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Laplace-Experimente – Überblick 06:13 min

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Transkript Laplace-Experimente – Überblick

Bei Familie Glücklich werden die Aufgaben im Haushalt zufällig verteilt. Die Eltern von Ben haben dazu ein faires Glücksrad aufgestellt. Fair ist es deshalb, weil alle Segmente gleich groß sind. Nach dem Mittagessen muss das Geschirr gespült werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss BEN den Abwasch erledigen? Das können wir mit Hilfe von Laplace-Experimenten berechnen. Hier verschaffen wir uns einen Überblick Laplace-Experimente sind Zufallsversuche. Für einen Zufallsversuch musst du einen Vorgang ohne Veränderung wiederholen können, zum Beispiel immer das selbe Glücksrad drehen. Trotzdem kannst du bei einem Zufallsversuch das Ergebnis nicht vorhersagen. Wenn wir das Glücksrad einmal drehen, können DREI Ergebnisse zufällig eintreten: Vater, Mutter oder Ben. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge. Nach einem Zufallsversuch kannst du untersuchen, ob ein bestimmtes EREIGNIS eingetreten ist. Zum Beispiel kannst du beim Glücksrad untersuchen, ob ein Erwachsener ausgewählt wurde. Dieses Ereignis E für Erwachsener setzt sich aus den beiden Ergebnissen Vater und Mutter zusammen. Ereignisse sind also Teilmengen der Ergebnismenge. Wenn ein Ereignis nur aus einem einzigen Ergebnis besteht, nennt man es Elementarereignis. Beim Glücksrad kannst du zum Beispiel untersuchen, ob ein Kind ausgewählt wurde. Dieses Ereignis K für Kind besteht nur aus dem Ergebnis Ben und ist deshalb ein Elementarereignis. Nun ist ein Zufallsversuch genau dann ein Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Tatsächlich ist das Drehen an unserem Glücksrad also ein Laplace-Experiment. Denn alle drei Abschnitte sind gleich groß, jeder Abschnitt wird daher mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gedreht. Aber WIE groß ist diese Wahrscheinlichkeit genau? Stell dir vor, die Wahrscheinlichkeit verhält sich wie eine Flüssigkeit. Wenn du eine Flüssigkeit gleichmäßig auf drei Gefäße verteilst, ist in jedem davon ein Drittel der Flüssigkeit enthalten. Die Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich bei einem Laplace-Experiment gleichmäßig auf die Elementarereignisse, weil sie gleich wahrscheinlich sind. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine der drei Personen gedreht wird — 100 %, also 1. Weil es hier drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, haben alle die Wahrscheinlichkeit ein Drittel. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit musst du also nur wissen, WIE VIELE Elementarereignisse es gibt. Die Wahrscheinlichkeit für EIN Elementarereignis beträgt dann 1 geteilt durch die Anzahl der Elementarereignisse. Typische Beispiele für Laplace-Experimente sind das einmalige Würfeln oder das Werfen einer Münze. Bei einem Würfel verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die sechs möglichen Elementarereignisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Augen zu würfeln Jedes Elementarereignis hat also die Wahrscheinlichkeit ... ein Sechstel. Zurück zu Familie Glücklich. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ben um den Abwasch kümmern muss, beträgt, wie wir gesehen haben, ein Drittel. Mit dem Glücksrad bestimmt Familie Glücklich aber auch, wer für den Müll zuständig ist. Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ERWACHSENER den Müll rausbringen muss? Das ist ein zusammengesetztes Ereignis, denn sowohl Bens Mutter als auch sein Vater sind Erwachsene. Das Ereignis E für "Erwachsener" besteht also aus zwei Elementarereignissen: Mutter und Vater. Man schreibt es SO. Das Ereignis E tritt also dann ein, wenn entweder der Vater oder die Mutter ausgewählt werden. Von den insgesamt drei MÖGLICHEN Fällen passen also zwei zum gesuchten Ereignis. Man sagt, diese zwei sind GÜNSTIG für das Ereignis. Wie kannst du also die Wahrscheinlichkeit P von E berechnen? Stell dir vor, du würdest zwei der drei Gefäße mit der Flüssigkeit zusammenschütten. Dann hättest du ein Gefäß mit zwei Dritteln der Flüssigkeit. Genauso beträgt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erwachsener beim Glücksrad gedreht wird, zwei Drittel. Du musst bei Laplace-Experimenten also lediglich zählen, wie viele Elementarereignisse "günstig" für das gesuchte Ereignis sind und wie viele Elementarereignisse "möglich" sind, also überhaupt eintreten könnten. Die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis berechnest du dann als "günstige" geteilt durch "mögliche". Wir fassen zusammen: Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E berechnen, indem du zunächst die Anzahl aller MÖGLICHEN Ergebnisse zählst. Dann prüfst du, wie viele Ergebnisse davon zum gesuchten Ereignis passen - das ist die Anzahl der GÜNSTIGEN Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Kurz gesagt: Günstige durch Mögliche. Wie steht es denn um Familie Glücklich und ihr Glücksrad? Wie ungünstig.

1 Kommentar
  1. Katze lernt

    Super! Ein echt tolles Video. Man versteht es echt sehr einfach und schnell! Ich hoffe auf mehr solcher Videos ;-)

    Von Timo L., vor 2 Monaten

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