Polynomdivision – Erklärung

Polynomdivision – Einführung

Die Polynomdivision ist ein Verfahren in der Mathematik zur Berechnung von Nullstellen und dient zur Vereinfachung von Termen. Bei der Polynomdivision wird, wie der Name bereits andeutet, ein Polynom durch ein anderes Polynom dividiert.

Beispielsweise sind sowohl $-x^2-7x -12$ als auch $x+4$ Polynome.

Polynomdivision – Erklärung

Am Beispiel $\left(-x^2-7x -12\right):(x+4)=...$ wird nun das Vorgehen bei der Polynomdivision erklärt:

1. Zunächst wird der erste Summand $-x^2$ des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors $x$ geteilt: $\frac{-x^2}{x}=-x$

2. Dieses Ergebnis wird hinter dem Gleichheitszeichen aufgeschrieben.

3. Nun wird das Ergebnis $-x$ mit dem Divisor $x+4$ multipliziert zu $-x^2-4x$.

4. Das Produkt wird vom Dividenden subtrahiert: $-x^2-7x -12-\left(-x^2-4x\right)=-3x-12$ Dies ist der „neue“ Dividend.

5. Es geht weiter wie in Schritt 1: $\frac{-3x}{x}=-3$. Dieses Ergebnis wird hinter $-x$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens aufgeschrieben.

6. Wieder wird das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert: $-3\cdot (x+4)=-3x-12$.

7. Schließlich wird das Produkt von dem Dividenden subtrahiert: $-3x-12-(-3x-12)=0$.

Damit ergibt sich:

$-x^2-7x -12 : (x+4) = -x-3$

Polynomdivision – Anwendung

Eine häufige Anwendung der Polynomdivision ist das Bestimmen von Nullstellen von Polynomen, deren Grad höher als $2$ ist.

Beispiel 1

Es ist bereits bekannt, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2$ eine Nullstelle bei $x=1$ hat. Dies kann durch Einsetzen überprüft werden. Diese kubische Funktion könnte noch zwei weitere Nullstellen besitzen. Um diese zu ermitteln, wird der kubische Funktionsterm durch $x-1$ dividiert. Es wird immer von $x$ die bereits bekannte Nullstelle subtrahiert.

Der quadratische Term, der bei dieser Polynomdivision herausgekommen ist, kann nun gleich $0$ gesetzt werden und mithilfe der pq-Formel ausgerechnet werden. Die Lösungen dieser Gleichung sind die gesuchten Nullstellen der kubischen Funktion.

Führe die Polynomdivision durch: $(x^{3}+x^{2}+8x-28):(x-2)$

$~~~ (x^{3} +x^{2} +8x-28)~:~(x-2) ~=~x^{2} + 3x+14 $

$\underline{-(x^{3}-2x^{2}) ~~~} $

$~~~~~~~~~~~~~~\,3x^{2}+8x-28 $

$\quad \quad ~~ \underline{-(3x^{2}-6x) ~~~} $

$\qquad \qquad \qquad 14x-28 $

$\qquad \quad \quad ~~~ \underline{-(14x-28)~~~} $

$\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~~~0$

Führe die Polynomdivision durch: $(6x^{3}-3x^{2}+9):(x+1)$

$~~~ (6x^{3} - 3x^{2} + 9)~:~(x + 1)~=~6x^{2} - 9x + 9 $

$\underline{- (6x^{3} + 6x^{2})~~~} $

$~~~~~~~~~~~~~~~ \,9x^{2} + 9 $

$\qquad~~~ \underline{- (9x^{2} - 9x) ~~~} $

$\qquad \qquad \qquad ~~ \,9x + 9 $

$\qquad \qquad \quad ~~\underline{- (9x - 9) ~~~} $

$\qquad \qquad \qquad \qquad ~~ ~~0$

Polynomdivision – Beispiel

Bei den ersten beiden Beispielen kam zum Schluss immer der Rest $0$ heraus. Dies muss nicht immer so sein.

Beispiel 2

Bei der Polynomdivision $\left(-x^2+2x+2\right):(x+1)$ bleibt beispielsweise der Rest $-1$ übrig.

Wenn die Polynomdivision nicht aufgeht, hat sie einen Rest. Dieser wird am Ende des Lösungsterms als Quotienten aus der Restzahl und dem Divisor der Polynomdivision angegeben.

Bei dieser Polynomdivision lautet der gesamte Lösungsterm wie folgt: $\left(-x^2+2x+2\right):(x+1)=-x+3+\frac{-1}{x+1}$

Führe die Polynomdivision durch: $(12x^{2}+5x-10):(x-2)$

$~~~ (12x^{2}+5x-10)~:~(x-2)~=~12x + 29 ~~~ \left(+~\frac{48}{x-2} ~~\text{Rest}\right)$

$\underline{-(12x^{2}-24x) ~~~}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~ \,29x-10$

$\qquad ~~~~~ \underline{-(29x-58) ~~~}$

$\qquad \qquad \quad ~~~~~ \quad 48$

Häufige Fragen zum Thema Polynomdivision

Was ist eine Polynomdivision? Es handelt sich um eine Polynomdivision, wenn man ein Polynom durch ein anderes Polynom teilt.

Wie funktioniert die Polynomdivision?

1. Zunächst wird der erste Summand des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors geteilt.

2. Dieses Ergebnis wird hinter dem Gleichheitszeichen aufgeschrieben.

3. Nun wird das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert.

4. Das Produkt wird vom Dividenden subtrahiert. Man erhält einen “neuen“ Dividenden.

5. Nun geht es wieder von vorne los. Die Schritte 1-4 werden so lange wiederholt, bis die Polynomdivision beendet ist.

Für was braucht man eine Polynomdivision? Die Polynomdivision wird angewendet, um ganzrationale Funktionen in ein Produkt mit mehreren Faktoren umzuwandeln. Mit Hilfe dieses Produkts können die Nullstellen der Funktion berechnet werden.

Wann kann ich die Polynomdivision anwenden? Die Polynomdivision wird in der Regel dort durchgeführt, wo die $pq$-Formel nicht angewendet werden kann.

Was passiert, wenn die Polynomdivision nicht aufgeht? Wenn die Polynomdivision nicht aufgeht, hat sie einen Rest. Dieser wird am Ende des Lösungsterms als Quotienten aus der Restzahl und dem Divisor der Polynomdivision angegeben.