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Binomialverteilung – Sigma-Regeln

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Die Autor/-innen
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Mandy F.
Binomialverteilung – Sigma-Regeln
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Binomialverteilung – Sigma-Regeln

Hallo, Die Binomialverteilung spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle, da man sie auch im Alltag gut gebrauchen kann. Die ein oder andere Regel kennst du auch schon. Doch von Sigma-Regeln hast du wahrscheinlich bisher noch nichts gehört. Daher lernst du in diesem Video diese Regeln anhand eines Beispiels kennen. Dazu wird dir die Binomialverteilung des IQs gezeigt und anhand dessen die Regeln erarbeitet. Am Ende erhältst du die Regeln im Überblick und weißt außerdem, ab welchem IQ man super schlau ist! Du wirst auch merken, dass dir die Sigma-Regeln doch nicht sooo unbekannt sind, wie du vielleicht denkst. Denn dein Wissen über die Standardabweichung wird dir hier eine große Hilfe sein!

Transkript Binomialverteilung – Sigma-Regeln

Hallo, hier ist Mandy! In diesem Video wird sich alles um das Thema Intelligenz drehen. Dabei wirst du unter anderem erfahren, wie viel Menschen wahnsinnig schlau sind und wie viele eher im Durchschnitt liegen. Dazu betrachten wir zuerst ein kleines Beispiel. Im Rahmen einer Studie machten 1.000 Schüler der Sekundarstufe II einen IQ-Test. Es ergab sich dann die folgende Binominalverteilung: Man konnte einen Erwartungswert von 100 und eine Standardabweichung von 15 ermitteln. Es liegen uns insbesondere die Ergebnisse eines IQ-Tests zweier Schülergruppen vor. In Gruppe I ergaben sich die folgenden Testwerte, und in der zweiten Gruppe diese Werte. Wir können sofort sehen, dass die Werte in der zweiten Gruppe viel mehr streuen als in der ersten. Man sagt dann, dass die Standardabweichung der zweiten Gruppe größer ist als die der ersten. Die Schüler fragen sich nun, ob sie im Durchschnitt liegen oder zu den besonders intelligenten Menschen gehören. In der Tat lassen sich die IQ-Werte in bestimmt Gruppen einteilen, die wir im Folgenden weiter betrachten wollen. Doch bevor wir uns dieser Thematik weiter nähern, wollen wir kurz das notwendige Grundwissen zur Binominalverteilung wiederholen. Eine wichtige Formel, die du dir dazu merken solltest, ist die Bernoulli-Formel. Mit ihr berechnet man die Wahrscheinlichkeit für Ergebnisse zu einer binominal verteilten Zufallsgröße. Sie lautet: B (k) unter der Voraussetzung, dass n und p gelten, ist gleich n über k • pk • (1-p)n-k. Zusätzlich kann man den Erwartungswert µ ermitteln, um eine Vorhersage zu dem eintreffenden Ergebnis machen zu können. Man berechnet ihn mit n ⋅ p. Bei dem IQ ist µ zum Beispiel 100. Wenn wir uns das Diagramm aber genauer ansehen, stellen wir fest, dass nicht alle Ergebnisse mit dem erwarteten Ergebnis übereinstimmen. Man sagt, die Werte der Zufallsgröße X streuen mehr oder weniger um den Erwartungswert. Um diese Streuung messen zu können, verwendet man die Varianz und die Standardabweichung. Die Varianz berechnet man bei binominal verteilten Zufallsgrößen durch n ⋅ p ⋅ (1-p). Dabei entstehen jemand quadrierte Einheiten. Deshalb nutzt man stattdessen die Standardabweichung, welche sich aus der Wurzel der Varianz berechnen lässt. Die Standardabweichung wird in diesem Video eine ganz besondere Rolle spielen. Man kann nämlich für diese Größe ganz besondere Regeln entdecken. Da die Standardabweichung allgemein mit Sigma angegeben wird, nennt man sie auch Sigma-Regeln. Dazu schauen wir uns als Beispiel noch einmal das Diagramm zur Verteilung des IQs an. Zur Erinnerung: Die Standardabweichung ist 15. Um den Erwartungswert µ entsteht ein Intervall von einschließlich 85 bis einschließlich 115. Die Flächeninhalte der Balken innerhalb dieses Intervalls beschreiben die Wahrscheinlichkeit in einem Sigma-Intervall. Es ergibt dann eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch einen IQ in dem Bereich von 85 und 115 hat von rund 0,680. Für die 1σ-Regel gilt allgemein, P (µ- 1σ ≤ x ≤ µ + 1σ) ≈ 0,680. Da der Erwartungswert genau in der Mitte dieses Bereichs liegt, teilt sich die Fläche jeweils 34 Prozent auf. Man kann darüber hinaus die betrachtete Fläche noch weiter fassen und den 2-σ-Bereich betrachten. In dem Bereich von einschließlich 70 bis einschließlich 130 liegen bereits 95,5 Prozent der Bevölkerung. Für die 2σ-Regel gilt allgemein: P (µ - 2σ ≤ x ≤ µ + 2σ) ≈ 0,955. Die Flächen rechts und links vom Erwartungswert umfassen dann also jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 47,75 Prozent. Manchmal fasst man sogar den Bereich noch weiter bis hin zu 3σ. In unserem Beispiel bilden sich die Intervallgrenzen 55 und 145. Die Wahrscheinlichkeit wird dann aber nicht viel größer als im 2σ-Bereich, da die Balken bereits sehr flach sind und somit nicht mehr viel Flächen hinzukommt. Dieser IQ-Bereich von einschließlich 55 bis einschließlich 145 umfasst insgesamt 99,7 Prozent der Bevölkerung. Allgemein gilt für die 3-σ-Regel: P(µ - 3σ ≤ x ≤ µ + 3σ) ≈ 0,997. Das heißt, fast alle Ergebnisse liegen in diesem Intervall. Betrachtet man wieder die Fläche links und rechts vom Erwartungswert einzeln, so ergeben sich jeweils 49,85 Prozent. Allgemein kann man sagen, dass der IQ in der Bevölkerung annähernd normal verteilt ist. Wenn man die einzelnen Abschnitte an sich betrachtet, ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten. So besitzen 2,3 Prozent der Bevölkerung einen IQ zwischen 130 und einschließlich 145. Es gibt auch Menschen, die außerhalb dieses Bereichs liegen. So schätzt man, dass Berühmtheiten wie Albert Einstein, Johann Wolfgang von Goethe und Leonardo Da Vinci zum Teil WEIT darüber liegen. So hatte Albert Einstein schätzungsweise einen IQ von 160, Goethe sogar einen von 210 und der scheinbar der Genialste der Berühmtheiten ist Da Vinci mit einem IQ von 220. Diese Werte sind aber nicht sicher und man sollte beachten, dass keiner von ihnen je einen Test der heutigen Zeit gemacht hat. Und wahre Intelligenz nicht mit einem von Tests festgelegten Wert zu messen ist. Übrigens: Unsere Schülergruppe I aus dem Einstiegsbeispiel mit dem geringsten Wert von 89 und dem größten Wert von 110 liegt komplett im 1σ-Bereich und ist daher durchschnittlich intelligent. Dagegen liegt die zweite Gruppe mit dem kleinsten Wert von 75 und dem größten Wert von 130 im 2σ-Bereich. Damit umfasst diese Gruppe nicht nur durchschnittlich intelligente Schüler, sondern auch weniger intelligente und SEHR intelligente Schüler. Diese Einteilung der Bereiche kann man bei jeder binominal verteilten Zufallsgröße beobachten. Daher können wir unsere beobachteten Regeln allgemein für jede binominal verteilte Zufallsgröße X wie folgt formulieren: Die 1σ-Regel gibt für die Wahrscheinlichkeit von µ - 1σ ≤ X ≤ µ + 1σ den gerundeten Wert 0,680 an. Analog gelten für die 2σ-Regel der Wert 0,955 und die 3σ-Regel der Wert 0,997. Zur Erinnerung: Die Standardabweichung Sigma berechnet man durch die Formel: σ = √ n ⋅ p ⋅ (1-p). Diese Werte können für große Stichprobenumfänge jedoch nur näherungsweise berechnet werden. In der Regel verlangt man dann zur Erhöhung der Genauigkeit der Werte, dass die Standardabweichung größer als drei ist. Die betrachteten Wahrscheinlichkeiten umfassen relativ ungerade Werte, daher nutzt man manchmal auch noch andere Sigma-Bereiche. Wenn man zum Beispiel wissen möchte, wie groß die Standardabweichung von der Hälfte der Fläche, also einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent ist, so ist dies 0,674 σ. Weitere besondere Wertepaare kannst du der folgenden Übersicht entnehmen. In diesem Fall spricht man dann zum Beispiel von der 99-Prozent-Regel. Das war es schon wieder von mir! Daher sage ich nun: bye bye und bis zum nächsten Mal!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Super gutes Video ... Sehr verständlich !! :)

    Von Fady S., vor etwa 5 Jahren

Binomialverteilung – Sigma-Regeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilung – Sigma-Regeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Formel von Bernoulli und gib den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße an.

    Tipps

    Beispiel

    Du würfelst $15$-mal mit dem abgebildeten Würfel.

    Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu würfeln, beträgt $p=\frac13$.

    Dann gilt:

    • $E(X)=5$ und
    • $\sigma(X)\approx1,054$.

    $1-p$ ist ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, also die Wahrscheinlichkeit dafür, nicht zu treffen.

    Lösung

    Dies ist die Formel nach Bernoulli.

    Dabei ist $X$ eine Zufallsgröße, die jedem Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsversuchs die Anzahl $k$ der Treffer zuordnet. Hierfür steht „$X=k$“.

    Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist die Treffer- oder auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Damit ist $1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

    Merke dir:

    • $X$: Zufallsgröße
    • $k$: Anzahl der Treffer
    • $n-k$: Anzahl der Nichttreffer
    • $n$: Länge der Bernoullikette (Wie oft wird das Bernoulli-Experiment hintereinander durchgeführt?)
    • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
    • $1-p$: Misserfolgswahrscheinlichkeit
    Der Erwartungswert $E(X)$ sowie die Standardabweichung $\sigma(X)$ einer binomial verteilten Zufallsgröße $X$ lassen sich so berechnen:

    • $E(X)=n\cdot p$ und
    • $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.
  • Gib die $\sigma$-Regeln an.

    Tipps

    Beachte, dass der Erwartungswert $\mu$ ein Lageparameter ist. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ bewegen.

    Die Standardabweichung ist ein Streuungsparameter. Es ist ein Maß für die Streuung der Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert.

    Jede Sigma-Regel legt dabei ein Intervall fest.

    Je größer das betrachtete Intervall, desto größer die Wahrscheinlichkeit.

    Lösung

    Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist ein Lageparameter. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Ausprägungen der Zufallsgröße befinden.

    Da diese Ausprägungen durchaus von dem Erwartungswert abweichen können (man spricht von Streuung), wird auch noch ein Streuungsparameter betrachtet. Das ist die Standardabweichung.

    Die Standardabweichung ist ein Maß der Streuung. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die tatsächlichen Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert. Wie sehr diese streuen, beschreiben die Sigma-Regeln.

    Diese geben Abschätzungen für Intervallwahrscheinlichkeiten an. Dabei sehen die Intervalle so aus:

    $[\mu-k\cdot \sigma; \mu+k\cdot \sigma]$

    Dabei ist $k$ ein Vielfaches der Standardabweichung.

    Die $1$-$\sigma$-Regel

    $P(\mu-1\cdot \sigma\le X\le \mu+1\cdot \sigma)\approx 0,680$

    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person einen IQ-Wert hat, der in diesem Bereich ist, liegt bei ungefähr $0,680$. Das bedeutet, etwas weniger als $70~\%$ der gesamten Wahrscheinlichkeit sind bereits abgedeckt. Ebenso kannst du die folgenden Sigma-Regeln interpretieren.

    Die $2$-$\sigma$-Regel

    $P(\mu-2\cdot \sigma\le X\le \mu+2\cdot \sigma)\approx 0,955$

    Die $3$-$\sigma$-Regel

    $P(\mu-3\cdot \sigma\le X\le \mu+3\cdot \sigma)\approx 0,997$

    Hier, und auch bei der $2$-$\sigma$-Regel, siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert in diesem Bereich annimmt, schon sehr nahe bei $1$ ist.

    Andersherum ausgedrückt heißt dies, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert außerhalb dieses Bereiches annimmt, sehr klein wird. Dies kannst du auch in dem abgebildeten Histogramm am Beispiel der $2$-$\sigma$-Regel sehen. Außerhalb der roten vertikalen Linien ist nur noch sehr wenig (grau markierte) Fläche zu erkennen.

  • Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung.

    Tipps

    Wenn du mit einem handelsüblichen Spielwürfel $30$-mal würfelst, ist der Erwartungswert für das Ergebnis „Augenzahl $6$“ gegeben durch $30\cdot \frac16=5$.

    Bei Binomialverteilungen gilt: Wenn du den Erwartungswert mit der Gegenwahrscheinlichkeit von $p$ multiplizierst, erhältst du die Varianz.

    Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung.

    Lösung

    Zur Berechnung der Intervalle für die Sigma-Regeln musst du zunächst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ berechnen.

    • $\mu=n\cdot p$, also hier $\mu=60\cdot \frac16=10$
    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$, also hier $\sigma=\sqrt{60\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx2,887$
    Hinweis: Die hier dargestellten Formeln gelten für binomialverteilte Zufallsvariablen.

  • Ermittle die Intervalle für die Sigma-Regeln.

    Tipps

    Berechne zunächst den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

    Bei den Sigma-Regeln werden symmetrische Umgebungen des Erwartungswertes betrachtet. Diese haben als untere Grenze $\mu-k\cdot \sigma$ und als obere $\mu+k\cdot \sigma$.

    Zum Beispiel wird bei der $1$-$\sigma$-Regel einmal $1\cdot \sigma$ vom Erwartungswert subtrahiert und einmal $1\cdot \sigma$ zum Erwartungswert addiert.

    Hier ist $\mu=10$ und $\sigma\approx 2{,}887$.

    Lösung

    Bei den Sigma-Regeln wird jeweils eine Umgebung des Erwartungswertes betrachtet. Diese Umgebung ergibt sich üblicherweise durch Subtraktion oder Addition eines Vielfachen der Standardabweichung von (oder zu) dem Erwartungswert. Es wird also die folgende Wahrscheinlichkeit betrachtet:

    $P(\mu-k\cdot \sigma \le X\le\mu+k\cdot \sigma)\approx $ ...

    Hier folgt je nach dem Vielfachen $k$ der Standardabweichung eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit.

    Verwende im Folgenden $\mu=10$ sowie $\sigma\approx 2{,}887$.

    Die $1$-$\sigma$-Regel

    Addiere beziehungsweise subtrahiere $1\cdot\sigma$. Dies führt zu

    $P(7{,}113\le X\le12{,}887)\approx0{,}680$.

    Die $2$-$\sigma$-Regel

    Dieses Mal addierst beziehungsweise subtrahierst du $2\cdot \sigma$. Dies führt zu

    $P(4{,}226\le X\le15{,}774)\approx0{,}955$.

    Die $3$-$\sigma$-Regel

    Zuletzt machst du das Ganze noch einmal mit $3\cdot \sigma$ und kommst somit zu der folgenden Abschätzung:

    $P(1{,}339\le X\le18{,}661)\approx0{,}997$.

  • Benenne die Größen in der $\sigma$-Regel.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit $P(U\le X\le O)$ wird als Intervallwahrscheinlichkeit bezeichnet.

    Dabei nimmt die Zufallsgröße nur Ausprägungen an, die zwischen einer unteren Grenze $U$ und einer oberen Grenze $O$ liegen.

    Der Erwartungswert ist eine Lageparameter. Er gibt die Lage der Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ an. Demgegenüber ist die Standardabweichung ein Streuungsparameter.

    Lösung

    Bei der Binomialverteilung streuen die Werte (die Ausprägungen) der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert $\mu$.

    Deshalb wird häufig eine symmetrische Umgebung dieses Erwartungswertes betrachtet. Dazu betrachtet man das Intervall, was entsteht, wenn man diesen Wert vom Erwartungswert subtrahiert bzw. mit diesem addiert.

    Dabei kann die Standardabweichung auch mit einem Faktor versehen werden.

    Hier siehst du zum Beispiel die $1$-$\sigma$-Regel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für $X\in[\mu-1\cdot\sigma;\mu+1\cdot \sigma]$ ungefähr $0,680$ beträgt.

    Die entsprechenden Größen sind also

    • der Erwartungswert $\mu$,
    • die Standardabweichung $\sigma$,
    • die Zufallsgröße $X$
    • und die ungefähre Wahrscheinlichkeit $0,680$.
  • Gib die Intervallgrenzen für die Zufallsgröße an.

    Tipps
    • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist $p=0,3$.
    • Der Erwartungswert ist $\mu=n\cdot p$.

    Du erhältst $\mu=15$.

    Beachte, dass $X=k$ nur für natürliche Zahlen $k\in\{0;1;2;3;...;50\}$ gelten kann. Das bedeutet, dass sowohl die untere als auch die obere Grenze natürliche Zahlen sind.

    Die Standardabweichung ist $\sigma\approx 3,24$.

    Betrachte die folgenden Sigma-Regeln:

    • $P(\mu-1\cdot \sigma\le X\le \mu+1\cdot \sigma)\approx 0,680$
    • $P(\mu-2\cdot \sigma\le X\le \mu+2\cdot \sigma)\approx 0,955$
    • $P(\mu-3\cdot \sigma\le X\le \mu+3\cdot \sigma)\approx 0,997$
    Lösung

    In dieser Aufgabe kannst du an einem konkreten Beispiel eine Sigma-Regel üben. Da die näherungsweise Wahrscheinlichkeit mit $0{,}955$ gegeben ist, handelt es sich um die $2$-$\sigma$-Regel.

    Bestimme zunächst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$:

    • $\mu=n\cdot p=50\cdot 0{,}3=15$ und
    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7}\approx3{,}24$.
    Nun kannst du die Intervallgrenzen berechnen.

    • $\mu-2\cdot \sigma=15-2\cdot 3{,}24=8{,}52$
    • $\mu+2\cdot \sigma=15+2\cdot 3{,}24=21{,}48$
    Da diese Zahlen keine natürlichen Zahlen sind, rundest du die kleinere nach oben und die größere nach unten.

    Du kannst also folgende Intervallwahrscheinlichkeit angeben:

    $P(9\le X\le 21)\approx 0{,}955$.

    Übrigens: In diesem Beispiel kannst du diese Intervallwahrscheinlichkeit auch mit Hilfe von Tabellen zur kumulierten (summierten) Binomialverteilung berechnen. Dabei gehst du wie folgt vor.

    Es gilt $P(9\le X\le 21)=P(X\le21)-P(x\le 8)$. Die beiden rechten Wahrscheinlichkeiten kannst du aus einer Tabelle ablesen, die Wahrscheinlichkeiten zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten auflistet. Dies führt zu

    $P(X\le21)-P(x\le 8)=0{,}9749-0{,}0183=0{,}9566$.

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