Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung
Gegenwahrscheinlichkeit: Grundlagen und Berechnung leicht erklärt! Die Gegenwahrscheinlichkeit ist ein nützliches Werkzeug, um unerwünschte Ereignisse beim Würfeln zu berechnen. Lerne, wie man sie anwendet, um die Wahrscheinlichkeit für erwünschte Ergebnisse zu bestimmen. Interessiert? Das alles und mehr erwartet dich im folgenden Text!
- Gegenwahrscheinlichkeit
- Was ist die Gegenwahrscheinlichkeit?
- Wie rechnet man die Gegenwahrscheinlichkeit aus?
- Gegenwahrscheinlichkeit – Beispiel

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Gegenwahrscheinlichkeit – Einführung Übung
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Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
TippsDas Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zum Ereignis $E$ gehören.
Die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ erhältst du, indem du die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ von der Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse (also $1$) abziehst.
Besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus weniger Ergebnissen als $E$, so ist es in der Regel einfacher, $P(\overline E)$ auszurechnen.
LösungDas Ereignis $E$ = „mindestens 2“ besteht aus all denjenigen möglichen Würfelergebnissen, bei denen die Augenzahl mindestens $2$ ist, in diesem Fall also aus den Ergebnissen $2$, $3$ und $4$.
Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus genau denjenigen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören, im Fall des vierseitigen Würfels also nur aus dem Ergebnis $1$.
Damit ist $\overline E= $ „weniger als 2“.Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Bei $4$ Ergebnissen hat also jedes die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$, denn die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist stets $1$.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit von $E$ ist damit:
$P(E) = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline E$ ist:
$P(\overline E) = \frac{1}{4}$
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses können wir auch durch die folgende Formel bestimmen:
$P(\overline E) = 1 - P(E)$
Mit $P(E)=\frac{3}{4}$ erhalten wir auch hier:
$P(\overline E) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
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Gib die Regeln zur Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit wieder.
TippsPrüfe, ob es Ergebnisse gibt, die sowohl zu $E$ als auch zu $\overline E$ gehören.
Die Wahrscheinlichkeit der Menge aller Ergebnisse ist $1$.
Prüfe, ob es Ergebnisse gibt, die weder zu $E$ noch zu $\overline E$ gehören.
LösungFolgende Aussagen sind falsch:
- Bildet man zu einem Ereignis $E$ zuerst das Gegenereignis und dann von diesem noch einmal das Gegenereignis, so erhält man wieder das Gegenereignis $\overline E$.
- Das Gegenereignis $\overline E$ und das Ereignis $E$ haben immer dieselbe Wahrscheinlichkeit.
- Das Produkt von $P(E)$ und $P(\overline E)$ ist immer $1$.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören.
- Das Gegenereignis zu $\overline E$ ist das Ereignis $E$.
- Für ein Ereignis $E$ und sein Gegenereignis $\overline E$ gilt stets $P(E) + P(\overline E) =1$.
- Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört entweder zu dem Ereignis $E$ oder zu seinem Gegenereignis $\overline E$.
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Arbeite die Regeln zur Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit heraus.
TippsEin beliebiges Ergebnis gehört immer entweder zu einem Ereignis $E$ oder eben nicht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder ein Ereignis $E$ oder sein Gegenereignis $\overline E$ eintritt, ist $1$.
LösungDie korrekten Sätze sind:
- Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seine Gegenwahrscheinlichkeit sind in der Summe $1$.
- $1-P(E)$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $E$.
- Das Gegenereignis von $\overline E$ und das Ereignis $E$ sind identisch.
- Ein Ereignis und sein Gegenereignis haben kein Ergebnis gemeinsam.
- $1-P(\overline E)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $E$.
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Analysiere die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bei Verwendung eines Zufallsgenerators.
TippsZähle die Primzahlen zwischen $1$ und $24$.
$1$ ist keine Primzahl.
LösungFolgende Aussagen sind falsch:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl durch $5$ teilbar ist, beträgt $\frac{1}{5}$.
- Ist $E$ das Ereignis, dass die Zufallszahl durch $2$ oder durch $3$ teilbar ist, so besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus allen Zahlen, die nicht durch $6$ teilbar sind.
- Ist $\overline E$ das Ereignis aller ungeraden Zahlen größer als $11$, so ist $E$ das Ereignis aller geraden Zahlen größer als $11$.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl nicht durch $4$ teilbar ist, beträgt $\frac{3}{4}$.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl eine Primzahl ist, beträgt $\frac{3}{8}$.
- Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zufallszahlen durch $5$ oder $6$ teilbar sind, ist $\frac{1}{3}$.
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Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
TippsDie Summe aus der Wahrscheinlichkeit $P(E)$ eines Ereignisses $E$ und seiner Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline E)$ ist $1$.
Die Summe aller Prozentsätze ist $1$.
$1$ entspricht $100\,\%$.
LösungGesucht ist das Risiko, dass sich in der Truhe eine Falle verbirgt. Wir berechnen zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Truhe keine Falle enthält. Dazu werden die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse „Heiltrank“, „Zauberhut“ und „goldene Ente“ addiert. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „keine Falle“ beträgt demnach:
$20\,\% + 35\,\% + 30\,\% = 85\,\%$
Die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses „Falle“ und seines Gegenereignisses „keine Falle“ addieren sich zur Gesamtwahrscheinlichkeit $1=100\,\%$ auf. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Falle“ folgenden Wert:
$1 - 85\,\% = 100\,\% - 85\,\% = 15\,\%$
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Erschließe die Wahrscheinlichkeiten in den verschiedenen Szenarien.
TippsBenutze ein Baumdiagramm, um die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments zu veranschaulichen.
Zähle im Baumdiagramm alle Pfade, die zu einem Ereignis gehören, um seine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Lösung- Die Ergebnisse beim einmaligen Würfeln mit dem $12$-seitigen Würfel sind die Ziffern von $1$ bis $12$. Das Ereignis $E$, mindestens eine $7$ zu würfeln, besteht aus den sechs Ergebnissen $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ und $12$. Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Daher hat dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören, also den sechs Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $E$ und beträgt $P(\overline E)= 1 - P(E)=\frac{1}{2}$.
- Beim Skatblatt sind drei Kartentypen ohne Wert. Die übrigen Werte sind $2$, $3$, $4$, $10$ und $11$. Von jedem Kartentyp gibt es genau vier Karten, nämlich von jeder Farbe eine. Das Ereignis $E$, mindestens den Kartenwert $4$ zu erzielen, besteht aus allen Karten mit den Werten $4$, $10$ und $11$. Das sind $3$ Kartentypen in jeweils $4$ Farben, also $12$ Karten. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$. Das Gegenereignis $\overline E$ hat die Wahrscheinlichkeit $P(\overline E) =1-P(E) = \frac{5}{8}$.
- Die möglichen Ergebnisse beim zweimaligen Würfeln mit dem üblichen sechsseitigen Würfel sind alle möglichen Kombinationen von zwei Ziffern zwischen $1$ und $6$. Man kann ein Baumdiagramm benutzen, um diese $36$ Kombinationen übersichtlich darzustellen. Das Ereignis $E$=„Augensumme mindestens $4$“ besteht aus vielen Ergebnissen. Es ist daher einfacher, zuerst das Gegenereignis $\overline E$=„Augensumme höchstens $3$“ zu bestimmen. Dieses besteht aus allen Ergebnissen, bei denen entweder beide Würfel eine $1$ zeigen oder einer der Würfel eine $1$ und der andere eine $2$. Das sind genau $3$ der $36$ Ergebnisse. Daher ist $(\overline E) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Alle übrigen $36-3=33$ Ergebnisse gehören zu $E$. Daher ist $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$. Wir hätten auch die Gegenwahrscheinlichkeit nutzen können, um $P(E)$ auszurechnen, denn $P(E) = 1-P(\overline E) = 1-\frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
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