Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung

Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung Übung

• Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zum Ereignis $E$ gehören.

  Die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ erhältst du, indem du die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ von der Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse (also $1$) abziehst.

  Besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus weniger Ergebnissen als $E$, so ist es in der Regel einfacher, $P(\overline E)$ auszurechnen.

  Lösung

  Das Ereignis $E$ = „mindestens 2“ besteht aus all denjenigen möglichen Würfelergebnissen, bei denen die Augenzahl mindestens $2$ ist, in diesem Fall also aus den Ergebnissen $2$, $3$ und $4$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus genau denjenigen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören, im Fall des vierseitigen Würfels also nur aus dem Ergebnis $1$. Damit ist $\overline E= $ „weniger als 2“.

  Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Bei $4$ Ergebnissen hat also jedes die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$, denn die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist stets $1$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit von $E$ ist damit:

  $P(E) = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

  Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline E$ ist

  $P(\overline E) = \frac{1}{4}$

  Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses können wir auch durch die folgende Formel bestimmen:

  $P(\overline E) = 1 - P(E)$

  Mit $P(E)=\frac{3}{4}$ erhalten wir auch hier:

  $P(\overline E) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

• Gib die Regeln zur Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit wieder.

  Tipps

  Prüfe, ob es Ergebnisse gibt, die sowohl zu $E$ als auch zu $\overline E$ gehören.

  Die Wahrscheinlichkeit der Menge aller Ergebnisse ist $1$.

  Prüfe, ob es Ergebnisse gibt, die weder zu $E$ noch zu $\overline E$ gehören.

  Lösung

  Falsch sind folgende Aussagen:

  • „Bildet man zu einem Ereignis $E$ zuerst das Gegenereignis und dann von diesem noch einmal das Gegenereignis, so erhält man wieder das Gegenereignis $\overline E$.“ Das Gegenereignis zu $\overline E$ ist das ursprüngliche Ereignis $E$, denn das Gegenereignis zu $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören. Dies sind genau die Ergebnisse, die zu $E$ gehören. Wir erhalten durch zweimalige Bildung des Gegenereignisses also wieder das ursprüngliche Ereignis!

  • „Das Gegenereignis $\overline E$ und das Ereignis $E$ haben immer dieselbe Wahrscheinlichkeit.“ Für die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ des Ereignisses $E$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ gilt die Gleichung $P(E) + P(\overline E) = 1$. Ist $P(E) \neq \frac{1}{2}$, so sind $P(E)$ und $P(\overline E)$ verschieden.

  • „Das Produkt von $P(E)$ und $P(\overline E)$ ist immer $1$.“ Stattdessen gilt immer die Gleichung $P(E) + P(\overline E)=1$. Da die Wahrscheinlichkeiten $P(E)$ und $P(\overline E)$ immer beide zwischen $0$ und $1$ liegen, ist ihr Produkt ebenfalls immer zwischen $0$ und $1$. Daher ist die gegebene Gleichung nicht nur nicht immer richtig, sondern sogar in jedem Fall falsch.

  Richtig sind folgende Aussagen:

  • „Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören.“ Dies ist genau die Definition von $\overline E$.

  • „Das Gegenereignis zu $\overline E$ ist das Ereignis $E$.“ Das Gegenereignis zu $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören, und $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher ist das Gegenereignis zur $\overline E$ gerade wieder das Ereignis $E$.

  • „Für ein Ereignis $E$ und sein Gegenereignis $\overline E$ gilt stets $P(E) + P(\overline E) =1$.“ Jedes Ergebnis gehört entweder zu $E$ oder zu $\overline E$. Daher ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von $E$ und $\overline E$ die Gesamtwahrscheinlichkeit, also $1$.

  • „Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört entweder zu dem Ereignis $E$ oder zu seinem Gegenereignis $\overline E$.“ Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher gehört jedes Ergebnis entweder zu $E$ oder zu $\overline E$.

• Arbeite die Regeln zur Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit heraus.

  Tipps

  Ein beliebiges Ergebnis gehört immer entweder zu einem Ereignis $E$ oder eben nicht.

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder ein Ereignis $E$ oder sein Gegenereignis $\overline E$ eintritt, ist $1$.

  Lösung

  Die korrekten Sätze sind:

  • „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seine Gegenwahrscheinlichkeit sind in der Summe $1$.“ Es gilt stets $P(E) + P(\overline E) =1$, denn jedes Ergebnis gehört entweder zu $E$ oder zu $\overline E$.

  • „$1-P(E)$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $E$.“ Die Gegenwahrscheinlichkeit von $E$ ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ des Gegenereignisses $\overline E$ . Es gilt also $P(\overline E) = 1-P(E)$.

  • „Das Gegenereignis von $\overline E$ und das Ereignis $E$ sind identisch.“ Das Gegenereignis von $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören, und $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher besteht das Gegenereignis von $\overline E$ aus allen Ergebnissen, die zu $E$ gehören, ist also mit $E$ identisch.

  • „Ein Ereignis und sein Gegenereignis haben kein Ergebnis gemeinsam.“ Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Daher haben $E$ und $\overline E$ kein Ergebnis gemeinsam.

  • „$1-P(\overline E)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $E$.“ Es gilt stets $P(E) + P(\overline E) = 1$. Auflösen der Gleichung nach $P(E)$ ergibt die Behauptung.

• Analysiere die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bei Verwendung eines Zufallsgenerators.

  Tipps

  Zähle die Primzahlen zwischen $1$ und $24$.

  $1$ ist keine Primzahl.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl durch $5$ teilbar ist, beträgt $\frac{1}{5}$.“ Unter den Zahlen von $1$ bis $24$ gibt es $4$, die durch $5$ teilbar sind, nämlich $5$, $10$, $15$ und $20$. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt demnach $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

  • „Ist $E$ das Ereignis, dass die Zufallszahl durch $2$ oder durch $3$ teilbar ist, so besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus allen Zahlen, die nicht durch $6$ teilbar sind.“ Das Gegenereignis besteht aus allen Zahlen, die weder durch $2$ noch durch $3$ teilbar sind. Solche Zahlen sind insbesondere nicht durch $6$ teilbar. Aber nicht jede Zahl, die nicht durch $6$ teilbar ist, gehört zu $\overline E$: die Zahl $4$ z.B. ist nicht durch $6$ teilbar, gehört aber zu $E$, denn $4$ ist durch $2$ teilbar.

  • „Ist $\overline E$ das Ereignis aller ungeraden Zahlen größer als $11$, so ist $E$ das Ereignis aller geraden Zahlen größer als $11$.“ Das Ereignis $E$ besteht aus den Ergebnissen $13$, $15$, $17$, $19$, $21$ und $23$. Das Gegenereignis besteht aus allen übrigen Zahlen zwischen $1$ und $24$. Es besteht aus den geraden Zahlen größer als $11$, allen Zahlen kleiner als $11$ und der $11$ selbst.

  Richtig sind dagegen die folgenden Aussagen:

  • „Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl nicht durch $4$ teilbar ist, beträgt $\frac{3}{4}$.“ Es ist einfacher, das Gegenereignis $\overline E$ zu bestimmen: durch $4$ teilbar sind die sechs Zahlen $4$, $8$, $12$, $16$, $20$ und $24$. Damit ist die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)= \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl nicht durch $4$ teilbar ist, beträgt demnach $1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

  • „Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl eine Primzahl ist, beträgt $\frac{3}{8}$.“ Folgende neun Zahlen zwischen $1$ und $24$ sind prim: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ und $23$. Die Wahrscheinlichkeit, als Zufallszahl eine Primzahl zu erhalten, beträgt demnach $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.

  • „Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zufallszahlen durch $5$ oder $6$ teilbar sind, ist $\frac{1}{3}$.“ Je vier Zahlen zwischen $1$ und $24$ sind durch $5$ bzw. durch $6$ teilbar, nämlich teilbar, nämlich $5$, $10$, $15$ und $20$ bzw. $6$, $12$, $18$ und $24$. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses $E$ beträgt also $P(E)=\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

• Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Summe aus der Wahrscheinlichkeit $P(E)$ eines Ereignisses $E$ und seiner Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ ist $1$.

  Die Summe aller Prozentsätze ist $1$.

  $1$ entspricht $100~\%$.

  Lösung

  Gesucht ist das Risiko, dass sich in der Truhe eine Falle verbirgt. Wir berechnen zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Truhe keine Falle enthält. Dazu werden die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse „Heiltrank“, „Zauberhut“ und „goldene Ente“ addiert. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „keine Falle“ beträgt demnach:

  $20~\% + 35~\% + 30~\% = 85~\%$.

  Die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses „Falle“ und seines Gegenereignisses „keine Falle“ addieren sich zur Gesamtwahrscheinlichkeit $1=100~\%$ auf. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Falle“ den Wert:

  $1 - 85~\% = 100~\% - 85~\% = 15~\%$.

• Erschließe die Wahrscheinlichkeiten in den verschiedenen Szenarien.

  Tipps

  Benutze ein Baumdiagramm, um die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments zu veranschaulichen.

  Zähle im Baumdiagramm alle Pfade, die zu einem Ereignis gehören, um seine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

  Lösung

  • Die Ergebnisse beim einmaligen Würfeln mit dem $12$-seitigen Würfel sind die Ziffern von $1$ bis $12$. Das Ereignis $E$, mindestens eine $7$ zu würfeln, besteht aus den sechs Ergebnissen $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ und $12$. Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, daher hat dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören, also den sechs Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $E$ und beträgt $P(\overline E)= 1 - P(E)=\frac{1}{2}$.

  • Beim Skatblatt sind drei Kartentypen ohne Wert. Die übrigen Werte sind $2$, $3$, $4$, $10$ und $11$. Von jedem Kartentyp gibt es genau vier Karten, nämlich von jeder Farbe eine. Das Ereignis $E$, mindestens den Kartenwert $4$ zu erzielen, besteht aus allen Karten mit Werten $4$, $10$ und $11$. Das sind $3$ Kartentypen in jeweils $4$ Farben, also $12$ Karten. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$. Das Gegenereignis $\overline E$ hat die Wahrscheinlichkeit $P(\overline E) =1-P(E) = \frac{5}{8}$.

  • Die möglichen Ergebnisse beim zweimaligen Würfeln mit dem üblichen sechsseitigen Würfel sind alle möglichen Kombinationen von zwei Ziffern zwischen $1$ und $6$. Man kann ein Baumdiagramm benutzen, um diese $36$ Kombinationen übersichtlich darzustellen. Das Ereignis $E$=„Augensumme mindestens $4$“ besteht aus vielen Ergebnissen. Es ist daher einfacher, zuerst das Gegenereignis $\overline E$=„Augensumme höchstens $3$“ zu bestimmen. Dieses besteht aus allen Ergebnissen, bei denen entweder beide Würfel eine $1$ zeigen oder einer der Würfel eine $1$ und der andere eine $2$. Das sind genau $3$ der $36$ Ergebnisse. Daher ist $(\overline E) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Alle übrigen $36-3=33$ Ergebnisse gehören zu $E$. Daher ist $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$. Wir hätten auch die Gegenwahrscheinlichkeit nutzen zu können, um $P(E)$ auszurechnen, denn $P(E) = 1-P(\overline E) = 1-\frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.