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Binomialverteilung – Sigma-Regeln

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Lerntext zum Thema Binomialverteilung – Sigma-Regeln

Binomialverteilung: Sigma-Regeln – benötigtes Vorwissen

Für dieses Thema solltest du wissen, was eine Binomialverteilung ist. Zur Erinnerung:

Eine Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, die auf einem mehrstufigen Bernoulli-Experiment beruht. Dabei wird das Experiment $n$-mal unter den gleichen Bedingungen wiederholt. Es handelt sich also um ein „Ziehen mit Zurücklegen“.

Dazu ist es wichtig, sich mit der Bernoulli-Formel auszukennen:

Bei einem $n$-stufigen Bernoulli-Experiment berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit folgender Formel:

$P(X = k) = B_{n;p}(k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1~–~p)^{(n~–~k)}$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Wiederholungen, $p$ ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Auftritts des Ereignis $X$, $k$ ist die Anzahl der Treffer und $X$ ist die Zufallsvariable.

Weiterhin müssen die Begriffe Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bekannt sein.

Der Erwartungswert einer Binomialverteilung lautet:

$\mu = n \cdot p$

Die Varianz berechnet sich mit:

$\sigma^{2} = n \cdot p \cdot (1~–~p)$

Und für die Standardabweichung gilt:

$\sigma = \sqrt{\text{Varianz}}$

Binomialverteilung: Sigma-Regeln – Einführung

Bei der Binomialverteilung haben die Werte um den Erwartungswert die höchsten Wahrscheinlichkeiten, da dieser den wahrscheinlichsten (am ehesten erwarteten) Wert darstellt. Deswegen ist für eine intensivere Betrachtung der Ergebnisse des Zufallsexperiments der Bereich um den Erwartungswert von Interesse. Diesen kann man mithilfe der sogenannten Sigma-Regeln untersuchen.

Binomialverteilung: Sigma-Regeln – Definition

Die Sigma-Regeln können bei jeder binomialverteilten Zufallsgröße angewendet werden. Sie heißen Sigma-Regeln, weil sie sich die Standardabweichung zunutze machen, die im Allgemeinen mit dem griechischen Buchstaben Sigma ($\sigma$) bezeichnet wird. Damit wir angemessene Werte berechnen können, muss allerdings die Bedingung $\sigma > 3$ gelten, da dann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden kann.

Es existieren folgende Sigma-Regeln:

$1 \sigma$-Regel: $P(\mu~–~1\sigma \leq X \leq \mu + 1\sigma) \approx 0{,}683=68{,}3\,\%$

$2 \sigma$-Regel: $P(\mu~–~2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}955=95{,}5\,\%$

$3 \sigma$-Regel: $P(\mu~–~3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997=99{,}7\,\%$

Wir betrachten also immer ein Intervall um den Erwartungswert $\mu$, dessen Größe durch ganzzahlige Vielfache ($1$ bis $3$) der Standardabweichung $\sigma$ definiert ist, die jeweils vom Erwartungswert subtrahiert und zu diesem addiert werden. Grafisch kann man das so veranschaulichen:

Binomialverteilung und Sigma-Umgebungen

Damit sind in der $3 \sigma$-Umgebung so gut wie alle Ergebnisse eines binomialverteilten Zufallsexperiments enthalten.

Man kann auch andersherum von der Wahrscheinlichkeit ausgehen und die jeweilige Sigma-Umgebung bestimmen. Die Werte dafür lauten wie folgt:

Wahrscheinlichkeit Standardabweichung
$50\,\%$ $0{,}674 \sigma$
$80\,\%$ $1{,}281 \sigma$
$90\,\%$ $1{,}645 \sigma$
$95\,\%$ $1{,}960 \sigma$
$99\,\%$ $2{,}576 \sigma$

Das wollen wir uns nun anhand einer Beispielaufgabe anschauen.

Binomialverteilung: Sigma-Regeln – Beispiel

Tim muss eine Klassenarbeit schreiben. Die Klassenarbeit besteht aus $100$ Multiple-Choice-Fragen, die jeweils $5$ Antwortmöglichkeiten haben, von denen immer nur eine richtig ist. Er hat nicht gelernt und muss deswegen jede Antwort komplett willkürlich raten.

Die Ausgangssituation sieht so aus. Wir haben eine binomialverteilte Zufallsgröße, da es darum geht, ob er eine richtige oder eine falsche Antwort pro Aufgabe abgibt. Das Bernoulli-Experiment wird dabei $100$-mal wiederholt, da es $100$ Multiple-Choice-Fragen gibt, die beantwortet werden müssen. Also gilt $n = 100$. Die Wahrscheinlichkeit, eine richtige Antwort zu wählen, liegt bei $\frac15$, da nur eine Antwort von vier möglichen richtig ist. Also ist $p = \frac15$. Damit ergibt sich die Bernoulli-Formel:

$P(X = k) = B_{100;\frac15}(k) = \displaystyle \binom{100}{k} \cdot \left(\dfrac15 \right)^{k} \cdot \left(\dfrac45 \right)^{(100~–~k)}$

Außerdem erhalten wir den Erwartungswert $\mu = n \cdot p = 100 \cdot \frac15 = 20$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{\text{Varianz}} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1~–~p)} = \sqrt{100 \cdot \frac15 \cdot \frac45} = \sqrt{16} = 4$. Es gilt $\sigma > 3$, also können die Sigma-Regeln angewandt werden.

Grafisch sieht die Verteilung so aus:

Binomialverteilung

Normalerweise würden wir uns nun mithilfe der Formel die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Anzahl von Treffern anschauen, aber wir können uns auch mithilfe der Sigma-Regeln anschauen, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Ausgänge möglich sind. Der Erwartungswert liegt bei $\mu = 20$, also ist es am wahrscheinlichsten, dass Tim $20$ Fragen richtig beantwortet. Dieser Fall hat die Wahrscheinlichkeit:

$P(X = 20) = B_{100;\frac15}(20) = \displaystyle \binom{100}{20} \cdot \left(\dfrac15 \right)^{20} \cdot \left(\dfrac45 \right)^{(100~–~20)} \approx 0{,}1 = 10\,\%$

Die $1 \sigma$-Umgebung verrät uns, welches Intervall an richtigen Fragen eine Wahrscheinlichkeit von $68\,\%$ erfasst:

$P(\mu~–~1\sigma \leq X \leq \mu + 1\sigma) = P(20~–~4 \leq X \leq 20 + 4) = P(16 \leq X \leq 24) \approx 0{,}683$

Also ist es zu $68{,}3\,\%$ wahrscheinlich, dass Tim zwischen $16$ und $24$ Fragen richtig beantwortet, wenn er die Antworten willkürlich auswählt. Für das $2 \sigma$-Intervall gilt:

$P(\mu~–~2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) = P(20 – 8 \leq X \leq 20 + 8) = P(12 \leq X \leq 28) \approx 0,955$

Damit wählt Tim zwischen $12$ und $28$ richtige Fragen mit einer Wahrscheinlichkeit von $95{,}5\,\%$ aus.

Würden wir andersherum wissen wollen, wie groß das Intervall für eine Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$ aussieht, müssen wir uns des zugehörigen Werts aus der Tabelle bedienen, $0{,}674 \sigma$:

$P(\mu~–~0{,}674 \sigma \leq X \leq \mu + 0{,}674 \sigma) = P(20~–~2{,}696 \leq X \leq 20 + 2{,}696) = P(17{,}304 \leq X \leq 22{,}696) \approx 0{,}5$

Das Intervall läge also bei $[17{,}304; 22{,}696]$. Der Aufgabenkontext erfordert allerdings ganze Zahlen als Trefferanzahl, da Tim keine $17{,}304$ Fragen richtig beantworten kann. Deswegen müssen die Werte für eine im Aufgabenkontext korrekte Antwort gerundet werden und wir erhalten ein Intervall von $[17; 23]$.

Binomialverteilung: Sigma-Regeln – Zusammenfassung

Gilt bei einer Binomialverteilung, dass $\sigma > 3$ ist, kann diese durch eine Normalverteilung angenähert werden. Dann können durch die Sigma-Regeln Umgebungen um den Erwartungswert bestimmt werden, in denen die möglichen Ergebnisse des zugehörigen Bernoulli-Experiments eine bestimmte Wahrscheinlichkeit haben. Diese lauten:

Standardabweichung Wahrscheinlichkeit
$1 \sigma$ $68{,}3\,\%$
$2 \sigma$ $95{,}5\,\%$
$3 \sigma$ $99{,}7\,\%$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung: Sigma-Regeln

Was ist eine Glockenkurve?
Bedeuten $99\,\%$ bei der Sigma-Umgebung, dass ein Ergebnis in diesem Intervall die Wahrscheinlichkeit von $99\,\%$ hat?
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Vorschaubild einer Übung

Binomialverteilung – Sigma-Regeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Binomialverteilung – Sigma-Regeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Formel von Bernoulli und gib den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße an.

    Tipps

    Beispiel

    Du würfelst $15$-mal mit dem abgebildeten Würfel.

    Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu würfeln, beträgt $p=\frac13$.

    Dann gilt:

    • $E(X)=5$ und
    • $\sigma(X)\approx1,054$.

    $1-p$ ist ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, also die Wahrscheinlichkeit dafür, nicht zu treffen.

    Lösung

    Dies ist die Formel nach Bernoulli.

    Dabei ist $X$ eine Zufallsgröße, die jedem Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsversuchs die Anzahl $k$ der Treffer zuordnet. Hierfür steht „$X=k$“.

    Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist die Treffer- oder auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Damit ist $1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

    Merke dir:

    • $X$: Zufallsgröße
    • $k$: Anzahl der Treffer
    • $n-k$: Anzahl der Nichttreffer
    • $n$: Länge der Bernoullikette (Wie oft wird das Bernoulli-Experiment hintereinander durchgeführt?)
    • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
    • $1-p$: Misserfolgswahrscheinlichkeit
    Der Erwartungswert $E(X)$ sowie die Standardabweichung $\sigma(X)$ einer binomial verteilten Zufallsgröße $X$ lassen sich so berechnen:

    • $E(X)=n\cdot p$ und
    • $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.
  • Gib die $\sigma$-Regeln an.

    Tipps

    Beachte, dass der Erwartungswert $\mu$ ein Lageparameter ist. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ bewegen.

    Die Standardabweichung ist ein Streuungsparameter. Es ist ein Maß für die Streuung der Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert.

    Jede Sigma-Regel legt dabei ein Intervall fest.

    Je größer das betrachtete Intervall, desto größer die Wahrscheinlichkeit.

    Lösung

    Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist ein Lageparameter. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Ausprägungen der Zufallsgröße befinden.

    Da diese Ausprägungen durchaus von dem Erwartungswert abweichen können (man spricht von Streuung), wird auch noch ein Streuungsparameter betrachtet. Das ist die Standardabweichung.

    Die Standardabweichung ist ein Maß der Streuung. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die tatsächlichen Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert. Wie sehr diese streuen, beschreiben die Sigma-Regeln.

    Diese geben Abschätzungen für Intervallwahrscheinlichkeiten an. Dabei sehen die Intervalle so aus:

    $[\mu-k\cdot \sigma; \mu+k\cdot \sigma]$

    Dabei ist $k$ ein Vielfaches der Standardabweichung.

    Die $1$-$\sigma$-Regel

    $P(\mu-1\cdot \sigma\le X\le \mu+1\cdot \sigma)\approx 0,680$

    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person einen IQ-Wert hat, der in diesem Bereich ist, liegt bei ungefähr $0,680$. Das bedeutet, etwas weniger als $70~\%$ der gesamten Wahrscheinlichkeit sind bereits abgedeckt. Ebenso kannst du die folgenden Sigma-Regeln interpretieren.

    Die $2$-$\sigma$-Regel

    $P(\mu-2\cdot \sigma\le X\le \mu+2\cdot \sigma)\approx 0,955$

    Die $3$-$\sigma$-Regel

    $P(\mu-3\cdot \sigma\le X\le \mu+3\cdot \sigma)\approx 0,997$

    Hier, und auch bei der $2$-$\sigma$-Regel, siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert in diesem Bereich annimmt, schon sehr nahe bei $1$ ist.

    Andersherum ausgedrückt heißt dies, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert außerhalb dieses Bereiches annimmt, sehr klein wird. Dies kannst du auch in dem abgebildeten Histogramm am Beispiel der $2$-$\sigma$-Regel sehen. Außerhalb der roten vertikalen Linien ist nur noch sehr wenig (grau markierte) Fläche zu erkennen.

  • Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung.

    Tipps

    Wenn du mit einem handelsüblichen Spielwürfel $30$-mal würfelst, ist der Erwartungswert für das Ergebnis „Augenzahl $6$“ gegeben durch $30\cdot \frac16=5$.

    Bei Binomialverteilungen gilt: Wenn du den Erwartungswert mit der Gegenwahrscheinlichkeit von $p$ multiplizierst, erhältst du die Varianz.

    Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung.

    Lösung

    Zur Berechnung der Intervalle für die Sigma-Regeln musst du zunächst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ berechnen.

    • $\mu=n\cdot p$, also hier $\mu=60\cdot \frac16=10$
    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$, also hier $\sigma=\sqrt{60\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx2,887$
    Hinweis: Die hier dargestellten Formeln gelten für binomialverteilte Zufallsvariablen.

  • Ermittle die Intervalle für die Sigma-Regeln.

    Tipps

    Berechne zunächst den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

    Bei den Sigma-Regeln werden symmetrische Umgebungen des Erwartungswertes betrachtet. Diese haben als untere Grenze $\mu-k\cdot \sigma$ und als obere $\mu+k\cdot \sigma$.

    Zum Beispiel wird bei der $1$-$\sigma$-Regel einmal $1\cdot \sigma$ vom Erwartungswert subtrahiert und einmal $1\cdot \sigma$ zum Erwartungswert addiert.

    Hier ist $\mu=10$ und $\sigma\approx 2{,}887$.

    Lösung

    Bei den Sigma-Regeln wird jeweils eine Umgebung des Erwartungswertes betrachtet. Diese Umgebung ergibt sich üblicherweise durch Subtraktion oder Addition eines Vielfachen der Standardabweichung von (oder zu) dem Erwartungswert. Es wird also die folgende Wahrscheinlichkeit betrachtet:

    $P(\mu-k\cdot \sigma \le X\le\mu+k\cdot \sigma)\approx $ ...

    Hier folgt je nach dem Vielfachen $k$ der Standardabweichung eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit.

    Verwende im Folgenden $\mu=10$ sowie $\sigma\approx 2{,}887$.

    Die $1$-$\sigma$-Regel

    Addiere beziehungsweise subtrahiere $1\cdot\sigma$. Dies führt zu

    $P(7{,}113\le X\le12{,}887)\approx0{,}680$.

    Die $2$-$\sigma$-Regel

    Dieses Mal addierst beziehungsweise subtrahierst du $2\cdot \sigma$. Dies führt zu

    $P(4{,}226\le X\le15{,}774)\approx0{,}955$.

    Die $3$-$\sigma$-Regel

    Zuletzt machst du das Ganze noch einmal mit $3\cdot \sigma$ und kommst somit zu der folgenden Abschätzung:

    $P(1{,}339\le X\le18{,}661)\approx0{,}997$.

  • Benenne die Größen in der $\sigma$-Regel.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit $P(U\le X\le O)$ wird als Intervallwahrscheinlichkeit bezeichnet.

    Dabei nimmt die Zufallsgröße nur Ausprägungen an, die zwischen einer unteren Grenze $U$ und einer oberen Grenze $O$ liegen.

    Der Erwartungswert ist eine Lageparameter. Er gibt die Lage der Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ an. Demgegenüber ist die Standardabweichung ein Streuungsparameter.

    Lösung

    Bei der Binomialverteilung streuen die Werte (die Ausprägungen) der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert $\mu$.

    Deshalb wird häufig eine symmetrische Umgebung dieses Erwartungswertes betrachtet. Dazu betrachtet man das Intervall, was entsteht, wenn man diesen Wert vom Erwartungswert subtrahiert bzw. mit diesem addiert.

    Dabei kann die Standardabweichung auch mit einem Faktor versehen werden.

    Hier siehst du zum Beispiel die $1$-$\sigma$-Regel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für $X\in[\mu-1\cdot\sigma;\mu+1\cdot \sigma]$ ungefähr $0,680$ beträgt.

    Die entsprechenden Größen sind also

    • der Erwartungswert $\mu$,
    • die Standardabweichung $\sigma$,
    • die Zufallsgröße $X$
    • und die ungefähre Wahrscheinlichkeit $0,680$.
  • Gib die Intervallgrenzen für die Zufallsgröße an.

    Tipps
    • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist $p=0,3$.
    • Der Erwartungswert ist $\mu=n\cdot p$.

    Du erhältst $\mu=15$.

    Beachte, dass $X=k$ nur für natürliche Zahlen $k\in\{0;1;2;3;...;50\}$ gelten kann. Das bedeutet, dass sowohl die untere als auch die obere Grenze natürliche Zahlen sind.

    Die Standardabweichung ist $\sigma\approx 3,24$.

    Betrachte die folgenden Sigma-Regeln:

    • $P(\mu-1\cdot \sigma\le X\le \mu+1\cdot \sigma)\approx 0,680$
    • $P(\mu-2\cdot \sigma\le X\le \mu+2\cdot \sigma)\approx 0,955$
    • $P(\mu-3\cdot \sigma\le X\le \mu+3\cdot \sigma)\approx 0,997$
    Lösung

    In dieser Aufgabe kannst du an einem konkreten Beispiel eine Sigma-Regel üben. Da die näherungsweise Wahrscheinlichkeit mit $0{,}955$ gegeben ist, handelt es sich um die $2$-$\sigma$-Regel.

    Bestimme zunächst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$:

    • $\mu=n\cdot p=50\cdot 0{,}3=15$ und
    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7}\approx3{,}24$.
    Nun kannst du die Intervallgrenzen berechnen.

    • $\mu-2\cdot \sigma=15-2\cdot 3{,}24=8{,}52$
    • $\mu+2\cdot \sigma=15+2\cdot 3{,}24=21{,}48$
    Da diese Zahlen keine natürlichen Zahlen sind, rundest du die kleinere nach oben und die größere nach unten.

    Du kannst also folgende Intervallwahrscheinlichkeit angeben:

    $P(9\le X\le 21)\approx 0{,}955$.

    Übrigens: In diesem Beispiel kannst du diese Intervallwahrscheinlichkeit auch mit Hilfe von Tabellen zur kumulierten (summierten) Binomialverteilung berechnen. Dabei gehst du wie folgt vor.

    Es gilt $P(9\le X\le 21)=P(X\le21)-P(x\le 8)$. Die beiden rechten Wahrscheinlichkeiten kannst du aus einer Tabelle ablesen, die Wahrscheinlichkeiten zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten auflistet. Dies führt zu

    $P(X\le21)-P(x\le 8)=0{,}9749-0{,}0183=0{,}9566$.

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