Polynomdivision – Erklärung

Polynomdivision – Definition

Die Polynomdivision ist ein Verfahren in der Mathematik zur Berechnung von Nullstellen und dient der Vereinfachung von Termen.

Beispielsweise sind sowohl $-x^2-7x -12$ als auch $x+4$ Polynome.
Die Rechnung $(-x^2-7x -12) : (x+4)$ stellt demnach eine Polynomdivision dar.

Polynomdivision – Erklärung

Wir wollen die Durchführung der Polynomdivision anhand eines Funktionsterms erklären, dessen Nullstellen gefunden werden sollen. So können wir einerseits das schrittweise Vorgehen der Polynomdivision zeigen und andererseits den Nutzen für die Nullstellensuche erläutern.

Durchführung der Polynomdivision: 1. Schritt

An einem Beispiel lässt sich das Verfahren am besten verstehen. Wollen wir beispielsweise die Nullstellen der kubischen Funktion

$f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$

finden, so müssen wir zunächst eine erste Nullstelle der Funktion ermitteln. Diese Nullstelle kann durch Raten oder durch Zeichnen der Funktion gefunden werden.

Um eine Nullstelle zu raten, ermitteln wir am besten die Teiler des konstanten Gliedes, also des Terms ohne Faktor $x$ (hier im Beispiel die $6$), und setzen diese Werte in die Funktionsgleichung für $x$ ein. Ist das Ergebnis $0$, haben wir die erste Nullstelle gefunden. Mögliche Teiler sind in unserem Beispiel $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$, $6$ und $-6$.

Setzen wir zum Beispiel für $x$ die $1$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir:

$f(1)=1^{3} -2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6 = 1 -2-5+6=0$

Das bedeutet, dass mit $x_1=1$ die erste Nullstelle der Funktion gefunden ist.

Der erste Linearfaktor der Funktion $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ist also $(x-1)$.
Eine mögliche Linearfaktorzerlegung der Funktion lautet damit:

$f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6 = (x-1) \cdot y \cdot z$.

$y$ und $z$ stellen dabei die noch unbekannten, weiteren Linearfaktoren dar. Es muss insgesamt drei Linearfaktoren geben, da es sich um eine kubische Funktion, also eine Funktion dritten Grades, handelt.
Setzen wir in den ersten Linearfaktor die $1$ ein, also den Wert der ersten Nullstelle, ist dieser Faktor $0$. Der Funktionswert ist dann auch $0$, egal, was die anderen Linearfaktoren ergeben, da hier mit $0$ multipliziert wird. (Das ist der Satz vom Nullprodukt.)

Nun müssen wir die anderen beiden Linearfaktoren finden, um weitere Nullstellen bestimmen zu können. Dafür nutzen wir die Polynomdivision.

Durchführung der Polynomdivision: 2. Schritt

Teilen wir den Funktionsterm durch den bereits gefundenen Linearfaktor, so bleiben auf der rechten Seite die beiden bisher noch nicht gefundenen Linearfaktoren übrig:

$\begin{array}{ccccll} x^{3}-2x^{2}-5x+6 & & & = & (x-1) \cdot y \cdot z & \quad\big\vert~: (x-1) \\[2pt] (x^{3}-2x^{2}-5x+6) & : & (x-1) & = & y \cdot z & \end{array}$

Die Divisionsaufgabe auf der linken Seite wird als Polynomdivision bezeichnet:

$(x^{3}-2x^{2}-5x+6) : (x-1)$

Das Vorgehen funktioniert folgendermaßen:

1. Teile den ersten Term des Dividenden ${\color{#669900}{x^3}}-2x^2-5x+6$ durch den ersten Term des Divisors ${\color{#669900}{x}}-1$:

${\color{#669900}{x^3}} : {\color{#669900}{x}} = {\color{#669900}{x^2}}$

2. Das Ergebnis ${\color{#669900}{x^2}}$ schreibst du hinter das Gleichheitszeichen:

$({\color{#669900}{x^3}}-2x^2-5x+6) : ({\color{#669900}{x}}-1) = {\color{#669900}{x^2}}$

3. Nun multiplizierst du den Divisor ${\color{#669900}{(x-1)}}$ mit dem Zwischenergebnis ${\color{#669900}{x^2}}$, also:

${\color{#669900}{(x-1)}} \cdot {\color{#669900}{x^2}} = {\color{#669900}{x^3-x^2}}$

Dieses Ergebnis schreibst du stellengerecht unter das erste Polynom:

$\begin{array}{lcccl} (x^3-2x^2-5x+6) & : & {\color{#669900}{(x-1)}} & = & {\color{#669900}{x^2}} \\[2pt] ({\color{#669900}{x^3-x^2}}) & & & & \end{array}$

4. Subtrahiere jetzt $x^3-x^2$ vom ersten Polynom:

$\begin{array}{lcccl} ~~~(x^3-2x^2-5x+6) & : & (x-1) & = & x^2 \\[2pt] \underline{{\color{#669900}{-(}} x^3-x^2 {\color{#669900}{)}}} & & & & \end{array}$

Schreibe das Ergebnis unter den Strich:

$\begin{array}{lcccl} ~~~(x^3-2x^2-5x+6) & : & (x-1) & = & x^2 \\[2pt] \underline{{\color{#669900}{-(}} x^3-x^2 {\color{#669900}{)}}} & & & & \\[2pt] ~~~~\,0~-\,x^2 & & & & \end{array}$

Du merkst, dass der erste Term $x^3$ dabei wegfällt. Das muss so sein.
Bringe nun auch die restlichen Terme des ersten Polynoms nach unten:

$\begin{array}{lcccl} ~~~(x^3-2x^2{\color{#669900}{-5x+6}}) & : & (x-1) & = & x^2 \\[2pt] \underline{-(x^3-x^2)} & & & & \\[2pt] ~~~~~~~~~\,-\,x^2{\color{#669900}{-5x+6}} & & & & \end{array}$

Mit der neuen Zeile hast du nun einen neuen Dividenden.

5. Nun beginnt die Division von vorne. Teile jetzt den ersten Term des neuen Dividenden, also ${\color{#669900}{-x^2}}$, durch den ersten Term des Divisors, also wieder durch ${\color{#669900}{x}}$, und ergänze das Ergebnis rechts:

$\begin{array}{lcccl} ~~~(x^3-2x^2-5x+6) & : & ({\color{#669900}{x}}-1) & = & x^2 {\color{#669900}{-x}} \\[2pt] \underline{-(x^3-x^2)} & & & & \\[2pt] ~~~~~~~~~\,{\color{#669900}{-\,x^2}}-5x+6 & & & & \end{array}$

Wiederhole die Schritte 1. bis 4., bis am Ende $0$ bei der Subtraktion herauskommt. Die gesamte Polynomdivision sieht dann wie folgt aus:

$\begin{array}{lcccl} ~~~(x^3-2x^2-5x+6) & : & (x-1) & = & x^2-x-6 \\[2pt] \underline{-(x^3-x^2)} & & & & \\[2pt] ~~~~~~~~~\,-\,x^2-5x+6 & & & & \\[2pt] ~~~~~~\underline{-(-x^2+x)} & & & & \\[2pt] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\,6x+6 & & & & \\[2pt] ~~~~~~~~~~~~~~\underline{-(-6x+6)} & & & & \\[2pt] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 \end{array}$

Beachte, dass wir gleiche Potenzen immer untereinander schreiben, damit das Subtrahieren der Zeilen übersichtlich bleibt.

Nicht bei jeder Polynomdivision kommt am Ende $0$ heraus, das heißt, nicht jede Polynomdivision geht genau auf. Darauf kommen wir noch zurück.

Durchführung der Polynomdivision: 3. Schritt

Um die restlichen Nullstellen $x_2$ und $x_3$ zu finden, müssen wir nun nur noch die Lösungen des Polynoms $x^2-x-6=0$ bestimmen. Da es sich hierbei um eine quadratische Gleichung handelt, können wir dafür zum Beispiel die $pq$-Formel verwenden:

$x_{2,3}=-(-\frac{1}{2}) \pm\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-(-6)}$

$x_{2}=3$

$x_{3}=-2$

Die Lösungen dieses Polynoms sind also $x_2=3$ und $x_3=-2$.

Damit haben wir nun alle Nullstellen der kubischen Funktion $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ gefunden. Die Nullstellen sind $x_1=1$, $x_2=3$ und $x_3=-2$.

In Linearfaktorzerlegung lautet die Funktion also:

$f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1) \cdot (x-3) \cdot (x+2)$

So wie die $pq$-Formel dazu dient, quadratische Funktionsterme zu faktorisieren, kann mit der Polynomdivision dasselbe für Funktionen höheren Grades erreicht werden, wenn eine Nullstelle (und damit ein Linearfaktor) bereits bekannt ist oder erraten wurde.

Polynomdivision – Beispiel

Anhand des Beispiels $(-x^2-7x -12) : (x+4)$ wollen wir nun das Vorgehen bei der Polynomdivision noch einmal im Schnelldurchlauf durchgehen:

1. Zunächst wird der erste Summand $-x^2$ des Dividenden durch den ersten Summanden $x$ des Divisors geteilt:

$\dfrac{-x^2}{x}={\color{#669900}{-x}}$

2. Dieses Ergebnis wird hinter dem Gleichheitszeichen aufgeschrieben:

$(-x^2-7x-12) : (x+4) = {\color{#669900}{-x}}$

3. Nun wird das Ergebnis ${\color{#669900}{-x}}$ mit dem gesamten Divisor $(x+4)$ multipliziert:

${\color{#669900}{-x}} \cdot (x+4) = -x^2-4x$

4. Das Produkt wird vom Dividenden subtrahiert:

$(-x^2-7x-12)-(-x^2-4x)={\color{#669900}{-3x-12}}$

Dies ist der neue Dividend.

5. Es geht weiter wie in Schritt 1, der erste Summand des neuen Dividenden wird also wieder durch $x$ geteilt:

$\dfrac{-3x}{x}={\color{#669900}{-3}}$

Dieses Ergebnis wird hinter $-x$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens aufgeschrieben:

$(-x^2-7x-12) : (x+4) = -x{\color{#669900}{-3}}$

6. Wieder wird das Ergebnis mit dem gesamten Divisor multipliziert:
${\color{#669900}{-3}} \cdot (x+4)=-3x-12$

7. Schließlich wird das Produkt vom Dividenden subtrahiert:
$-3x-12-(-3x-12)={\color{#669900}{0}}$

Damit ist die Polynomdivision aufgegangen und als Ergebnis bleibt:

$(-x^2-7x-12) : (x+4) = -x-3$

In der folgenden Abbildung sind alle beschriebenen Rechenschritte auf einen Blick dargestellt:

Polynomdivision mit Rest

Bei den ersten beiden Rechnungen kam zum Schluss immer $0$ heraus, das heißt, die Polynomdivision ging genau auf. Dies muss nicht immer so sein.

Bei der Polynomdivision $(-x^2+2x+2) : (x+1)$ bleibt beispielsweise $-1$ übrig, wie du in der Abbildung der entsprechenden Rechnung sehen kannst:

Wenn die Polynomdivision nicht aufgeht, hat sie einen Rest. Dieser wird am Ende des Lösungsterms als Quotient aus der Restzahl (oder dem Restterm) und dem Divisor der Polynomdivision angegeben.
Bei der dargestellten Polynomdivision lautet der gesamte Lösungsterm demnach wie folgt:

$(-x^2+2x+2) : (x+1) = -x+3+\frac{-1}{x+1}$

Ein Rest tritt immer dann auf, wenn die Polynomdivision nicht aufgeht und der Grad des Divisors höher ist als der Grad des letzten Dividenden (also des Restterms bzw. der Restzahl).

Polynomdivision – Nullstellen

Wir haben bereits gesehen, dass eine häufige Anwendung der Polynomdivision das Bestimmen von Nullstellen von Polynomen ist, deren Grad höher als $2$ ist. Sehen wir uns dazu noch ein weiteres Beispiel an:

Es sei bereits bekannt, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2$ eine Nullstelle bei $x_1=1$ habe. (Dies kann durch Einsetzen überprüft werden.)
Diese kubische Funktion könnte noch zwei weitere Nullstellen besitzen. Um diese zu ermitteln, dividieren wir den kubischen Funktionsterm durch den Linearfaktor $(x-1)$.
(Eine bereits bekannte Nullstelle wird immer von $x$ subtrahiert, um den entsprechenden Linearfaktor zu erhalten).
Die entsprechende Polynomdivision ist in folgender Abbildung dargestellt:

Der quadratische Term, der das Ergebnis dieser Polynomdivision darstellt, kann nun gleich $0$ gesetzt werden und mithilfe der $pq$-Formel faktorisiert werden. Die Lösungen der Gleichung $x^2+2x+2 = 0$ sind die gesuchten Nullstellen $x_2$ und $x_3$ der kubischen Funktion. Es gilt:

$x_{2,3}=-(-2)\pm\sqrt{{\left(-\frac{2}{2}\right)}^2-(-2)}$

$x_{2}=2+\sqrt{3} \approx 3{,}73$

$x_{3}=2-\sqrt{3} \approx 0{,}27$

Die Funktion $f$ kann also in folgenden Linearfaktoren zerlegt werden:

$f(x)=-x^3+3x^2-2=(x-1) \cdot (x-2-\sqrt{3}) \cdot (x-2+\sqrt{3})$

Polynomdivision – Aufgaben

Du kannst hier noch einige weitere Aufgaben üben und dir dann die Lösungen ansehen:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Polynomdivision