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Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung 06:52 min

Textversion des Videos

Transkript Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung

Unsere Truppe wagemutiger Helden stürzt sich in ein neues Abenteuer. Es gilt, kostbare Schätze zu finden, schwierige Hindernisse zu überwinden – und gefährliche Monster zu besiegen. Aber sie sind bestens ausgestattet – mit ihrer erprobten Auswahl an Würfeln steht dem Spieleabend nichts mehr im Weg! Voller Tatendrang beginnen unsere Helden ihren Abstieg ins Verlies des sagenumwobenen Drachen Leporidas. Nichts kann sie aufhalten!Außer dieser Tür. Um diese gefährliche Tür zu passieren, müssen wir auf einem vierseitigen Würfel mindestens eine 2 würfeln! Wie wahrscheinlich ist das? Beim Ausrechnen hilft uns die Gegenwahrscheinlichkeit. Beim einmaligen Würfeln eines vierseitigen Würfels gibt es die vier Ergebnisse 1, 2, 3 und 4. Alle diese Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit – ein Viertel. Um mindestens eine 2 zu würfeln, müssen wir also eine 2, eine 3 oder eine 4 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür könnten wir ausrechnen, indem wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten dieser Augenzahlen addieren. P von 'mindestens 2' ist also 'P von 2' plus 'P von 3' plus 'P von 4'. Da die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ein Viertel betragen, ist P von 'mindestens 2' also gleich drei Viertel. Das sieht einigermaßen schaffbar aus – aber wir mussten drei Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und addieren, um zu diesem Ergebnis zu kommen. Gibt es einen weniger umständlichen Weg? Die vier möglichen Augenzahlen 1, 2, 3 und 4 sind alle möglichen Ergebnisse des Würfelwurfs. Und die Gesamtwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, irgendeines dieser Ergebnisse zu würfeln, ist 1. Andere Möglichkeiten gibt es ja nicht. Wir interessieren uns für das Ereignis 'Augenzahl mindestens 2' – das sind diese drei Ergebnisse hier. Von der Ergebnismenge bleibt also nur das Ereignis, eine 1 zu würfeln, übrig. Man nennt dieses Ereignis dann Gegenereignis zum gesuchten Ereignis 'Augenzahl größer gleich 2'. Und immer wenn das Gegenereignis aus weniger Einzelteilen besteht als das gesuchte Ereignis, hilft uns das beim Rechnen. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, ist schnell ausgerechnet – ein Viertel. Aber anstatt die Wahrscheinlichkeiten, eine 2, 3 oder 4 zu würfeln, addieren zu müssen können wir einfach in dieser Gleichung 'P von 1' auf die rechte Seite bringen und einsetzen: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 2 zu würfeln, ist also gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln. Sie beträgt immer noch drei Viertel. So kommen wir zum gleichen Ergebnis und mussten nur eine Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses nennt man Gegenwahrscheinlichkeit. Für ein Ereignis 'E' nennt man das Gegenereignis 'nicht-E' und berechnet die Wahrscheinlichkeit von E mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit so. Weiter geht's mit unseren Helden — die haben eine 3 gewürfelt und mit völlig angemessenen Methoden die Tür bezwungen. Sie durchsuchen die Gänge der Drachenhöhle – und stoßen auf eine erstaunlich praktisch platzierte Truhe. In der Truhe befindet sich mit 20 prozentiger Wahrscheinlichkeit ein Heiltrank, mit 35 prozentiger Wahrscheinlichkeit ein Zauberhut, mit 30 prozentiger Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente, oder sie verbirgt eine Falle. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Helden in die Falle tappen? Das berechnen wir wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit! Das Gegenereignis zur Falle besteht aus dem Trank, dem Hut und der Ente. Und die Wahrscheinlichkeit, dass in der Truhe eine Falle lauert, können wir als 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen. Die Gegenwahrscheinlichkeit zur Falle setzt sich dann so zusammen: Und ergibt 85 Prozent. Also ist die Wahrscheinlichkeit, an der Falle zu scheitern, mit 15 Prozent nicht allzu groß. Und mit der Gegenwahrscheinlichkeit konnten wir also auch eine Wahrscheinlichkeit ausrechnen, die uns so direkt gar nicht gegeben war!Unsere Helden gehen das Risiko ein und öffnen die Truhe Glück gehabt – so einen Heiltrank kann man immer brauchen. Nun wartet nur noch Leporidas, der Drache! Tapfer betreten unsere Helden seine Kammer und gegen einen so mächtigen Widersacher muss es schon der 20-seitige Würfel sein! Wir würfeln eine 17 – und sofort geht einer unserer Helden im Drachenfeuer unter! Zum Glück haben wir den Heiltrank gefunden! Solange wir den Kumpanen aufpäppeln, können wir über unsere Chancen nachdenken. Wenn eine 17 nicht ausreicht, um den Drachen zu besiegen, brauchen wir mindestens eine 18! Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass wir dabei verlieren? Beim einmaligen Würfeln eines 20-seitigen Würfels gibt es die Ergebnisse 1 bis 20. Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit: ein Zwanzigstel. Die Würfelergebnisse 1 bis 17 bilden das Ereignis "Niederlage" . Und das Gegenereignis zur Niederlage ist natürlich der Sieg! Der besteht also aus den Augenzahlen 18, 19 und 20. Anstatt die Wahrscheinlichkeit der Niederlage über die 17 einzelnen Würfelergebnisse auszurechnen, bestimmen wir sie lieber als 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit! Die Gegenwahrscheinlichkeit der Niederlage berechnen wir aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten eine 18, eine 19 oder eine 20 zu würfeln. Die beträgt 3 Zwanzigstel. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, gegen den Drachen zu verlieren, 1 minus 3 Zwanzigstel, also 17 Zwanzigstel. Das stimmt nicht gerade zuversichtlich! Bevor wir es mit dem Drachen aufnehmen, fassen wir zusammen. Die verschiedenen Ereignisse eines Zufallsversuchs können wir zu der Ergebnismenge zusammenfassen. In etwa so wie diese Ellipse hier. Wenn wir uns für ein Ereignis E interessieren ist es oft sinnvoll, stattdessen das Gegenereignis 'nicht-E' zu betrachten. Das Ereignis und das Gegenereignis bilden zusammen alle möglichen Ereignisse und haben keinerlei Überlapp. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E nennt man 'P von E'. Seine Gegenwahrscheinlichkeit wird mit 'P von nicht-E' bezeichnet. Die Summe der Wahrscheinlichkeit und ihrer Gegenwahrscheinlichkeit beträgt immer 1. Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E zu berechnen, können wir dann auch die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen und 'P von E' als 1 minus 'P von nicht-E' berechnen. Nun aber auf zu Leporidas! Der Würfel ist gefallen: Eine 20! Oha... das war nun wohl entgegen jeder Wahrscheinlichkeit!

1 Kommentar
  1. Richtig tolles Video

    Von K Schautes, vor 10 Monaten

Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zum Ereignis $E$ gehören.

    Die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ erhältst du, indem du die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ von der Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse (also $1$) abziehst.

    Besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus weniger Ergebnissen als $E$, so ist es in der Regel einfacher, $P(\overline E)$ auszurechnen.

    Lösung

    Das Ereignis $E$ = „mindestens 2“ besteht aus all denjenigen möglichen Würfelergebnissen, bei denen die Augenzahl mindestens $2$ ist, in diesem Fall also aus den Ergebnissen $2$, $3$ und $4$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus genau denjenigen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören, im Fall des vierseitigen Würfels also nur aus dem Ergebnis $1$. Damit ist $\overline E= $ „weniger als 2“.

    Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Bei $4$ Ergebnissen hat also jedes die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$, denn die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist stets $1$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit von $E$ ist damit:

    $P(E) = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

    Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline E$ ist

    $P(\overline E) = \frac{1}{4}$

    Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses können wir auch durch die folgende Formel bestimmen:

    $P(\overline E) = 1 - P(E)$

    Mit $P(E)=\frac{3}{4}$ erhalten wir auch hier:

    $P(\overline E) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

  • Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Summe aus der Wahrscheinlichkeit $P(E)$ eines Ereignisses $E$ und seiner Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ ist $1$.

    Die Summe aller Prozentsätze ist $1$.

    $1$ entspricht $100~\%$.

    Lösung

    Gesucht ist das Risiko, dass sich in der Truhe eine Falle verbirgt. Wir berechnen zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Truhe keine Falle enthält. Dazu werden die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse „Heiltrank“, „Zauberhut“ und „goldene Ente“ addiert. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „keine Falle“ beträgt demnach:

    $20~\% + 35~\% + 30~\% = 85~\%$.

    Die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses „Falle“ und seines Gegenereignisses „keine Falle“ addieren sich zur Gesamtwahrscheinlichkeit $1=100~\%$ auf. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Falle“ den Wert:

    $1 - 85~\% = 100~\% - 85~\% = 15~\%$.

  • Gib die Regeln zur Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit wieder.

    Tipps

    Prüfe, ob es Ergebnisse gibt, die sowohl zu $E$ als auch zu $\overline E$ gehören.

    Die Wahrscheinlichkeit der Menge aller Ergebnisse ist $1$.

    Prüfe, ob es Ergebnisse gibt, die weder zu $E$ noch zu $\overline E$ gehören.

    Lösung

    Falsch sind folgende Aussagen:

    • „Bildet man zu einem Ereignis $E$ zuerst das Gegenereignis und dann von diesem noch einmal das Gegenereignis, so erhält man wieder das Gegenereignis $\overline E$.“ Das Gegenereignis zu $\overline E$ ist das ursprüngliche Ereignis $E$, denn das Gegenereignis zu $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören. Dies sind genau die Ergebnisse, die zu $E$ gehören. Wir erhalten durch zweimalige Bildung des Gegenereignisses also wieder das ursprüngliche Ereignis!
    • „Das Gegenereignis $\overline E$ und das Ereignis $E$ haben immer dieselbe Wahrscheinlichkeit.“ Für die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ des Ereignisses $E$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ gilt die Gleichung $P(E) + P(\overline E) = 1$. Ist $P(E) \neq \frac{1}{2}$, so sind $P(E)$ und $P(\overline E)$ verschieden.
    • „Das Produkt von $P(E)$ und $P(\overline E)$ ist immer $1$.“ Stattdessen gilt immer die Gleichung $P(E) + P(\overline E)=1$. Da die Wahrscheinlichkeiten $P(E)$ und $P(\overline E)$ immer beide zwischen $0$ und $1$ liegen, ist ihr Produkt ebenfalls immer zwischen $0$ und $1$. Daher ist die gegebene Gleichung nicht nur nicht immer richtig, sondern sogar in jedem Fall falsch.
    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören.“ Dies ist genau die Definition von $\overline E$.
    • „Das Gegenereignis zu $\overline E$ ist das Ereignis $E$.“ Das Gegenereignis zu $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören, und $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher ist das Gegenereignis zur $\overline E$ gerade wieder das Ereignis $E$.
    • „Für ein Ereignis $E$ und sein Gegenereignis $\overline E$ gilt stets $P(E) + P(\overline E) =1$.“ Jedes Ergebnis gehört entweder zu $E$ oder zu $\overline E$. Daher ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von $E$ und $\overline E$ die Gesamtwahrscheinlichkeit, also $1$.
    • „Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört entweder zu dem Ereignis $E$ oder zu seinem Gegenereignis $\overline E$.“ Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher gehört jedes Ergebnis entweder zu $E$ oder zu $\overline E$.
  • Erschließe die Wahrscheinlichkeiten in den verschiedenen Szenarien.

    Tipps

    Benutze ein Baumdiagramm, um die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments zu veranschaulichen.

    Zähle im Baumdiagramm alle Pfade, die zu einem Ereignis gehören, um seine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

    Lösung
    • Die Ergebnisse beim einmaligen Würfeln mit dem $12$-seitigen Würfel sind die Ziffern von $1$ bis $12$. Das Ereignis $E$, mindestens eine $7$ zu würfeln, besteht aus den sechs Ergebnissen $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ und $12$. Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, daher hat dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören, also den sechs Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $E$ und beträgt $P(\overline E)= 1 - P(E)=\frac{1}{2}$.
    • Beim Skatblatt sind drei Kartentypen ohne Wert. Die übrigen Werte sind $2$, $3$, $4$, $10$ und $11$. Von jedem Kartentyp gibt es genau vier Karten, nämlich von jeder Farbe eine. Das Ereignis $E$, mindestens den Kartenwert $4$ zu erzielen, besteht aus allen Karten mit Werten $4$, $10$ und $11$. Das sind $3$ Kartentypen in jeweils $4$ Farben, also $12$ Karten. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$. Das Gegenereignis $\overline E$ hat die Wahrscheinlichkeit $P(\overline E) =1-P(E) = \frac{5}{8}$.
    • Die möglichen Ergebnisse beim zweimaligen Würfeln mit dem üblichen sechsseitigen Würfel sind alle möglichen Kombinationen von zwei Ziffern zwischen $1$ und $6$. Man kann ein Baumdiagramm benutzen, um diese $36$ Kombinationen übersichtlich darzustellen. Das Ereignis $E$=„Augensumme mindestens $4$“ besteht aus vielen Ergebnissen. Es ist daher einfacher, zuerst das Gegenereignis $\overline E$=„Augensumme höchstens $3$“ zu bestimmen. Dieses besteht aus allen Ergebnissen, bei denen entweder beide Würfel eine $1$ zeigen oder einer der Würfel eine $1$ und der andere eine $2$. Das sind genau $3$ der $36$ Ergebnisse. Daher ist $(\overline E) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Alle übrigen $36-3=33$ Ergebnisse gehören zu $E$. Daher ist $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$. Wir hätten auch die Gegenwahrscheinlichkeit nutzen zu können, um $P(E)$ auszurechnen, denn $P(E) = 1-P(\overline E) = 1-\frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
  • Arbeite die Regeln zur Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit heraus.

    Tipps

    Ein beliebiges Ergebnis gehört immer entweder zu einem Ereignis $E$ oder eben nicht.

    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder ein Ereignis $E$ oder sein Gegenereignis $\overline E$ eintritt, ist $1$.

    Lösung

    Die korrekten Sätze sind:

    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seine Gegenwahrscheinlichkeit sind in der Summe $1$.“ Es gilt stets $P(E) + P(\overline E) =1$, denn jedes Ergebnis gehört entweder zu $E$ oder zu $\overline E$.
    • „$1-P(E)$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $E$.“ Die Gegenwahrscheinlichkeit von $E$ ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ des Gegenereignisses $\overline E$ . Es gilt also $P(\overline E) = 1-P(E)$.
    • „Das Gegenereignis von $\overline E$ und das Ereignis $E$ sind identisch.“ Das Gegenereignis von $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören, und $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher besteht das Gegenereignis von $\overline E$ aus allen Ergebnissen, die zu $E$ gehören, ist also mit $E$ identisch.
    • „Ein Ereignis und sein Gegenereignis haben kein Ergebnis gemeinsam.“ Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher haben $E$ und $\overline E$ kein Ergebnis gemeinsam.
    • „$1-P(\overline E)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $E$.“ Es gilt stets $P(E) + P(\overline E) = 1$. Auflösen der Gleichung nach $P(E)$ ergibt die Behauptung.
  • Analysiere die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bei Verwendung eines Zufallsgenerators.

    Tipps

    Zähle die Primzahlen zwischen $1$ und $24$.

    $1$ ist keine Primzahl.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl durch $5$ teilbar ist, beträgt $\frac{1}{5}$.“ Unter den Zahlen von $1$ bis $24$ gibt es $4$, die durch $5$ teilbar sind, nämlich $5$, $10$, $15$ und $20$. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt demnach $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
    • „Ist $E$ das Ereignis, dass die Zufallszahl durch $2$ oder durch $3$ teilbar ist, so besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus allen Zahlen, die nicht durch $6$ teilbar sind.“ Das Gegenereignis besteht aus allen Zahlen, die weder durch $2$ noch durch $3$ teilbar sind. Solche Zahlen sind insbesondere nicht durch $6$ teilbar. Aber nicht jede Zahl, die nicht durch $6$ teilbar ist, gehört zu $\overline E$: die Zahl $4$ z.B. ist nicht durch $6$ teilbar, gehört aber zu $E$, denn $4$ ist durch $2$ teilbar.
    • „Ist $\overline E$ das Ereignis aller ungeraden Zahlen größer als $11$, so ist $E$ das Ereignis aller geraden Zahlen größer als $11$.“ Das Ereignis $E$ besteht aus den Ergebnissen $13$, $15$, $17$, $19$, $21$ und $23$. Das Gegenereignis besteht aus allen übrigen Zahlen zwischen $1$ und $24$. Es besteht aus den geraden Zahlen größer als $11$, allen Zahlen kleiner als $11$ und der $11$ selbst.
    Richtig sind dagegen die folgenden Aussagen:

    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl nicht durch $4$ teilbar ist, beträgt $\frac{3}{4}$.“ Es ist einfacher, das Gegenereignis $\overline E$ zu bestimmen: durch $4$ teilbar sind die sechs Zahlen $4$, $8$, $12$, $16$, $20$ und $24$. Damit ist die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)= \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl nicht durch $4$ teilbar ist, beträgt demnach $1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl eine Primzahl ist, beträgt $\frac{3}{8}$.“ Folgende neun Zahlen zwischen $1$ und $24$ sind prim: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ und $23$. Die Wahrscheinlichkeit, als Zufallszahl eine Primzahl zu erhalten, beträgt demnach $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
    • „Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zufallszahlen durch $5$ oder $6$ teilbar sind, ist $\frac{1}{3}$.“ Je vier Zahlen zwischen $1$ und $24$ sind durch $5$ bzw. durch $6$ teilbar, nämlich teilbar, nämlich $5$, $10$, $15$ und $20$ bzw. $6$, $12$, $18$ und $24$. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses $E$ beträgt also $P(E)=\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.