffer ist, entsteht folgende Rechnung:

    $P(X \leq 3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)$

    Abgebildet wird dies durch die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

    Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

    binomCdf($n,p,k$)

    Aufgrund dieser enormen Erleichterung der Berechnung von kumulierten Wahrscheinlichkeiten wird auch in allen anderen Formeln die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq k)$ verwendet.



    Wird in der Aufgabe nach der Wahrscheinlichkeit für weniger als $k$ Treffer $P(X < k)$ gefragt, sind alle Wahrscheinlichkeiten von der Trefferanzahl $0$ bis hin zu einer Trefferanzahl vor $k -1$ gemeint. Deshalb rechnen wir:

    $P(X < k) = P(X \leq k-1)$

    Wollen wir zum Beispiel herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für weniger als $3$ Treffer ist, ergibt sich diese Rechnung:

    $P(X \leq 3) = P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$



    Soll die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Treffer $P(X \geq k)$ ermittelt werden, betrachten wir nicht die kumulierte Wahrscheinlichkeit von $0$ bis $k$, sondern die kumulierte Wahrscheinlichkeit von $k$ bis zur Anzahl aller Befragten ($n$). Hierfür nutzen wir das Gegenereignis, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten, die eine kleinere Trefferanzahl haben, von $1$ abziehen. Das funktioniert, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer $1$ ergibt:

    $P(X \geq k) = 1- P(X \leq k-1)$

    Wollen wir feststellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens $3$ Treffer bei insgesamt $5$ Befragten ist, entsteht folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} P(X \geq 3) & = & 1- P(X \leq 2) \\ & = & 1- (P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)) \\ & = & P (X=3) + P (X=4) + P (X=5) \\ \end{array}$



    Zum Herausfinden der Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$, aber höchstens $m$ Treffer $P(k \leq X \leq m)$ betrachten wir ein Intervall inmitten der Bernoulli-Verteilung. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für höchstens $m$ Treffer und ziehen hiervon alle Wahrscheinlichkeiten mit weniger als $k$ Treffern ab:

    $P(k \leq X \leq m) = P(X \leq m) - P (X \leq k - 1)$

    Bestimmen wir beispielsweise, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens $3$ Treffer, aber höchstens $4$ Treffer bei insgesamt $5$ Befragten ist, ergibt sich diese Rechnung:

    $\begin{array}{lll} P(3 \leq X \leq 4) & = & P(X \leq 4) - P (X \leq 2) \\ & = & P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) + P (X=4) \\ &&~- P (X=0) - P (X=1) - P (X=2) \\ & = & P (X=3) + P (X=4) \\ \end{array}$

  • Interpretiere die Histogramme.

    Tipps

    Schaue dir die Histogramme genau an: Welche Wahrscheinlichkeiten sind farbig markiert?

    Diese sind alle in der passenden Rechnung enthalten.

    Auf dem Bild siehst du das Histogramm einer Binomialverteilung. Die markierten Säulen werden zur Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit herangezogen. Diese kann folgendermaßen bezeichnet werden:

    $P(X \leq 2)$ oder: $P(X < 3)$

    Lösung

    Hier ordnen wir Histogrammen die richtige Aufgabe zu, um die Bedeutung der verschiedenen Aufgabenstellungen zu veranschaulichen:

    Histogramme sind grafische Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie sind besonders nützlich, um die Wahrscheinlichkeiten zu einer bestimmten Trefferanzahl $k$ zu verbildlichen. Da kumulierte Wahrscheinlichkeiten eine Ansammlung mehrerer Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, sind in unseren Histogrammen mehrere Säulen farbig markiert. Die Gesamtwahrscheinlichkeit des farbigen Intervalls soll berechnet werden.

    Erstes Histogramm

    In Bild 1 sind die Säulen von $8$ bis $12$ farbig. Es soll demnach ermittelt werden, wie wahrscheinlich es ist, mindestens $8$, aber höchstens $12$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

    $P(8 \leq X \leq 12)= P (X=8) + ... + P (X=12)$

    Zweites Histogramm

    In Bild 2 sind die Säulen von der Trefferanzahl $7$ bis zur Anzahl der Gesamtbefragten farbig. Es soll daher bestimmt werden, wie wahrscheinlich es ist, mehr als $6$ oder mindestens $7$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

    $P(X > 6) = P(X \geq 6+1) = P(X \geq 7) = 1- P(X \leq 6)$

    Um die Aufgabe auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, nutzen wir das Gegenereignis, indem wir die Wahrscheinlichkeiten für höchstens $6$ Treffer von $1$ abziehen. Das funktioniert, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer $1$ ergibt.

    Drittes Histogramm

    In Bild 3 sind die Säulen von $0$ bis $6$ farbig. Es soll darum berechnet werden, wie wahrscheinlich es ist, höchstens $6$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

    $P(X \leq 6)= P (X=0) + ... + P (X=6)$

    Sie kann direkt mit der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k) $

    $\longrightarrow $ Taschenrechnerbefehl: binomCdf($n,p,k$)

    Viertes Histogramm

    In Bild 4 sind die Säulen von $5$ bis $10$ farbig. Es soll demnach ermittelt werden, wie wahrscheinlich es ist, mindestens $5$, aber höchstens $10$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

    $P(5 \leq X \leq 10)= P (X=5) + ... + P (X=10)$

    Fünftes Histogramm

    In Bild 5 sind die Säulen von der Trefferanzahl $10$ bis zur Anzahl der Gesamtbefragten farbig. Es soll daher bestimmt werden, wie wahrscheinlich es ist, mindestens $10$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

    $P(X \geq 10) = 1- P(X \leq 9)$

    Um die Aufgabe auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, nutzen wir das Gegenereignis, indem wir die Wahrscheinlichkeiten für höchstens $9$ Treffer von $1$ abziehen. Das funktioniert, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer $1$ ergibt.

    Sechstes Histogramm

    In Bild 6 sind die Säulen von $0$ bis $4$ farbig. Es soll darum berechnet werden, wie wahrscheinlich es ist, weniger als $5$ bzw. höchstens $4$ Treffer zu erzielen. Das entspricht dieser Aufgabe:

    $P(X < 5)=P(X \leq 5-1)=P(X \leq 4)= P (X=0) + ... + P (X=4)$

  • Überprüfe die Rechnungen.

    Tipps

    Vier Berechnungen sind richtig.

    Lies den Text genau und setze ein:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Würfe.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.

    Um die Trefferwahrscheinlichkeit beim Würfeln zu bestimmen, musst du erst alle Möglichkeiten zählen und diese den Trefferanzahlen gegenüberstellen. Wären beispielsweise nur $5$ und $6$ ein Treffer, würde die Trefferwahrscheinlichkeit folgendermaßen errechnet werden:

    $p= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

    Nutze die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

    $\longrightarrow$ Taschenrechnerbefehl: binomCdf($n,p,k$)

    Forme die Rechnungen entsprechend um.

    Lösung

    In dieser Aufgabe überprüfen wir die Berechnung verschiedener kumulierter Wahrscheinlichkeiten. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$ und $p$ zu bestimmen:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Würfe.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Wir würfeln $50$-mal:

    $n = 50$

    Alle geraden Augenzahlen gelten als Treffer:

    $p= \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,\!5$

    Um die gefragten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, nutzen wir die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

    Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

    binomCdf($n,p,k$)

    $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird. Dieser Parameter ändert sich in jeder unserer Teilaufgaben.


    Erste Aufgabe

    $P(X \leq 20)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens $20$ Treffer erzielt werden. Um diese zu ermitteln, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 20$ Treffer berechnen und sie addieren. Es ergibt sich hieraus folgende Rechnung:

    $k\leq 20$

    $\begin{array}{llll} P(X \leq 20)& = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 20)& \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,20) \\ & \approx & 0,\!1013 \\ &\approx & 0,\!101 \\ \end{array}$

    $P(X \leq 20) \approx 0,\!101$ ist richtig.

    Zweite Aufgabe

    $P(X \leq 17)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens $17$ Treffer erzielt werden. Um diese zu bestimmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 17$ Treffer berechnen und sie addieren. Es ergibt sich hieraus diese Rechnung:

    $k\leq 17$

    $\begin{array}{llll} P(X \leq 17)& = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 17)& \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,17) \\ & \approx & 0,\!0164 \\ &\approx & 0,\!016 \\ \end{array}$

    $P(X \leq 17) \approx 0,\!412$ ist falsch.


    Dritte Aufgabe

    $P(X < 25)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass weniger als $25$ Treffer erzielt werden. Hierfür berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 24$ Treffer und addieren sie:

    $k< 25$

    $\begin{array}{llll} P(X < 25) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 24)& \\ & = & P(X \leq 24) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,24) \\ & \approx & 0,\!4439 \\ &\approx & 0,\!444 \\ \end{array}$

    $P(X < 25) \approx 0,\!785$ ist falsch.

    Vierte Aufgabe

    $P(X < 19)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass weniger als $19$ Treffer erzielt werden. Hierfür berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 18$ Treffer und addieren sie:

    $k< 19$

    $\begin{array}{llll} P(X < 19) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 18)& \\ & = & P(X \leq 18) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,18) \\ & \approx & 0,\!0325\\ &\approx & 0,\!033\\ \end{array}$

    $P(X < 19) \approx 0,\!033$ ist richtig.


    Fünfte Aufgabe

    $P(X \geq 27)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens $27$ Treffer erzielt werden. Addiert werden die Wahrscheinlichkeiten für $27, 28, ... , 50$ Treffer:

    $k \geq 27$

    $\begin{array}{llll} P(X \geq 27) & = & P(X = 27) + P(X = 28) + ... + P(X = 50) & \\ & = & 1- P(X \leq 27-1) & \\ & = & 1- P(X \leq 26) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,26) \\ & \approx & 1-0,\!6641 \\ & \approx & 0,\!3359 \\ &\approx & 0,\!336 \\ \end{array}$

    $P(X \geq 27) \approx 0,\!436$ ist falsch.

    Sechste Aufgabe

    $P(X \geq 22)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens $22$ Treffer erzielt werden. Addiert werden die Wahrscheinlichkeiten für $ 22, 23, ... , 50$ Treffer:

    $k \geq 22$

    $\begin{array}{llll} P(X \geq 22) & = & P(X = 22) + P(X = 23) + ... + P(X = 50) & \\ & = & 1- P(X \leq 22-1) & \\ & = & 1- P(X \leq 21) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,21) \\ & \approx & 1-0,\!1611 \\ & \approx & 0,\!8389 \\ &\approx & 0,\!839 \\ \end{array}$

    $P(X \geq 22) \approx 0,\!839$ ist richtig.


    Siebte Aufgabe

    $P(17 \leq X \leq 30)$ definiert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $17$, aber höchstens $30$ Treffer erzielt werden. Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für $17, 18, ... , 30$ Treffer berechnen und addieren:

    $17 \leq k \leq 30$

    $\begin{array}{llll} P(17 \leq X \leq 30) & = & P(X = 17) + P(X = 18) + ... + P(X = 30) & \\ & = & P(X \leq 30) - P (X \leq 16) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,30) \\ & \approx & 0,\!9405 - P(X \leq 16) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,16) \\ & \approx & 0,\!9405 - 0,\!0077 \\ & \approx & 0,\!9328 \\ &\approx & 0,\!933 \\ \end{array}$

    $P(17 \leq X \leq 30) \approx 0,\!933$ ist richtig.

    Achte Aufgabe

    $P(15 \leq X \leq 25)$ definiert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $15$, aber höchstens $25$ Treffer erzielt werden. Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für $15, 16, ... , 25$ Treffer berechnen und addieren:

    ${15 \leq k \leq 25}$

    $\begin{array}{llll} P(15 \leq X \leq 25) & = & P(X = 15) + P(X = 16) + ... + P(X = 25) & \\ & = & P(X \leq 25) - P (X \leq 14) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,25) \\ & \approx & 0,\!5561 - P(X \leq 14) & \vert ~\text{binomCdf}(50,0.5,14) \\ & \approx & 0,\!5561 - 0,\!0013 \\ & \approx & 0,\!5548\\ &\approx & 0,\!555 \\ \end{array}$

    $P(15 \leq X \leq 25) \approx 0,\!728$ ist falsch.

  • Vervollständige die Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Lies den Text genau und setze ein:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Nutze den Taschenrechner, um zu ermitteln, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens zwei Personen interessiert sind:

    binomCdf($n,p,k$)

    Setze richtig ein.

    Lösung

    In dieser Aufgabe vervollständigen wir die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$, $p$ und $k$ zu bestimmen:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Wir befragen zehn Personen:

    $n = 10$

    Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $0,\!2$:

    $p = 0,\!2$

    Es ist gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens zwei Personen an unserem Thema interessiert sind. Die Anzahl der Treffer soll also kleiner gleich $2$ sein:

    $k \leq 2$

    Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu erhalten, dass wir höchstens $2$ Treffer landen, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten, die $k \leq 2$ beinhalten, addieren. Hieraus ergibt sich folgende Rechnung:

    $P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

    Am einfachsten ist es, den Wert mithilfe der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten auf unserem Taschenrechner abzurufen:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

    Hierfür brauchen wir folgenden Befehl:

    binomCdf($n,p,k$)

    Er summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$.

    Für unsere Aufgabe setzen wir $n$, $p$ und $k$ an der richtigen Stelle ein und erhalten hierdurch:

    binomCdf$(10,0.2,2) \approx 0,\!68$

    Umständlicher ist es, die Einzelwahrscheinlichkeiten zu ermitteln und zu summieren. Hierbei entstehen folgende Rechnungen:

    $P(X \leq 2) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)$

    $B_{10;~0,2} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{10}{0} \cdot 0,\!2^{0} \cdot (1-0,\!2)^{10-0} \approx 0,\!11$

    $B_{10;~0,2} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{10}{1} \cdot 0,\!2^{1} \cdot (1-0,\!2)^{10-1} \approx 0,\!27$

    $B_{10;~0,2} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{10}{2} \cdot 0,\!2^{2} \cdot (1-0,\!2)^{10-2} \approx 0,\!30$

    $P(X \leq 2) \approx 0,\!11+ 0,\!27 + 0,\!30 \approx 0,\!68$

  • Berechne die kumulierten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Lies den Text genau und setze ein:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Runde das Ergebnis. Es wird aufgerundet, wenn die vierte Stelle mindestens $5$ ist:

    $0,\!2365 \approx 0,\!237$

    Ist die Zahl kleiner als $5$, wird abgerundet. Die Ziffer an der dritten Stelle bleibt gleich:

    $0,\!2364 \approx 0,\!236 $

    Lösung

    In dieser Aufgabe berechnen wir verschiedene kumulierte Wahrscheinlichkeiten. Hierfür ist es wichtig, im Voraus $n$ und $p$ zu bestimmen:

    • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
    • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
    • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

    Wir befragen $20$ Personen:

    $n = 20$

    Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $40$ Prozent:

    $p = 0,\!4$

    Um die gefragten Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, nutzen wir die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für kumulierte Wahrscheinlichkeiten:

    $F_{n;~p} (k) = P(X \leq k) = P (X=0) + ... + P (X=k)$

    Sie summiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten für die Trefferanzahlen $0$ bis $k$ und ist auf unserem Taschenrechner durch folgenden Befehl abrufbar:

    binomCdf($n,p,k$)

    $k$ beschreibt, welche Trefferanzahl untersucht wird. Dieser Parameter ändert sich in jeder unserer Teilaufgaben.


    Erste Aufgabe

    Um die Wahrscheinlichkeit $P($„höchstens $8$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu bestimmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, ... , 8$ Personen addieren. Es ergibt sich hieraus folgende Rechnung:

    $k\leq 8$

    $ \begin{array}{llll} P(X \leq 8)& = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 8)& \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,8) \\ & \approx & 0,\!5955 \\ &\approx & 0,\!596 \\ \end{array}$


    Zweite Aufgabe

    Um die Wahrscheinlichkeit $P($„weniger als $5$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu berechnen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, 2, 3, 4$ Personen:

    $k< 5$

    $\begin{array}{llll} P(X < 5) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 4)& \\ & = & P(X \leq 4) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,4) \\ & \approx & 0,\!0509 \\ &\approx & 0,\!051 \\ \end{array}$


    Dritte Aufgabe

    Um die Wahrscheinlichkeit $P($„mindestens $8$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu ermitteln, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für $8, 9, ..., 20$ Personen addieren:

    $k \geq 8$

    $\begin{array}{llll} P(X \geq 8) & = & P(X = 8) + P(X = 9) + ... + P(X = 20) & \\ & = & 1- P(X \leq 8-1) & \\ & = & 1- P(X \leq 7) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,7) \\ & \approx & 1-0,\!4159 \\ & \approx & 0,\!5841 \\ &\approx & 0,\!584 \\ \end{array}$


    Vierte Aufgabe

    Um die Wahrscheinlichkeit $P($„mindestens $7$, aber höchstens $9$ Personen kennen den Begriff“$)$ zu bestimmen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten für $7, 8, 9$ Personen:

    $7 \leq k \leq 9$

    $\begin{array}{llll} P(7 \leq X \leq 9) & = & P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) & \\ & = & P(X \leq 9) - P (X \leq 6) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,9) \\ & \approx & 0,\!7553 - P(X \leq 6) & \vert ~\text{binomCdf}(20,0.4,6) \\ & \approx & 0,\!7553 - 0,\!2500 \\ & \approx & 0,\!5053 \\ &\approx & 0,\!505 \\ \end{array}$

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