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Laplace-Experimente – Überblick 06:13 min

Textversion des Videos

Transkript Laplace-Experimente – Überblick

Bei Familie Glücklich werden die Aufgaben im Haushalt zufällig verteilt. Die Eltern von Ben haben dazu ein faires Glücksrad aufgestellt. Fair ist es deshalb, weil alle Segmente gleich groß sind. Nach dem Mittagessen muss das Geschirr gespült werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss BEN den Abwasch erledigen? Das können wir mit Hilfe von Laplace-Experimenten berechnen. Hier verschaffen wir uns einen Überblick Laplace-Experimente sind Zufallsversuche. Für einen Zufallsversuch musst du einen Vorgang ohne Veränderung wiederholen können, zum Beispiel immer das selbe Glücksrad drehen. Trotzdem kannst du bei einem Zufallsversuch das Ergebnis nicht vorhersagen. Wenn wir das Glücksrad einmal drehen, können DREI Ergebnisse zufällig eintreten: Vater, Mutter oder Ben. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge. Nach einem Zufallsversuch kannst du untersuchen, ob ein bestimmtes EREIGNIS eingetreten ist. Zum Beispiel kannst du beim Glücksrad untersuchen, ob ein Erwachsener ausgewählt wurde. Dieses Ereignis E für Erwachsener setzt sich aus den beiden Ergebnissen Vater und Mutter zusammen. Ereignisse sind also Teilmengen der Ergebnismenge. Wenn ein Ereignis nur aus einem einzigen Ergebnis besteht, nennt man es Elementarereignis. Beim Glücksrad kannst du zum Beispiel untersuchen, ob ein Kind ausgewählt wurde. Dieses Ereignis K für Kind besteht nur aus dem Ergebnis Ben und ist deshalb ein Elementarereignis. Nun ist ein Zufallsversuch genau dann ein Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Tatsächlich ist das Drehen an unserem Glücksrad also ein Laplace-Experiment. Denn alle drei Abschnitte sind gleich groß, jeder Abschnitt wird daher mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gedreht. Aber WIE groß ist diese Wahrscheinlichkeit genau? Stell dir vor, die Wahrscheinlichkeit verhält sich wie eine Flüssigkeit. Wenn du eine Flüssigkeit gleichmäßig auf drei Gefäße verteilst, ist in jedem davon ein Drittel der Flüssigkeit enthalten. Die Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich bei einem Laplace-Experiment gleichmäßig auf die Elementarereignisse, weil sie gleich wahrscheinlich sind. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine der drei Personen gedreht wird — 100 %, also 1. Weil es hier drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, haben alle die Wahrscheinlichkeit ein Drittel. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit musst du also nur wissen, WIE VIELE Elementarereignisse es gibt. Die Wahrscheinlichkeit für EIN Elementarereignis beträgt dann 1 geteilt durch die Anzahl der Elementarereignisse. Typische Beispiele für Laplace-Experimente sind das einmalige Würfeln oder das Werfen einer Münze. Bei einem Würfel verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die sechs möglichen Elementarereignisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Augen zu würfeln Jedes Elementarereignis hat also die Wahrscheinlichkeit ... ein Sechstel. Zurück zu Familie Glücklich. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ben um den Abwasch kümmern muss, beträgt, wie wir gesehen haben, ein Drittel. Mit dem Glücksrad bestimmt Familie Glücklich aber auch, wer für den Müll zuständig ist. Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ERWACHSENER den Müll rausbringen muss? Das ist ein zusammengesetztes Ereignis, denn sowohl Bens Mutter als auch sein Vater sind Erwachsene. Das Ereignis E für "Erwachsener" besteht also aus zwei Elementarereignissen: Mutter und Vater. Man schreibt es SO. Das Ereignis E tritt also dann ein, wenn entweder der Vater oder die Mutter ausgewählt werden. Von den insgesamt drei MÖGLICHEN Fällen passen also zwei zum gesuchten Ereignis. Man sagt, diese zwei sind GÜNSTIG für das Ereignis. Wie kannst du also die Wahrscheinlichkeit P von E berechnen? Stell dir vor, du würdest zwei der drei Gefäße mit der Flüssigkeit zusammenschütten. Dann hättest du ein Gefäß mit zwei Dritteln der Flüssigkeit. Genauso beträgt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erwachsener beim Glücksrad gedreht wird, zwei Drittel. Du musst bei Laplace-Experimenten also lediglich zählen, wie viele Elementarereignisse "günstig" für das gesuchte Ereignis sind und wie viele Elementarereignisse "möglich" sind, also überhaupt eintreten könnten. Die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis berechnest du dann als "günstige" geteilt durch "mögliche". Wir fassen zusammen: Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E berechnen, indem du zunächst die Anzahl aller MÖGLICHEN Ergebnisse zählst. Dann prüfst du, wie viele Ergebnisse davon zum gesuchten Ereignis passen - das ist die Anzahl der GÜNSTIGEN Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Kurz gesagt: Günstige durch Mögliche. Wie steht es denn um Familie Glücklich und ihr Glücksrad? Wie ungünstig.

7 Kommentare
  1. Default

    VALLAH EHRENMANN, HAB ES DANK EUCH ENDLICH VERSTANDEN,IHR PICS

    Von Madler1104, vor 8 Tagen
  2. 8

    vorallem durch die Übungen konnte ich das Thema verstehen. Wir schreien morgen eine Arbeit und sollten uns das Wissen zuhause selbst eintrichtern. Dank euch habe ich es endlich verstanden:-)

    Von Marla M., vor etwa einem Monat
  3. Florian huge 2017

    Hallo A Huebsch,
    ein Zufallsexperiment hat ja immer einen Ergebnisraum. Dieser Ergebnisraum fasst alle möglichen Ergebnisse dar, die bei einmaliger Durchführung auftreten können. Das wäre hier {Mutter; Vater; Kind}.
    Nun kann man sich auch verschiedene Ergebnisse anschauen, die einen interessieren, zum Beispiel, dass ein Erwachsener gedreht wird. Für dieses Ereignis ist die Teilmenge {Mutter; Vater}. Es gibt aber auch Ereignisse, die nur ein einziges Element enthalten, zum Beispiel, dass jemand nicht erwachsenes gedreht wird, denn das wäre ja nur das eine Kind. Die Teilmenge zu diesem Ereignis ist also {Kind}.
    Nun gilt folgendes: Ein Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis.
    Das Ereignis "Nicht erwachsene Person wird gedreht" ist also ein Elementarereignis, weil es nur ein Element enthält.
    Nehmen wir mal an, das Kind ist ein Junge und man schaut sich das Ereignis "weibliche Person wird gedreht" an, dann ist es auch ein Elementarereignis, da ja nur die Mutter weiblich ist und die Teilmenge {Mutter} wäre. Die Mutter ist nun also Element eines Elementarereignisses geworden, obwohl sie beim Ereignis "Erwachsener wird gedreht" nicht Teil eines Elementarereignisses ist. Es kommt also immer darauf an, wie ein Ereignis formuliert ist und welche Elemente die entsprechende Teilmenge enthält.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Florian H., vor 3 Monaten
  4. Sensenmann

    Ich habe immer noch nicht so richtig verstanden was ein Elementarereignis ist.

    Von A Huebsch, vor 3 Monaten
  5. Sensenmann

    Zuerst sind die Eltern ein Ereignis und dann auf einmal beide jeweils ein Elementarereignis??

    Von A Huebsch, vor 3 Monaten
  1. Default

    Toll

    Von Richa J., vor 5 Monaten
  2. Katze lernt

    Super! Ein echt tolles Video. Man versteht es echt sehr einfach und schnell! Ich hoffe auf mehr solcher Videos ;-)

    Von Timo L., vor 7 Monaten
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Laplace-Experimente – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Laplace-Experimente – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses des gegebenen Laplace-Experimentes.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment berechnest du wie folgt:

    $\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl der Elementarereignisse}}$.

    Die Ergebnismenge enthält die drei Elementarereignisse Ben, Vater und Mutter.

    Lösung

    Es handelt sich bei dem Hausarbeiten-Glücksrad der Familie Glücklich um ein Glücksrad mit drei gleich großen Segmenten. Dreht man das Glücksrad einmal, so können drei Ergebnisse zufällig eintreten: Vater, Mutter oder Ben. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge, also:

    $\{\text{Ben; Vater; Mutter}\}$.

    Bei einem Zufallsversuch kann man untersuchen, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt. Wenn ein Ereignis aus einem einzigen Ergebnis besteht, so nennt man dieses ein Elementarereignis. Ein Beispiel: „Ben muss den Abwasch erledigen.“:

    $K=\{\text{Ben}\}$.

    Das Drehen an einem Glücksrad mit gleich großen Segmenten ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nämlich:

    $\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl der Elementarereignisse}}$.

    Die Gesamtwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine der drei Personen gedreht wird, entspricht $1$. Da es hier drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, muss Ben mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 13$ den Abwasch erledigen.

  • Gib an, welches der folgenden Zufallsexperimente ein Laplace-Experiment ist.

    Tipps

    Bei einem Laplace-Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.

    Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

    Betrachte folgendes Zufallsexperiment:

    Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $1$, $1$, $3$, $4$ und $5$. Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

    • $P({1})=\frac 12$,
    • $P({3})=\frac 16$,
    • $P({4})=\frac 16$,
    • $P({5})=\frac 16$.
    Lösung

    Bei einem Laplace-Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

    Also betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse der gegebenen Zufallsexperimente:

    Beispiel 1

    Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $2$, $2$, $3$, $4$ und $5$. Es ist:

    • $P({1})=\frac 16$,
    • $P({2})=\frac 13$,
    • $P({3})=\frac 16$,
    • $P({4})=\frac 16$,
    • $P({5})=\frac 16$.
    Dieses ist somit kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

    Beispiel 2

    Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Es ist:

    • $P({1})=\frac 16$,
    • $P({2})=\frac 16$,
    • $P({3})=\frac 16$,
    • $P({4})=\frac 16$,
    • $P({5})=\frac 16$,
    • $P({6})=\frac 16$.
    Dieses ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

    Beispiel 3

    Drehen eines Glücksrades mit $10$ gleich großen Segmenten.

    Dieses ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse, also alle Segmente, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, da sie gleich groß sind.

    Beispiel 4

    Drehen eines Glücksrades mit $10$ Segmenten, von denen je zwei gleich groß sind.

    Dieses ist kein Laplace-Experiment, da nicht alle Elementarereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, weil nicht alle Segmente gleich groß sind.

    Beispiel 5

    Ziehen eines Loses aus einem Lostopf mit dreimal so vielen Nieten wie Gewinnen.

    Dieses ist kein Laplace-Experiment, da das Elementarereignis „Ziehen einer Niete“ wahrscheinlicher ist als das Elementarereignis „Ziehen eines Gewinns“. Hier gibt es also unterschiedlich große Wahrscheinlichkeiten.

    Beispiel 6

    Werfen einer Münze.

    Dieses ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu werfen, je $\frac 12$ ist, die Wahrscheinlichkeiten sind also gleich groß.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$.

    Tipps

    In der Ergebnismenge sind alle möglichen Elementarereignisse enthalten.

    Schau dir das folgende Beispiel an.

    Betrachte zum Laplace-Experiment „einmaliges Würfeln“ folgendes Ereignis:

    $E=\{\text{Würfeln einer geraden Zahl}\}$.

    Hier gibt es drei günstige Elementarereignisse, nämlich die geraden Zahlen $2$, $4$ und $6$. Die Ergebnismenge setzt sich aus sechs möglichen Elementen mit je der gleichen Wahrscheinlichkeit zusammen. Es gilt dann:

    $P(E)=\frac 36=\frac 12$.

    Das Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

    Lösung

    Es ist ein Glücksrad mit drei gleich großen Segmenten Ben, Mutter und Vater gegeben. Die Ergebnismenge dieses Glücksrades lautet also wie folgt:

    $\{\text{Ben; Mutter; Vater}\}$.

    Wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Drehen des Glücksrades ein Erwachsener eintritt. Wir betrachten also das folgende Ereignis:

    $E=\{\text{Mutter; Vater}\}$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen wir wie folgt:

    $\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}$.

    Die Anzahl günstiger Elementarereignisse beträgt hier $2$, nämlich die beiden Elementarereignisse Mutter und Vater. Und $3$ Elementarereignisse sind möglich. Somit wird die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$ wie folgt berechnet:

    $P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}=\frac 23$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse.

    Tipps

    Teile die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse.

    Um auf die zweite Stelle nach dem Komma zu runden, schaust du dir die dritte Stelle hinter dem Komma an:

    • Bei einer $0$ bis $4$ wird abgerundet.
    • Bei einer $5$ bis $9$ wird aufgerundet.
    Lösung

    Wir betrachten ein Glücksrad mit sieben gleich großen Segmenten, welche von $1$ bis $7$ nummeriert sind, und die folgenden Ereignisse:

    • $M=\{1;2;5;6\}$,
    • $K=\{1;3;6\}$ und
    • $L=\{1;2;4;5;6\}$.
    Wir möchten berechnen, wie wahrscheinlich das Eintreten dieser Ereignisse ist. Hierzu teilen wir die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse. Die Anzahl möglicher Elementarereignisse entspricht $7$. Die Anzahl günstiger Elementarereignisse ist die jeweilige Anzahl angegebener Wunschziele. Dabei möchten wir die Wahrscheinlichkeiten auf zwei Nachkommastellen runden. Wir erhalten:

    • $P(M)=\frac 47\approx 0,57$,
    • $P(K)=\frac 37\approx 0,43$ und
    • $P(L)=\frac 57\approx 0,71$.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Elementarereignisse.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment berechnest du wie folgt:

    $\frac{1}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Beim Drehen eines Glücksrads mit $12$ gleich großen Segmenten tritt ein Elementarereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 1{12}$ ein.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment erhalten wir wie folgt:

    $\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$.

    Die Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht $1$, sodass sich der Ausdruck wie folgt vereinfacht:

    $\frac{1}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$.

    Für die gegebenen Beispiele erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Elementarereignisse:

    Laplace-Glücksrad mit $4$ Segmenten

    • $P=\frac 14$
    Laplace-Würfel mit $6$ Flächen

    • $P=\frac 16$
    Laplace-Münze

    • $P=\frac 12$
    Laplace-Glücksrad mit $5$ Segmenten

    • $P=\frac 15$
  • Ermittle die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhältst du, wenn du die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse teilst.

    Die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse eines Laplace-Würfels, welcher mit den Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ beschriftet ist, beträgt $\frac 16$.

    Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Ein Beispiel:

    $7\cdot7=49$.

    $49$ ist demnach eine Quadratzahl.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse eines Laplace-Würfels, welcher mit den Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ beschriftet ist, beträgt $\frac 16$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzt, kannst du wie folgt bestimmen:

    $\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}$.

    Die Anzahl möglicher Elementarereignisse ist für einen solchen Laplace-Würfel stets sechs. Die Anzahl günstiger Elementarereignisse liefert das jeweilige Ereignis.

    Ereignis $A$

    Das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben: $~A=\{2;4;6\}$.

    Diese Menge enthält drei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten: $~P(A)=\frac 36=\frac 12$.

    Ereignis $B$

    Das Ereignis, eine Primzahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben: $~B=\{2;3;5\}$.

    Diese Menge enthält drei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten: $~P(B)=\frac 36=\frac 12$.

    Ereignis $C$

    Das Ereignis, eine Quadratzahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben: $~A=\{1;4\}$.

    Diese Menge enthält zwei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten: $~P(C)=\frac 26=\frac 13$.

    Ereignis $D$

    Es ist das folgende Ereignis gegeben: $~D=\{1; 3; 5; 6 \}$.

    Dieses Ereignis enthält vier Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten: $~P(D)=\frac 46=\frac 23$.